6.3 二项式定理特殊题型【6大题型】讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.3 二项式定理特殊题型 题型预览 题型一 求有理项或其系数 题型二 多项乘积展开式的系数问题 题型三 三项展开式的系数问题 题型四 整除和余数问题 题型五 近似值的问题 题型六 杨辉三角形的性质与应用 知识清单 杨辉三角形 1．如图所示，结合杨辉三角与二项式(a＋b)n的展开式的二项式系数可发现如下性质： 第n行就是(a＋b)n的展开式的二项式系数； 当行数n为偶数时最大； 当行数n为奇数时和最大． 2．杨辉三角中各数字之间存在的性质 (1)对称性：每行中与首末两端“等距离”的数相等，即＝，如图1. (2)递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即＝＋. (3)第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即＋＋＋…＝＋＋＋…，如图2. (4)第n行数的和为2n，即＋＋＋…＋＝2n，如图3. (5)第n行各数平方和等于第2n行中间的数，即2＋2＋2＋…＋2＝，如图4. 题型突破 题型一 求有理项或其系数 1．（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知的展开式中，第7项为常数项． (1)求n的值； (2)求展开式中所有的有理项． 2．（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为. (1)求； (2)求该展开式中的有理项. 3．（25-26高二下·河南许昌·期中）已知（为正整数）展开式的所有项的二项式系数和为128. (1)求展开式中的第4项； (2)求展开式中有理项的个数； (3)求展开式中系数最大的项. 4．（25-26高二下·江苏无锡·期中）（多选）已知在的二项展开式中，第6项为常数项，则（    ） A． B．展开式中项数共有11项 C．含的项的系数为 D．展开式中有理项的项数为3 5．（25-26高二下·新疆乌鲁木齐·期中）若 的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为. (1)求展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值； (2)求展开式中所有的有理项； 题型二 多项乘积展开式的系数问题 6．（河北定州中学等校2025-2026学年高二下学期4月期中数学试题）已知的展开式中的系数为20，则（    ） A．4 B． C．2 D．3 7．（25-26高二下·江苏无锡·期中）的展开式中的系数是_________. 8．（25-26高二下·湖北荆州·期中）的展开式中的系数为___________. 9．（湖北武汉市2026届高三下学期四月供题数学试题）在的展开式中，含项的系数为（   ） A．240 B． C．80 D． 10．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）在的展开式中，的系数为______． 题型三 三项展开式的系数问题 11．（河北承德市2025-2026学年高二下学期4月阶段检测数学试题）展开式中的系数为（    ） A．40 B． C．120 D． 12．（广东茂名市第一中学等九校2025-2026学年高二下学期4月学情调研数学试题）若，则______. 13．（25-26高三下·重庆沙坪坝·月考）若的展开式中的常数项为1，则_____. 14．（25-26高二下·天津·月考）的展开式中的系数是_________（用数字作答） 15．（2026·四川南充·二模）的展开式中的系数为（    ） A．1 B．6 C．15 D．20 题型四 整除和余数问题 16．（25-26高二下·湖北武汉·期中）除以得到的余数是________ 17．（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知能够被8整除，其中，则______． 18．（25-26高二下·安徽安庆·月考）被7整除的余数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 19．（25-26高二下·山东泰安·期中）除以9的余数为（    ） A．1 B．2 C．7 D．8 20．（2026·河北邯郸·二模）已知，则被10除的余数为（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 题型五 近似值的问题 21．（2026·江苏镇江·二模）计算保留到小数点后3位的结果是（    ） A．0.945 B．0.905 C．0.904 D．0.903 22．（2026·安徽滁州·二模）试估计（   ）（精确到0.0001） A．1.1462 B．1.1463 C．1.1045 D．1.1046 23．（25-26高二下·江苏南京·月考）下列选项中与最接近的数为（   ） A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15 24．（2025高三·全国·专题练习）计算：．（精确到0.001） 25．（25-26高三下·浙江杭州·月考）实数的近似值（精确到0.001）是（    ） A．31.680 B．31.681 C．31.682 D．31.683 题型六 杨辉三角形的性质与应用 26．（25-26高二下·吉林·期中）（多选）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的说法正确的是（    ） A．第6行从左到右第4个数是 B．第行的第个数最大 C． D．记第n行的第i个数为，则 27．（25-26高二下·福建福州·期中）在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角，杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章．如图1所示，杨辉三角第6行的7个数依次为，．将杨辉三角中第行的第个数乘以，第0行的一个数为0，得到一个新的三角数阵如图2，则在这个新的三角数阵中，第100行的所有数的和为（   ） A． B． C． D． 28．（25-26高二下·河北衡水·期中）（多选）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的说法正确的是（   ） A．第10行所有数字的和等于1024 B．第2026行的第1013个数最大 C．210在杨辉三角中出现了6次 D．记第行的第个数为，则 29．（25-26高二下·湖北武汉·期中）（多选）将按照二项式定理展开后，其各二项式系数可以形成“杨辉三角”（图1），将”杨辉三角”中所有的奇数涂成黑色圆，偶数涂成白色圆，就得到“谢尔宾斯基三角形”（图2），则下列说法正确的是（   ） A．在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为 B．在“杨辉三角”中，记第行的第个数为，则 C．在“谢尔宾斯基三角形”中，第行全行都为黑色圆 D．在“谢尔宾斯基三角形”中，第126行的黑色圆比白色圆少一个 30．（25-26高二下·江苏无锡·期中）（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现．在“杨辉三角”中，除每行（不含第0行）两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和．例如：第4行的6为第3行中两个3的和．则下列说法正确的是（）    A．第6行从左到右第3个数是15 B．第n行的所有数字之和为 C．第10行所有数字的平方和等于 D．若第n行的第个数记为，则 强化训练 1．（25-26高二下·浙江·期中）的展开式中常数项为（    ） A．-6 B．6 C．1 D．4 2．（25-26高二下·吉林四平·月考）的展开式中的常数项为（    ） A．61 B．29 C．309 D．308 3．（25-26高二下·吉林四平·月考）的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则展开式中的有理项有（    ） A．9项 B．10项 C．20项 D．21项 4．（2026·河南南阳·一模）今天是星期一，再过天是星期几（    ） A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五 5．（24-25高二下·安徽·期中）的小数点后第三位数字为（ ） A． B． C． D． 6．（2025·湖北黄冈·模拟预测）（多选）下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．被8整除的余数为1 D．精确到的近似数为 7．（24-25高二下·福建泉州·月考）（多选）关于多项式的展开式，下列结论正确的是（ ） A．各项系数之和为32 B．各项系数的绝对值之和为 C．常数项为80 D．的系数为0 8．（25-26高三上·河北邯郸·月考）（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 9．（2026·天津东丽·一模）在的展开式中的系数为______． 10．（25-26高二下·山东枣庄·期中）的展开式中的系数是_________（用数字作答）． 11．（24-25高二下·山东济宁·月考）（1）求的展开式中按的升幂排列的第3项； （2）求的展开式的常数项； （3）求的展开式中的系数. 12．（25-26高二下·广东东莞·期中）已知的展开式中仅第5项的二项式系数最大，且第4项､第5项､第6项的系数成等差数列. (1)求和的值； (2)若，且，求被5除的余数； (3)若，求的展开式中系数最大的项. 13．（2025高三·全国·专题练习）（1）求精确到0.001的近似值； （2）若今天是星期一，再过天是星期几？ 14．（24-25高二下·新疆克拉玛依·期中）已知在的展开式中，所有二项式系数之和为1024. (1)求的值以及展开式中的常数项； (2)求展开式中所有的有理项； (3)求展开式中系数最大的项. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3 二项式定理特殊题型 题型预览 题型一 求有理项或其系数 题型二 多项乘积展开式的系数问题 题型三 三项展开式的系数问题 题型四 整除和余数问题 题型五 近似值的问题 题型六 杨辉三角形的性质与应用 知识清单 杨辉三角形 1．如图所示，结合杨辉三角与二项式(a＋b)n的展开式的二项式系数可发现如下性质： 第n行就是(a＋b)n的展开式的二项式系数； 当行数n为偶数时最大； 当行数n为奇数时和最大． 2．杨辉三角中各数字之间存在的性质 (1)对称性：每行中与首末两端“等距离”的数相等，即＝，如图1. (2)递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即＝＋. (3)第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即＋＋＋…＝＋＋＋…，如图2. (4)第n行数的和为2n，即＋＋＋…＋＝2n，如图3. (5)第n行各数平方和等于第2n行中间的数，即2＋2＋2＋…＋2＝，如图4. 题型突破 题型一 求有理项或其系数 1．（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知的展开式中，第7项为常数项． (1)求n的值； (2)求展开式中所有的有理项． 【答案】(1)； (2)和. 【分析】（1）结合二项式展开式中第项为常数可列式求得； （2）结合二项式展开式的通项公式，求得展开式中所有有理项即可 【详解】（1）已知在的展开式中的第7项为， 所以，解得； （2）因为展开式的通项公式为， 展开式中的有理项的指数为整数，令，， 所以，因为，且为整数，所以或时，满足条件，即或， 所以有理项为和. 2．（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为. (1)求； (2)求该展开式中的有理项. 【答案】(1) (2)，，， 【分析】（1）利用赋值法即可求解； （2）利用通项公式即可求解. 【详解】（1）二项式系数之和为，令，得的所有项的系数之和为， 由题意得，得，解得. （2）展开式通项为，， 当为整数时，即，展开式中的项为有理项， 时，；时，； 时，；时，； 即展开式中的有理项为，，，. 3．（25-26高二下·河南许昌·期中）已知（为正整数）展开式的所有项的二项式系数和为128. (1)求展开式中的第4项； (2)求展开式中有理项的个数； (3)求展开式中系数最大的项. 【答案】(1) (2)共有4个有理项 (3)5103和 【分析】（1）借助二项式系数和计算可得，再利用二项式的展开式的通项公式计算即可得解； （2）利用二项式的展开式的通项公式，令的次数为整数计算即可得； （3）令，解出后代入二项式的展开式的通项公式即可得. 【详解】（1）由，可得， 则展开式的通项公式为， 其中， 令，得，所以展开式中的第4项为； （2）当为整数时，对应的项为展开式中的有理项， 故可以为1，3，5，7，所以共有4个有理项； （3）由题意，设第项为系数最大的项，则， 即有， 整理得，解得， 又，所以或，则，， 所以展开式中系数最大的项为和. 4．（25-26高二下·江苏无锡·期中）（多选）已知在的二项展开式中，第6项为常数项，则（    ） A． B．展开式中项数共有11项 C．含的项的系数为 D．展开式中有理项的项数为3 【答案】BD 【分析】利用二项式定理及二项展开式的通项公式，结合展开式中的特定项的求法即可求解. 【详解】依题意，展开式的通项公式为， 因为第6项为常数项， 所以时，有，解得，故A错误； 由，得展开式中项数共有项，故B正确； 令，得， 所求含项的系数为.故C错误； 由,令，,则，即， 因为，所以应为偶数，所以可取，即可以取，所以第项，第项，第项为有理项，即展开式中有理项的项数为3，故D正确. 5．（25-26高二下·新疆乌鲁木齐·期中）若 的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为. (1)求展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值； (2)求展开式中所有的有理项； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据题意求出的值，再求出展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和即可； （2）求出展开式的通项公式求解，令为整数即可. 【详解】（1）由题，可得，即，即， 又，所以，   令，得，故系数和为， 各项的二项式系数和为， 故展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值为. （2）因展开式的通项公式为，， 当时，为整数，即，，， 所以展开式的有理项为. 题型二 多项乘积展开式的系数问题 6．（河北定州中学等校2025-2026学年高二下学期4月期中数学试题）已知的展开式中的系数为20，则（    ） A．4 B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】由展开式通项为，， 所以中的系数为，即. 7．（25-26高二下·江苏无锡·期中）的展开式中的系数是_________. 【答案】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对，有， 则，， 则的展开式中的系数是. 8．（25-26高二下·湖北荆州·期中）的展开式中的系数为___________. 【答案】 【详解】的展开式的通项为，， 当时，， 此时只需乘第一个因式中的即可，得到； 当时，， 此时只需乘第一个因式中的即可，得到． 据此可得的系数为． 9．（湖北武汉市2026届高三下学期四月供题数学试题）在的展开式中，含项的系数为（   ） A．240 B． C．80 D． 【答案】D 【详解】的通项， 项的两种来源，①中项与相乘，②中项与相乘， ①令，得，此时该项为，与相乘后得到， ②令，得，此时该项为，与相乘后得到， 所以，含项的系数为． 10．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）在的展开式中，的系数为______． 【答案】 【详解】的通项公式为，令得， 所以， 的通项公式为，令得， 所以的系数为. 题型三 三项展开式的系数问题 11．（河北承德市2025-2026学年高二下学期4月阶段检测数学试题）展开式中的系数为（    ） A．40 B． C．120 D． 【答案】D 【分析】利用生成的方法，结合组合数公式，即可求解. 【详解】， 要生成项，相当于从6个括号中选取2个括号取， 剩下的4个括号中的1个括号取，另外3个括号取， 故为， 所以展开式中的系数为 12．（广东茂名市第一中学等九校2025-2026学年高二下学期4月学情调研数学试题）若，则______. 【答案】240 【分析】根据题意，得到含的项中，当为奇数时，系数为负，当为偶数时，系数为正，分别令和，求得和，进而得到答案. 【详解】由多项式的展开式中， 对于含的项中，当为奇数时，系数为负，当为偶数时，系数为正， 所以， 对于， 令，得； 令，得， 所以. 13．（25-26高三下·重庆沙坪坝·月考）若的展开式中的常数项为1，则_____. 【答案】2 【详解】由， 其展开式的通项为，， 而展开式的通项为，， 令，得或或， 因为的展开式中的常数项为1， 所以，则， 又，则. 14．（25-26高二下·天津·月考）的展开式中的系数是_________（用数字作答） 【答案】 【分析】利用二项式定理计算即可 【详解】可看成五个因式的乘积， 含的项可以是五个因式中选1个提供，1个提供，余下3个因式提供1； 也可以是五个因式中选3个提供，余下2个提供1； 则的系数是. 15．（2026·四川南充·二模）的展开式中的系数为（    ） A．1 B．6 C．15 D．20 【答案】B 【分析】先化简得到，再利用二项展开式的通项计算的系数 【详解】化简得到， 的展开式通项为。 令 ，即，得到， 故的系数为. 题型四 整除和余数问题 16．（25-26高二下·湖北武汉·期中）除以得到的余数是________ 【答案】 【分析】先将转化为与相关的表达式，再利用二项式定理展开，通过分析展开式各项与的关系，从而确定其被除所得的余数即可. 【详解】将改写为，由二项式展开得： ， 展开式中，除第一项外，其余所有项都含有因数，均为的倍数， 因此余数就是第一项的. 17．（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知能够被8整除，其中，则______． 【答案】7 【分析】利用二项式定理将转化为，分析其除以8的余数，再结合能够被8整除的条件，即可求出的值. 【详解】因为， 根据二项式定理：， 展开式中，前1013项都含有因数8，都能被8整除， 只有最后一项不能被8整除， 因为能够被8整除，所以就需要能被8整除， 又因为，即，所以，则. 18．（25-26高二下·安徽安庆·月考）被7整除的余数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】由题可知，， 则其展开式的通项公式为， 由通项公式可得，只有时，不能被7整除， 其余项均能被7整除，故被7整除的余数为3． 19．（25-26高二下·山东泰安·期中）除以9的余数为（    ） A．1 B．2 C．7 D．8 【答案】D 【分析】利用二项式定理即可求解. 【详解】由题意得， 又因为， 所以除以9的余数为. 20．（2026·河北邯郸·二模）已知，则被10除的余数为（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【分析】利用二项式定理化简原式，将问题转化为求除以10所得的余数，即可得. 【详解】， 由 ， 由于最后一项为，所以被10除的余数为9. 题型五 近似值的问题 21．（2026·江苏镇江·二模）计算保留到小数点后3位的结果是（    ） A．0.945 B．0.905 C．0.904 D．0.903 【答案】C 【分析】由结合二项式展开式计算前四项的和即可求解. 【详解】， 由于展开式的第一项，第二项， 第三项，第四项，后面的项绝对值更小，对小数点后3位的影响可以忽略， 由， 所以保留到小数点后3位的结果是. 22．（2026·安徽滁州·二模）试估计（   ）（精确到0.0001） A．1.1462 B．1.1463 C．1.1045 D．1.1046 【答案】D 【详解】， 因为，所以第五项及之后均可忽略不计， 所以. 23．（25-26高二下·江苏南京·月考）下列选项中与最接近的数为（   ） A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15 【答案】B 【详解】 从选项可知精确到0.01即可. 所以原式. 24．（2025高三·全国·专题练习）计算：．（精确到0.001） 【答案】31.761 【分析】利用二项式定理进行近似计算. 【详解】． 所以． 25．（25-26高三下·浙江杭州·月考）实数的近似值（精确到0.001）是（    ） A．31.680 B．31.681 C．31.682 D．31.683 【答案】B 【分析】先将变形为，再利用二项式定理展开化简即可得解． 【详解】 ， 将精确到，故近似值为． 题型六 杨辉三角形的性质与应用 26．（25-26高二下·吉林·期中）（多选）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的说法正确的是（    ） A．第6行从左到右第4个数是 B．第行的第个数最大 C． D．记第n行的第i个数为，则 【答案】ACD 【详解】选项：由题目所给的杨辉三角可知，从第行起，第行第个数可表示为, 故第行从左到右第四个数是，故正确 . 选项：第行第个数可表示为,由组合数的性质可知最大,因此时最大，故错误. 选项：,故正确. 选项：第行第个数,因此,令,则, 即,故正确. 27．（25-26高二下·福建福州·期中）在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角，杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章．如图1所示，杨辉三角第6行的7个数依次为，．将杨辉三角中第行的第个数乘以，第0行的一个数为0，得到一个新的三角数阵如图2，则在这个新的三角数阵中，第100行的所有数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据杨辉三角的特性、二项展开公式结合函数的导数分析求解即可. 【详解】由题可得杨辉三角中第行的第个数为，则新的三角数阵中第行的第个数为， 第行的和为：， 设， 两边求导得：， 令得，， 所以第行的和为，第100行的所有数的和为． 28．（25-26高二下·河北衡水·期中）（多选）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的说法正确的是（   ） A．第10行所有数字的和等于1024 B．第2026行的第1013个数最大 C．210在杨辉三角中出现了6次 D．记第行的第个数为，则 【答案】ACD 【分析】对A：根据题目所给的杨辉三角，得出每一行每一个数的表示，对第10行所有数字求和即可得；对B：根据组合数的性质，即可找到第2026行中的最大数；对C：列举出值为210的组合数即可；对D：使用二项式定理进行转化即可. 【详解】对A：第行的第个数，故第10行所有数字的和等于为： ，故A正确； 对B：第2026行的第个数可表示为， 由组合数的性质可知，最大，因此，， 故第2026行的第1014个数最大，故B错误； 对C：210在杨辉三角中出现的情况有（第10行的第5个数）， （第10行的第7个数），（第210行的第2个数）， （第210行的第210个数），（第21行的第3个数）， （第21行的第20个数），共6次，故C正确； 对D：第行的第个数，因此， 令，则， 即，故D正确. 29．（25-26高二下·湖北武汉·期中）（多选）将按照二项式定理展开后，其各二项式系数可以形成“杨辉三角”（图1），将”杨辉三角”中所有的奇数涂成黑色圆，偶数涂成白色圆，就得到“谢尔宾斯基三角形”（图2），则下列说法正确的是（   ） A．在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为 B．在“杨辉三角”中，记第行的第个数为，则 C．在“谢尔宾斯基三角形”中，第行全行都为黑色圆 D．在“谢尔宾斯基三角形”中，第126行的黑色圆比白色圆少一个 【答案】ABC 【分析】根据二项式系数之和的公式即可求解A，根据组合数的运算性质即可求解BC，由杨辉三角的性质即可求解D． 【详解】第行的所有数字之和为，A正确； ，所以，B正确； 通过观察规律归纳可知：第行数字都是奇数，因此可以归纳出第行全行都是奇数，故都为黑色圆，C正确； 由C可知第127行全行为奇数，则由奇数+偶数=奇数，结合， 则第126行的127个数是奇偶相间，且两端都是奇数，所以黑色圆比白色圆多一个，D错误； 30．（25-26高二下·江苏无锡·期中）（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现．在“杨辉三角”中，除每行（不含第0行）两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和．例如：第4行的6为第3行中两个3的和．则下列说法正确的是（）    A．第6行从左到右第3个数是15 B．第n行的所有数字之和为 C．第10行所有数字的平方和等于 D．若第n行的第个数记为，则 【答案】ACD 【分析】A. 杨辉三角第行对应二项式系数，第6行第3个数为,计算可得，与选项相符，故A正确. B. 根据二项式定理，令中，可得第行所有数和为, 并非，因此B错误. C. 先证明杨辉三角相关结论：第行各数平方和等于.代入，即得平方和为，故C正确. D. 由，将原式化为.由，可得等式成立，故D正确. 【详解】A.杨辉三角规定第行为，第行的数对应二项式系数，第行从左到右第个数对应，计算得，A正确. B.杨辉三角第行（不含第0行）的所有数为. 由二项式定理，令， 取，得，即第行数字之和为，不是，B错误. C.在“杨辉三角”中,第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字, 用数学语言表述为， 证明如下: 对应相乘可得的系数为. 而利用二项式定理可得通项公式为，当时,可得，即的系数为:，所以所以第10行所有数字的平方和等于，C正确. D.第行第个数，则求和式可替换为，令，得，由二项式定理，故，D正确. 强化训练 1．（25-26高二下·浙江·期中）的展开式中常数项为（    ） A．-6 B．6 C．1 D．4 【答案】B 【详解】因为， 所以展开式的通项为. 令，得， 所以常数项为. 2．（25-26高二下·吉林四平·月考）的展开式中的常数项为（    ） A．61 B．29 C．309 D．308 【答案】C 【详解】的展开式中的常数项为． 3．（25-26高二下·吉林四平·月考）的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则展开式中的有理项有（    ） A．9项 B．10项 C．20项 D．21项 【答案】B 【分析】先根据二项式系数的性质确定的值，再求出展开式的通项公式，最后根据有理项的定义确定有理项的个数. 【详解】因为展开式中仅有第30项的二项式系数最大， 所以，，， 所以当为的整数倍时，为有理项， 所以的取值依次为，共项． 4．（2026·河南南阳·一模）今天是星期一，再过天是星期几（    ） A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五 【答案】D 【分析】通过二项式定理将逐步变形为与相关的展开式，消去能被整除的项，最终求得除以的余数，进而推算出对应的选项. 【详解】因为， 由能被整除，则上式前项都能被整除，只需看最后一项除以的余数， 由， 则除以的余数为， 所以今天是星期一，再过天，是星期五. 5．（24-25高二下·安徽·期中）的小数点后第三位数字为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项展开式可得出该小数的前四位数，即可得解. 【详解】因为 ， 因此，的小数点后第三位数字为. 故选：A. 6．（2025·湖北黄冈·模拟预测）（多选）下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．被8整除的余数为1 D．精确到的近似数为 【答案】ABD 【分析】逆用二项式定理计算可判断A项，运用赋值法，令，求解可判断B项，由，结合二项式定理计算可判断C项，，结合二项式定理计算可判断D项. 【详解】对于A项，由二项式定理可知，故A项正确； 对于B项，令得①，令得②， 所以①②可得，故B项正确； 对于C项，， 由此可得被8整除的余数为，故C项错误； 对于D项， ， 所以精确到的近似数为，故D项正确. 故选：ABD. 7．（24-25高二下·福建泉州·月考）（多选）关于多项式的展开式，下列结论正确的是（ ） A．各项系数之和为32 B．各项系数的绝对值之和为 C．常数项为80 D．的系数为0 【答案】ABD 【分析】令，可判断A；令多项式中的可得到B；求出通项，令可得C错误；在C基础上，由通项中令可得D. 【详解】对于A，令，可得各项系数之和为，故A正确； 对于B，多项式的展开式各项系数的绝对值之和与多项式的展开式各项系数之和相等， 在多项式中，令，可得各项系数之和为，故B正确； 对于C，的展开式的通项公式为， 的展开式的通项公式为， 令，则有3种情况：当时，该项为； 当时，该项为；当时，该项为； 故常数项为，故C错误； 对于D，令，结合，则有， 解得或， 当时，该项为； 当时，该项为， 所以，的系数为，故D正确. 故选：ABD. 8．（25-26高三上·河北邯郸·月考）（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A，注意到，据此可判断选项正误；对于BC，由赋值法可判断选项正误；对于D，利用导数知识结合赋值法可判断选项正误. 【详解】对于A选项，，所以，A选项正确； 对于B选项，令，可得，B选项正确； 对于C选项，令，可得，与B选项分析中的式子相加，可得，所以，C选项错误； 对于D选项，设， 则， 令，可得，D选项正确． 故选：ABD. 9．（2026·天津东丽·一模）在的展开式中的系数为______． 【答案】20 【详解】因为的展开式中的项为， 所以的展开式中的系数为. 10．（25-26高二下·山东枣庄·期中）的展开式中的系数是_________（用数字作答）． 【答案】20 【分析】利用二项式通项公式找到含项，再从这些项中找到含的项. 【详解】由二项式的通项公式得：的通项公式为：， 令，得 的通项公式为： 令，解得：， , 项为 的系数是20. 11．（24-25高二下·山东济宁·月考）（1）求的展开式中按的升幂排列的第3项； （2）求的展开式的常数项； （3）求的展开式中的系数. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用二项式定理分类求解. （2）求出展开式的通项公式，进而确定常数项即可. （3）利用二项式定理求出含的项，再利用二项式定理求出指定项的系数. 【详解】（1）的展开式中升幂排列第三项为项， 而， 则当，时，为， 当，时，为， 当，时，为， 因此项为，所以升幂排列的第3项为. （2）由题意知， 当时，解得，则，所以常数项为. （3）依题意，， 当时，， ，当时，， 因此的项为，所以的系数为. 12．（25-26高二下·广东东莞·期中）已知的展开式中仅第5项的二项式系数最大，且第4项､第5项､第6项的系数成等差数列. (1)求和的值； (2)若，且，求被5除的余数； (3)若，求的展开式中系数最大的项. 【答案】(1)， 或 ； (2)1 (3)，； 【分析】（1）由二项式系数的性质，可得，根据等差数列的性质列出方程，可求得； （2）由（1）知，将写成，分析其展开式的特点，可得其被5除的余数； （3）根据项的系数最大，列出相应不等式，求出参数，即可求得相应的项. 【详解】（1）由二项式系数性质，仅第5项最大，则 为偶数且 ，解得 . 第4、5、6项系数、、，成等差数列得 .          由 ，，， 整理得 ，解得 或 . 故 ， 或 ；   （2）由 (1) 知 ， 或 .因为 ，所以 .                        又 ，则                                           ， 故   被5除的余数为 .        （3）由 (1) 知 ， 或 .因为 ，所以 . 展开式通项为 ，系数为 ，. 设第 项系数最大，则满足， 由 ，得 ，即 . 由组合数计算公式得 ，故 ，因为，所以. 由 得 ，即 . 故 ，因为，所以，所以. 综上 ，即 或 . 故系数最大的项为第3项和第4项:，； 13．（2025高三·全国·专题练习）（1）求精确到0.001的近似值； （2）若今天是星期一，再过天是星期几？ 【答案】（1）0.995；（2）星期三． 【分析】（1）由并作展开，结合精确数位即可得近似值； （2）由并作展开，判断除以7的余数，即可得. 【详解】（1）， 可以看出，及其后面的项在精确到0.001时都可以忽略， 所以近似值为． （2）因为， 显然，是一个除以7余2的数， 所以，如果今天是星期一，再过天是星期三． 14．（24-25高二下·新疆克拉玛依·期中）已知在的展开式中，所有二项式系数之和为1024. (1)求的值以及展开式中的常数项； (2)求展开式中所有的有理项； (3)求展开式中系数最大的项. 【答案】(1)；常数项 (2)有理项为. (3)系数最大项为. 【分析】（1）利用二项式系数和为求出,写出展开式通项,令的指数为0求出,代入通项算出常数项. （2）依据有理项要求,使的指数为整数,结合的取值范围筛选合法,再依次代入通项,求出全部有理项. （3）先区分系数正负,舍去负系数项,借助相邻系数绝对值的比值判断增减,比较所有正系数大小,进而确定系数最大的项. 【详解】（1）由二项式系数之和为，得. 二项式展开式通项：. 令，得. 所以得常数项. （2）有理项满足，，得. ：. ：. ：. 所以有理项为. （3）通项，第项系数. 所以为偶时系数为正， 系数绝对值，所以. 令，即，解得. 所以时，，系数绝对值递增；时，，系数绝对值递减. 所以若要系数最大, 必出现在或之中. . . 故系数最大项为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $