精品解析：北京市第一六一中学2025-2026学年第二学期期中阶段练习高二数学

北京市第一六一中学2025-2026学年第二学期期中阶段练习 高二数学 2026.4 本试卷共3页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效. 一、选择题：本大题共12道小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．把正确答案涂写在答题卡上相应的位置. 1. 函数在处的瞬时变化率（ ） A. B. C. e D. 2. 函数的极值点是（　　） A. B. C. D. 3. 如果，a，b，c，成等比数列，那么（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. 12 D. 21 5. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 6. 设是公差为的等差数列，其前项和为，则“”是“，”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 有最大值也有最小值 B. 有最大值无最小值 C. 无最大值有最小值 D. 无最大值也无最小值 8. 某企业今年年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到，每年年底需要扣除下一年的消费基金50万元，剩余资金投入再生产，设该企业从今年起每年年初拥有的资金数依次为则表示与之间关系的递推公式为（ ） A. B. C. D. 9. 关于函数，有以下四个结论： ①为奇函数； ②是的一个极值点； ③在上有且仅有一个零点； ④的值域是 其中正确的个数为（ ） A. B. C. D. 10. 若则（　　） A. B. C. D. 11. 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 12. 已知集合．设集合满足，且对任意的，存在，使得，则的最大值为（ ） A. 51 B. 52 C. 53 D. 54 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题纸中相应的横线上． 13. 曲线在点处的切线方程为，则___________． 14. 函数的单调递增区间为___________，单调递减区间为___________． 15. 已知数列的前项和公式为，则数列的通项公式___________；当___________时，取得最小值． 16. 已知函数，当时，有极小值．写出符合上述要求的一组a，b的值为a= _______ ，b=_______ ． 17. 设曲线y＝xn＋1（n∈N*）在点（1,1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn则x1·x2·…·xn等于_________ 18. 已知函数存在两个极值点，给出下列四个结论： ①函数有零点； ②a的取值范围是； ③； ④． 其中所有正确结论的序号是___________． 三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 已知是等比数列，. （1）求的通项公式； （2）若等差数列满足，，求的前n项和. 20. 已知函数在处取得极值． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求在区间上的最小值和最大值； （3）写出不等式的解集（无需说明理由）． 21. 函数，其中． （1）讨论函数的单调区间； （2）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围． 22. 已知函数 （1）当时，若函数在点处的切线平行于，求点坐标及此时的切线方程； （2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值． 23. 已知数列A：的各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为． （1）若数列A：1，2，4，3，求集合T，并写出的值； （2）若A是递增数列，求证：“”的充要条件是“A为等差数列”； （3）若，数列A由这个数组成，且这个数在数列A中每个至少出现一次，求的取值个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第一六一中学2025-2026学年第二学期期中阶段练习 高二数学 2026.4 本试卷共3页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效. 一、选择题：本大题共12道小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．把正确答案涂写在答题卡上相应的位置. 1. 函数在处的瞬时变化率（ ） A. B. C. e D. 【答案】B 【解析】 【详解】由， 所以函数在处的瞬时变化率为. 2. 函数的极值点是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的定义域及导数，利用导数研究函数的单调性从而确定极值点. 【详解】函数的定义域为，， 令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，是函数的极大值点. 故选：C 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点，属于基础题. 3. 如果，a，b，c，成等比数列，那么（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质求解. 【详解】依题意，，，得， 所以. 故选：B 4. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. 12 D. 21 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件得出数列为等差数列，即可求出其通项公式，进而求出即可代入求值. 【详解】由得，， 因，则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，则， 故. 故选：A 5. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，将条件转化为对任意恒成立，分离参数求出最值，可得实数的取值范围． 【详解】函数求导得， 在上单调递增即对任意恒成立， 即对任意恒成立，也即对任意恒成立. 因为函数在上单调递减，因此的最大值为， 故可得，即. 6. 设是公差为的等差数列，其前项和为，则“”是“，”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由题意“，”，取，说明充分性不成立，对的符号分情况讨论说明必要性成立即可. 【详解】因为“，”等价于“”， 取，，显然满足，但， 所以“”不是“，”的充分条件， 注意到，， 若，则当充分大时，总有， 所以若，则必有， 所以“”是“，”的必要条件， 所以“”是“，”的必要而不充分条件. 故选：B. 7. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 有最大值也有最小值 B. 有最大值无最小值 C. 无最大值有最小值 D. 无最大值也无最小值 【答案】A 【解析】 【分析】通过求导法分析函数单调性，进而判断最值. 【详解】函数的分母恒成立，定义域为. 根据除法求导法则，， 令，得极值点和. 时，，单调递减； 时，，单调递增； 时，，单调递减； 则极小值​，极大值​；且当时，， 因为极小值​，极大值，所以函数的最小值为，最大值为. 因此既有最大值，也有最小值​. 8. 某企业今年年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到，每年年底需要扣除下一年的消费基金50万元，剩余资金投入再生产，设该企业从今年起每年年初拥有的资金数依次为则表示与之间关系的递推公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列式即可得解. 【详解】依题意，，. 故选：A. 9. 关于函数，有以下四个结论： ①为奇函数； ②是的一个极值点； ③在上有且仅有一个零点； ④的值域是 其中正确的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性、极值、零点、值域逐个分析得解. 【详解】， 因为的定义域为，且，所以为偶函数，①错误； 当时，，当且仅当时取等号，因此不是的极值点，②错误； 函数在上单调递增，又，， 所以函数在上有且仅有一个零点，③正确； 是上的连续函数，当时， ； 当时， ； 则可取遍所有实数，值域为，④正确. 综上，正确的结论共个. 10. 若则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，求得，存在，使，得到在上不是单调函数，可判定A、B错误；再设，求得，得到在上单调递减，得到，进而可判定C不正确，D正确. 【详解】设，可得，令，则， 所以在上单调递增，且， 所以存在，使， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在上不是单调函数，无法判断与的大小，故选项A、B错误； 设，可得， 当时，，所以在上单调递减， 又因为，所以，即，所以， 所以C不正确，D正确. 故选：D. 11. 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】求导，设为“拉格朗日中值点”，由题意得到，构造，研究其单调性，结合零点存在性定理得到答案. 【详解】，令为函数在上的“拉格朗日中值点”， 则， 令，则在上恒成立， 故在上单调递增， 又，， 由零点存在性定理可得：存在唯一的，使得. 故选：B 12. 已知集合．设集合满足，且对任意的，存在，使得，则的最大值为（ ） A. 51 B. 52 C. 53 D. 54 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分析可知集合的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26，进而分析的最大值. 【详解】因为，由选项可知的最大值大于3， 若对任意的，，，存在，使得， 则集合的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26， 即或或， 若，则， 解得，此时的最大值为51； 若，则， 解得，此时的最大值为52； 若，则， 解得，此时的最大值为52； 综上所述：的最大值为52 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题纸中相应的横线上． 13. 曲线在点处的切线方程为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据切点在切线上，得到，由导数几何意义得到，相加得到答案. 【详解】曲线在点处的切线方程为，故， 由导数几何意义得到，所以. 14. 函数的单调递增区间为___________，单调递减区间为___________． 【答案】 ①. ； ②. 和. 【解析】 【分析】利用导数求解函数的单调区间即可. 【详解】因为分母不为零，得函数定义域为. 根据分式求导法则得，其中，（）， 当时，，即，故单调递增区间为； 当时，，结合定义域得或 ； 即单调递增区间为；单调递减区间为和. 15. 已知数列的前项和公式为，则数列的通项公式___________；当___________时，取得最小值． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由得通项公式，再讨论情况；由二次函数的性质取最小值即可． 【详解】已知数列前项和，根据， 当时，； 当时，． 当时，​，满足上式， 因此通项公式为. 是开口向上的二次函数，对称轴为，为正整数， 因此当时，取得最小值. 16. 已知函数，当时，有极小值．写出符合上述要求的一组a，b的值为a= _______ ，b=_______ ． 【答案】 ①. 4（不唯一） ②. 5（不唯一） 【解析】 【分析】由极小值的概念及求导法则即可求解. 【详解】当时，无极小值，故， ， 由可得或， 当时，由时，有极小值可知，即， 当时，由时，有极小值可知，即. 所以的一组取值可取， 故答案为：4；5（答案不唯一，满足或即可）. 17. 设曲线y＝xn＋1（n∈N*）在点（1,1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn则x1·x2·…·xn等于_________ 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：对y＝xn＋1（n∈N*）求导得， 令x=1得在点（1，1）处的切线的斜率k=n+1， 在点（1，1）处的切线方程为 不妨设y=0，则 考点：导数的几何意义及直线方程 18. 已知函数存在两个极值点，给出下列四个结论： ①函数有零点； ②a的取值范围是； ③； ④． 其中所有正确结论的序号是___________． 【答案】①④ 【解析】 【分析】求出函数定义域以及导函数.由可说明①正确；由已知，有两个不同的正数解，根据二次函数根的分布即可求出的范围，判断②；根据求根公式，解出，结合②中解出的的范围，可得到，即③错误；根据导函数得出函数的单调性，结合③的解析，可得，即④正确. 【详解】由已知可得，定义域为，. 对于①，因为，所以1是函数的一个零点，故①正确； 对于②，因为函数存在两个极值点，所以有两个不同的正数解，即方程有两个不同的正数解， 则应满足，解得，故②错误； 对于③，解方程可得，，因为，所以，由②知，所以，所以，故③错误； 对于④，由可得，即，所以，所以在上单调递增；解可得，或，所以在上单调递减，在上单调递减. 由③知，所以，故④正确. 故答案为：①④. 三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 已知是等比数列，. （1）求的通项公式； （2）若等差数列满足，，求的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由求出，进而得出的通项公式； （2）由解出首项和公差，再由求和公式计算即可. 【小问1详解】 设公比为，因为，所以 【小问2详解】 设公差为，因为，所以，解得 故 20. 已知函数在处取得极值． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求在区间上的最小值和最大值； （3）写出不等式的解集（无需说明理由）． 【答案】（1）. （2）最小值为，最大值为. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据导数得到切线的斜率以及经过的点求解；（2）利用导数判断函数单调性确定函数最值；（3）将绝对值不等式去绝对值再因式分解求解即可. 【小问1详解】 由函数在处取得极值，求导得， 由极值点处导数为得，解得， 因此，， 当,,当,符合1是函数的极值点，故， ，切线斜率，由点斜式得切线方程，即. 【小问2详解】 由（1）可知，得， 所以在上单调递减，在单调递增； 则，，， 比较可得：最小值为，最大值为. 【小问3详解】 不等式等价于或， 因式分解得或，解得. 21. 函数，其中． （1）讨论函数的单调区间； （2）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1）当时，的单调递增区间为，无递减区间； 时，递增区间为，递减区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）先求导函数，再根据导函数正负判断单调区间； （2）先移项把两个零点问题转化为两个函数有两个交点即可求解. 【小问1详解】 由题可知的定义域为，. 当时，恒成立，因此在上单调递增，无递减区间； 当时，令，解得. 时，，单调递增； 时，，单调递减. 综上，时，的单调递增区间为，无递减区间； 时，递增区间为，递减区间为. 【小问2详解】 在上有两个零点，即方程在上有两个不同实根， 变形得. 令，求导得. 当时，，单调递减；时，，单调递增. 则，，，且. 即与在有两个交点，需满足， 综上，. 22. 已知函数 （1）当时，若函数在点处的切线平行于，求点坐标及此时的切线方程； （2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值． 【答案】（1），切线方程为； （2）2 【解析】 【分析】（1）由直线平行关系及导数的几何意义求切点坐标，进而写出切线方程； （2）先应用特殊值代入满足题意得出，再计算时，求导数得出单调性求出函数的最大值，最大值小于等于零即可得出参数最小值． 【小问1详解】 设点，当时，， 又因为切线平行于， 所以切线斜率， 所以或， 即或， 在直线上舍去， 所以，此时切线方程为； 【小问2详解】 因为不等式恒成立， 所以，， 当时，，即得， 设， 因为为整数且，当时， 则， 当，；，， ∴在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为，则恒成立， 所以整数的最小值符合题意. 23. 已知数列A：的各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为． （1）若数列A：1，2，4，3，求集合T，并写出的值； （2）若A是递增数列，求证：“”的充要条件是“A为等差数列”； （3）若，数列A由这个数组成，且这个数在数列A中每个至少出现一次，求的取值个数． 【答案】（1）； （2）充分性：若A是等差数列，设公差为d． 因为数列A是递增数列，所以． 则当时，， 所以，． 必要性：若． 因为A是递增数列，所以， 所以，且互不相等， 所以． 又， 所以，且互不相等． 所以， 所以， 所以A为等差数列． （3）． 【解析】 【分析】（1）利用列举法写出符合题意的所有的的取值可能，得出的值； （2）先假设数列为递增的等差数列，公差为，则可知，当时，，则可知的最大值为，最小值为，成立；反之若，因为A是递增数列，所以，可推出，那么，又，且互不相等，则可知，所以，可得数列A是等差数列; (3)当数列A由这个数组成，则任意两个不同的数作差，差值只可能为和，共个值，又因为这个数在数列A中共出现次，所以数列A中存在，所以，则可得出，再说明可以取得之间的所有整数，得到的值为. 【详解】解：（1）因为，，，，则的可能情况有： ，，，，，， 所以，． （2）略 （3）因为数列A由这个数组成，任意两个不同的数作差，差值只可能为和． 共个不同的值；且对任意的， m和这两个数中至少有一个在集合T中． 又因为这个数在数列A中共出现次，所以数列A中存在，所以． 综上，，且． 设数列：，此时． 现对数列分别作如下变换： 把一个1移动到2，3之间，得到数列：， 此时，． 把一个1移动到3，4之间，得到数列：， 此时，． 把一个1移动到，n之间得到数列：， 此时，． 把一个1移动到n，之间，得到数列：， 此时，． 再对数列依次作如下变换： 把一个1移为的后一项，得到数列：， 此时，； 再把一个2移为的后一项：得到数列：， 此时，； 依此类推 最后把一个n移为的后一项：得到数列：， 此时，． 综上所述，可以取到从到的所有个整数值，所以的取值个数为． 【点睛】本题考查新定义数列问题，难度较大，解答的关键在于根据数列中项的大小及数字特征分析清楚任意两项的所有可能取值，从而得出的值，注意在解答的过程中，项的顺序不同，的值不同. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $