2026年山东省淄博市高青县中考数学二模考前模拟练习示范试卷

2026年山东省淄博市高青县中考数学二模考前模拟练习示范试卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）2的绝对值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣2 2．（4分）下面几何体中，主视图是圆的是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）下列运算正确的是（　　） A．（﹣1）2023＝﹣2023 B．﹣32＝9 C．a6÷a3＝a2 D．（﹣a2）3＝﹣a6 4．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知∠BOC＝120°，DC＝5cm，则AC的长为（　　）cm A．5 B． C．10 D． 5．（4分）如图为甲、乙两人在同一星期内六日步数的折线统计图，则下列说法正确的是（　　） A．这六日甲的日步数的中位数为11100 B．这六日两人各自的日步数的最大值与最小值之差甲小于乙 C．这六日乙的日步数的方差大于甲的日步数的方差 D．这六日乙的日步数的第三四分位数是7030 6．（4分）小明骑自行车沿着斜坡向上骑行了200m，其铅直高度上升了30m，在用科学计算器求坡角α的度数时，其按键顺序是（　　） A． B． C． D． 7．（4分）2023年成都大运会上，努力拼搏的不只有运动员们，在赛场外，到处都能看到志愿者们忙碌的身影，大批大学生报名参与志愿者服务工作，某大学计划组织本校学生志愿者乘车去了解比赛场馆情况，若单独调配30座（不含司机）客车若干辆，则有5人没有座位；若只调配25座（不含司机）客车，则用车数量将增加3辆，并空出5个座位．设计划调配30座客车x辆，该大学共有y名大学生志愿者，则下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（4分）小明是邮局的一名速递员，他从邮局骑车出发，先上坡到达A地后，装卸邮袋需要8分钟；然后下坡到B地，装卸邮袋需要8分钟，之后返回，行程情况如图，若返回时，上、下坡速度仍保持不变，在A地仍要停留8分钟，那么他从B地返回到邮局用的时间是（　　） A．37.2分钟 B．38分钟 C．45.2分钟 D．48分钟 9．（4分）“一带一路”让中国和世界更紧密，为了安全起见，在某段“中欧铁路”的两旁安装了两座可旋转探照灯，如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，灯A转动的速度是每秒3度，灯B转动的速度是每秒1度，铁路两旁是平行的，即PQ∥MN．若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，灯A转动秒时，两灯的光束互相平行．（　　） A．20 B．10或85 C．10或95 D．20或95 10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x，y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边AB，BC分别交于点M，N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM，ON，MN．有下列结论：①△OCN≌△OAM；②ON＝MN；③四边形DAMN与△MON的面积相等；④若∠MON＝45°，MN＝2，则点C的坐标为．其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 11．（4分）若n为正整数，且满足，则n＝　 　 ． 12．（4分）如图，在正方形网格中，图②是由图①绕点A，B，C，D中的某一点顺时针旋转得到的，其旋转角度是　 　 ． 13．（4分）不等式组的正整数解的和为 　 　 ． 14．（4分）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，AB于点E，F； ②分别以E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点G；③作射线AG交BC于点D；若AC＝8，BC＝6，则CD的长为 　 　 15．（4分）已知整数a1，a2，a3，a4…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|…以此类推，则在数轴上到a2022的距离为3的数是 　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分90分） 16．（10分）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中x＝tan60°+2． 17．（10分）某中学七年级学生到野外开展数学综合实践活动，在营地看到一个不规则的建筑物，为测量该建筑物两端A，B间的距离，同学们给出了以下建议： （1）甲同学的方案如下：先在平地上取一个可直接到达A，B的点O，连接AO，BO，并分别延长AO至点C，延长BO至点D，使CO＝AO，DO＝BO，最后测出CD的长即为A，B间的距离，请你说说该方案可行的理由； （2）由于在EF处有一堵墙阻挡了路线，使得无法按照甲同学的方案直接测量出A，B间的距离，但同学们测得∠EOC＝65°，∠C＝80°，∠OEF＝145°，CF＝128m，EF＝77m，请求出该建筑物两端A，B之间的距离． 18．（10分）今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？（选自《九章算术》） 将这类问题抽象成一般问题：若干人合伙买某物品，若每人出a1钱，则多出b1钱；若每人出a2钱，则又少b2钱．求总人数及物品总价．如果设有x人，物品总价为y，那么可列出二元一次方程组． （1）求解这个二元一次方程组； （2）查阅资料，了解《九章算术》的求解方法． 19．（10分）2025年，随着“体重管理年”三年行动的实施，“全民减重”“全民健康”“全民运动”备受关注，成为全年龄段关注热点．我校强调落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划．为了解学生一周的课后运动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课后运动时间，将数据进行整理并制成如图统计图． 请根据图中提供的信息，解答下面的问题： （1）求图1中的m＝ 　 　 ，本次调查数据的中位数是 　 　 h，本次调查数据的众数是 　 　 h； （2）该校此次抽查的这些学生一周平均的课后运动时间是多少？ （3）若该校共有3000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课后运动时间不小于3h的人数． 20．（10分）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价x元，平均每周的销售量为y顶． （1）每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是 　 　 元（用含x的代数式表示）； （2）平均每周的销售量y（顶）与降价x（元）之间的函数关系式是 　 　 ； （3）若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？ 21．（10分）如图，已知反比例函数的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A、B两点，BC⊥x轴于点C，若△OBC的面积为2，且A点的纵坐标为4，B点的纵坐标为1． （1）求反比例函数和一次函数的关系式； （2）连结OA，判断△OAB的形状，并说明理由； （3）已知点D（t，0）（t＞0），过点D作垂直于x轴的直线，在第一象限内与一次函数y＝﹣x+b的图象相交于点P，与反比例函数的图象相交于点Q，若点P位于点Q的上方，请结合函数图象直接写出此时t的取值范围． 22．（15分）综合与实践：综合与实践课上，老师让同学们以“特殊四边形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断： 操作一：将图①所示的正方形纸片沿AE折叠（折痕经过顶点A）得到图②； 操作二：将点A折叠到点E，得到图③，展开得到两条折痕AE和FG，如图④； 根据以上操作：AE与FG的数量关系是 　 　 ，位置关系是 　 　 ； （2）迁移探究： 小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下： 将矩形纸片ABCD（图⑤）按照（1）中的方式操作，得到图⑥． 若AB＝kAD，图⑥中折痕AE和FG的数量关系是 　 　 ，并证明． （3）拓展应用： 在（2）的探究中，若k＝2，且E为BC的中点，折痕AE和FG相交于P，M是边AD上一点，，连接MP，过P作MP的垂线与AB相交于点N，如图⑦，直接写出NG的长． 23．（15分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线y＝x﹣3相交，其中一个交点为A，点A的横坐标为8．点P为抛物线上动点，其横坐标为m． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式及顶点坐标； （2）这条抛物线在点P右侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为m﹣2，求m的值； （3）过点P作y轴的平行线交直线y＝x﹣3于点Q，以PQ为边作矩形PQMN，使PN与y轴垂直． ①当0＜m＜8，点N的横坐标为m+2时，求矩形PQMN面积的最大值； ②当点N的横坐标为1﹣2m，抛物线在矩形PQMN内部的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 2026年山东省淄博市高青县中考数学二模考前模拟练习示范试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）2的绝对值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣2 解：2的绝对值是2， 故选：C． 2．（4分）下面几何体中，主视图是圆的是（　　） A． B． C． D． 解：圆柱体的主视图是长方形，圆锥的主视图是三角形，四棱锥的主视图是三角形，球的主视图是圆， 故选：D． 3．（4分）下列运算正确的是（　　） A．（﹣1）2023＝﹣2023 B．﹣32＝9 C．a6÷a3＝a2 D．（﹣a2）3＝﹣a6 解：A、（﹣1）2023＝﹣1，故A不符合题意； B、﹣32＝﹣9，故B不符合题意； C、a6÷a3＝a3，故C不符合题意； D、（﹣a2）3＝﹣a6，故D符合题意； 故选：D． 4．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知∠BOC＝120°，DC＝5cm，则AC的长为（　　）cm A．5 B． C．10 D． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC＝OB＝OD， ∵∠BOC＝120°， ∴∠COD＝180°﹣∠BOC＝60°， ∴△OCD是等边三角形， ∴OC＝CD＝5cm， ∴OA＝OC＝5cm， ∴AC＝AO+OC＝10（cm）． 故选：C． 5．（4分）如图为甲、乙两人在同一星期内六日步数的折线统计图，则下列说法正确的是（　　） A．这六日甲的日步数的中位数为11100 B．这六日两人各自的日步数的最大值与最小值之差甲小于乙 C．这六日乙的日步数的方差大于甲的日步数的方差 D．这六日乙的日步数的第三四分位数是7030 解：A、由折线统计图可得甲这六日的日步数从小到大的排序为2435，7965，9500，12700，16000，16800， 中位数为11100， 故A项正确，符合题意； B、由折线统计图可得这六日甲的日步数的最大值与最小值之差为16800﹣2435＝14365， 乙的日步数的最大值与最小值之差为14200﹣5340＝8860， 显然14365＞8860， 故B项不正确，不符合题意； C、由折线统计图可知甲的波动程度较大，所以这六日甲的日步数的方差较大， 故C项不正确，不符合题； D、由折线统计图可得乙这六日的日步数从小到大的排序为5340，7030，11600，12300，12970，14200，所以这六日乙的日步数的上四分位数是12970， 故D项不正确，不符合题意； 故选：A． 6．（4分）小明骑自行车沿着斜坡向上骑行了200m，其铅直高度上升了30m，在用科学计算器求坡角α的度数时，其按键顺序是（　　） A． B． C． D． 解：sinα0.15， 所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为 故选：B． 7．（4分）2023年成都大运会上，努力拼搏的不只有运动员们，在赛场外，到处都能看到志愿者们忙碌的身影，大批大学生报名参与志愿者服务工作，某大学计划组织本校学生志愿者乘车去了解比赛场馆情况，若单独调配30座（不含司机）客车若干辆，则有5人没有座位；若只调配25座（不含司机）客车，则用车数量将增加3辆，并空出5个座位．设计划调配30座客车x辆，该大学共有y名大学生志愿者，则下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 解：∵若单独调配30座（不含司机）客车x辆，则有5人没有座位， ∴30x＝y﹣5； ∵若只调配25座（不含司机）客车（x+3）辆，则空出5个座位， ∴25（x+3）＝y+5． ∴根据题意可列方程组． 故选：B． 8．（4分）小明是邮局的一名速递员，他从邮局骑车出发，先上坡到达A地后，装卸邮袋需要8分钟；然后下坡到B地，装卸邮袋需要8分钟，之后返回，行程情况如图，若返回时，上、下坡速度仍保持不变，在A地仍要停留8分钟，那么他从B地返回到邮局用的时间是（　　） A．37.2分钟 B．38分钟 C．45.2分钟 D．48分钟 解：由函数图象可知， 邮局到A地的距离为3600m，A地到B地的距离为6000m， 上坡时的速度为：3600÷18＝200（m/min），下坡时的速度为：6000÷（46﹣18﹣2×8）＝500（m/min）， 则返回时，从B地到A地用时为：6000÷200＝30（min），从A地到邮局用时为：3600÷500＝7.2（min）， 所以他从B地返回到邮局用的时间是：30+8+7.2＝45.2（min）． 故选：C． 9．（4分）“一带一路”让中国和世界更紧密，为了安全起见，在某段“中欧铁路”的两旁安装了两座可旋转探照灯，如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，灯A转动的速度是每秒3度，灯B转动的速度是每秒1度，铁路两旁是平行的，即PQ∥MN．若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，灯A转动秒时，两灯的光束互相平行．（　　） A．20 B．10或85 C．10或95 D．20或95 解：设灯A转动秒时，两灯的光束互相平行， 当0＜t＜60时，灯A射线转动至AF，灯B射线转动至BE， 则∠PBE＝（20+t）°，∠MAF＝（3t）°，AF∥BE， 如图， ∵PQ∥MN， ∴∠ABP＝∠BAM， ∵AF∥BE， ∴∠BAF＝∠ABE， ∴∠PBE＝∠MAF， ∴20+t＝3t， 解得：t＝10； 当60≤t＜120时，灯A射线转动至AN立即回转并转至AF，灯B射线转动至BE， 则∠PBE＝（20+t）°，∠NAF＝（3t﹣180）°，AF∥BE， 如图， ∵PQ∥MN， ∴∠ABP＝∠BAM， ∵AF∥BE， ∴∠BAF＝∠ABE， ∴∠PBE＝∠MAF， ∴∠MAF+∠NAF＝180°， ∴∠PBE+∠NAF＝180°， ∴20+t+3t﹣180＝180， ∴t＝85； 当120＜t＜160时，灯A射线转动至AM立即回转并转至AF，灯B射线转动至BE， 则∠PBE＝（20+t）°，∠MAF＝（3t﹣360）°，AF∥BE， 如图， ∵PQ∥MN， ∴∠ABP＝∠BAM， ∵AF∥BE， ∴∠BAF＝∠ABE， ∴∠PBE＝∠MAF， ∴20+t＝3t﹣360， ∴t＝190＞180，不符合题意， 综上所述，灯A转动10秒或85秒时，两灯的光束互相平行， 故选：B． 10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x，y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边AB，BC分别交于点M，N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM，ON，MN．有下列结论：①△OCN≌△OAM；②ON＝MN；③四边形DAMN与△MON的面积相等；④若∠MON＝45°，MN＝2，则点C的坐标为．其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 解：由题意，∵点M、N都在的图象上， ∴，即， ∵四边形ABCO为正方形， ∴OC＝OA，∠OCN＝∠OAM＝90°． ∴NC＝AM， ∴△OCN≌△OAM（SAS）， ∴①正确； 又∵△OCN≌△OAM（SAS）， ∴ON＝OM， ∵k的值不能确定， ∴∠MON的值不能确定， ∴△ONM只能为等腰三角形，不能确定为等边三角形， ∴ON≠MN， ∴②错误； ∵，而S△OND+S四边形DAMN＝S△OAM+S△OMN， ∴四边形DAMN与△MON面积相等， ∴③正确； 作 NE⊥OM于点E， ∵∠MON＝45°， ∴△ONE为等腰直角三角形， ∴NE＝OE， 设NE＝x， 则， ∴． ∴， 在 Rt△NEM中，MN＝2，MN2＝NE2+EM2，即， ∴， ∴， ∵CN＝AM，CB＝AB， ∴BN＝BM， ∴△BMN为等腰直角三角形， ∴， 设正方形ABCO的边长为a， 则， 在 Rt△OCN中，OC2+CN2＝ON2， ∴， ∴，a2＝﹣1（舍去）． ∴． ∴C点坐标为． ∴④正确． 综上，正确的是①③④． 故选：C． 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 11．（4分）若n为正整数，且满足，则n＝　3　 ． 解：由于22＝4，32＝9，而4＜7＜9， 所以23， 又，且n为正整数， 所以n＝3， 故答案为：3． 12．（4分）如图，在正方形网格中，图②是由图①绕点A，B，C，D中的某一点顺时针旋转得到的，其旋转角度是　90°　 ． 解：如图，旋转中心是点B，旋转角为90°． 故答案为：90°． 13．（4分）不等式组的正整数解的和为 　10　 ． 解：由2x＜5+x得：x＜5， 由x﹣2≤4x+1得：x≥﹣1， 则﹣1≤x＜5， 所以不等式组的正整数解的和为1+2+3+4＝10， 故答案为：10． 14．（4分）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，AB于点E，F； ②分别以E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点G；③作射线AG交BC于点D；若AC＝8，BC＝6，则CD的长为 　　 解：过D作DH⊥AB于H， 由作图知，AD平分∠CAB， ∵∠C＝90°， ∴CD＝DH， ∵AC＝8，BC＝6， ∴AB10， 在Rt△ACD与Rt△AHD中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AHD（HL）， ∴AH＝AC＝8， ∴CH＝2， ∵BD2＝DH2+BH2， ∴（6﹣CD）2＝CD2+22， ∴CD， 故答案为：． 15．（4分）已知整数a1，a2，a3，a4…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|…以此类推，则在数轴上到a2022的距离为3的数是 　﹣1008或﹣1014　 ． 解：由题知， a1＝0； a2＝﹣|a1+1|＝﹣1； a3＝﹣|a2+2|＝﹣1； a4＝﹣|a3+3|＝﹣2； a5＝﹣|a4+4|＝﹣2； …， 由此可知，a2n＝﹣n（n为正整数）． 当n＝1011时， a2022＝﹣1011． 又因为﹣1011+3＝﹣1008，﹣1011﹣3＝﹣1014， 所以数轴上到a2022的距离为3的数是：﹣1008或﹣1014． 故答案为：﹣1008或﹣1014． 三．解答题（共8小题，满分90分） 16．（10分）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中x＝tan60°+2． 解：（1）原式＝﹣211+4 11+4 ＝4； （2）原式＝[]• ＝[]• • ， 当x＝tan60°+22时，原式． 17．（10分）某中学七年级学生到野外开展数学综合实践活动，在营地看到一个不规则的建筑物，为测量该建筑物两端A，B间的距离，同学们给出了以下建议： （1）甲同学的方案如下：先在平地上取一个可直接到达A，B的点O，连接AO，BO，并分别延长AO至点C，延长BO至点D，使CO＝AO，DO＝BO，最后测出CD的长即为A，B间的距离，请你说说该方案可行的理由； （2）由于在EF处有一堵墙阻挡了路线，使得无法按照甲同学的方案直接测量出A，B间的距离，但同学们测得∠EOC＝65°，∠C＝80°，∠OEF＝145°，CF＝128m，EF＝77m，请求出该建筑物两端A，B之间的距离． 解：（1）甲同学的方案可行； 在△ABO和△CDO中， ， ∴△ABO≌△CDO（SAS）， ∴AB＝CD； 故甲同学的方案可行； （2）如图②，延长CF，OE交于D， ∵∠OEF＝145°， ∴∠DEF＝35°， ∵∠COE＝65°，∠C＝80°， ∴∠D＝180°﹣∠COE﹣∠C＝35°， ∴∠D＝∠DEF， ∴DF＝EF＝77m， ∴CD＝DF+CF＝205（m）， 由（1）知AB＝CD＝205m， 故该建筑物两端A，B之间的距离为205m． 18．（10分）今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？（选自《九章算术》） 将这类问题抽象成一般问题：若干人合伙买某物品，若每人出a1钱，则多出b1钱；若每人出a2钱，则又少b2钱．求总人数及物品总价．如果设有x人，物品总价为y，那么可列出二元一次方程组． （1）求解这个二元一次方程组； （2）查阅资料，了解《九章算术》的求解方法． 解：（1）由题意，∵， ∴a1x﹣b1＝a2x+b2． ∴a1x﹣a2x＝b1+b2． ∴x（a1﹣a2）＝b1+b2． ∴． 将x代入y＝a1x﹣b1，则． ∴原方程组的解为：． （2）由题意得，《九章算术》的“盈不足术”解法《九章算术》中此类问题的解法称为盈不足术（针对“一盈一不足”的情况）， 方法是利用人数，物价＝每人出的钱数×人数一盈数（或每人出的钱数×人数+不足数）建立关系式． 19．（10分）2025年，随着“体重管理年”三年行动的实施，“全民减重”“全民健康”“全民运动”备受关注，成为全年龄段关注热点．我校强调落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划．为了解学生一周的课后运动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课后运动时间，将数据进行整理并制成如图统计图． 请根据图中提供的信息，解答下面的问题： （1）求图1中的m＝ 　25　 ，本次调查数据的中位数是 　3　 h，本次调查数据的众数是 　3　 h； （2）该校此次抽查的这些学生一周平均的课后运动时间是多少？ （3）若该校共有3000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课后运动时间不小于3h的人数． 解：（1）用劳动时间为4小时的人数除以总人数可得： ， ∴m＝25， 将调查数据从小到大顺序排列，则中位数为第20位与第21位数据的平均数， ∴中位数为， 由条形统计图可知，课后运动时间为3h的人数最多，则众数为3h； 故答案为：25，3，3； （2）此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是：， 答：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是3h； （3）用2000乘以3小时及以上的人数的占比可得： （人）， 答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数为2100人． 20．（10分）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价x元，平均每周的销售量为y顶． （1）每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是 　（28﹣x）　 元（用含x的代数式表示）； （2）平均每周的销售量y（顶）与降价x（元）之间的函数关系式是 y＝100+20x ； （3）若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？ 解：（1）∵进价为每顶40元，原售价为每顶68元， ∴每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是（28﹣x）元； 故答案为：（28﹣x）； （2）根据题意得：， 故答案为：y＝100+20x； （3）根据题意得：（28﹣x）（100+20x）＝4000， 解得：x1＝3，x2＝20， 当x＝3时，68﹣x＝68﹣3＝65＞58，不符合题意，舍去； 当x＝20时，68﹣x＝68﹣20＝48＜58，符合题意． 答：每顶头盔应降价20元． 21．（10分）如图，已知反比例函数的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A、B两点，BC⊥x轴于点C，若△OBC的面积为2，且A点的纵坐标为4，B点的纵坐标为1． （1）求反比例函数和一次函数的关系式； （2）连结OA，判断△OAB的形状，并说明理由； （3）已知点D（t，0）（t＞0），过点D作垂直于x轴的直线，在第一象限内与一次函数y＝﹣x+b的图象相交于点P，与反比例函数的图象相交于点Q，若点P位于点Q的上方，请结合函数图象直接写出此时t的取值范围． 解：（1）∵△OBC的面积为2，B点的纵坐标为1，BC⊥x轴， ∴S△OBC， ∴OC＝4， ∴B（4，1） ∵点B（4，1）在反比例函数的图象上， ∴k＝4×1＝4， ∴反比例函数关系式为：， 又∵点B（4，1）在一次函数y＝﹣x+b的图象上， ∴﹣4+b＝1，解得：b＝5， ∴一次函数的关系式为 y＝﹣x+5； （2）△OAB为等腰三角形，理由如下： ∵A点的纵坐标为4， ∴对于，当y＝4时，x＝1， ∴点A（1，4） ∴， ∵点B（4，1） ∴， ∴OA＝OB， ∴△OAB为等腰三角形， （3）根据函数的图象可知：线段AB上的点是都在反比例函数图象的上方， 又∵A（1，4），B（4，1）， ∴当1＜t＜4时，满足过点D作x轴垂线，与一次函数的交点P都在与反比例函数交点Q的上方， ∴t的取值范围是：1＜t＜4． 22．（15分）综合与实践：综合与实践课上，老师让同学们以“特殊四边形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断： 操作一：将图①所示的正方形纸片沿AE折叠（折痕经过顶点A）得到图②； 操作二：将点A折叠到点E，得到图③，展开得到两条折痕AE和FG，如图④； 根据以上操作：AE与FG的数量关系是 AE＝FG ，位置关系是 AE⊥FG ； （2）迁移探究： 小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下： 将矩形纸片ABCD（图⑤）按照（1）中的方式操作，得到图⑥． 若AB＝kAD，图⑥中折痕AE和FG的数量关系是 AE＝kFG ，并证明． （3）拓展应用： 在（2）的探究中，若k＝2，且E为BC的中点，折痕AE和FG相交于P，M是边AD上一点，，连接MP，过P作MP的垂线与AB相交于点N，如图⑦，直接写出NG的长． 解：（1）由折叠可知AE⊥FG， 过点F作FH⊥CD于H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠FHG＝90°，FH＝AD＝AB， ∵AE⊥FG， ∴∠BAE＝∠GFH， 在△ABE和△FHG中， ， ∴△ABE≌△FHG（AAS）， ∴AE＝FG； 故答案为：AE＝FG，AE⊥FG； （2）AE＝kFG． 证明：如图，过点F作AB的垂线，垂足为H． 由题意可知FG⊥AE． ∵矩形ABCD，FH⊥AB， ∴四边形AHFD为矩形， ∴FH＝AD． ∵AB＝kAD， ∴AB＝kFH． ∵FG⊥AE， ∴∠HFG+∠FGA＝∠FGA+∠EAB＝90°， ∴∠HFG＝∠EAB． 在△HFG和△BAE中，∠HFG＝∠BAE，∠FHG＝∠ABE， ∴△HFG∽△BAE， ∴， 即AE＝kFG． 故答案为：AE＝kFG； （3）∵AB＝2AD，E为BC的中点， ∴AB＝4BE． ∵FG⊥AE， ∴∠APG＝∠B＝90°， 又∠PAG＝∠BAE， ∴△PGA∽△BEA． ∴， ∴AP＝4PG． ∵PM⊥PN，FG⊥AE， ∴∠MPA+∠APN＝∠APN+∠NPG＝90°， ∴∠MPA＝∠NPG， ∵∠MAP+∠PAG＝∠PAG+∠PGA， ∴∠MAP＝∠PGA， ∴△PMA∽△PNG． ∴， ∴MA＝4NG， ∴． 23．（15分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线y＝x﹣3相交，其中一个交点为A，点A的横坐标为8．点P为抛物线上动点，其横坐标为m． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式及顶点坐标； （2）这条抛物线在点P右侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为m﹣2，求m的值； （3）过点P作y轴的平行线交直线y＝x﹣3于点Q，以PQ为边作矩形PQMN，使PN与y轴垂直． ①当0＜m＜8，点N的横坐标为m+2时，求矩形PQMN面积的最大值； ②当点N的横坐标为1﹣2m，抛物线在矩形PQMN内部的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 解：（1）把x＝8代入y＝x﹣3中，得y＝5，故点A（8，5），再把A（8，5）代入抛物线中， 得b＝﹣1，抛物线表达式为y， 对称轴为直线x2，当x＝2时，y＝1﹣2﹣3＝﹣4， 故顶点坐标为（2，﹣4）． （2）当m≤2时，P点右侧部分最低点为顶点，即m﹣2＝﹣4，则m＝﹣2； 当m＞2时，P点右侧部分最低点为点P，设P（m，）， 即m﹣2，解得：m＝4（负值舍去），故m＝4， 综上，m的值为﹣2或4． （3）①∵P（m，），Q（m，m﹣3）， ∴PQ＝m﹣3﹣（）， ∴S矩形PQMN＝PN•PQ＝2×（）， 则当m＝4时，S矩形PQMN＝8，即矩形PQMN面积的最大值为8． ②Ⅰ：当1﹣2m＞m时，即m时，即P点在N点左边， 又当0＜m时，矩形PQMN内部无抛物线经过， 则当m＜0时，∵P（m，），Q（m，m﹣3），点N的横坐标为1﹣2m， 故点M的坐标为（1﹣2m，m﹣3），如图1所示，当抛物线过点M时，满足物线在矩形PQMN内部的函数值y随x的增大而减小， 则m﹣3，整理可得：，从而可得：m（正根舍去）， 故m，即； Ⅱ：当1﹣2m＜m时，即m时，即P点在N点右边， 抛物线在矩形PQMN内部的函数值y随x的增大而减小，如图2所示， 当m＝8时，无法构成矩形； 当m＞8时，在矩形PQMN内部包含了y随x的增大而增大的图象，故不符合题意， ∴， 综上所述，m的取值范围为：或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $