第八章三角形单元测试培优卷2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

华东师大版数学七（下）第八章三角形单元测试培优卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 2．一副三角板如图所示摆放，若∠1=80°，则∠2的度数是（　　） A．70° B．80° C．95° D．100° 3．如图，已知直线m∥n，∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的度数为（　　） A．80° B．70° C．60° D．50° 4．现有7根木棍，长度(单位： dm)分别是1，2，3，4，5，6，7.从中取出三根木棍围成三角形，其中最长的边为7dm，另两边的差大于2dm.这样的三角形一共有(　　)个. A．2 B．4 C．6 D．8 5．如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，增大了，则的变化情况为（　　） A．增大 B．减小 C．增大 D．减小 6．如图，点是中一点，于点A，于点，连接，，，则度数是（　　） A． B． C． D． 7．如图，把一块含有角（）的直角三角板的直角顶点放在长方形桌面的一个顶点C处，如果，那么（　　） A．50° B．40° C．20° D．10° 8．已知直线，，，射线的反向延长线交于点F，若，则m的值为（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 9．如图，，，，垂足为，平分．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（　　） 结论Ⅰ：； 结论Ⅱ：若（）的度数每增加2°，则的度数会减少1° A．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 B．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 C．只有结论Ⅰ正确 D．只有结论I正确 10．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下面说法中：①：②；③；④．正确的是（　　） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．③④ 二、填空题（每题3分，共18分） 11．如图，在△ABC中，点D在AB上，且∠ACD=∠B，∠BAC的平分线AE交CD于点F，外角∠CAN的平分线AM交BC延长线于点M，若∠M=35°，则∠CFE度数是　 　. 12．如图，数学活动课上，小李同学分别延长△ABC和△DEF的边，边AC，DF的延长线交于点H，边BC，EF延长线交于点G，测得∠G=126°，∠H=84°，则∠A+∠B+∠D+∠E的值为　 　 °. 13．已知的三边，则化简的值是　 　． 14．如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF=　 　度. 15．如图所示，直线，平分，平分，且，则的度数是　 　． 16． 如图， 已知点 C 为两条相互平行的直线 AB， ED 之间一动点， 和 的角平分线相交于 F， 若 ， 则 的度数为　 　. 三、解答题（共10题，共102分） 17．解决多边形问题： （1）一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形? （2）小华在求一个多边形的内角和时，重复加了一个角的度数，计算结果是1170°，这个多边形是几边形? 18．如图1，点E为△ABC边BC的中点，D为线段EC上动点（点D不与点E，C重合），连接AD，DG平分∠ADB，交AB于点G. （1）若∠ADC=120°，求∠BDG的度数； （2）若DM⊥DG交AC于点M. ①求证：DM平分∠ADC； ②如图2，DF⊥AB交AB于点F，连接EF，PF⊥EF交AD于点P，∠DFP+∠B=2∠ADM，请判断AF与PF的大小关系，并说明理由. 19．如图，在中，点D在边上． （1）若，，求的度数； （2）若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长． 20．小明在自主探究多边形的边数与多边形的对角线条数的关系过程中，记录的数据如下： 多边形的边数 3 4 5 6 对角线的条数 0 2 5 9 （1）直接写出过边形的每一个顶点有几条对角线（用含的式子表示）； （2）多边形的对角线条数随着多边形的边数（为正整数）的变化而变化．请你用含的式子表示； （3）直接写出十二边形的对角线的条数． 21．如图，在中，D是边上一点，G是边上一点，过点G作交于点F，E是边上一点，连接，． （1）判断与是否平行，并说明理由． （2）若平分，求的度数． 22． （1）探究：如图(1)，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点 D，若∠B=30°，则∠ACD 的度数是　 　°； （2）拓展：如图(2)，∠MCN=90°，射线 CP 在∠MCN 的内部，点A，B分别在 CM，CN上，分别过点A，B 作AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D，E，若∠CBE=70°，求∠CAD 的度数； （3）应用：如图(3)，点A，B 分别在∠MCN 的边CM，CN上，射线CP 在∠MCN 的内部，点D，E在射线 CP 上，连结AD，BE，若∠ADP=∠BEP = 60°， 则 ∠CAD+∠CBE +∠ACB =　 　°. 23．【定义】在一个三角形中，如果有一个内角是另一个内角的2倍，那么我们称这两个内角互为“开心角”，这个三角形叫作“开心三角形”．例如，在中，，则与互为“开心角”，为“开心三角形”． （1）【理解】 若为“开心三角形”，，则这个三角形中最小的内角度数为　 　． （2）若为“开心三角形”， ，则这个三角形中最小的内角度数为　 　． （3）【应用】 如下图，平分的内角，交于点E，平分的外角，分别延长和，交于点P．已知，若在“开心三角形”中，与另一个角互为“开心角”，设，求的值． 24．在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC. （1）如图（1），AD⊥BC 于 D，若∠C=75°， ，求∠EAD的度数. （2）如图（1），AD⊥BC 于 D，判断∠EAD= 是否成立，并说明你的理由. （3）如图（2），F为AE上一点，FD⊥BC于 D，这时∠EFD与∠B，∠C 又有什么数量关系?（不用证明） 25． 核心素养几何直观 在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，点 P 是线段AB上一点(不与A，B重合)，连结CP. （1）当∠B=72°时，回答下列问题： ①若∠CPB=54°，则△ACP “倍角三角形”(填“是”或“不是”)； ②若△BPC 是“倍角三角形”，求∠ACP 的度数. （2）当△ABC，△BPC，△ACP 都是“倍角三角形”时，求∠BCP 的度数. 26．直线，垂足为点O，点A、B分别在射线、上运动，点A、B均不与点O重合． （1）如图1，平分，平分，若，求的度数； （2）如图2，平分，平分，的反向延长线交射线于点D．在A、B两点运动的过程中，的度数是否发生变化?若不变，试求的度数；若变化，请说明变化规律． （3）如图3，已知点E在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于的点F、G，在中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请求出的度数． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【分析】首先设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2)，即可得方程180（n﹣2)=1080，解此方程即可求得答案． 【解答】设这个多边形的边数为n， 根据题意得：180（n﹣2)=1080， 解得：n=8． 故选C． 【点评】此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，注意熟记公式是准确求解此题的关键，注意方程思想的应用． 2．【答案】C 【解析】【解答】解：如图， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：C. 【分析】根据三角形外角的性质和对顶角相等解答即可． 3．【答案】B 【解析】【解答】解：如图， ∵m∥n， ∴∠1=∠4=40°， ∵∠5=180°-∠2-∠4=180°-30°-40°=110°， ∴∠3=180°-∠5=180°-110°=70°. 故答案为：B. 【分析】利用两直线平行，同位角相等，可求出∠4的度数；再利用三角形的内角和为180° ，可得到∠5=180°-∠2-∠4，代入计算求出∠5的度数；然后利用∠3=180°-∠5，由此可求出∠3的度数. 4．【答案】A 【解析】【解答】解：从1到6中选取两个数作为另两边，且差大于2，可能的组合有：(1， 4)、(1， 5)、(1， 6)、(2，5)、(2， 6)、(3， 6)、 对于每一种组合，判断是否满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 (1，4，7)：1+4=5<7，不满足三边关系，不能围成三角形。 (1，5，7)：1+5=6<7，不满足三边关系，不能围成三角形。 (1，6，7)：1+6=7=7，不满足三边关系，不能围成三角形。 (2，5，7)：2+5=7=7，不满足三边关系，不能围成三角形。 (2，6，7)：2+6=8＞7，满足三边关系，能围成三角形。 (3，6，7)：3+6=9>7，6-3=3<7，满足三边关系，可以围成三角形。 满足条件的三角形有(2， 6， 7)、(3， 6， 7)2种。 故答案为：A . 【分析】根据 最长的边为7dm， 可从1到6中选取两个数作为另两边，且差大于2，可能的组合有：(1， 4)、(1， 5)、(1， 6)、(2，5)、(2， 6)、(3， 6)，对于每一种组合，判断是否满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。进而即可得出答案。 5．【答案】C 【解析】【解答】解：起吊物体前，设， ，支撑臂为的平分线， ， ； 物体被吊起后， 机械臂的位置不变，，， ， 增大了， ， ， ， 的变化情况为增大． 故选：C． 【分析】起吊物体前，设，根据角平分线定义可得，再根据三角形外角性质可得，物体被吊起后，根据角之间的关系可得，由题意可得，再根据三角形外角性质可得，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案. 6．【答案】D 【解析】【解答】解：∵，， ∴ ∵， ∴在四边形中， ∵， ∴ 故选：D． 【分析】根据四边形内角和可得∠APB，再根据三角内定理即可求出答案. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：如图 ∵四边形为长方形， ∴， ∴， ∵为的外角，且， ∴． 故答案为：D． 【分析】利用正方形的性质可证得EF∥CD，利用两直线平行同位角相等求出的度数，根据为三角形的外角，利用外角性质求出的度数即可． 8．【答案】B 【解析】【解答】解：延长AB交FN的延长线于点P，如图， ∵ AB∥DE， ∴ ∠NDE=∠FPB， ∵ ∠ABM=∠FBP， ∴ ∠F=180°-∠ABM-∠NDE， ∵ ∠CBM=m∠ABM，∠CDN=m∠NDE， ∴ 四边形BCDF中，∠FBC+∠C+∠CDF+∠F=360°， 即180°-∠CBM+∠C+180°-∠CDN+∠F=360°， ∴ 180°-m∠ABM+∠C+180°-m∠NDE+∠F=360°， ∴ 360°-m(180°-∠F)+∠C+∠F=360°，即(m+1)∠F+∠C=180°m， ∵ 4∠F+∠C=540°， ∴ m=3. 故答案为：B. 【分析】延长AB交FN的延长线于点P，根据平行线的性质可得∠NDE=∠FPB，根据三角形的内角和得∠F=180°-∠ABM-∠NDE，根据四边形的内角和列出等式可得(m+1)∠F+∠C=180°m，即可求得m的值. 9．【答案】A 【解析】【解答】解：， ∠AEF+∠EFC=180°， ， ∠ACF+∠EFC=180°， （同旁内角互补，两直线平行）， 结论Ⅰ正确； ， ∠CEG=90°， ∠A+∠ACF=180°， ∠ACF=180°-∠A， 平分， ∠ECG=， ∠EGD=∠CEG+∠ECG=90°+90°-=180°-， （）的度数每增加2°，则的度数会减少1° ， 结论Ⅱ正确； 综上， 结论Ⅰ、Ⅱ都正确. 故答案为：A. 【分析】根据平行线的性质及判定定理即可判断结论 Ⅰ 正确；先根据平行线的性质得到∠ACF=180°-∠A，再根据角平分线的定义得到∠ECG=，再利用三角形外角的性质表示出∠EGD与∠A的数量关系，即可判断Ⅱ正确. 10．【答案】C 【解析】【解答】解：∵是的中线， ∴， ∴，故①正确； ∵是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； 根据已知条件无法证明，故④错误， 综上所述，正确的是①②③． 故选：C． 【分析】本题主要考查三角形的中线，高线，角平分线，由是的中线，得到，可判定①正确；由是的高线，得到，再由为的角平分线，得到，结合三角形外角的性质，求得，可判定②正确；根据角平分线的定义，可求解③；根据已知条件无法判定④． 11．【答案】55° 【解析】【解答】解：∵的平分线交于点，外角的平分线交延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵，且， ∴， 故答案为：． 【分析】根据角平分线的定义可得，即可得到，根据三角形的内角和定理求出，利用三角形外角得到解答即可． 12．【答案】210 【解析】【解答】解：由三角形外角性质可知：∠A+∠B=∠ACG，∠D+∠E=∠DFG， ∵∠G=126°，∠H=84° ∴∠GCH+∠GFH=360°-126°-84°=150°， ∴∠ACG+∠DFG=360°-150°=210°， ∴∠A+∠B+∠D+∠E=210° 则∠A+∠B+∠D+∠E的值为210°， 故答案为：210. 【分析】根据三角形外角性质得出∠A+∠B=∠ACG，进而利用四边形的内角和解答即可. 13．【答案】 【解析】【解答】解：∵在中，，， ，， ． 故答案为：． 【分析】先利用三角形三边的关系可得，，再去掉绝对值，然后合并同类项即可. 14．【答案】74° 【解析】【解答】∵∠A=40°，∠B=70°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=70°.∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE= ∠ACB=35°.∵CD⊥AB于D，∴∠CDA=90°，∠ACD=180°﹣∠A﹣∠CDA=50°. ∴∠ECD=∠ACD﹣∠ACE=15°.∵DF⊥CE，∴∠CFD=90°，∴∠CDF=180°﹣∠CFD﹣∠DCF=75°. 【分析】根据三角形内角和求出∠ACB=70°，利用角平分线的定义可得∠ACE= ∠ACB=35°.根据三角形内角和可得∠ACD=50°，从而求出∠ECD=∠ACD﹣∠ACE=15°，在Rt△CFD中，利用三角形内角和即可求出∠CDF的度数. 15．【答案】 【解析】【解答】解：设NF交AB于点H，过E作PE∥AB，如图： 设，， 平分，平分， ，，，， ，， ， ，，， ， 又， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【分析】设NF交AB于点H，过E作PE∥AB，设，，根据角平分线的定义得，，，，由平行于同一直线的两条直线互相平行得PE∥AB∥CD，由二直线平行，同位角相等（内错角相等）得，，，由角的和差可得，由三角形外角相等得，然后根据可求出，据此即可求出的度数． 16．【答案】120° 【解析】【解答】解：∵∠ABC和∠CDE的平分线交于点F ∴∠ABE=∠EBC，∠ADE=∠ADC ∵DE∥AB ∴∠BED=∠ABE=∠EBC，∠BAD=∠ADE=∠ADC 设∠BED=∠ABE=∠EBC=x，∠BAD=∠ADE=∠ADC=y 在中，由外角性质可知∠BFD=x+y ∵ ∴ 在四边形BCDF中，由四边形内角和为360°可得 化简得x+y=120° ∴ 故答案为：120° . 【分析】本题主要条件是一组平行线，两条角平分线，解题中需将几者之间涉及的角关联起来，再结合多边形内角和公式整体求出∠BFD的大小，最后利用两个角之间的数量关系即可求∠BCD的度数。 17．【答案】（1）解：设这个多边形是n边形， 由题意得： 解得n=8， 答：这个多边形是八边形 （2）解：设这个多边形是n边形，重复加的一个角的度数为x，则 由题意得： 解得 则 即 解得 ∵n为正整数， ∴n=8， 答：这个多边形是八边形. 【解析】【分析】（1）设这个多边形是n边形，再根据三角形内角和与外角和性质建立方程，解方程即可求出答案. （2）设这个多边形是n边形，重复加的一个角的度数为x，则 ，根据题意建立方程可得，再根据角之间的关系可得，再求出整数即可求出答案. 18．【答案】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴． （2）解：①证明：∵DM⊥DG， ∴∠GDM=90°， ∴∠ADG+∠ADM=90°，∠BDG+∠CDM=90°， ∵DG平分∠ADB， ∴∠BDG=∠ADG=ADB， ∴∠ADM=∠CDM， ∴DM平分∠ADC； ②解：AF与PF的大小关系为AF＞PF，理由： 由（2）①知：DM平分∠ADC， ∴∠ADC=2∠ADM． ∵DF⊥AB， ∴∠BFD=90°， ∴∠BFE+∠DFE=90°． ∵PF⊥EF， ∴∠PFE=90°， ∴∠DFE+∠PFD=90°． ∴∠PFD=∠BFE， ∵∠DFP+∠B=2∠ADM， ∴∠BFE+∠B=2∠ADM=∠ADC， ∵∠FEC=∠BFE+∠B， ∴∠FEC=∠ADC， ∴FE∥AD， ∵PF⊥EF， ∴PF⊥AD， ∴∠APF=90°， ∵斜边大于直角边， ∴AF＞PF 【解析】【分析】（1）根据邻补角的定义得到，然后根据角平分线的定义解答即可． （2）①根据垂直的定义得到得出，然后根据等交的余角相等得到结论即可； ②根据垂直得出，然后利用外角得到，证出，即可证，即可得到，再根据垂线段最短证明即可． 19．【答案】（1）解：， ， ， ， 的度数是； （2）解：为的中线， ， ∵的周长比的周长大3， ∴，即， ，即， 解得：， 即的长为8． 【解析】【分析】 （1）根据三角形外角的性质计算，再根据三角形的内角和定理计算得，计算角度解答即可； （2）根据三角形中线的定义可得，再根据的周长比的周长大3，建立线段的和差关系计算得到AB-AC=3，从而可求得AC的长，解答即可． （1）解：， ， ， ， 的度数是； （2）解：为的中线， ， ∵的周长比的周长大3， ∴，即， ，即， 解得：， 即的长为8． 20．【答案】（1）解：从n边形的一个顶点出发可以引出的对角线条数为. （2）解：边形有个顶点， 所有对角线有条，但每条对角线重复一次， 边形所有对角线的条数为. （3）54 【解析】【解答】（3）解：将代入，得：， ∴十二边形的对角线的条数为54． 故答案为：54. 【分析】（1）利用多边形的对角线的定义及数量与边数的关系（连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．从n个顶点出发引出n（n-3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n-3）（n≥3，且n为整数））分析求解即可； （2）利用（1）的计算方法可得规律n边形所有对角线的条数为； （3）利用（2）的规律直接求解即可. （1）解：从n边形的一个顶点出发可以引出的对角线条数为； （2）解：边形有个顶点， 所有对角线有条，但每条对角线重复一次， 边形所有对角线的条数为； （3）解：将代入，得： ， ∴十二边形的对角线的条数为54． 21．【答案】（1）AC∥DE，理由如下： ∵FG∥CD， ∴∠1+∠ACD=180°， 又∵∠1+∠2=180°， ∴∠ACD=∠2， ∴AC∥DE． （2）设∠A=x°， ∵AC∥DE， ∴∠A=∠EDB=x°， ∵∠CED=3∠A+20°， ∴∠CED=3x°+20°， 又∵∠B=80°， ∴x+80=3x+20， 解得x=30， 又∵DE平分∠BDC， ∴∠2=∠BDE=30°， 又∵AC∥DE， ∴∠ACD=∠2=30°． 【解析】【分析】（1）利用平行线得出同旁内角互补，然后根据内错角相等得出两直线平行即可； （2）设，表示出相关角的度数，利用三角形的外角列出方程求解即可． 22．【答案】（1）30 （2）解：因为 BE⊥CP，所以∠BEC=90°.因为∠CBE=70°，所以∠BCE=90°-∠CBE=20°.因为∠MCN = 90°， 所以 ∠BCE=70°.因为 AD⊥CP，所以∠CAD =90°-∠ACD=20°. （3）120 【解析】【解答】解：(1)在△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，所以∠A = 60°. 因为 CD ⊥AB，所以∠ADC=90°，所以. 故答案为：30. (3)因为∠ADP 是△ACD 的一个外角，所以∠ADP=∠ACD+∠CAD=60°，同理，∠BEP=∠BCE+∠CBE=60°，所以∠CAD+∠CBE+∠ACB=∠CAD+∠CBE+∠ACD+∠BCE=(∠CAD+∠ACD)+(∠CBE+∠BCE)= 120°. 故答案为：120. 【分析】(1)利用直角三角形的性质依次求出. 即可； (2)利用直角三角形的性质直接计算得出即可； (3)利用三角形的外角的性质得出结论，直接转化即可得出结论. 23．【答案】（1）16° （2）30°或40° （3）解：分两种情况讨论：①当∠BAE与∠B互为“开心角”时，∠BAE 或∠BAE=2∠B. ∵AD平分∠BAC，CD平分∠BCF， ∴∠BAC=2∠BAE，∠BCF=2∠BCD. ∵∠B+∠BAC=∠BCF，∠BCD=∠B+∠P， ∴∠B+2∠BAE=2(∠B+∠P)，即 或α+2×2α=2(α+30°)， 解得α=20℃第一个方程无解，即 不成立)； ②当∠AEB 与∠B 互为“开心角”时， 或∠AEB=2∠B， 即 或∠BAE=180°-3∠B. 同①可得 或α+2×(180°-3α)=2(α+30°)，解得α=75°或 综上所述，α的值为20°或75°或 【解析】【解答】解： (1) 若△ABC为开心三角形， ∠A=132°， 当∠A =2∠B时， ∠B = 66°， 此时∠A+∠B>180°， 舍去； 当∠A = 2∠C时， ∠C = 66°， 此时∠A+∠C>180°， 舍去； ∴∠B=2∠C或∠C=2∠B， 设这个三角形中最小的内角为α， 则α+2α= 180°-132°= 48°， ∴α=16°， 故答案为：16； (2)若△ABC为开心三角形， ∠A = 60°， 当∠A是开心角时，最小的内角为30°； 当∠A不是开心角时， 设这个三角形中最小的内角为α， 则α+2α= 180°-60°=120°， ∴α=40°； 故答案为： 30°或40. 【分析】(1)先判断∠A不是开心角，然后设这个三角形中最小的内角为α， 则α+2α=180°-132°=48°，即可求出这个三角形中最小的内角的度数； (2)分两种情况讨论：当∠A是开心角时，最小的内角为30°；当∠A不是开心角时，设这个三角形中最小的内角为α， 则α+2α=180°-60°=120°；从而求出这个三角形中最小的内角的度数. (3)分为∠BAE与∠B互为“开心角”或∠AEB 与∠B 互为“开心角”两种情况，根据角平分线的定义，三角形的外角性质列方程求出α的值解答即可. 24．【答案】（1）解：∵∠C=75°，∠B=35°， ∴∠BAC=180°-∠C-∠B=70°. ∵ AE 平分∠BAC， 又∵AD⊥BC， ∴ ∠DAC= 90° - ∠C = 15°， ∴ ∠EAD =∠EAC-∠DAC=20°. （2）解：成立. 理由如下：∵ AE 平分∠BAC， （3）解： 如图，过A作AG⊥BC 于 G. 由 (2) 知， 90°. ∵ FD⊥BC， ∴∠FDG=90°， ∴ ∠AGC=∠FDG， ∴FD∥AG， ∴∠EFD=∠EAG， 【解析】【分析】⑴根据三角形内角和定理得∠BAC的度数，再根据角平分线定义得∠EAC的度数，最后根据直角三角形两锐角互余得 ∠EAD的度数 . ⑵根据三角形内角和定理、角平分线定义及直角三角形两锐角互余推理可得. ⑶借助（2）的结论，结合平行线性质得∠EFD=∠EAG，从而得到. 25．【答案】（1）解：①是； ②因为∠B=72°，△BPC 是“倍角三角形”，所以△BCP 三个内角的度数分别是 72°，72°， 36°， 所以 ∠BCP = 36°或 72°， 所以∠ACP=54°或18°. （2）解：△ABC 是“倍角三角形”时，有两种情况，即△ABC是含有45°角的直角三角形或含有60°角的直角三角形， 如图(1)，当∠A=∠B=45°，CP⊥AB时，满足条件，此时∠BCP=45°. 如图(2)，当∠A=60°，CP⊥AB 时，满足条件，此时∠BCP=60°. 如图(3)，当∠A=60°，∠BPC=100°时，满足条件，此时∠BCP=50°. 如图(4)，当∠B=60°，∠APC=100°时，满足条件，此时∠BCP=40°. 如图(5)，当∠B=60°，∠APC=90°时，满足条件，此时∠BCP=30°. 综上所述，满足条件的∠BCP 的度数为30°或40°或45°或50°或60° 【解析】【解答】解：(1)①因为∠ACB=90°，∠B=72°，所以.因为∠CPB=54°，所以∠CPA=126°，所以∠ACP=36°，所以∠ACP=2∠A，所以△ACP 是“倍角三角形”. 故答案为：是. 【分析】(1)①求出△APC中各个内角的度数，即可判断； ②由∠B=72°，△BPC是“倍角三角形”，推出△BCP内角的度数分别是72°，72°，36°，由此可求出∠ACP的度数； (2)△ABC是“倍角三 角形”时，有两种情况：①含45°角的直角三角形；②含60°角的直角三角形，再分类讨论解决. 26．【答案】（1）解：∵直线，∴，， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴． （2）解：的度数不变，求解过程如下：∵直线， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． （3）解：∵直线，∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ①当时，则，符合题意， ∴， ∴， ∴； ②当时，则， ∴，不符合题意，舍去； ③当时， ∵， ∴，不符合题意，舍去； ④当时， ∵， ∴，符合题意， ∴， ∴， ∴， 综上，的度数为或． 【解析】【分析】 （1）根据垂直定义和三角形的内角和定理先求出，再由角平分线的定义可得，，最后根据三角形的内角和定理即可解答； （2）先根据垂直的定义可得，再根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形的外角性质求解即可得；（3）先根据垂直的定义和角平分线的定义，说明，，再根据题意分四种情况：①，②，③和④，分别求出的度数，再根据三角形外角的性质和角平分线的定义即可解答． （1）解：∵直线， ∴，， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴． （2）解：的度数不变，求解过程如下： ∵直线， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． （3）解：∵直线， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ①当时，则，符合题意， ∴， ∴， ∴； ②当时，则， ∴，不符合题意，舍去； ③当时， ∵， ∴，不符合题意，舍去； ④当时， ∵， ∴，符合题意， ∴， ∴， ∴， 综上，的度数为或． 学科网（北京）股份有限公司 $