广东东莞外国语学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

东莞外国语学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题 命题人：张立东审题人：夏俊东 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟： 注意事项： 1。答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号 和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔填涂考号在答题卡相应位置上， 2。作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的 答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答 在试卷上 3。非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案 不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效， 4。考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的： 1.下列求导运算正确的是() A.(cosx)'=sinx B.(3*)'=3*log,e C.(lgx)=xin1o 1 D.(x2cosx)'=2xsinx 2.用1,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有() A.24 B.30 C.40 D.60 3.函数y=f()点（化，⅓）处的切线方程为y=3x+1,则1m伍，)）3-2Av等于() A0 △x A.-6 B.-3 C.3 D.6 4.已知随机变量X的分布列为P(X=)=号=1,234)，则P(X≥3)=（) A月 c. 5.已知{g}为等差数列，{b}为等比数列，4=b=1,a2+b2=5,a+b=9,则a,=() A.4 B.7 C.8 D.15 6.定义在R上的偶函数fx),其导函数f(),当之0时，恒有f)+f(-x)<0,若 g(x)=x2f(x),则不等式g(x)<g1-2x)的解集为() A(3) B.(3ua+o）C.(写o) D.（o,3 7.某市选派9名医生到3个乡镇义诊，其中有5名主治医师，4名实习医生，要求每个乡 镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师，则不同的分配方法种数为() A.720 B.1480 C.1080 D.1440 8.若实数a、b、c、d满足g=c-2=1,则(a-c}+b-d}的最小值为() b d-1 A.5 B.2 C.4 D.8 二、选择题：共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分， 9.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示，以下命题错误的是( A.-3是函数y=f(x)的极值点 B.-2是函数y=f(x)的极值点 C.y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增 D.-1是函数y=∫(x)的极值点 10.已知f(x)=(2x-1)°=a,+4x+4,x2+…+ax0,则下列描述正确的是() A.a+a2+a,++ao=0 B.∫(x)的展开式中，所有含x的偶数次项的二项式系数和为2 C.f(-1)被7整除所得的余数是4 D.4+2a,+3g++100a1o0=100 l1.已知函数f(x)=e-ax,其中aeR,则() e A.若函数f(x)有且仅有1个零点，则a∈ 0, B.若函数f(x)有且仅有2个极值点，则α的取值范围是 C.不存在a∈R,使函数∫(x)存在唯一的极值点 e2 D.若对x>0,f(x)20恒成立，则a≤ 4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.如图，一个圆环分成A,B,C,D四个区域，用3种颜色（全部用完）对这四个区域 涂色，要求相邻区域不同色，则不同涂色的方法种数为·（用数字作答） 132-水c+的展开式中的系数为 14.已知函数(x)=x3-3x,若过点M(2,t)可作曲线y=f(x)的3条切线，则实数t的取值 范围为 四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知函数f(x)=-xnx+2x+1. (1)求函数f(x)的单调区间以及极值： (2)求函数f(y)在「1，e上的最值 16.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为4，b,c,且2ac0SA+bcosC=ccos(A+C). (1)求角A的大小： (2)若a=√21，△4BC的面积为√3，求△4BC的周长. 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD, AB1CD,CD=PD=2AD=2AB=2,点E是棱PC上的动点，且E=0<1<). PC ()若2=子，证明：PA1/平面BDB: (②诺PB与平面BD8所成角的正弦值为号，求元的值， 18.某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼， 若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为}：若甲当天 1 选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为了，选择丘乓球的概率为兮：若甲当天选择篮球， 则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育 锻炼请完成下列计算： (1)求甲第2天选择羽毛球的概率； (2)求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率： (3)记甲第n(n∈N)天选择羽毛球的概率为Pn,请写出Pn与P-(n≥2)的关系 19.在平面直角坐标系中，如果将函数y=f()的图象绕坐标原点逆时针旋转(0<< 3后， 所得曲线仍然是某个函数的图象，则称f(x)为“α旋转函数” (1)判断函数y=√3x是否为严旋转函数，并说明理由： 6 (2)已知函数f(x)=ln(2x+1)(x>0)是“a旋转函数”，求tana的最大值： (3)若函数g(y)=mk-1)e-xnx-二是“云旋转函数，求m的取值范围 2 东莞外国语学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 6 9 10 答案 C 0 C B A D B BD ABC 题号 11 答案 ABD 2.A【详解】试题分析：按偶数字在个位分类：个位只能是2或者4，十位在余下4个中选 择，百位在余下3个中选择.所以答案是2×4×3=24，故选A. 3.D【详解】由题意己知f'(x)=3,可得 mf5}-2a-2m5-2a-L △x 2△x 4.C【详解】由题意可得P(X≥3)=P(X=3)+P(x=4)+P(x=5)=3×-3 55 5.B 【详解】设{a}的公差为d,b}的公比为q(q≠0)， 1+d+q=5 则由题可知，有 1+2+g=9解得g=2或g=0(舍去)，则d=2, 因此44=a+3d=1+3×2=7 6.A【详解】当x≥0时，g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=x[2fx)+xf'(x〗，又 f)+(-)-f0)+f0)<0,∴g(<0,即e()在0+m)上单调递减. ,f(x)是定义在R上的偶函数，.g(x)是定义在R上的偶函数， 由不等式g(w)<g0-2x),则有g0xD<81-2x),x1-2x,解得：3<x<1. “不等式g()<81-2x)的解集为(，山.故选：A 7.D【详解】由题意，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师， 则主治医师的分配方案有2种，即“2+2+1”或“3+1+1” 当主治医师按照“2+2+1"分配时，主治医师的分法种数为CCS=15, A 再将4名实习医生按照“1+1+2”与之配成对应的三组，分法种数为CC=12, 最后将分好的三组分配到3个乡镇，分配方法种数为A;, 根据分步乘法计数原理，不同的分配方法种数为15×12×A=1080: 当主治医师按照“3+1+1>分配时，主治医师的分法种数为CCC=10, A 再将4名实习医生按照“0+2+2”与之配成对应的三组，分法种数为C?=6, 最后将分好的三组分配到3个乡镇，分配方法种数为A, 根据分步乘法计数原理，不同的分配方法种数为10×6×A=360 根据分类加法计数原理，不同的分配方法种数为1080+360=1440.故选：D. 8.B【详解】因为-C-2-1,所以点Pa.)在函数f)=e的图象上，点Qc,d山在直 bd-1 线y-1=x-2即y=x-1上， 当函数y=f(x)的图象过P点的切线与直线y=x-1平行时，切点P到直线y=x-1的距离最 小，也即为Pg=V(a-c)2+(b-d)2的最小值， f'(x)=e*,由f(x)=1得x=0,f(0)=1, P(0,1)到直线y=x-1的距离 0-1-]=2,所以P0L=5, 所以(a-c)+(b-d)2的最小值为2. 9.BD【详解】由图可得，当x∈(-∞，-3)，f'(x)<0,f(x)单调递减，当x∈（-3,1)，f'(x)≥0， f(x)单调递增，可知-3是函数y=f(x)的极值点，故A正确，-2不是函数y=∫(x)的极 值点，故B错误， 当x∈（-3,1)，f(x)≥20，故y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增，故C正确，-1不是函数 y=f(x)的极值点，故D错误. 10.ABC【详解】对于A,令x=1,得a。+4+a2+.+aoo=1, 令x=0,得a。=1,故4+42+.…+ao0=0,A正确： 对于B,所有含x的奇数次项的二项式系数和， 与所有含x的偶数次项的二项式系数和相等，都为2，故B正确： 对于C,f(-1)=310=90=(7+2)50,故只需考虑20被7整除得余数， 因为20=4×28=4×86=4×(7+1)16， 被7整除的余数为4，故C正确： 6 对于D,(2x-1)0=a+4x+a,x2+…+4oox0, 两边求导得100×(2x-1)”×2=a+2a,+3a,x2++100aox9, 再令x=1,得a+2a,+3a,++100ao=200，故D错误. 11.ABD【详解】对于A,显然0不是函数的零点，当x≠0时，令e-ar2=0,变形为a= e 令g国)-年0，则g6-e-2, 令gw)=e-2,0得x>2或x<0,令g(<0得0<x<2, x3 所以g)-二在(m.0叭.2+四)上单调递指，在(0,2)上单调递减， 82)手作出&)-是的图家，卖下： 直线y=a与其仅有一个公共点，则a∈0， 4 对于B,f'(x)=e-2r,令h(x)=f'(x), 函数∫(x)有且仅有2个极值点，故h(x)=0有2个变号零点， 令h(x)=0得e-2ax=0,显然0不是函数的零点， 当x≠0时，c-2a=0变形为2a=g,令q(x)=g 则g)=c(-少，令q(9>0得x>1,令q(四<0得x<0或 0<x<1, 故g(x)=。在(-∞，0)，(0,1)上单调递减，在(，+)上单调递增， q)=e,作出q(y)=c的图象，如下： 直线y=2a与其交于两点，则2ae(e,+∞)，故a∈ B正确； 对于C,结合B的分析，显然当a<0时，h(x)有且仅有一个变号零点， 函数(x)存在唯一的极值点，C错误； 对于D,f(x)≥0，即e-m2≥0，当x=0时，1≥0满足要求， 当x≠0时，e-m2≥0，变形为a≤ x2 1 令g-号·结合A的分析，当>0时，g(8(2)-号，故aD正确 12.12【详解】若AD同色，3种颜色（全部用完），有A=6种， 若BC同色，3种颜色（全部用完），有A=6种， 所以共有6+6-12种. 13.24【详解】二项式(x+)的展开式通项公式为T,1=C6x'y,r≤6，r∈N, 当r=4时，T=Cgx2y=15x2y4,当r=5时，T6=Cxy=6xy°， 因此展开式中含xy的项为2×15x2y+6xw.(=24xy,故所求系数为24. 1 14.(-6,2) 【详解】设切点为(x。,x-3x。),因为函数f(x)=x3-3x,所以f"(x)=3x2-3,则 f"(x)=3-3, 所以切线方程为：y-(x-3x)=(3x-3)x-x),又切线方程过点M(2,t), 所以t-(x3-3x)=(3x-3)(2-),化简得：t=-2x+6x-6, 令g(x)=-2x3+6x2-6,所以g'(x)=-6x2+12x=-6x(x-2) 所以当x<0或x>2时，g(x)<0,g(x)单调递减， g(x)F-2x3+6x2.6 当0<x<2时，'(x)>0,g(x)单调递增， 2 y=t 所以g(x)的极小值为g(0)=-6,极大值为g(2)=-2×23+6×22-6=2, g(x)的草图如下： 6 过点M(2,t)可作曲线y=f(x)的3条切线等价于直线y=t与函数y=g(x)有三个交点，则 -6<t<2,所以t∈(-6,2) 15.【详解】(1)函数f(x)=-xhx+2x+1的定义域是(0，+o).…1分 又f'(x)=1-lnx,令f(x)>0,得0<x<e,令f'(x)<0,得x>e, 故函数f(x)的单调递增区间为(0，e),单调递减区间为(，+o)，…4分 所以函数f(x)的极大值为f(e)=e+1,无极小值.6分 (2)由(1)可知，f(x)在[1，e]上单调递增，在(e,e2上单调递减，8分 所以f(x)ns=f(e)=-ehe+2e+1=e+1l0分 所以f(x)在1，e2]上的最小值为min{f(),J(e》 又因为f()=3f(e2）=1,所以f(e2)<f(),12分 所以函数f(x)在1，e2]上的最小值为1，即f(x)。=1l3分 16.【详解】(1)因为2 acosA+bcosC=ccos(A+C)=-ccos B,1分 由正弦定理可得2 sin AcosA+sin B cosC=-sin Ccos B,3分 2sin AcosA=-(sin B cosC+sin Ccos B)=-sin(B+C)=-sinA,....... 又因为A∈(0，)，则sinA≠0，可得2cosA=-1,即cosA=-, 2’6分 所以A=2π .8分 (2)因为A48C的面积为in=5c-5,可得bc=4,…9分 4 由余弦定理可得a2=b2+c2-2 bc cosA=(b+c)-2bc-2bcc0sA,..11分 即21=(b+c}-8+4,可得b+c=5,13分 所以△4BC的周长为a+b+c=V2i+515分 17.【详解】(1)如图连接AC交BD于点F,连接EF1分 因为AB∥CD且CD=2AB, 所以AB-A=1.4R1 CDF2A0=3,3分 因为=背所以器 PC 3' 所以是器-所以A歌，5分 又因为EFC平面BDE,PAE平面BDE, 所以PA/平面BDE..7分 (2)如图建立空间直角坐标系，则B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,2), 则D=(110),PB=(1,1,-2),8分 因为是=0<，所以 P2=1PC=(0,2,-2)=(0,2元，-22)，9分 所以DE=Dp+PE=(0,0,2)H(0,22-22上0,222-21)，10分 设平面BDE的一个法向量=(x,y,), iDB=0 则 DE=0 22w+亿-22z=0,令y=1-1,得i=(1-元-12)，12分 即 x+y=0 所水a丽34中后解得A=号或=2合)…4分 2 2 3 所以的值为 3.15分 17.【详解】(1)设事件A,A,A分别表示第一天选择羽毛球、乒乓球、篮球，第二天选择 羽毛球的事件为B2,则AUA,UA=2且A,A2,A两两互斥，1分 依题意，P心=心=心)-背心医1A)-子a1)-号及》=寸4分 且B2=AB2UAB2UA,B2, 由全概率公式得 P=4aa,D+APH)+4P@,4)-}子}子号号号6分 111 (2)由条件可得P(4,)=P4)P(B,A,)=3×3g8分 1 .P(A|B2)= P4B2=9-2 10分 P(B2)19 2 (3)设甲第n(n∈N天选择羽毛球的概率为Pn,甲第n(n∈N)天选择乒乓球的概率为R, 由无论前一天选择什么，后一天选乒乓球的獗率均为写，得R写对所有≥1均成立。 1 10 从而选择篮球的概率为S=1-P-R=名-P,…12分 3 1 2 1 当n≥2时，由全概率公式，得卫的递推关系为P=P×十R×号十，×行l5分 3 1 4 1 而R,=,S1=3P化简得卫6卫-+。22)，乃317分 【说明：月-未写扣1分】 19.【详解】1)函数)=V5x不是君旋转函数理由如下：l分 y-5x通时针旋转君后与y轴重合，2分 当x=0时，有无数个y与之对应，与函数的概念矛盾， 因此函数y=5x不是：匹旋转函数…4分 6 解法一：(2)由题意可得 函数f(x)=ln(2x+1)(x>0)与函数y=c+b最多有1个交点，且k=tan 2 -0 5分 所以血(2x+1)=kc+b(x>0)最多有一个根， 即ln(2x+1)-k=b(x>0)最多有一个根， 因此函数y=ln(2x+1)-cx(x>0)与函数y=b(b∈R)最多有1个交点，6分 即函数y=lh(2x+1)-在(0，+o)上单调，7分 因为V2k,且02102,8分 2x+1 所以V2 k≤0，k≥、2 2x+1 22x+’所以k≥2，…9分 仔a小2。图a分即ma的最大值为；…10分 即tan π） (3)由题意可得函数g)=mK-1)e-xnx-号与函数y=x+b最多有1个交点11分 2 即m(a-le-hnx子rb=m6-1y-nr- 2=b, 即题效y-加(：-c-xn子与函数=6级多有1个交点，12分 即西数=m6-e一nx-子在(Q+)上单调，1B3分 y'=xe-nx-x-2,当x→0时，y'→+0， 0 所以y'≥0→≥ nx+x+2 ，14分 max 令p(e-血++2，则px)-+-1n=x-, re" x'e 因为1=-hx-1在0)上单调减，且[得)>0400. 所以存在气仔· 使（化）=0,15分 即nx,+,=-1→h6e5-l→e5=。 1 所以p(x)在(0，x。)单调递增，（x,+0)单调递减，…16分 所以侧=)-=2名，即me7分 oet 12