第8章 三角形（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材华东师大版七年级下册

第8章 三角形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“从边形的一个顶点出发可以引条对角线，这些对角线将边形分成个三角形”确定的值，再代入内角和公式：（，为正整数）进行计算即可． 【详解】解：∵过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，设该多边形的边数为， ∴， 解得：， ∴这个多边形的内角和是：． 2．平面内，将长度分别为1，4，2，的线段，顺次首尾相接构成如图所示的凸四边形，则的值可能是（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】B 【分析】设这个凸四边形为，连接，设，在中，根据三角形三边关系得，从而得出，，在中，根据三角形三边关系得，即可得出，从而解答即可． 【详解】解：如图，设这个凸四边形为，连接，设， 在中，，即， ∴，， 在中，， ∴， 观察四个选项可知，只有选项B符合． 3．在下列条件中不能确定是直角三角形的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定，掌握三角形内角和是关键；通过三角形内角和为，分别验证各选项是否能推出一个角为；选项A、B、C均能推出直角三角形，选项D计算后无角，故不能确定． 【详解】解：选项A：∵ ，且 ， ∴， ∴，能确定直角三角形； 选项B：设，则， ∴， ∴，能确定直角三角形； 选项C：∵ ， ∴， 又， ∴ ，能确定直角三角形； 选项D：设，则，， ∴， ∴，，不能确定直角三角形； 故选：D． 4．如图，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记与相交于点M，根据平行线的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，记与相交于点M， ∵， ∴． ∵， ∴． 5．如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变，则这种数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠的性质和平角的定义可知，再根据三角形内角和定理得，将三个式子结合可得答案． 【详解】解：根据折叠可知， 即． ∵， ∴， 即， ∴． 6．下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和，根据平行线性质对各选项进行逐一分析即可．熟知平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：A、作，则可得， ，故该选项不符合题意； B、作，则可得， ，故该选项不符合题意； C、如图，过点作， ， 则可得，，， ， 故该选项不符合题意， D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意， 故选：D． 7．如图，分别是的高、中线，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的面积，三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质． 根据高和面积求出三角形的底边，然后根据三角形中线的性质进行求解即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴． 故选：B． 8．如图，的顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格格点上，则边上的高等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积计算．利用等积法求解是解题关键．由图可知，且其边上的高为，即可求出．由勾股定理可求出，设边上的高为x，结合三角形面积公式可列出关于x的方程，解出x的值即可． 【详解】解：由图可知，且其边上的高为2， ∴． 由图可知， 设边上的高为x， ∴， ∴， 解得：， ∴边上的高是． 故选：B． 9．把一根8厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形，第一剪不符合要求的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形三边之间的关系：三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边；据此解答． 【详解】解：B选项中，左边部分等于右边部分，不管是右边部分分成2段，还是左边部分分成2段，都等于另一部分，不符合三角形三边关系，不能围成三角形； A，C，D选项符合要求， 故选：B． 10．如图，，点在平行线之间．连接并延长，与直线交于点；连接并延长，与直线交于点，与的角平分线交于点，且．若，，则一定等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作，过点作，设，根据平行线的性质及角平分线得到，，，再根据，得到，由三角形内角和即可求得． 【详解】解：如图，过点作，过点作， 设， ， ，． 与的角平分线交于点， ，． ． ，， ． ，． ． ． ，， ． ，． ． ． ， ． ． ． ． 11．如图，中，与分别是和的平分线，相交于点，于点，于点，，相交于点，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过四边形内角和定理和对顶角相等得出，所以，然后通过角平分线定义与三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵于点，于点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵与分别是和的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．如图，在中，、分别是高线和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高线和角平分线、三角形的内角和定理及外角的性质、同角的余角相等等知识，正确运用三角形的高线、角平分线的概念以及三角形的内角和定理是解题的关键． ①根据，，以及即可推出；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明即可；③证明，由①知：即可证明；④由同角的余角相等证明，再根据三角形外角的性质及角平分线的性质即可推出，即可判断． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴．故①符合题意； ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴．故②符合题意； ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． 由①知：， ∴．故③符合题意； ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴， ∴．故④符合题意； 综上可知，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，在平面镶嵌中，要求在同一个拼接点处，这几个多边形的内角拼接后恰好组成一个周角（即）．若用边长相等的正三角形、正方形和正六边形这三种平面图形进行镶嵌，在同一个拼接点处正三角形、正方形和正六边形的个数分别为x、y、z，其中x、y、z均为正整数，则______． 【答案】 【分析】本题考查的是平面镶嵌，三元一次方程的正整数解的应用，根据平面镶嵌可得，即，再求解正整数解即可得到答案. 【详解】解：∵用边长相等的正三角形、正方形和正六边形这三种平面图形进行镶嵌，在同一个拼接点处正三角形、正方形和正六边形的个数分别为x、y、z， ∴， ∴， ∴方程的正整数解：， ∴， 故答案为： 14．（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则，之间的数量关系_____． （2）在图2中和的平分线和相交于点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是_____． 【答案】 【分析】（1）根据三角形的内角和得到，由对顶角相等即可得到结论； （2）根据题意可得，得到，根据角平分线得到，再根据得到，即可得到答案． 【详解】解：（1） 而， ； （2），， ， ， 和的平分线和相交于点， ， ， ． 15．如图，是的中线，，分别为，的中点，若的面积为6，则的面积是_____． 【答案】24 【分析】本题主要考查了三角形的中线的应用， 先求出，进而求出，再根据三角形中线的定义得，然后求出，最后根据得出答案． 【详解】解：∵点F是的中点， ∴ ， ∴． ∵点D是的中点， ∴ ． ∵点E是的中点， ∴ ， ∴． 故答案为：24． 16．如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得，则___________度． 【答案】 59.6 【分析】根据三角形外角性质和对顶角性质得，根据平行线的性质得． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∴， 根据题意可知， ∴． 17．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法中正确的序号 __________ ． ①的面积等于的面积；②；③；④． 【答案】①②③ 【分析】由条件可得，即可判断①正确；由同角的余角相等可得，由角平分线的定义得出，从而可得，即可判断②正确；由条件可得，再结合同角的余角相等得出，即可判断③正确；由即可判断④错误． 【详解】解：由条件可得， ∴，故①正确，符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，故②正确，符合题意； 由条件可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确，符合题意； ∵， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①②③． 18．如图，中，，点分别是上的点，，，连接交于点．当四边形的面积为时，线段长度的最小值为______． 【答案】 【分析】过点作于点，连接，根据题意得出，，，设，，，建立方程组，解方程组，进而根据垂线段最短，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， 设，，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴，， 联立， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最小为． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．已知边形（且为整数）的内角和公式为，边形的外角和为． (1)一个多边形的内角和比它的外角和的2倍少，求这个多边形的边数； (2)如图，分别平分，，，求的值． 【答案】(1)5 (2)120度 【分析】本题考查多边形的内角和和外角和问题，熟练掌握边形的内角和公式以及边形的外角和为，是解题的关键： （1）根据题意，列出方程进行求解即可； （2）根据四边形的内角和为360度，求出的度数，再根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为，依题意，， 解得， 这个多边形的边数为5． （2）解：四边形的内角和为， ， ， 又分别平分，， ∴， ， ． 20．如图是一组正多边形，观察每个正多边形中 的变化情况，解答下列问题． (1)将表格补充完整； 正多边形的边数 3 4 5 6 的度数 ________ ________ ________ ________ (2)观察上面表格中 的变化规律， 的度数与正多边形的边数的关系为______； (3)根据规律，当时，正多边形的边数__________． 【答案】(1)；；； (2) (3)10 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、多边形内角的计算及观察总结能力，解题的关键是利用多边形内角的计算公式计算内角，并与等腰三角形两底角相等结合应用． （1）先根据多边形的内角公式求出每一个内角的度数，再根据多边形的性质每条边都相等，得到等腰三角形，结合三角形内角和定理，即可求出的度数； （2）根据（1）中的数据总结规律； （3）引用（2）中总结的公式计算即可． 【详解】（1）解：∵正多边形每个内角的度数为， ∴，， ，， 正五边形的内角为，此时， 正六边形的内角为，此时， 故答案为：；；；． （2）解：观察（1）中的结论， ，， ，， ，， ，， 总结规律，则有． （3）解：根据（2）中规律， 当时，即 ∴该正多边形的边数， 故答案为：10． 21．在四边形中，． (1)如图①，若和的平分线交于点，则的度数为___________； (2)在（1）的条件下，若延长交于点(如图②)，将原来的条件“”改为“”，其他条件不变，的度数会发生变化吗？若不变，请说明理由；若变化，求出的度数． 【答案】(1)； (2)的度数不变，为 【分析】本题考查四边形内角和定理、角平分线的定义、三角形内角和定理．关键是通过内角和关系，结合角平分线求出相关角的和，进而计算目标角． （1）先利用四边形内角和求出的度数，再根据角平分线性质得到的度数，最后用三角形内角和求出； （2）先在中利用三角形内角和求出的度数，再结合角平分线性质得到的度数，进而求出，判断度数是否变化． 【详解】（1）解：∵四边形的内角和为，，， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∴； 在中，； 故答案为：． （2）解：的度数不会发生变化，理由如下： 在中，， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∴； 在中，； 答：的度数不变，为． 22．好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列个问题，请你帮她解决．如图，在中，点是、的平分线的交点，点是、平分线的交点，，的延长线交于点． (1)若，求； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用角平分线和三角形内角和，推导出． （2）先证，然后根据求出，再根据三角形的外角性质得到关系式，求解． 【详解】（1）解：， ， 平分，平分， ，， ， ． （2）解：平分，平分， ，， ， ，即， ， ，解得， 设，， ∴，， 解得． 23．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若，，且c为整数，求的周长； (3)直接写出化简结果：________． 【答案】(1)等边三角形 (2)11或12或13 (3) 【分析】（1）根据非负数的性质即可得出结论； （2）根据三角形的三边关系结合c是整数即可求解； （3）根据三角形的三边关系得出，，，然后化简绝对值，再去括号合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：∵，， ∴，即， ∵c为整数， ∴， ∴当时，的周长， 当时，的周长， 当时，的周长， ∴的周长是11或12或13． （3）解：∵的三边长分别为a，b，c， ∴，，， ∴，，， ∴原式 ． 24．解答下列各题： (1)如图，，顶点F在直线上，边、分别与直线交于点M、H，且，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下分别作与的平分线、交于点N，直线与交于点Q，． ①直接写出的度数为______（用含有的式子表示）． ②求的度数（温馨提示：三角形的内角和为）． (3)如图3，在（1）的条件下作的角平分线，过点H作一条射线，交直线于点P，当时，请直接写出与的关系式． 【答案】(1)见解析 (2)①．②； (3)或 【分析】（1）由，得，结合已知，推得，根据同位角相等，即可求证； （2）①根据平分，，可得，由，则；②根据平分得，由三角形内角和，进而计算即可； （3）分在上下两种情况，作，设，结合角平分线和平行线的性质进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，顶点F在直线上， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：①∵是的角平分线，， ∴． ∵， ∴； 故答案为：； ②∵， ∴， ∵， ∴． ∵是的角平分线， ∴， ∵三角形的内角和为， ∴， ∴ ， （3）解：①当P在的上方时，如图所示，过点P作， 设， ∵平分， ∴， 则， ∵， ∴ ， ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当P在的下方时，过点P作，如图所示， 设， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题核心是平行线的判定与性质、角平分线的定义，通过角度等量代换证平行，结合分类讨论思想推导角度关系，关键是辅助线构造与角度的转化． 25．如图1，，的平分线交于点G，． (1)试说明：； (2)如图2，线段上有点P，满足，过点C作． ①若在直线上取一点M，使，求的值是 ； ②若，将绕点B旋转，当 °时，的一边与平行． 【答案】(1)证明详见解析； (2)①5，；②75或120或60或105 【分析】（1）根据平行线的性质与角平分线即可证明． （2）①有两种情况： I）当在的下方时，如图5，设，先根据已知计算，，根据平行线的性质得：，根据角的和与差计算，的度数，可得结论； II）当在的上方时，如图6，同理可得结论． ②当时，当，分别分顺时针与逆时针旋转，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， 平分， ； （2）解：①有两种情况： I）当在的下方时，如图5， 设， ， ，， ∵， ， ， ， ， ， ； II）当在的上方时，如图6， 同理得：， ， ． 综上，的值是5或． ②将绕点B旋转后， 当时，如图， I）当逆时针旋转时， ∵ 又∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 由（1）知： ∴ ∴； II）当顺时针旋转时， ∵， ∴ ∴ ∴； 当，如图， I）当逆时针旋转时， ∵， ∴，， 同理， ∴ II）当顺时针旋转时， ∴； 综上，将绕点B旋转，当逆时针旋转时，或，当顺时针旋转时，或，的一边与平行． 26．我们知道：光反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射角等于入射角．如图1，为入射光线，入射点为．为法线（过入射点且垂直于镜面的直线），为反射光线，此时反射角等于入射角． 根据以上材料完成下面问题： (1)如图2，一束光线沿方向射入，先后经过平面镜反射后，沿方向射出，，法线交于点．交的延长线于点，试探究与之间的数量关系并加以证明； (2)如图3，入射光线经过平面镜和处的平面镜两次反射后，得到反射光线．入射光线和反射光线的反向延长线交于点． ①若，反射光线与平行，此时为多少度． ②若，平面镜绕点旋转，是否存在一个定值，使得总是成立，若存在请求出值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②2，理由见解析 【分析】（1）根据同角的余角相等以及对顶角相等证明； （2）①根据直角三角形的性质，平行线的性质，得出角的关系，利用角的和差以及三角形的外角定理进行求解； ②根据三角形的外角定理以及内角和定理，直角三角形的性质进行求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 根据题意得，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：①∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 解得， ∴； ②，理由如下： ， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】注意角的和差，三角形内角和定理，三角形外角定理，直角三角形的性质，平行线的性质的灵活应用． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 三角形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 2．平面内，将长度分别为1，4，2，的线段，顺次首尾相接构成如图所示的凸四边形，则的值可能是（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 3．在下列条件中不能确定是直角三角形的条件是（   ） A． B． C． D． 4．如图，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 5．如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变，则这种数量关系是（   ） A． B． C． D． 6．下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，分别是的高、中线，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 8．如图，的顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格格点上，则边上的高等于（    ） A． B． C．2 D． 9．把一根8厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形，第一剪不符合要求的是（　　） A． B． C． D． 10．如图，，点在平行线之间．连接并延长，与直线交于点；连接并延长，与直线交于点，与的角平分线交于点，且．若，，则一定等于（   ） A． B． C． D． 11．如图，中，与分别是和的平分线，相交于点，于点，于点，，相交于点，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 12．如图，在中，、分别是高线和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，在平面镶嵌中，要求在同一个拼接点处，这几个多边形的内角拼接后恰好组成一个周角（即）．若用边长相等的正三角形、正方形和正六边形这三种平面图形进行镶嵌，在同一个拼接点处正三角形、正方形和正六边形的个数分别为x、y、z，其中x、y、z均为正整数，则______． 14．（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则，之间的数量关系_____． （2）在图2中和的平分线和相交于点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是_____． 15．如图，是的中线，，分别为，的中点，若的面积为6，则的面积是_____． 16．如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得，则___________度． ∵， ∴， ∴， 根据题意可知， ∴． 17．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法中正确的序号 __________ ． ①的面积等于的面积；②；③；④． 18．如图，中，，点分别是上的点，，，连接交于点．当四边形的面积为时，线段长度的最小值为______． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．已知边形（且为整数）的内角和公式为，边形的外角和为． (1)一个多边形的内角和比它的外角和的2倍少，求这个多边形的边数； (2)如图，分别平分，，，求的值． 20．如图是一组正多边形，观察每个正多边形中 的变化情况，解答下列问题． (1)将表格补充完整； 正多边形的边数 3 4 5 6 的度数 ________ ________ ________ ________ (2)观察上面表格中 的变化规律， 的度数与正多边形的边数的关系为______； (3)根据规律，当时，正多边形的边数__________． 21．在四边形中，． (1)如图①，若和的平分线交于点，则的度数为___________； (2)在（1）的条件下，若延长交于点(如图②)，将原来的条件“”改为“”，其他条件不变，的度数会发生变化吗？若不变，请说明理由；若变化，求出的度数． 22．好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列个问题，请你帮她解决．如图，在中，点是、的平分线的交点，点是、平分线的交点，，的延长线交于点． (1)若，求； (2)若，求的度数． 23．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若，，且c为整数，求的周长； (3)直接写出化简结果：________． 24．解答下列各题： (1)如图，，顶点F在直线上，边、分别与直线交于点M、H，且，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下分别作与的平分线、交于点N，直线与交于点Q，． ①直接写出的度数为______（用含有的式子表示）． ②求的度数（温馨提示：三角形的内角和为）． (3)如图3，在（1）的条件下作的角平分线，过点H作一条射线，交直线于点P，当时，请直接写出与的关系式． 25．如图1，，的平分线交于点G，． (1)试说明：； (2)如图2，线段上有点P，满足，过点C作． ①若在直线上取一点M，使，求的值是 ； ②若，将绕点B旋转，当 °时，的一边与平行． 26．我们知道：光反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射角等于入射角．如图1，为入射光线，入射点为．为法线（过入射点且垂直于镜面的直线），为反射光线，此时反射角等于入射角． 根据以上材料完成下面问题： (1)如图2，一束光线沿方向射入，先后经过平面镜反射后，沿方向射出，，法线交于点．交的延长线于点，试探究与之间的数量关系并加以证明； (2)如图3，入射光线经过平面镜和处的平面镜两次反射后，得到反射光线．入射光线和反射光线的反向延长线交于点． ①若，反射光线与平行，此时为多少度． ②若，平面镜绕点旋转，是否存在一个定值，使得总是成立，若存在请求出值，若不存在，请说明理由． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $