6.3.2 二项式系数的性质【6大题型】讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.3.2 二项式系数的性质 题型预览 题型一 二项式系数的性质 题型二 二项式系数的增减性与最大值 题型三 系数之和与二项式系数之和 题型四 奇次项与偶次项的系数和 题型五 求系数最大(小)的项 题型六 二项展开式各项系数和求参数 知识清单 二项式系数的性质 (1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的二项式系数相等； (2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数相加，即＝． 二项式系数的增减性与最大值 增减性与最大值： ＝，即，所以，当>1，即k<时随k的增加而增大；由对称性知，二项式系数的后半部分随k的增加而减小．当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值． 【注意】二项式系数取得最大值的项，其系数不一定是系数中最大的 二项式系数与二项展开式各项系数之和 ．＋＋＋…＋＝2n； ．＋＋＋…＝＋＋＋…＝2n-1． 求展开式的各项系数之和常用赋值法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (2)若f (x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f (x)的展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 题型突破 题型一 二项式系数的性质 1．（湖北鄂州市2026届高三下学期4月调研模拟考试数学试题）已知的展开式中第2项与第6项二项式系数相等，则的系数为（    ） A．12 B．-20 C．-16 D．-12 2．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知的展开式中第3项与第5项的系数相等，则奇数项的二项式系数之和为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 3．（25-26高三上·重庆南岸·月考）若（）的展开式中x与项的系数相等，则（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 4．（2025·北京朝阳·二模）已知的展开式中，第4项和第6项的系数相等，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．（2025·山东·模拟预测）已知的展开式中各项系数的和与二项式系数的和相等，则展开式中含项的系数为______（用数字作答） 题型二 二项式系数的增减性与最大值 6．（24-25高三下·青海玉树·开学考试）若展开式中的系数与的系数相等，则__________. 7．（25-26高二下·云南·期中）已知二项式的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（   ） A．84 B． C．56 D． 8．（江苏宿迁市2025-2026学年第二学期期中质量监测高二数学）的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 9．（25-26高二下·河北保定·期中）已知二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n的值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 10．（2026·江苏南京·二模）（多选）已知的展开式中只有第7项的二项式系数最大．若展开式中所有项的系数和为1，则正确的命题是（   ） A． B． C．展开式中所有二项式系数的和为4096 D．展开式中第11项为 题型三 系数之和与二项式系数之和 11．（2026·安徽安庆·三模）若的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中第3项的系数为（   ） A．112 B．224 C．56 D．28 12．（25-26高二下·湖南长沙·期中）（多选）已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则下列说法正确的有（   ） A． B．第4项的二项式系数最大 C．的系数为60 D．展开式各项系数之和为64 13．（25-26高二下·山西晋中·月考）（多选）已知的展开式共有13项，则下列说法中错误的有（    ） A．所有奇数项的二项式系数和为 B．所有项的系数和为 C．二项式系数最大的项为第6项或第7项 D．有理项共5项 14．（2026·吉林·三模）（多选）在的展开式中，则（   ） A．展开式共有7项 B．常数项是第4项 C．各二项式系数的和为 D．各项系数的和为 15．（25-26高二下·天津河北·期中）已知在的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论正确的是（   ） A．展开式中所有项的系数之和为256 B．展开式中含的一次项为 C．展开式中所有奇数项的二项式系数之和为256 D．展开式中二项式系数最大项为第4项 题型四 奇次项与偶次项的系数和 16．（河北承德市2025-2026学年高二下学期4月阶段检测数学试题）（多选）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高二下·宁夏银川·月考）已知 展开式共有11项. (1)求 的值； (2)求 的值； (3)求 的值. 18．（2026·河南濮阳·二模）若，则___________． 19．（2026·陕西咸阳·模拟预测）（多选）设，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）设，求 (1)；（不必计算最终结果） (2)；（不必计算最终结果） (3). 题型五 求系数最大(小)的项 21．（24-25高二下·新疆克拉玛依·期中）已知在的展开式中，所有二项式系数之和为1024. (1)求的值以及展开式中的常数项； (2)求展开式中所有的有理项； (3)求展开式中系数最大的项. 22．（25-26高二下·河北衡水·期中）已知展开式的所有二项式系数和为. (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式的系数最大项. 23．（25-26高二下·河北沧州·月考）若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为. (1)求展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值； (2)求展开式中所有的有理项； (3)求展开式中系数最大的项. 24．（25-26高二下·上海·期中）已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5:2. （说明：二项式系数指组合数，.） (1)求的值，并求展开式中所有的有理项； (2)求展开式中系数最大的项. 25．（25-26高二下·山东泰安·期中）二项式的展开式中，系数最大的项为（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 题型六 二项展开式各项系数和求参数 26．（2026·河南开封·模拟预测），，则实数的值为______． 27．（2026高三·北京·专题练习）已知的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则其展开式中的系数是（ ） A．48 B．64 C．40 D．80 28．（24-25高二下·重庆·月考）（多选）已知的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中（   ） A．奇数项的二项式系数的和为256 B．第6项的系数最大 C．存在常数项 D．有理项共有7项 29．（25-26高二下·全国·单元测试）已知，若．则实数________． 30．（25-26高三上·山东德州·期末）在的展开式中，的系数为-10，各项系数之和为-1，则含项的系数为________． 强化训练 1．（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）设，则（   ） A．242 B．243 C．32 D．31 2．（25-26高二下·湖北荆州·期中）记，则（ ） A．1023 B．2047 C．2024 D．4048 3．（25-26高二下·江苏徐州·月考）的展开式中，系数最大的项是第（    ）项. A． B． C． D． 4．（河南洛阳市2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷）二项式的展开式中奇数项的二项式系数之和等于（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·福建厦门·月考）在二项式展开式中，下列说法不正确的是（    ） A．第四项二项式系数最大 B．常数项为第四项 C．有理项共有4项 D．所有项的二项式系数之和为64 6．（25-26高二下·山东枣庄·期中）设，若，则（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 7．（25-26高二下·河北沧州·月考）若二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则二项式系数最大的项是（   ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 8．（25-26高二下·广西河池·月考）（多选）在的展开式中，下列说法正确的是（   ） A．二项式系数和为1 B．不存在常数项 C．第3项和第4项二项式系数最大 D．所有项的系数和为1 9．（25-26高二下·福建福州·期中）（多选）已知，则（ ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·河北邢台·月考）（多选）已知，则（    ） A． B．展开式中第5项与第7项的二项式系数相等 C． D． 11．（25-26高三上·湖南邵阳·月考）（多选）在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则（    ） A．二项式系数和为64 B．各项系数和为64 C．常数项为135 D．常数项为-135 12．（25-26高三·天津·二轮复习）已知的二项展开式中各项系数和为，则展开式中常数项的值为______. 13．（25-26高二下·陕西咸阳·期中）若，则的值为_______ 14．（25-26高三下·江西·月考）的二项展开式中，系数最大的项为__________. 15．（25-26高二下·山东临沂·月考）在的展开式中，二项式系数最大的项只有第五项， (1)求的值； (2)若第项是有理项，求的取值集合； (3)求系数最大的项. 16．（25-26高二下·河北保定·期中）已知( 且 求： (1)n和； (2) (3) 17．（25-26高二下·北京·期中）（1）已知二项式的展开式共有6项． ①求此二项展开所有项的二项式系数和； ②求此二项展开式中二项式系数最大的项． （2）已知．求的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.2 二项式系数的性质 题型预览 题型一 二项式系数的性质 题型二 二项式系数的增减性与最大值 题型三 系数之和与二项式系数之和 题型四 奇次项与偶次项的系数和 题型五 求系数最大(小)的项 题型六 二项展开式各项系数和求参数 知识清单 二项式系数的性质 (1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的二项式系数相等； (2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数相加，即＝． 二项式系数的增减性与最大值 增减性与最大值： ＝，即，所以，当>1，即k<时随k的增加而增大；由对称性知，二项式系数的后半部分随k的增加而减小．当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值． 【注意】二项式系数取得最大值的项，其系数不一定是系数中最大的 二项式系数与二项展开式各项系数之和 ．＋＋＋…＋＝2n； ．＋＋＋…＝＋＋＋…＝2n-1． 求展开式的各项系数之和常用赋值法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (2)若f (x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f (x)的展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 题型突破 题型一 二项式系数的性质 1．（湖北鄂州市2026届高三下学期4月调研模拟考试数学试题）已知的展开式中第2项与第6项二项式系数相等，则的系数为（    ） A．12 B．-20 C．-16 D．-12 【答案】D 【分析】先应用二项式系数相等得出，再应用通项公式计算求值. 【详解】∵第2项和第6项的二项式系数相等，∴，则， 则展开式通项公式是， 令，得，∴的系数为， 2．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知的展开式中第3项与第5项的系数相等，则奇数项的二项式系数之和为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】C 【分析】易知，知的展开式中各项的系数等于相应的二项式系数，所以，所以.根据二项展开式性质求奇数项的二项式系数之和. 【详解】因为的展开式通项为，所以展开式中各项的系数等于相应的二项式系数. 由题可知，，由组合数性质得. 所以奇数项的二项式系数之和为. 故选：C. 3．（25-26高三上·重庆南岸·月考）若（）的展开式中x与项的系数相等，则（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】利用二项式定理列式求出值. 【详解】依题意，，，由展开式中x与项的系数相等， 得，因此，所以. 故选：C 4．（2025·北京朝阳·二模）已知的展开式中，第4项和第6项的系数相等，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】由，即，利用组合数的性质即可求解. 【详解】由，根据题意有，由组合数的性质有. 故选：B. 5．（2025·山东·模拟预测）已知的展开式中各项系数的和与二项式系数的和相等，则展开式中含项的系数为______（用数字作答） 【答案】15 【分析】根据二项式系数与项的系数和相等求出n，再由通项公式确定常数项即可得解. 【详解】因为的展开式各项系数的和为，二项式系数的和为， 所以，解得 因为的展开式的通项为， 由，得4， 所以，即含项的系数为15． 故答案为：15 题型二 二项式系数的增减性与最大值 6．（24-25高三下·青海玉树·开学考试）若展开式中的系数与的系数相等，则__________. 【答案】8 【分析】利用二项式定理及已知有，再解组合数方程求解. 【详解】由题设，，且，， 由题意，即，则， 所以，可得. 故答案为：8 7．（25-26高二下·云南·期中）已知二项式的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（   ） A．84 B． C．56 D． 【答案】D 【详解】因为二项式的展开式中仅有第5项的二项式系数最大， 所以，所以的展开式的通项为， 令，即，故， 故展开式中的系数为. 8．（江苏宿迁市2025-2026学年第二学期期中质量监测高二数学）的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】根据题意可知只有最大， 根据二项式系数的性质，故. 9．（25-26高二下·河北保定·期中）已知二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n的值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】根据二项展开式中二项式系数的特点得到总项数为11. 【详解】根据题意，二项式展开式中只有第6项的二项式系数最大，故只有第6项为二项展开式的中间项，所以二项展开式的总项数为11， 故的值为10. 10．（2026·江苏南京·二模）（多选）已知的展开式中只有第7项的二项式系数最大．若展开式中所有项的系数和为1，则正确的命题是（   ） A． B． C．展开式中所有二项式系数的和为4096 D．展开式中第11项为 【答案】AC 【详解】因为的展开式中只有第7项的二项式系数最大， 所以展开式中共有项，所以，所以A正确. 展开式中所有二项式系数的和，所以C正确. 因为展开式中所有项的系数和为1， 令，得，所以或. 因为，所以.所以B错误. 展开式中第11项为，所以D错误. 题型三 系数之和与二项式系数之和 11．（2026·安徽安庆·三模）若的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中第3项的系数为（   ） A．112 B．224 C．56 D．28 【答案】A 【详解】由得，∴， ∴第3项系数为. 12．（25-26高二下·湖南长沙·期中）（多选）已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则下列说法正确的有（   ） A． B．第4项的二项式系数最大 C．的系数为60 D．展开式各项系数之和为64 【答案】BC 【分析】根据二项式系数的性质可求解，进而根据选项即可逐一求解. 【详解】由题意得，所以，故A错误； 因为时，二项式系数最大的是，所以第4项的二项式系数最大，故B正确； 的展开式的通项公式为， 令，得，所以的系数为，故C正确； 展开式各项系数之和为，故D错误. 13．（25-26高二下·山西晋中·月考）（多选）已知的展开式共有13项，则下列说法中错误的有（    ） A．所有奇数项的二项式系数和为 B．所有项的系数和为 C．二项式系数最大的项为第6项或第7项 D．有理项共5项 【答案】AC 【详解】，，所有奇数项的二项式系数和为，故A错误； 令，所有项的系数和为，故B正确； 由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，故C错误； 展开式通项为，， 要使展开式中的项为有理项，则为整数，即，共有项，故D正确. 14．（2026·吉林·三模）（多选）在的展开式中，则（   ） A．展开式共有7项 B．常数项是第4项 C．各二项式系数的和为 D．各项系数的和为 【答案】ABC 【详解】由知，其展开式共有7项，且二项式系数的和为，A、C对， 由该二项式的展开式的通项为， 令，则常数项为第四项，B对， 令，则各项系数的和为，D错. 15．（25-26高二下·天津河北·期中）已知在的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论正确的是（   ） A．展开式中所有项的系数之和为256 B．展开式中含的一次项为 C．展开式中所有奇数项的二项式系数之和为256 D．展开式中二项式系数最大项为第4项 【答案】B 【分析】由条件前3项的系数成等差数列列方程求，再根据二项式定理进行逐项分析. 【详解】的展开式的通项公式为. 所以该二项式展开式前3项的系数为，，， 因为前3项的系数成等差数列，，即， 整理得，解得或（舍去）. 所以该二项式为，展开式通项公式为. 对于A：令，则，即展开式中所有项的系数之和为，故A错误. 对于B：令，解得，则，故B正确. 对于C：展开式中所有奇数项的二项式系数之和为，故C错误. 对于D：因为，则展开式中二项式系数最大项为中间项，即第项，故D错误. 题型四 奇次项与偶次项的系数和 16．（河北承德市2025-2026学年高二下学期4月阶段检测数学试题）（多选）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】令通过换元得，通过通项公式可得A选项的正确，通过赋值可判断BC选项，通过对二项式展开式求导并赋值可判断D选项. 【详解】令，则，所以， 所以展开式的通项公式为，其中． 所以，故A正确； 令，则，故B错误； 令，则，故C正确； 两边对求导得 ， 令得，故D正确． 17．（25-26高二下·宁夏银川·月考）已知 展开式共有11项. (1)求 的值； (2)求 的值； (3)求 的值. 【答案】(1)0 (2) (3)0 【分析】（1）令得到所有项系数和，再令得到的值，两者作差即可得到值； （2）先分析原二项式展开式系数的正负性，再通过赋值法，将原二项式中的负号转化为正号后令，从而得到值； （3）利用赋值法，令取特定值，代入原二项式展开式直接得到值. 【详解】（1）二项式展开式的项数为，由题知展开式共11项，因此，得， 令，得， 即， 令，代入等式得：， 因此； （2）展开式中，系数的符号由决定，即对应将原式中换为后的系数， 等价于令代入原式： 计算得，因此结果为； （3）令，代入等式得， 左边等于，因此结果为. 18．（2026·河南濮阳·二模）若，则___________． 【答案】 【分析】利用赋值法，令，和，即可求解. 【详解】由题意得： 令，得， 令，得， 令，得， 所以， 所以. 19．（2026·陕西咸阳·模拟预测）（多选）设，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】令，得，故A正确； 的展开式中，， ，， ，故B正确； 令，得，令，得， ， 又， ，故C错误，D正确． 20．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）设，求 (1)；（不必计算最终结果） (2)；（不必计算最终结果） (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）因为所求为偶数项系数和，所以可利用赋值法，分别令和代入已知等式，得到两个关于系数和的等式，再将两式相加后变形即可求解； （2）可令​代入已知等式，再减去​即可得到所求结果； （3）对已知等式两边关于x求导，再令代入求导后的等式即可求解. 【详解】（1）由于， 令，得， 即； 令，得， 即， 两式相加再除以2可得； （2）令，可得， 令，可得， 得， 所以； （3）将等式 两边同时求导可得，， 再令，可得． 题型五 求系数最大(小)的项 21．（24-25高二下·新疆克拉玛依·期中）已知在的展开式中，所有二项式系数之和为1024. (1)求的值以及展开式中的常数项； (2)求展开式中所有的有理项； (3)求展开式中系数最大的项. 【答案】(1)；常数项 (2)有理项为. (3)系数最大项为. 【分析】（1）利用二项式系数和为求出,写出展开式通项,令的指数为0求出,代入通项算出常数项. （2）依据有理项要求,使的指数为整数,结合的取值范围筛选合法,再依次代入通项,求出全部有理项. （3）先区分系数正负,舍去负系数项,借助相邻系数绝对值的比值判断增减,比较所有正系数大小,进而确定系数最大的项. 【详解】（1）由二项式系数之和为，得. 二项式展开式通项：. 令，得. 所以得常数项. （2）有理项满足，，得. ：. ：. ：. 所以有理项为. （3）通项，第项系数. 所以为偶时系数为正， 系数绝对值，所以. 令，即，解得. 所以时，，系数绝对值递增；时，，系数绝对值递减. 所以若要系数最大, 必出现在或之中. . . 故系数最大项为. 22．（25-26高二下·河北衡水·期中）已知展开式的所有二项式系数和为. (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式的系数最大项. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据条件得，再利用二项展开式的通项公式，即可求解； （2）设展开式的系数最大项为第项，建立方程组，求出，即可求解. 【详解】（1）由题知，解得， 则展开式的通项公式为， 令，解得，所以展开式中的常数项. （2）设展开式的系数最大项为第项， 则，即， 整理得到，解得，又，所以或， 则展开式的系数最大项或. 23．（25-26高二下·河北沧州·月考）若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为. (1)求展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值； (2)求展开式中所有的有理项； (3)求展开式中系数最大的项. 【答案】(1) (2). (3)第4项和第5项 【分析】（1）先根据题意求出的值，再求出展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和即可； （2）求出展开式的通项公式求解，令为整数即可； （3）设展开式中第项的系数最大，列出不等式求出结果. 【详解】（1）由题，可得，即，即，又，所以，   令，得，故系数和为，各项的二项式系数和为， 故展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值为. （2）因展开式的通项公式为，， 当时，为整数，即，，， 所以展开式的有理项为. （3）因为展开式的通项公式为，， 设展开式中第项的系数最大，则， 即，解得或， 故展开式的第4项和第5项的系数最大， 又，， 所以展开式系数最大的项为第4项和第5项. 24．（25-26高二下·上海·期中）已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5:2. （说明：二项式系数指组合数，.） (1)求的值，并求展开式中所有的有理项； (2)求展开式中系数最大的项. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得:，解得. 二项式第项展开式的通项公式为 ， 当为整数时，该项为有理项，因为且， 所以，时，， 时，， 时，. 所以，展开式中所有的有理项为. （2）设展开式中系数最大的项是第项， 则有，解得，即， 因为，所以，即展开式中最大的项是第5项， . 25．（25-26高二下·山东泰安·期中）二项式的展开式中，系数最大的项为（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【答案】D 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 当为偶数时，，系数为正数，当为奇数时，，系数为负数， 因此只有为偶数时，能取到系数的最大值， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 因此当时，系数为是所有项中最大的系数， ，因此系数最大的项是第7项. 题型六 二项展开式各项系数和求参数 26．（2026·河南开封·模拟预测），，则实数的值为______． 【答案】或2 【分析】利用赋值法，分别令和，结合条件，可得关于m的方程，求解即可. 【详解】令，则 令，则， 所以，整理得，解得或2． 27．（2026高三·北京·专题练习）已知的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则其展开式中的系数是（ ） A．48 B．64 C．40 D．80 【答案】D 【分析】根据二项式系数之和以及系数之和求，再根据二项式定理运算求解即可. 【详解】因为展开式中二项式系数之和为32， 则，解得，即二项式为， 又因为的展开式中各项系数之和为243， 令可得，解得，即二项式为， 其展开式的通项公式为，， 令，可得1，所以展开式中的系数是. 28．（24-25高二下·重庆·月考）（多选）已知的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中（   ） A．奇数项的二项式系数的和为256 B．第6项的系数最大 C．存在常数项 D．有理项共有7项 【答案】BC 【分析】应用赋值法计算求出参数，再求解二项式系数和判断A，应用系数最大计算判断B，应用通项公式计算得出常数项及有理项判断C，D. 【详解】对于A，二项式的展开式的各项系数之和为， 由已知，， 故有或（舍去）， 二项式的奇数项的二项式系数和为，故A错误； 对于B，通项公式为，故当时，系数最大，即第6项的系数最大，故B正确； 对于C，令，求得，可得该二项式存在常数项，故C正确； 对于D，令为整数，可得，故该二项式存在6个有理项，故D错误， 故选:BC. 29．（25-26高二下·全国·单元测试）已知，若．则实数________． 【答案】1或 【分析】由展开式的通项求得常数项，即，利用赋值法，令，得，求解可得实数的值. 【详解】的展开式的通项为， 令，得其常数项为，所以. 令，得，即， 所以，所以或． 故答案为：或． 30．（25-26高三上·山东德州·期末）在的展开式中，的系数为-10，各项系数之和为-1，则含项的系数为________． 【答案】 【分析】由题意可根据二项式展开式中的系数以及各项系数之和，列出关于的方程，即可求得答案. 【详解】由题意得，在的展开式中的系数为， 令，得各项系数之和为，则为奇数，且， 即得，所以含项的系数为 故答案为： 强化训练 1．（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）设，则（   ） A．242 B．243 C．32 D．31 【答案】A 【详解】因为， 令，可得，即， 令，可得， 即， 因此. 2．（25-26高二下·湖北荆州·期中）记，则（ ） A．1023 B．2047 C．2024 D．4048 【答案】B 【分析】通过赋值法，分别令，，，进而可求解. 【详解】对于， 令，可得. 令，可得①， 令，可得②， ①+②得， 即. 3．（25-26高二下·江苏徐州·月考）的展开式中，系数最大的项是第（    ）项. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出通项公式，可得第项的系数，设第项的系数最大，列不等式解出的范围，从而可得答案 【详解】的展开式通项公式为， 设第项为系数最大的项，则有， 解得，即， 所以的展开式中，系数最大的项是第项. 4．（河南洛阳市2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷）二项式的展开式中奇数项的二项式系数之和等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项式的展开式中所有项的二项式系数和为，奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等求解即可. 【详解】二项式的展开式中，所有项的二项式系数和为， 因为奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等， 所以二项式的展开式中奇数项的二项式系数之和等于， 5．（25-26高二下·福建厦门·月考）在二项式展开式中，下列说法不正确的是（    ） A．第四项二项式系数最大 B．常数项为第四项 C．有理项共有4项 D．所有项的二项式系数之和为64 【答案】B 【分析】根据二项式系数性质可判断A；求得通项公式，令，计算可判断B；根据为有理数计算可判断C；根据二项式系数和计算公式计算可判断D. 【详解】对于A，二项式展开式共有7项，由二项式系数性质可知， 该二项式系数最大为中间项即第四项二项式系数最大，故A正确； 对于B，该二项式的通项公式为， 令，所以常数项为第五项，故B错误； 对于C，在中，当时，代数式为整数， 所以有理项共有4项，故C正确； 对于D，所有项的二项式系数之和为，故D正确. 6．（25-26高二下·山东枣庄·期中）设，若，则（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【详解】令，则，解得， 展开式中的的系数为，展开式中的的系数为， 所以 7．（25-26高二下·河北沧州·月考）若二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则二项式系数最大的项是（   ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【答案】C 【分析】根据二项式系数之和求出，结合二项式系数的特征可求答案. 【详解】因为二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则，解得， 所以二项式的展开式中，最大的二项式系数是，即二项式系数最大的项是第6项． 8．（25-26高二下·广西河池·月考）（多选）在的展开式中，下列说法正确的是（   ） A．二项式系数和为1 B．不存在常数项 C．第3项和第4项二项式系数最大 D．所有项的系数和为1 【答案】BCD 【分析】由二项式系数和公式可判断A，由二项式通项公式可判断B，由二项式系数性质可判断C，通过赋值可判断D. 【详解】选项A：次二项式的二项式系数和为， 由，得二项式系数和为 ，A错误， 选项B：展开式的通项公式为： ， 若为常数项，需，解得，超出的取值范围，因此不存在常数项，B正确， 选项C：为奇数，二项式系数对称分布，中间两项的二项式系数最大； 二项式系数最大，对应第项（）和第项（），C正确， 选项D：令代入原式得： ，因此所有项系数和为，D正确. 9．（25-26高二下·福建福州·期中）（多选）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由赋值法逐项判断即可. 【详解】令，可得，所以A错误； 令，可得， 即， 所以，所以B正确； 令，所以，即， 又因为，两式相加得， 所以，所以C正确； 因为，， 所以，所以D错误. 10．（25-26高二下·河北邢台·月考）（多选）已知，则（    ） A． B．展开式中第5项与第7项的二项式系数相等 C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，展开式中第5项与第7项的二项式系数分别为，，又，所以B正确； 对于C，令，得， 令，得， 相减可得，，故C不正确； 对于D，令，得，所以，故D正确． 11．（25-26高三上·湖南邵阳·月考）（多选）在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则（    ） A．二项式系数和为64 B．各项系数和为64 C．常数项为135 D．常数项为-135 【答案】ABC 【分析】利用已知条件求出的值，再利用二项展开式的性质和通项逐个判断选项. 【详解】令，得各项系数和为，又二项式系数和为， 所以，解得， 所以，故AB正确； 展开式的通项公式为， 令，求得，故常数项为，故C正确，D错误； 故选：ABC. 12．（25-26高三·天津·二轮复习）已知的二项展开式中各项系数和为，则展开式中常数项的值为______. 【答案】 【分析】利用二项展开式各项系数和求出的值，然后写出二项展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】的二项展开式中各项系数和为，即，． 设的二项展开式的通项为， 令，得，故展开式中常数项的值为． 故答案为：． 13．（25-26高二下·陕西咸阳·期中）若，则的值为_______ 【答案】255 【分析】使用赋值法求二项式展开后各项的系数和即可. 【详解】令，即， 令，则，则. 14．（25-26高三下·江西·月考）的二项展开式中，系数最大的项为__________. 【答案】 【分析】根据展开式的各项的系数即为各项的二项式系数，再结合二项式系数的最值求解对应项即可. 【详解】的二项展开式的通项公式为：， 各项的系数即为各项的二项式系数， 因为，所以二项式系数的最大值为，是第6项的二项式系数， 所以系数最大的项为第项. 15．（25-26高二下·山东临沂·月考）在的展开式中，二项式系数最大的项只有第五项， (1)求的值； (2)若第项是有理项，求的取值集合； (3)求系数最大的项. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由展开式中只有第五项的二项式系数最大求解即可. （2）根据二项展开式的通项，由为整数求解即可. （3）利用二项式定理求出通项，设第项的系数的绝对值最大求解即可. 【详解】（1）因为展开式中只有第五项的二项式系数最大，所以，展开式共有9项，所以 （2）第项为 若项为有理项，则为整数，则，，，， 所以第，，，，项为有理项，所以的取值集合为 （3）因为第项的系数为，所以第项的系数绝对值为， 设第项的系数的绝对值最大，则，整理得，解得 又因为第6项的系数，第7项的系数， 所以，第7项的系数最大，. 16．（25-26高二下·河北保定·期中）已知( 且 求： (1)n和； (2) (3) 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）通过使用二项式定理展开的通项就可以得到通项的表达式，再利用求解; （2）使用赋值法，令直接解； （3）使用两次赋值法，令，得到，令得，，两式联立即可求解. 【详解】（1）由于，运用二项式定理展开可知， ，． （2）令得， （3）令得，， 令得，， . 17．（25-26高二下·北京·期中）（1）已知二项式的展开式共有6项． ①求此二项展开所有项的二项式系数和； ②求此二项展开式中二项式系数最大的项． （2）已知．求的值． 【答案】（1）①②，（2） 【分析】（1）①根据二项式展开式的性质，结合二项式系数之和公式进行求解即可； ②根据二项式系数的性质进行求解即可； （2）利用赋值法进行求解即可. 【详解】（1）①因为二项式的展开式共有6项， 所以，因此二项展开所有项的二项式系数和为； ②因为二项展开式中二项式系数最大的项为第和第项， 所以，； （2）在中， 令，得， 所以. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $