第8章 三角形 单元试卷 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

**基本信息** 华东师大版七年级下册第8章三角形单元卷，通过选择、填空、解答题覆盖三角形性质、多边形内角和等核心知识，设计操作探究与密铺应用情境，适配单元复习，发展几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|12|三角形分类、中线、多边形内角和|动态几何（1题）、折叠问题（6题）| |填空题|4|三边关系、内角和公式|平行线性质应用（15题）| |解答题|6|作图、推理证明、密铺项目|项目学习（21题）、探究性问题（22题）|

第8章 三角形 单元试卷 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册 一、单选题 1．如图，点B在的一条边上固定不动，点C在的另一条边上可以任意移动，连接，三角形（   ） ①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形④等腰三角形 A．只能是① B．只能是④ C．可能是①②③ D．可能是①②③④ 2．如图，、分别是的边、的中点，则下列说法不正确的是（    ） A．是的中线 B．是的中线 C．， D．的对边是 3．如图，直线，于点D，若，则等于（   ） A． B． C． D． 4．在中，，，是的一条角平分线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，是的中线，点E为的中点，若，则为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 6．如图，在三角形纸片中，将纸片的一角沿折叠，使点C落在内，记为点．若，则等于（    ） A． B． C． D． 7．将一副三角尺按如图所示的方式放置，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．已知一个多边形多算了一个内角得到内角和是1960°，则这个多边形是（    ） A．十一边形 B．十二边形 C．十三边形 D．十五边形 9．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 10．如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．如图，五边形是正五边形，且．若，则（   ） A． B． C． D． 12．用若干个全等的正五边形按下图方式拼接，使相邻的两个正五边形只有1个公共顶点，且两边所夹的锐角均为，按此方式拼接一圈后，中间形成的多边形是（    ） A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形 二、填空题 13．一个三角形的两边长分别为3和5，若周长是奇数，则第三边的长为______． 14．一个n边形的内角和比它的外角和的2倍还大，则n＝______． 15．如图，，点E在直线上，点F、G在直线上，，，则的度数是________． 16．将一个正六边形与一个正五边形，按如图所示的位置摆放，使点A为公共顶点，顶点B、C、D、E都在直线上，则________． 三、解答题 17．在如图所示的方格纸中，A，B，C为3个格点，点C在直线外． (1)借助格点，过C点画出的垂线m与交于点D． (2)过C点画出的平行线n． (3)线段 的长度表示点C到直线的距离． (4)指出（1）（2）中直线m、n的位置关系为 ． (5)连接和，若图中每个最小正方形的边长为1，则三角形的面积是 ． 18．如图，四边形中，，点F、E分别在和的延长线上，连接交于点，交于点，已知． (1)判断与是否平行，并说明理由； (2)连接，若，求的度数． 19．如图，在中，AE是的高． (1)如图1，若，，AD是的平分线，求的度数； (2)如图1，若，AD是的平分线，则=___________．（用含的代数式表示） (3)如图2，延长AC到点F，和的平分线交于点G，求的度数． 20．在四边形中，． (1)如图①，若，求出的度数； (2)如图②，若的角平分线交于点E，且，求出的度数； (3)如图③，若和的角平分线交于点E，求出的度数． 21．项目学习：生活中的密铺 【描述定义】在数学中用形状、大小完全相同的平面图形进行拼接，不留空隙且不重叠地铺满整个平面，称为平面图形的密铺（或称为平面镶嵌）．在现实生活中，地砖、墙砖、蜂巢等都用到了密铺的原理． 【知识储备】1．对于正边形，每个内角都相等，那么一个内角的度数是____________； 2．密铺的条件：当公共顶点处所有角的和为____________，并使相等的边重合． 【任务一：寻找密铺】 1．下列正多边形中，能够单独密铺平面的是（   ）．（多选） A．正三角形    B．正方形    C．正五边形    D．正六边形    E．正八边形 2．公园的一段甬道是用相同的五边形地砖拼铺而成的，如图1是拼铺图案的一部分，图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，则的度数为____________． 【任务二：创作密铺】 七（1）班数学“智慧小组”提出：同时用“正方形+正八边形”的密铺方案， 数学“挑战小组”提出：同时用“正方形＋正六边形”的密铺方案； 请你思考并判断哪个小组方案可行，可进行如下验证： 验证方案： 1．“智慧小组”方案（正方形+正八边形）：设正方形x个，正八边形y个，根据题意，可得方程____________，可以找到方程的正整数解为____________； 2．“挑战小组”方案（正方形+正六边形）：设正方形m个，正六边形n个，根据题意，可得方程____________，发现方程____________（填：有或无）正整数解； 结论：由上可得，可行的方案是：________________________． 【任务三：应用密铺】 某小区广场计划用不同的正多边形地砖组合密铺（边长相同）．已有正三角形地砖，现打算购买正方形或正六边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺．请你设计两种共顶点组合密铺方案，并画出示意图． 方案1：用两种正多边形（只画一种情况）， 方案2：用三种正多边形． 22．如图，在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺（，）”为主题开展数学活动． (1)【操作发现】：如图①，小明把三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数； (2)【探索证明】：如图②，小刚把三角尺的两个锐角的顶点、分别放在和上，请你探索并说明与之间的数量关系； (3)【结论应用】：如图③，小亮把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点落在上．若，求（用含的式子表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 三角形 单元试卷 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册 一、单选题 1．如图，点B在的一条边上固定不动，点C在的另一条边上可以任意移动，连接，三角形（   ） ①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形④等腰三角形 A．只能是① B．只能是④ C．可能是①②③ D．可能是①②③④ 【答案】D 【分析】此题主要考查三角形的分类，分别画出图形判断即可． 【详解】解：如图，当时，此时三角形为锐角三角形； 如图，当或时，此时三角形为直角三角形； 或 如图，当或时，此时三角形为钝角三角形； 或 如图，当或或时，此时三角形为等腰三角形； 或或 综上，三角形可能是①②③④． 故选：D． 2．如图，、分别是的边、的中点，则下列说法不正确的是（    ） A．是的中线 B．是的中线 C．， D．的对边是 【答案】D 【分析】本题考查了中线定义：在三角形中，从三角形的一个顶点到对边中点的线段叫三角形的中线． 根据中线定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是的中线，故A选项说法正确，不符合题意； B、是的中线，故B选项说法正确，不符合题意； C、由D，E分别是的边的中点，即，故C选项说法正确，不符合题意； D、在中，的对边是，故D说法错误，符合题意． 故选：D． 3．如图，直线，于点D，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补，得出的度数，再根据三角形的内角和为180度，即可解答． 【详解】解：∵直线，， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．在中，，，是的一条角平分线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形内角和定理和角平分线的定义求解，先根据角平分线定义求出的度数，再在中利用三角形内角和定理计算的度数即可． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵在中，三角形内角和为，， ∴ 5．如图，是的中线，点E为的中点，若，则为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】解：∵点E为的中点，， ∴， ∵是的中线， ∴. 6．如图，在三角形纸片中，将纸片的一角沿折叠，使点C落在内，记为点．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠的性质，三角形的内角和定理以及平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：由折叠的性质，得，． ，， ， ． 7．将一副三角尺按如图所示的方式放置，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角尺的角度求出所在三角形的另外两个角，再根据三角形的内角和为求出． 【详解】解：如图， 由三角尺可知，，，， ∴， ∴． 8．已知一个多边形多算了一个内角得到内角和是1960°，则这个多边形是（    ） A．十一边形 B．十二边形 C．十三边形 D．十五边形 【答案】B 【分析】设这个多边形的边数为n，多算的一个内角为x°，利用多边形的内角和定理和已知条件列出等式，根据多边形的内角的性质列出不等式，利用不等式的整数解即可求得结论． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，多算的一个内角为x°， 则：（n-2）•180+x=1960， ∴x=2320-180n． ∵0°＜x＜180°， ∴0＜2320-180n＜180， 解得 ∵n为正整数， ∴n=12． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角，多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键． 9．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】先根据多边形的内角和公式求出截出一个角后的多边形的边数，再根据截出一个角后边数增加，不变，减少讨论得解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为， 则， 解得， 多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少， 原来多边形的边数是或或． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是多边形的内角和公式，解题关键是多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少三种情况． 10．如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答． 【详解】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 11．如图，五边形是正五边形，且．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作，交于点F，则．根据正多边形内角和公式求出，再根据平行线的性质求解． 【详解】解：如图，作，交于点F． ， ， 五边形是正五边形， ， ， ， ． ， ． 12．用若干个全等的正五边形按下图方式拼接，使相邻的两个正五边形只有1个公共顶点，且两边所夹的锐角均为，按此方式拼接一圈后，中间形成的多边形是（    ） A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形 【答案】B 【详解】解：正五边形的每个内角的度数为， ∴被围成图形的顶点处向外的角的度数为， ∴被围成图形的顶点处的内角的角度为， 设拼接一圈后，中间形成的多边形的边数为， ∴， 解得，， 经检验，当时，原分式方程有意义， ∴拼接一圈后，中间形成的多边形的边数为，即正六边形 ． 二、填空题 13．一个三角形的两边长分别为3和5，若周长是奇数，则第三边的长为______． 【答案】3或5或7 【分析】此题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系．根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．可知第三边的取值范围是大于2而小于8，再结合三角形周长是奇数可知第三边是奇数即可求解． 【详解】解：设第三边长为x， 根据三角形三边关系可知：， 即， 则x可以是3，4，5，6，7， ∵三角形周长是奇数，另外两边之和为8， ∴x为奇数， 故x可取3或5或7． 14．一个n边形的内角和比它的外角和的2倍还大，则n＝______． 【答案】7 【分析】根据多边形内角和公式与多边形外角和定理，列出方程求解即可．边形的内角和公式为，任意多边形的外角和为． 【详解】解：根据题意列方程得， 展开方程得， 移项合并得， 解得． 15．如图，，点E在直线上，点F、G在直线上，，，则的度数是________． 【答案】 【分析】先利用直角三角形两锐角互余求得的度数，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 16．将一个正六边形与一个正五边形，按如图所示的位置摆放，使点A为公共顶点，顶点B、C、D、E都在直线上，则________． 【答案】84 【详解】解：∵正六边形每个内角为，每个外角为，正五边形每个内角为，每个外角为， ∴， ∴． 三、解答题 17．在如图所示的方格纸中，A，B，C为3个格点，点C在直线外． (1)借助格点，过C点画出的垂线m与交于点D． (2)过C点画出的平行线n． (3)线段 的长度表示点C到直线的距离． (4)指出（1）（2）中直线m、n的位置关系为 ． (5)连接和，若图中每个最小正方形的边长为1，则三角形的面积是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)CD (4)m⊥n (5)4.5 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，平行线的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握垂线，平行线的定义． （1）利用数形结合的思想以及垂线的定义作出图形即可 （2）利用数形结合的思想以及平行线的定义作出图形即可； （3）根据点到直线的距离的定义解答即可； （4）利用垂线的判定方法解决问题； （5）根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，直线m即为所求； ； （2）解：如图，直线n即为所求； （3）解：线段的长度表示点C到直线的距离． 故答案为：； （4）解：直线m、n的位置关系为． 故答案为：； （5）解：三角形的面积． 故答案为：4.5． 18．如图，四边形中，，点F、E分别在和的延长线上，连接交于点，交于点，已知． (1)判断与是否平行，并说明理由； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行解答即可； （2）求得，再根据平行线的性质，求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ； （2）解：连接， ， ， ， ， ，， ， ， 解得， ， ． 19．如图，在中，AE是的高． (1)如图1，若，，AD是的平分线，求的度数； (2)如图1，若，AD是的平分线，则=___________．（用含的代数式表示） (3)如图2，延长AC到点F，和的平分线交于点G，求的度数． 【答案】(1)的度数为； (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，利用角平分线求出，再根据三角形内角和定理求出，代入求出即可； （2）根据三角形内角和定理求出，利用角平分线求出，再根据三角形内角和定理求出，代入求出即可； （3）由三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解，根据三角形的高线可求解的度数． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴． 故的度数为； （2）解：由题意得， ∵是的平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：； （3）解：∵和的平分线交于点G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． ∴的度数为． 【点睛】本题是三角形的高线，角平分线等知识的综合运用，考查了三角形角平分线的定义，三角形高线的定义，三角形外角的性质，三角形的内角和定理等知识．理解和掌握三角形有关的线段，三角形有关的角的知识是解题的关键． 20．在四边形中，． (1)如图①，若，求出的度数； (2)如图②，若的角平分线交于点E，且，求出的度数； (3)如图③，若和的角平分线交于点E，求出的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了四边形的内角和、三角形的内角和、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点，熟练运用平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键． （1）根据四边形的内角和是结合已知条件可得，然后结合即可解答； （2）根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，最后根据三角形外角的性质即可解答； （3）根据四边形的内角和定理以及角平分线的概念求得，再进一步然后根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵和的角平分线交于点E，， ∴，， ∴， ∴． 21．项目学习：生活中的密铺 【描述定义】在数学中用形状、大小完全相同的平面图形进行拼接，不留空隙且不重叠地铺满整个平面，称为平面图形的密铺（或称为平面镶嵌）．在现实生活中，地砖、墙砖、蜂巢等都用到了密铺的原理． 【知识储备】1．对于正边形，每个内角都相等，那么一个内角的度数是____________； 2．密铺的条件：当公共顶点处所有角的和为____________，并使相等的边重合． 【任务一：寻找密铺】 1．下列正多边形中，能够单独密铺平面的是（   ）．（多选） A．正三角形    B．正方形    C．正五边形    D．正六边形    E．正八边形 2．公园的一段甬道是用相同的五边形地砖拼铺而成的，如图1是拼铺图案的一部分，图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，则的度数为____________． 【任务二：创作密铺】 七（1）班数学“智慧小组”提出：同时用“正方形+正八边形”的密铺方案， 数学“挑战小组”提出：同时用“正方形＋正六边形”的密铺方案； 请你思考并判断哪个小组方案可行，可进行如下验证： 验证方案： 1．“智慧小组”方案（正方形+正八边形）：设正方形x个，正八边形y个，根据题意，可得方程____________，可以找到方程的正整数解为____________； 2．“挑战小组”方案（正方形+正六边形）：设正方形m个，正六边形n个，根据题意，可得方程____________，发现方程____________（填：有或无）正整数解； 结论：由上可得，可行的方案是：________________________． 【任务三：应用密铺】 某小区广场计划用不同的正多边形地砖组合密铺（边长相同）．已有正三角形地砖，现打算购买正方形或正六边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺．请你设计两种共顶点组合密铺方案，并画出示意图． 方案1：用两种正多边形（只画一种情况）， 方案2：用三种正多边形． 【答案】[知识储备] 1．；2．；[任务一：寻找密铺] 1．；2．；[任务二：创作密铺] 1．，；2．，无；结论：“智慧小组”方案；[任务三：应用密铺]方案1：见解析；方案2：见解析 【分析】本题考查多边形的内角和、正多边形的性质、平面镶嵌、二（三）元一次方程的解，熟练掌握相关知识并灵活运用是解答的关键． [知识储备] 1．根据正多边形的性质及内角和公式求解即可；2．根据周角为可得答案； [任务一：寻找密铺] 1．根据各正多边形性质和内角，结合镶嵌知识逐个判断即可；2．根据五边形的内角和求解即可； [任务二：创作密铺]1．根据两个正多边形的内角，可得方程，进而可得解为；2．根据两个正多边形的内角，可得方程，进而分析方程无解；进而可得结论； [任务三：应用密铺]方案1：分正三角形和正方形、正三角形和正六边形讨论求解即可；方案2：根据镶嵌原理和三个正多边形的内角度数列方程讨论求解即可． 【详解】解：[知识储备] 1．对于正边形，每个内角都相等，那么一个内角的度数是； 2．密铺的条件：当公共顶点处所有角的和为，并使相等的边重合． [任务一：寻找密铺] 1．A、正三角形的每个内角为，且各边相等，能够单独密铺平面； B．正方形的每个内角为，且各边相等，能够单独密铺平面； C．正五边形的每个内角为，不能使公共顶点处所有角的和为，不能够单独密铺平面； D．正六边形的每个内角为且各边相等，，能够单独密铺平面； E．正八边形的每个内角为，不能使公共顶点处所有角的和为，不能够单独密铺平面； 故答案为：ABD； 2．∵五边形的内角和为，， ∴； [任务二：创作密铺] 由于正方形的每个内角为，正八边形的每个内角为，正六边形的每个内角为， 1．“智慧小组”方案（正方形+正八边形）：设正方形x个，正八边形y个，根据题意，可得方程，可以找到方程的正整数解为； 2．“挑战小组”方案（正方形+正六边形）：设正方形m个，正六边形n个，根据题意，可得方程，发现方程无正整数解； 结论：由上可得，可行的方案是：“智慧小组”方案； [任务三：应用密铺] 方案1：①设正三角形x个，正方形y个，则， ∵x、y为正整数， ∴， 故可由3个正三角形和2个正方形组合密铺，如图： ②设正三角形m个，正六边形n个，则， ∵m、n为正整数， ∴或， 故可由2个正三角形和2个正六边形组合密铺或4个正三角形和1个正六边形组合密铺； 方案二：设正三角形a个，正方形b个，正六边形c个，则， ∵a、b、c为正整数， ∴， 故可由1个正三角形、2个正方形和1个正六边形组合密铺，如图： 22．如图，在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺（，）”为主题开展数学活动． (1)【操作发现】：如图①，小明把三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数； (2)【探索证明】：如图②，小刚把三角尺的两个锐角的顶点、分别放在和上，请你探索并说明与之间的数量关系； (3)【结论应用】：如图③，小亮把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点落在上．若，求（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查三角板与平行线求角度，涉及平行线的性质、直角三角形性质、平角定义等知识，数形结合，由平行线的判定与性质准确表示出所求角度是解决问题的关键． （1）由两直线平行同位角相等得到，再由平角为列式求出即可得到答案； （2）过点作，如图所示，由平行线的判定与性质，结合直角三角形两锐角互余即可得到； （3）由两直线平行同旁内角互补得到，数形结合，表示出，代入即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ，且，， ， ； （2）解：， 理由如下： 过点作，如图所示： ， ， ，， ， ， ； （3）解：， ， ， ，， ， ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $