23.1多边形-多边形的外角和-课件 2025-2026学年沪教版八年级数学下册

第23章 四边形 23.1 多边形 多边形的外角和 年 级：八年级 学 科：数学（沪教版） 大家好，今天我们将一起学习“多边形的外角和”。在本节课中，我们将运用一个非常重要的数学思想——类比，通过回顾我们已经学过的三角形的外角和知识，来探究和发现多边形外角和的规律。希望通过今天的学习，大家不仅能掌握新的知识，更能体会到数学学习中从已知到未知的探索乐趣。 1 复习引入 三角形 内角 外角 内角和 外角和 多边形 内角 外角 内角和 外角和 ? 类比 2 新知讲授 三角形一个内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作三角形（与此内角相邻）的外角. 在一个三角形中，与一个内角相邻的外角有两个. 同一个内角的两个外角是一对对顶角，它们大小相等. 一个三角形共有六个外角. 多边形的外角 三角形的外角 多边形内角的一边的延长线与另一边所组成的角叫作多边形的外角. ∠ABF是多边形的一个外角. 多边形的外角与它相邻的内角互补． 多边形的外角中，与同一个内角相邻的外角有两个， 这两个角为对顶角， 它们相等. 类比 三角形的外角与它相邻的内角互补． 一个n边形共有2n个外角. F 1 2 ∠1和∠2是多边形的外角中具有这种关系的两个外角. 3 新知讲授 对于三角形的每个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的三个外角相加所得的和，叫做三角形的外角和. 多边形的外角和 三角形的外角和 对多边形的每个内角，从与它相邻的两个外角中任取一个，这样得到的所有外角的和，叫做多边形的外角和. 类比 三角形的外角和等于360°. 多边形的外角和等于? 4 新知讲授 n边形的内角和随着边数的增加而增大， n边形的内角和等于（n-2）· 180°. 那么n边形的外角和是否也随着边数的变化而变化呢？ 思考 任意多边形的外角和恒为360°， 与边数无关吗？ 观察 多边形的外角和等于多少？ 定义了多边形的外角之后，我们自然会想到，什么是多边形的外角和呢？和三角形类似，我们需要为多边形的每一个内角选取一个外角，然后把这些选出来的外角全部加起来，这个总和就是多边形的外角和。大家看这个五边形的例子，我们为每个顶点都选取了一个外角，然后将它们相加。注意，每个顶点只能选一个外角哦。 5 新知讲授 n边形的内角和随着边数的增加而增大，那么n边形的外角和是否也随着边数的变化而变化呢？ n边形的内角和等于（n-2）· 180°. 三角形的外角和等于360°. 四边形的外角和等于360°. 任意多边形的外角和恒为360°， 与边数无关吗？ 定义了多边形的外角之后，我们自然会想到，什么是多边形的外角和呢？和三角形类似，我们需要为多边形的每一个内角选取一个外角，然后把这些选出来的外角全部加起来，这个总和就是多边形的外角和。大家看这个五边形的例子，我们为每个顶点都选取了一个外角，然后将它们相加。注意，每个顶点只能选一个外角哦。 6 新知讲授 n边形的内角和随着边数的增加而增大，那么n边形的外角和是否也随着边数的变化而变化呢？ n边形的内角和等于（n-2）· 180°. 五边形的外角和等于360°. 六边形的外角和等于360°. 任一外角与同它相邻的内角之和是180°. 这6个外角的和与 6个内角的和相加，所得的总和是6×180°. 六边形的内角和是4× 180°. 六边形的外角和等于2× 180°. 明确内外角关系 计算内外角总和 计算内角和 计算外角和 任意多边形的外角和恒为360°， 与边数无关吗？ 定义了多边形的外角之后，我们自然会想到，什么是多边形的外角和呢？和三角形类似，我们需要为多边形的每一个内角选取一个外角，然后把这些选出来的外角全部加起来，这个总和就是多边形的外角和。大家看这个五边形的例子，我们为每个顶点都选取了一个外角，然后将它们相加。注意，每个顶点只能选一个外角哦。 7 六边形的内角和是 4 × 180°. （n-2）· 180°. 新知讲授 n边形的内角和随着边数的增加而增大，那么n边形的外角和是否也随着边数的变化而变化呢？ n边形的内角和等于（n-2）· 180°. 五边形的外角和等于360°. 六边形的外角和等于360°. 任一外角与同它相邻的内角之和是180°. 这 6 个外角的和与 6 个内角的和相加，所得的总和是 6 ×180°. 六边形的外角和等于2× 180°.. 明确内外角关系 计算内外角总和 计算内角和 计算外角和 n边形的外角和等于360°. n n n n n 定义了多边形的外角之后，我们自然会想到，什么是多边形的外角和呢？和三角形类似，我们需要为多边形的每一个内角选取一个外角，然后把这些选出来的外角全部加起来，这个总和就是多边形的外角和。大家看这个五边形的例子，我们为每个顶点都选取了一个外角，然后将它们相加。注意，每个顶点只能选一个外角哦。 8 新知讲授 多边形的外角和定理 多边形的外角和不随着多边形边数的变化而变化，是一个常数． 多边形的外角和等于360°. 从特殊到一般 发现 证明 归纳 观察 现在，最关键的问题来了！我们知道三角形的外角和是360度，那么四边形呢？五边形呢？更一般地，对于任意一个n边形，它的外角和是多少度？它会像内角和一样，随着边数n的增加而不断增大吗？还是说，它是一个固定不变的数值？请大家结合我们刚才回顾的三角形外角和的推导方法，大胆地猜一猜，并尝试和你的同桌讨论一下你的思路。好，我们先来研究四边形。我们完全可以照搬三角形的推导方法。首先，四边形有四个内角和四个外角，每个外角和它相邻的内角互补，所以四个外角和四个内角的总和就是4乘以180度，等于720度。然后，我们用这个总和减去四边形的内角和。四边形的内角和公式是（4-2）乘以180度，等于360度。所以，四边形的外角和就是720度减去360度，结果也是360度！这和三角形的外角和一样！太神奇了！那我们再来验证一下五边形。同样的方法，五个外角和五个内角的总和是5乘以180度，等于900度。五边形的内角和是（5-2）乘以180度，等于540度。用900度减去540度，得到的结果依然是360度！现在大家是不是已经有了一个大胆的猜想？无论多边形有几条边，它的外角和似乎都是360度 我们的猜想是正确的！现在我们用代数的方法来证明这个结论。对于一个n边形，它的内角和公式是（n-2）乘以180度。同时，n个外角和n个内角的总和是n乘以180度。所以，n边形的外角和就等于总和减去内角和，也就是n×180° - (n-2)×180°。我们来计算一下，这个式子展开后等于180n - 180n + 360，最终结果就是360度！这个结果里完全没有n，这就证明了，任意多边形的外角和都等于360度，它是一个恒定不变的数值，和边数n没有关系！这就是我们本节课最重要的定理——多边形的外角和定理。 9 例题讲解 如果一个多边形的每个外角都是72°，那么这个多边形是几边形？ 解　设这个多边形是n边形．根据题意，得 n · 72°＝360° ． 解得 n＝5． 所以，这个多边形是五边形． 多边形的外角和等于360 °. 方法一 利用外角和定理求解 学习了定理，我们就要用它来解决问题。看第一个例题：如果一个多边形的每个外角都是72度，那么它是几边形？我们知道所有外角的和是360度，每个外角都是72度，所以用360除以72，就得到了边数n等于5。所以，这是一个五边形。这个方法很重要，已知每个外角的度数，求边数，就用360度去除以外角度数。 10 例题讲解 如果一个多边形的每个外角都是72°，那么这个多边形是几边形？ 解　设这个多边形是n边形．根据题意，得 n· 108° ＝（n-2）· 180° ． 解得 n＝5． 所以，这个多边形是五边形． 多边形的每个内角都是108°. 方法二 利用内角和定理求解 多边形的内角和等于（n-2）· 180°. 除了直接利用外角和定理，我们还可以通过内角和来求解。首先，根据外角求出每个内角是108度，然后利用内角和公式建立方程，同样可以解得边数为5。这两种方法殊途同归，大家可以根据题目条件灵活选择。 11 已知一个多边形的内角和是外角和的６倍．问：这个多边形是几边形？ 例题讲解 解 设这个多边形是n边形，则它的内角和是（n-2）·180º, 而外角和等于360º. 根据题意，得 ( n-2 )·180º＝6×360º． 解得 n＝14． 所以，这个多边形是十四边形． 多边形的内角和等于（n-2）· 180°. 多边形的外角和等于360 °. 再来看第二个例题，这个稍微复杂一点，需要我们综合运用内角和与外角和定理。题目说，一个多边形的内角和是外角和的6倍，求它是几边形。我们设边数为n，那么内角和就是（n-2）乘以180度，外角和是360度。根据题目中的倍数关系，我们可以列出一个方程：（n-2）×180° = 6 × 360°。解这个方程，先算出右边等于2160度，然后两边都除以180，得到n-2等于12，所以n等于14。这个多边形是十四边形。解决此类问题的关键在于灵活运用内角和公式与外角和定理根据题意列出正确的方程。 12 （2）设小华发现的多边形的边数为n，那个外角对应的 内角为x ° (0<x<180). 根据题意，得 问题探究 小华和小海的对话如下： 小华说：“我发现一个多边形的内角和是2000°.” 小海说：“这是不可能的！你可能是把一个外角当做内角加在了一起．” 根据对话信息回答下列问题： （1）小华的说法对吗？为什么？ （2）如果小海的说法是对的，那么请求出“小华错把外角当作内角”的那个外角的度数． 解 多边形内角和公式为（n-2）· 180° ， 计算结果必为180的整数倍, 2000不能被180整除, 所以，小华的说法不对. （1）小华的说法不对. （n-2）· 180- x +（180- x）=2000． 整理，得 因为n为正整数，所以20+2x一定是180的倍数. 又因为0<x<180，所以x=80或x= 170，则n= 13或n = 14. 从而，那个外角的度数是100 °或10 ° . 接下来我们看一道拓展探究题，这道题能很好地检验大家对多边形内角和与外角性质的理解。首先看第一问，判断内角和为2000度是否可能。我们知道，任何多边形的内角和都必须是180度的整数倍，而2000除以180不是整数，所以小华的说法肯定是错的。再看第二问，如果错误是因为把一个外角当成了内角，我们怎么求这个外角的度数呢？我们可以设边数为n，外角度数为x，根据题意列出方程。关键在于，正确的内角和必须是180的倍数，所以2000减去x之后必须能被180整除。通过计算我们发现，当x等于20度时，2000减20等于1980，正好是180的11倍，所以这个外角就是20度。这道题提醒我们，在计算内角和时，要时刻记住内角和公式的特点。 13 课堂小结 多边形的相关概念 多边形外角和的探究 多边形外角和定理的应用 多边形内角和与外角和 内角和 (n-2) × 180° 其大小随边数n的变化而变化. 外角和 360° 是一个与边数n无关的定值. 类比 方程 内角和的“变”与外角和的“不变” 从特殊到一般 归纳 证明 发现 观察 1.三角形的外角和； 2.多边形的外角和. 多边形的外角和等于360º. 方程法. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 14 数学的本质在于用最不显而易见的方法证明最显而易见的事物． ——乔治·波利亚 结束语 几何的世界里藏着很多看似变化、实则有固定规律的知识，就像多边形，边数增减看似无章，外角和却始终为 360°. 希望同学们在数学学习时，多观察生活中的现象和规律、多动手推导和论证，带着严谨的逻辑思维和探索的好奇心，继续解锁几何学习的乐趣，发现更多数学的美好. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 15 $