二项式定理题型全归纳讲义（6题型）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学二项式定理复习讲义通过题型分类构建知识体系，将通项与常数项、二项式系数与系数最大项等6大题型按“题型特征-解题方法-典型例题-巩固训练”的逻辑组织，形成结构化知识框架，清晰呈现各考点的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导，如“赋值法求系数和”通过x=1、x=-1赋值培养逻辑推理能力，“双括号相乘求指定项系数”的分步取项法强化运算能力。典型例题含高考题与模拟题，巩固训练覆盖选择、填空、解答，基础生可掌握方法，优秀生能深化探究，助力教师实施精准教学。

二项式定理题型全归纳 讲义 目录： 题型1：二项展开式通项与常数项 题型2：二项式系数与系数最大项 题型3：赋值法求系数和 题型4：双括号相乘求指定项系数 题型5：三项式/多项式展开问题 题型6：整除、余数与近似计算 【题型 1 二项展开式通项与常数项】 【题型特征】 求 展开式中指定项、常数项、有理项、某次方项系数。 【解题方法】 通项：；令指数为 0 得常数项，令指数等于目标次数得指定项。 【典型例题】 【例1】若二项式的展开式中第5项与第6项的系数相同，则其常数项是（　　） A．9 B．36 C．84 D．126 【例2】在（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）的展开式中，含x3的项的系数是 　 　 ． 【例3】若展开式中第2项与第6项的系数相同，则n＝　 　 ，那么展开式的常数项为　 　 ． 【巩固训练】 1．若的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中第3项的系数为（　　） A．112 B．224 C．56 D．28 2．若二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则二项式系数最大的项是（　　） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 3. 已知n是正整数，化简：　　 ． 4. 在二项式的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项互不相邻的概率为（　　） A． B． C． D． 5. （2025下高三北京市校考阶段练习）二项式的展开式中常数项为 ． 6. 若多项式x2+x5＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a5（x﹣1）5，则a3＝　 　 ． 7. （2025高三闵行中学开学考）已知二项式的展开式中的系数为，则实数 . 8．已知二项式的展开式中第二项与第四项的系数相同． （Ⅰ）求a的值与展开式中的常数项； （Ⅱ）求展开式中系数最大的项． 9．已知的展开式中，第5项与第3项的系数之比为7：6． （1）求n的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）若（2x﹣1）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，求|a0|+|a1|+|a2|+…+|an|的值． 【题型2 二项式系数与系数最大项】 【题型特征】 考查二项式系数、二项式系数和、系数最大、二项式系数最大，区分 “二项式系数” 与 “项系数”。 【解题方法】 1、二项式系数：中间项最大，和为 。 2、系数最大：列不等式组 。 【典型例题】 【例1】在（1+x）6的展开式中，若xk与xk+2的系数相同，则k＝（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【例2】已知二项式（2x﹣1）n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中x3项的系数为（　　） A．﹣80 B．80 C．﹣160 D．﹣120 【例3】在二项式f（x）＝（3x﹣2）n（n∈N*）的展开式中，第5项和第6项的二项式系数相同． （1）求所有偶数项的二项式系数的和； （2）求各项系数绝对值之和； （3）若记（3x﹣2）n＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+⋯+an（x+1）n，求展开式中ak（k＝0，1，2，⋯n）中取最大项时k的值． 【巩固训练】 1．记二项式（3﹣x）n的展开式中x2的系数为f（n），且，则n＝（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 2．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m（m＞0）为整数，若a和b同时除以m所得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b（modm）．若，a≡b（mod10），则b的值可以是（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 3．已知（x+y）2m，（x+y）2m+1的二项式系数的最大值分别为a，b，若11a＝6b，则正整数m＝ 　 　 ． 4．在（1+2x）n的展开式中，若第6项与第7项的系数相同，则二项式系数最大的项是多少？系数最大的项是多少？ 5．已知二项式，且有条件①展开式中第3项与第5项的二项式系数相同；条件②展开式中只有第4项的二项式系数最大；条件③展开式中前三项的二项式系数之和为22．请在条件①②③中选择一个，完成下列问题（若选择多个条件解答，则按第一个处理）： （1）求的展开式的常数项； （2）求（1+x+x2）（1﹣x）n展开式中含x3的项的系数． 【题型 3 赋值法求系数和】 【题型特征】 给出 ，求各项和、奇数项和、偶数项和、系数绝对值和。 【解题方法】 ：得全部系数和 。 ：得交替和 。 ：得常数项 。 联立 x=1 和 x=-1 的两个等式，可求解奇数项系数和、偶数项系数和； 系数绝对值的和可通过替换符号后赋值求解。 【典型例题】 【例1】已知（1+λx）n展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，，若a1+a2+…+an＝242，则展开式中常数项（　　） A．32 B．24 C．4 D．8 【例2】（多选）已知，则（　　） A．a3＝80 B．a1+a2+a3+a4+a5＝﹣2 C．|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|＝242 D． 【巩固训练】 1．若，则a1+a2+a3+a4+a5＝（　　） A．32 B．33 C．1 D．﹣31 2．若（2x﹣1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a0+a2+a4的值为（　　） A．﹣121 B．﹣122 C．121 D．122 （多选）3．已知，则（　　） A．a1＝﹣1 B．a0+a1+⋯+a10＝1 C． D．a1+2a2+3a3⋯+10a10＝19 4．已知，则a0+a1+2a2+3a3+…+10a10＝ 　 　 ． 5. （2025沈阳东北育才一模）在的展开式中，各项系数和与二项式系数和的比值为，则二项展开式中的常数项为 . 【题型 4 双括号相乘求指定项系数】 【题型特征】 形如 、多项式 × 二项式，求某次方项系数（高考高频考点）。 【解题方法】 ① 分别写两个因式的通项； ② 令两个因式对应项的指数相加等于目标次数，找出所有符合条件的参数值； ③ 系数相乘后求和。 【典型例题】 【例1】的展开式中x2项的系数为（　　） A．10 B．20 C．﹣10 D．﹣20 【例2】已知（1+ax）（x﹣2）5的展开式中x3项的系数为﹣80，则实数a的值为（　　） A． B．2 C．1 D． 【例3】在（x2﹣2）5（2x+1）2的展开式中x6的系数为（　　） A．﹣280 B．﹣300 C．﹣320 D．﹣340 【巩固训练】 1．（a+2x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂的系数之和为32，则a＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．展开式中x的系数为（　　） A．﹣50 B．﹣100 C．﹣200 D．﹣300 3．在（x﹣y）（x+2y+z）6的展开式中，x2y3z2的系数为　 　 ． 4.（2025常德高三统考）的展开式中的常数项为 ． 【题型 5 三项式 / 多项式展开问题】 【题型特征】 形如 、 等多项展开，求指定项 / 常数项。 【解题方法】 法一：将三项式拆为二项式 + 单项，再用二项式通项分步展开，按指数匹配取项。 法二（更快更优）： 是 个括号相乘，展开式中的每一项，都是从每个括号里取且仅取一项，再相乘得到的。 标准三步 1、确定指数 要得到 ，必须满足 2、分步取项 ①从 个括号里选 个取 ： ②从剩下 个里选 个取 ： ③最后 个自动取 ： 3、系数 = 相乘 【典型例题】 【例1】的展开式中的常数项为（　　） A．61 B．29 C．309 D．308 【例2】关于（x﹣y﹣z）6的展开式，下列判断正确的是（　　） A．该展开式各项的系数之和为﹣1 B．该展开式各项系数的绝对值之和为720 C．该展开式中含x3的各项系数之和为﹣160 D．该展开式中不含字母y的各项系数之和为64 【巩固训练】 1.（2025山西高三联考）展开式中常数项为（    ） A． B． C．1 D．481 2．在（x2﹣x﹣y）10的展开式中，x17y的系数为A；在（x2﹣x）9的展开式中，x17的系数为B．则（　　） A．10 B．﹣10 C． D． 3．（﹣x2）3的展开式中的系数为 　 　 ． 4．（x2+x﹣y）5展开式中含x5y2项的系数为 　 　 ． 5．已知，n∈N*． （1）记其展开式中常数项为m，当n＝4时，求m的值； （2）证明：在f（x）的展开式中，对任意1≤t≤n（t∈N*），xt与的系数相同． 【题型 6 整除、余数与近似计算】 【题型特征】 求高次幂除以某数的余数、证明整除、数值近似计算（高中核心考法）。 【解题方法】整除问题、余数问题 ① 核心拆数规则 底数必须拆成：“除数的倍数 ± 1”的形式，即“底数（只能是 ±1，这是解题的关键） ② 用二项式定理展开后，所有含除数倍数的项均可被除数整除，因此余数仅由末项决定。 ③ 若计算结果为负，需加上除数，使余数 r 满足（余数标准化）。 【典型例题】 【例1】8100﹣2除以7的余数是（　　） A．1 B．2 C．5 D．6 【例2】实数1.9965的近似值（精确到0.001）是（　　） A．31.680 B．31.681 C．31.682 D．31.683 【例3】已知142027+m恰能被13整除，则m的最大负整数取值为　 　 ． 【巩固训练】 1．26078被7除所得的余数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若的展开式中，各项的二项式系数之和为128，系数和为﹣1，则38n+a除以13的余数是（　　） A．0 B．3 C．10 D．11 3．若，则2（a1+a3+⋯+a99）﹣5被8整除的余数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 4．985除以128的余数为（　　） A．51 B．43 C．41 D．33 5．92025除以80的余数为（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 6．若能被5整除，则x，n的一组值可能为（　　） A．x＝2，n＝6 B．x＝4，n＝6 C．x＝8，n＝4 D．x＝14，n＝4 7．2.035的近似值（精确到0.01）为 　 　 ． 8．设被9除所得的余数为m，则的展开式中的常数项为　 　 ． 9．设a∈Z，且0≤a≤13，若512026+a能被13整除，则a等于　 　 ． 10．已知二项式（x+0.01）n的二项式系数的和为1024，则n＝　 　 ．试估算x＝1时，（x+0.01）n的值为 　 　 ．（精确到0.001） 11．已知（1+2x）n的展开式中仅有第6项的二项式系数最大（结果用数值作答）． （1）求（1+2x）n的展开式中x4的系数； （2）令f（x）＝（1+2x）n，证明f（27）+6能被7整除； （3）若，求实数a8． 12．已知m，n是正整数，f（x）＝（1+x）m+（1+x）n的展开式中x的系数为11． （1）试求f（x）中x2的系数的最小值； （2）对于使用f（x）中x2的系数为最小的m，n，求出此时x3的系数； （3）利用上述结果，求f（0.003）的近似值（精确到0.001）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 二项式定理题型全归纳 讲义 目录： 题型1：二项展开式通项与常数项 题型2：二项式系数与系数最大项 题型3：赋值法求系数和 题型4：双括号相乘求指定项系数 题型5：三项式/多项式展开问题 题型6：整除、余数与近似计算 【题型 1 二项展开式通项与常数项】 【题型特征】 求 展开式中指定项、常数项、有理项、某次方项系数。 【解题方法】 通项：；令指数为 0 得常数项，令指数等于目标次数得指定项。 【典型例题】 【例1】若二项式的展开式中第5项与第6项的系数相同，则其常数项是（　　） A．9 B．36 C．84 D．126 【答案】C 【分析】利用二项式系数的性质可求得n＝9，再利用其通项公式即可求得常数项． 【解答】解：∵二项式的展开式中第5项与第6项系数就是其二项式系数， ∴， ∴n＝9， ∴的展开式的通项Tr+1•， 令9r＝0，得r＝6， ∴其常数项是T784， 故选：C． 【例2】在（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）的展开式中，含x3的项的系数是 　 　 ． 【答案】﹣10． 【分析】由题意可得，有3个因式取x，剩下的一个因式取常数，可得到含x3的项，由此求得含x3的项的系数． 【解答】解：在（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）的展开式中， 有3个因式取x，剩下的一个因式取常数，得到含x3的项， 故含x3的项的系数是﹣1﹣2﹣3﹣4＝﹣10， 故答案为：﹣10． 【例3】若展开式中第2项与第6项的系数相同，则n＝　 　 ，那么展开式的常数项为　 　 ． 【答案】6；20 【分析】利用二项式系数的性质可知 ，从而得n＝6，于是利用二项展开式的通项公式即可求得常数项． 【解答】解：由题可得，从而得n＝6； ∴（x）6的展开式的通项公式为：•x6﹣r••x6﹣2r； 令6﹣2r＝0可得r＝3； ∴展开式的常数项为：20； 故答案为：6，20． 【巩固训练】 1．若的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中第3项的系数为（　　） A．112 B．224 C．56 D．28 【答案】A 【分析】根据二项式系数的性质算出n＝8，然后运用二项式定理求出展开式中的第3项，进而可得本题答案． 【解答】解：因为的展开式中，所有项的二项式系数和为256， 所以2n＝256，解得n＝8， 展开式中的第3项为， 即第3项的系数为． 故选：A． 2．若二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则二项式系数最大的项是（　　） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【答案】C 【分析】根据二项式系数之和求出n，结合二项式系数的特征可求答案． 【解答】解：由题可得：2n＝1024＝210，解得n＝10， 所以二项式的展开式中，最大的二项式系数是，即二项式系数最大的项是第6项． 故选：C． 3. 已知n是正整数，化简：　　 ． 【答案】． 【分析】利用二项式定理，化简展开式． 【解答】解：． 故答案为：． 4. 在二项式的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项互不相邻的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知得出n值，写出二项式展开式的通项公式，根据x的指数为整数时为有理项，得出r的取值，再由古典概型的概率公式求解即可． 【解答】解：二项式展开式中，只有第四项的二项式系数最大， 则3，解得n＝6，展开式中共有7项， 二项式的通项公式为Tr+1（）6﹣r（）r（﹣1）r，r＝0，1，2，...6， 当x的指数为整数时，可得有理项， ∴r＝0，3，6时，即第1，4，7项为有理项， 则有理项互不相邻的概率为P． 故选：A． 5. （2025下高三北京市校考阶段练习）二项式的展开式中常数项为 ． 【答案】40 【分析】根据二项式定理，写出通向，由题意，建立方程，可得答案. 【详解】展开式的通项公式为 ， 令，解得，即常数项为， 故答案为：40． 6. 若多项式x2+x5＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a5（x﹣1）5，则a3＝　 　 ． 【答案】10． 【分析】令t＝x﹣1，则（t+1）2+（t+1）5＝a0+a1t，再利用二项式定理求解． 【解答】解：令t＝x﹣1，则x＝t+1， 所以（t+1）2+（t+1）5＝a0+a1t， 要求t3的系数a3，而（t+1）2展开后最高次是t2，不含t3项， 二项式（t+1）5的通项为Tr+1•t5﹣r， 令5﹣r＝3得，r＝2， 所以a310． 故答案为：10． 7. （2025高三闵行中学开学考）已知二项式的展开式中的系数为，则实数 . 【答案】 【分析】利用所给的二项式写出展开式的通项即可求解. 【详解】的展开式的通项公式为：. 当，解得：； 所以由展开式中含的项的系数为20可得： ，得，解得 故答案为:. 8．已知二项式的展开式中第二项与第四项的系数相同． （Ⅰ）求a的值与展开式中的常数项； （Ⅱ）求展开式中系数最大的项． 【答案】（Ⅰ）a＝1；常数项为；（Ⅱ）第4项． 【分析】（Ⅰ）直接利用二项式的展开式和项的系数求出a的值，进一步求出展开式的常数项； （2）利用不等式组，建立不等式关系，求解出r的值，最后求出系数的最大项． 【解答】解：（Ⅰ）二项式的展开式， 由于展开式中第二项与第四项的系数相同， 故，解得a＝±1（负值舍去）． 当r＝4时，展开式为常数项； （Ⅱ）设第r项的系数最大， 故，整理得， 解得， 由于r∈N+，故r＝3． 所以系数的最大项为第4项． 9．已知的展开式中，第5项与第3项的系数之比为7：6． （1）求n的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）若（2x﹣1）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，求|a0|+|a1|+|a2|+…+|an|的值． 【答案】（1）10． （2）﹣8064． （3）59049． 【分析】（1）结合已知条件与二项展开式的通项公式列方程求解即可； （2）根据二项式系数的性质即可得解； （3）采用赋值法求解即可． 【解答】解：（1）Tk+1， 所以第5项的系数为， 第3项的系数为， 因为第5项与第3项的系数之比为7：6， 所以：7：6， 整理得（n﹣2）（n﹣3）＝7×8， 所以n＝10． （2）因为n＝10为偶数， 所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，即T5+18064． （3）因为（2x﹣1）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn， 所以（2x+1）n＝|a0|+|a1|x+|a2|x2+…+|an|xn， 取x＝1，则|a0|+|a1|+|a2|+…+|an|＝（2+1）n＝（2+1）10＝310＝59049． 【题型2 二项式系数与系数最大项】 【题型特征】 考查二项式系数、二项式系数和、系数最大、二项式系数最大，区分 “二项式系数” 与 “项系数”。 【解题方法】 1、二项式系数：中间项最大，和为 。 2、系数最大：列不等式组 。 【典型例题】 【例1】在（1+x）6的展开式中，若xk与xk+2的系数相同，则k＝（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由二项式展开式的通项公式以及组合数性质即可计算求解． 【解答】解：（1+x）6的展开式的通项公式为， 由题可得：， 所以k+（k+2）＝6，解得k＝2． 故选：C． 【例2】已知二项式（2x﹣1）n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中x3项的系数为（　　） A．﹣80 B．80 C．﹣160 D．﹣120 【答案】C 【分析】由题意利用二项式系数的性质求得n的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中x3项的系数． 【解答】解：∵二项式（2x﹣1）n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，∴n＝6， 则展开式中x3项的系数为23×（﹣1）3＝﹣160， 故选：C． 【例3】在二项式f（x）＝（3x﹣2）n（n∈N*）的展开式中，第5项和第6项的二项式系数相同． （1）求所有偶数项的二项式系数的和； （2）求各项系数绝对值之和； （3）若记（3x﹣2）n＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+⋯+an（x+1）n，求展开式中ak（k＝0，1，2，⋯n）中取最大项时k的值． 【答案】（1）256；（2）59；（3）3． 【分析】（1）写出展开式的通项，依题意，即可求出n，再根据所有偶数项的二项式系数的和为2n﹣1计算可得； （2）二项式（3x﹣2）9的各项系数绝对值之和与（3x+2）9的各项系数和相等，再令x＝1即可得解； （3）由（3x﹣2）9＝[﹣5+3（x+1）]9，即可得到，（k＝0，1，2，…，9），再设出不等式组，即可求出k． 【解答】解：（1）二项式（3x﹣2）n展开式的通项为，（0≤r≤n且r∈N），第5项和第6项的二项式系数相同依题意可得， ∴n＝4+5＝9， 所以f（x）＝（3x﹣2）9，则所有偶数项的二项式系数的和为29﹣1＝256； （2）二项式（3x﹣2）9的各项系数绝对值之和与（3x+2）9的各项系数和相等， 所以（3x﹣2）9的各项系数绝对值之和为（3+2）9＝59； （3）由题可得（3x﹣2）9＝[3（x+1）﹣5]9＝[﹣5+3（x+1）]9 ， 所以，（k＝0，1，2，…，9）， 显然要使ak最大，k为奇数时ak是正值，k为偶数时ak是负值． 令，（k＝1，2，3，4，5，6，7，8）， ∴，解得， 所以当k＝3时，是展开式中系数的绝对值最大的项，也是系数最大的项， 综上所述展开式中ak（k＝0，1，2，•••n）中取最大项时k＝3． 【巩固训练】 1．记二项式（3﹣x）n的展开式中x2的系数为f（n），且，则n＝（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先根据二项式展开式得出系数，再结合已知，计算求解参数． 【解答】解：记二项式（3﹣x）n的展开式中x2的系数为f（n）， ，， ，⋯，， 由题意可得，， 故n＝6． 故选：B． 2．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m（m＞0）为整数，若a和b同时除以m所得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b（modm）．若，a≡b（mod10），则b的值可以是（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】由结合二项式定理求出a除以10的余数，再结合选项即可得解． 【解答】解： ， 所以a除以10的余数为3， 选项中除以10余数为3的数只有2023． 故选：C． 3．已知（x+y）2m，（x+y）2m+1的二项式系数的最大值分别为a，b，若11a＝6b，则正整数m＝ 　 　 ． 【答案】5． 【分析】根据二项式系数的性质，结合题意可得，然后组合数公式求出答案． 【解答】解：根据2m为偶数，可得（x+y）2m的展开式的二项式系数最大值为a， 由2m+1为奇数，可得（x+y）2m+1的展开式的二项式系数最大值为b， 结合题意11a＝6b，得，即，整理得，解得m＝5． 故答案为：5． 4．在（1+2x）n的展开式中，若第6项与第7项的系数相同，则二项式系数最大的项是多少？系数最大的项是多少？ 【答案】二项式系数的最大项为；系数的最大项为和． 【分析】首先根据第6项与第7项的系数相同求出n的值，进一步根据展开式的应用求出系数的最大项和二项式系数的最大项． 【解答】解：根据二项展开式：， 整理得：， 解得：n＝8； 所以（1+2x）8的二项式系数的最大项为， 设第r+1项的系数最大； 故，整理得5≤r≤6，（r∈N）， 故r＝5或6． 故系数的最大项为和． 5．已知二项式，且有条件①展开式中第3项与第5项的二项式系数相同；条件②展开式中只有第4项的二项式系数最大；条件③展开式中前三项的二项式系数之和为22．请在条件①②③中选择一个，完成下列问题（若选择多个条件解答，则按第一个处理）： （1）求的展开式的常数项； （2）求（1+x+x2）（1﹣x）n展开式中含x3的项的系数． 【答案】（1）240； （2）﹣11． 【分析】（1）由题可得二项式展开式中的第r+1项为．若选①由可得答案；若选②由展开式中二项式最大值性质可得答案；若选③，由可得答案；（2）由（1）结合（1+x+x2）（1﹣x）n展开式中含x3项可由两个因式组合而成可得答案． 【解答】解：（1）设二项式展开式中的第r+1项为， 若选①，则，此时的通项为，令12﹣3r＝0⇒r＝4，则展开式的常数项为：； 若选②，因展开式中只有第4项的二项式系数最大，则n＝6，下同①； 若选③，则，下同①； （2）由（1）（1+x+x2）（1﹣x）n＝（1+x+x2）（1﹣x）6，设（1﹣x）6的通项为 ．注意到（1+x+x2）（1﹣x）n展开式中含x3的项可由第一个因式提供1，第二个因式提供x3项；第一个因式提供x，第二个因式提供x2项；第一个因式提供x2项，第二个提供x项．则（1+x+x2）（1﹣x）n展开式中含x3的项的系数为． 【题型 3 赋值法求系数和】 【题型特征】 给出 ，求各项和、奇数项和、偶数项和、系数绝对值和。 【解题方法】 ：得全部系数和 。 ：得交替和 。 ：得常数项 。 联立 x=1 和 x=-1 的两个等式，可求解奇数项系数和、偶数项系数和； 系数绝对值的和可通过替换符号后赋值求解。 【典型例题】 【例1】已知（1+λx）n展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，，若a1+a2+…+an＝242，则展开式中常数项（　　） A．32 B．24 C．4 D．8 【答案】B 【分析】先求出n的值，再求出λ的值，写出展开式的通项公式即可求出． 【解答】解：（1+λx）n展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，则∁n2＝∁n3， 求得n＝5， 令x＝0，则a0＝1 令x＝1，则a0+a1+a2+…+an＝（1+λ）5＝242+1＝243， 解得λ＝2， 则（x）4的展开式的通项公式为 Tr+1＝C4r2rx4﹣2r， 令4﹣2r＝0，解得r＝2， 故（x）4的展开式中的常数项为C4222＝24 故选：B． 【例2】（多选）已知，则（　　） A．a3＝80 B．a1+a2+a3+a4+a5＝﹣2 C．|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|＝242 D． 【答案】BC 【分析】由二项式定理写出（1﹣2x）5的展开式的通项，求出x3的系数a3判断A；对于B，C，D，先求出常数项a0，再令x＝1，求出a0+a1+a2+a3+a4+a5，减去a0，可判断B；令x＝﹣1，求出|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|，即可求得|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|判断C；令，求出，再利用通项求得a5，即可求出，判断D． 【解答】解：（1﹣2x）5的展开式的通项为， 对于A，令k＝3，得，故A错误； 对于B，令k＝0，得a0＝1， 令x＝1，得﹣1＝a0+a1+a2+a3+a4+a5，所以a1+a2+a3+a4+a5＝﹣1﹣1＝﹣2，故B正确； 对于C，由通项可知，k为奇数时，对应项的系数为负数，即a1，a3，a5均小于零； k为偶数时，对应项的系数为正数，即a0，a2，a4均大于零． 所以|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5， 令x＝﹣1，得35＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5， 所以|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|＝﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5＝35﹣1＝242，故C正确； 对于D，令，得 由通项，令k＝5，得， 所以，所以D错误． 故选：BC． 【巩固训练】 1．若，则a1+a2+a3+a4+a5＝（　　） A．32 B．33 C．1 D．﹣31 【答案】B 【分析】根据题意，取x＝0求出常数项a0＝﹣32，取x＝1求出所有项的系数和，进而求出a1+a2+a3+a4+a5的值． 【解答】解：令x＝0代入已知等式，可得（0﹣2）5＝a0，解得a0＝﹣32， 再令x＝1代入已知等式，可得（1﹣2）5＝a5+a4+a3+a2+a1+a0，即a5+a4+a3+a2+a1+a0＝﹣1， 所以a1+a2+a3+a4+a5＝（a5+a4+a3+a2+a1+a0）﹣a0＝1﹣（﹣32）＝33． 故选：B． 2．若（2x﹣1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a0+a2+a4的值为（　　） A．﹣121 B．﹣122 C．121 D．122 【答案】A 【分析】利用赋值法求解． 【解答】解：令x＝1，可得1＝a0+a1+a2+a3+a4+a5， 令x＝﹣1，可得（﹣3）5＝﹣243＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5， 两式相加得：2（a0+a2+a4）＝﹣242， 解得a0+a2+a4的值为﹣121． 故选：A． （多选）3．已知，则（　　） A．a1＝﹣1 B．a0+a1+⋯+a10＝1 C． D．a1+2a2+3a3⋯+10a10＝19 【答案】ABD 【分析】对于A，注意到（x+1）（2x+1）9＝（x+1）[2（x+1）﹣1]9，据此可判断选项正误；对于BC，由赋值法可判断选项正误；对于D，利用导数知识结合赋值法可判断选项正误． 【解答】解：对于选项A，（x+1）（2x+1）9＝（x+1）[2（x+1）﹣1]9，∴，选项A正确； 对于选项B，， 令x＝0，可得a0+a1+⋯+a10＝1，选项B正确； 对于选项C，， 令x＝﹣2，可得，与B选项分析中的式子相加，可得， ∴，选项C错误； 对于选项D，设， 则， 令x＝0，可得a1+2a2⋯+10a10＝19，选项D正确． 故选：ABD． 4．已知，则a0+a1+2a2+3a3+…+10a10＝ 　 　 ． 【答案】21． 【分析】对两边分别求导，再利用赋值法令x＝1即可求解． 【解答】解：因为， 对两边分别求导得： ， 令x＝1得：a1+2a2+3a3+⋯+10a10＝20． 又，令x＝0，可得a0＝1， 所以a0+a1+2a2+3a3+…+10a10＝1+20＝21． 故答案为：21． 5. （2025沈阳东北育才一模）在的展开式中，各项系数和与二项式系数和的比值为，则二项展开式中的常数项为 . 【答案】240 【分析】由已知求得，再根据二项式通项公式的展开式求出常数项即可. 【详解】的展开式中，二项式系数和为， 令，得的展开式中，各项系数和为， 由题意可得，即，解得， 所以的展开式的通项为， 令，解得，故展开式的常数项为， 故答案为：240 【题型 4 双括号相乘求指定项系数】 【题型特征】 形如 、多项式 × 二项式，求某次方项系数（高考高频考点）。 【解题方法】 ① 分别写两个因式的通项； ② 令两个因式对应项的指数相加等于目标次数，找出所有符合条件的参数值； ③ 系数相乘后求和。 【典型例题】 【例1】的展开式中x2项的系数为（　　） A．10 B．20 C．﹣10 D．﹣20 【答案】B 【分析】，结合二项展开式的通项公式运算求解． 【解答】解：， 的展开式为（r∈N*，且1≤r≤5）， 令5﹣2r＝1，解得r＝2，得； 令5﹣2r＝2，解得，舍去． ∴x2项的系数为2×10＝20． 故选：B． 【例2】已知（1+ax）（x﹣2）5的展开式中x3项的系数为﹣80，则实数a的值为（　　） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】由（1+ax）（x﹣2）5＝（x﹣2）5+ax•（x﹣2）5，进而结合（x﹣2）5展开式中的通项列方程求解即可． 【解答】解：由（1+ax）（x﹣2）5＝（x﹣2）5+ax•（x﹣2）5， （1+ax）（x﹣2）5的展开式中x3项的系数，只需求（x﹣2）5的x3项的系数与ax•（x﹣2）5的x3项的系数的和． 而（x﹣2）5展开式中的通项为， k＝0，1，2，3，4，5， 令5﹣k＝3，得k＝2；令5﹣k＝2，得k＝3， 则（1+ax）（x﹣2）5的展开式中x3项的系数为 ，解得． 故选：A． 【例3】在（x2﹣2）5（2x+1）2的展开式中x6的系数为（　　） A．﹣280 B．﹣300 C．﹣320 D．﹣340 【答案】A 【分析】求出（x2﹣2）5展开式的通项公式，再结合多项式乘法法则求出展开式中含x6的项即可． 【解答】解：依题意，（x2﹣2）5（2x+1）2＝4x2•（x2﹣2）5+4x•（x2﹣2）5+（x2﹣2）5， 二项式（x2﹣2）5展开式的通项为， 因此（x2﹣2）5（2x+1）2的展开式中含x6的项为， 所以所求系数为﹣280． 故选：A． 【巩固训练】 1．（a+2x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂的系数之和为32，则a＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】给展开式中的x分别赋值1，﹣1，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案． 【解答】解：设（a+x）（1+x）4 ＝a0+a1x+a2x2+…+a5x5， 令x＝1，则a0+a1+a2+…+a5＝f（1）＝16（a+2），① 令x＝﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5＝f（﹣1）＝0．② ①﹣②得，2（a1+a3+a5）＝16（a+1），即2×32＝16（a+2），求得a＝2． 故选：B． 2．展开式中x的系数为（　　） A．﹣50 B．﹣100 C．﹣200 D．﹣300 【答案】C 【分析】中（3x2+1）的3x2与中的第r+1项相乘为含x的项，即为含x的项，整理后令x的次数为1解出r的值，从而求出这项的x的系数，中（3x2+1）的1与中的第s+1项相乘为含x的项，即为含x的项，整理后令x的次数为1解出s的值，从而求出这项的x的系数，将这两个x的项的系数相加即为展开式中x的系数． 【解答】解：展开式中x项由两部分组成， ①3x2与中的第r+1项相乘为含x的项， 即为含x的项， 即7﹣2r＝1，解得r＝3，则此项的x的系数为， ②1与中的第s+1项相乘为含x的项， 即为含x的项， 即5﹣2s＝1，解得s＝2，则此项的x的系数为， 故展开式中x的系数为﹣240+40＝﹣200． 故选：C． 3．在（x﹣y）（x+2y+z）6的展开式中，x2y3z2的系数为　 　 ． 【答案】120． 【分析】先确定出[（x+2y）+z]6的展开式中含z2的项，然后确定出（x+2y）4的展开式中含xy3的项与含x2y2的项，结合多项式的乘法法则求出答案． 【解答】解：在[（x+2y）+z]6的展开式中，第r+1项为Pr+1（x+2y）6﹣rzr，其中r＝0、1、2、…、6， 取r＝2，可得含z2的项为P3， 在（x+2y）4的展开式中，第r+1项为Qr+1x4﹣r（2y）r，其中r＝0、1、2、3、4， 取r＝2，可得含x2y2的项为Q3， 取r＝3，可得含xy3的项为Q432xy3， 因此，在（x﹣y）（x+2y+z）6的展开式中，x2y3z2项的系数为120． 故答案为：120． 4.（2025常德高三统考）的展开式中的常数项为 ． 【答案】 【分析】的展开式的常数项由与的展开式中的项的乘积，和-1与的展开式中的常数项的乘积组成，分别求出即可. 【详解】由题，的展开式中得常数项，则的展开式中的y的指数应为0， 与的展开式中的项的乘积为， -1与的展开式中的常数项的乘积为， 所以的展开式的常数项为， 故答案为：96. 【题型 5 三项式 / 多项式展开问题】 【题型特征】 形如 、 等多项展开，求指定项 / 常数项。 【解题方法】 法一：将三项式拆为二项式 + 单项，再用二项式通项分步展开，按指数匹配取项。 法二（更快更优）： 是 个括号相乘，展开式中的每一项，都是从每个括号里取且仅取一项，再相乘得到的。 标准三步 1、确定指数 要得到 ，必须满足 2、分步取项 ①从 个括号里选 个取 ： ②从剩下 个里选 个取 ： ③最后 个自动取 ： 3、系数 = 相乘 【典型例题】 【例1】的展开式中的常数项为（　　） A．61 B．29 C．309 D．308 【答案】C 【分析】利用二项式定理求解． 【解答】解：的展开式中的常数项为： 309． 故选：C． 【例2】关于（x﹣y﹣z）6的展开式，下列判断正确的是（　　） A．该展开式各项的系数之和为﹣1 B．该展开式各项系数的绝对值之和为720 C．该展开式中含x3的各项系数之和为﹣160 D．该展开式中不含字母y的各项系数之和为64 【答案】C 【分析】利用赋值法计算判断AD；求出（x﹣y﹣z）6按x展开的通项公式，再求出（y+z）k展开的通项公式，求出各项系数判断BC． 【解答】解：对于A，取x＝y＝z＝1，得（x﹣y﹣z）6展开式各项的系数之和为1，选项A错误； 对于B，（x﹣y﹣z）6展开式的通项公式为Tk+1＝（﹣1）kx6﹣k（y+z）k，k∈N，k≤6， T1＝x6，当k≥1时，（y+z）k展开式的通项公式为， 此时， T2的系数为， T3的系数为， T4的系数为， T5的系数为， T6的系数为， T7的系数为， （x﹣y﹣z）6展开式各项系数的绝对值之和为1+12+60+160+240+192+64＝729，选项B错误； 对于C，（x﹣y﹣z）6展开式中含x3的各项系数之和为（）＝﹣160，选项C正确； 对于D，（x﹣y﹣z）6展开式中不含字母y的各项即（x﹣z）6展开式的各项， 取x＝z＝1，得（x﹣z）6展开式的各项系数和为0，选项D错误． 故选：C． 【巩固训练】 1.（2025山西高三联考）展开式中常数项为（    ） A． B． C．1 D．481 【答案】C 【分析】根据二项式定理直接求解即可. 【详解】解：根据二项式定理，表示个相乘， 所以，展开式中常数项的情况有以下三种情况： ①个中全部选项展开； ②个中有1个选择项，2个选择项，3个选择项展开； ③个中有2个选择项，4个选择项展开. 所以，其常数项为：. 故选：C. 2．在（x2﹣x﹣y）10的展开式中，x17y的系数为A；在（x2﹣x）9的展开式中，x17的系数为B．则（　　） A．10 B．﹣10 C． D． 【答案】B 【分析】10个因式（x2﹣x﹣y）的乘积中，有8个选x2，有1个选﹣x，有1个选﹣y，可得x17y的系数A，9个因式（x2﹣x）的乘积中，有8个选x2，有1个选﹣x，可得x17的系数为B，求解即可． 【解答】解：已知在（x2﹣x﹣y）10的展开式中，x17y的系数为A；在（x2﹣x）9的展开式中，x17的系数为B． （x2﹣x﹣y）10的展开式表示10个因式（x2﹣x﹣y）的乘积， 故在这10个因式中，有8个选x2，有1个选﹣x，有1个选﹣y， 即可得到含x17y的项，故x17y的系数为，即A＝90； 在（x2﹣x）9的展开式表示9个因式（x2﹣x）的乘积， 故在这9个因式中，有8个选x2，有1个选﹣x，即可得到含x17的项， 故x17的系数为，即B＝﹣9， 所以． 故选：B． 3．（﹣x2）3的展开式中的系数为 　 　 ． 【答案】±3． 【分析】分x＞0与x＜0讨论，即可求得（﹣x2）3的展开式中的系数． 【解答】解：当x＞0时，（﹣x2）3的展开式中含的项为：，的系数为3； 当x＜0时，（﹣x2）3的展开式中含的项为：，的系数为﹣3． 综上所述，（﹣x2）3的展开式中的系数为±3． 故答案为：±3． 4．（x2+x﹣y）5展开式中含x5y2项的系数为 　 　 ． 【答案】30． 【分析】根据二项式定理的性质求解． 【解答】解：因为x5y2＝（x2）2•x•y， 所以（x2+x﹣y）5展开式中含x5y2的项为（x2）2x1（﹣y）2＝30x5y2， 含x5y2项的系数为30． 故答案为：30． 5．已知，n∈N*． （1）记其展开式中常数项为m，当n＝4时，求m的值； （2）证明：在f（x）的展开式中，对任意1≤t≤n（t∈N*），xt与的系数相同． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）把n＝4代入，根据常数项为4对应的括号内的取值即可求解； （2）根据题意，分情况讨论i﹣t的奇偶以及对应xt与的系数检验其是否相等即可求解． 【解答】解：因为，n∈N*． （1）当n＝4时：； （2）由二项式定理可知，， 对任意给定的1≤t≤n，当1≤i＜t时，的展开式中无xt与项； 当i≥t时，， 若 i-t 为奇数，则不存在整数 k 使得 i-2k=±t，即的展开式中无xt与项； 若i﹣t为偶数，设i＝2k+t，则的展开式中，xt的系数为，的系数为，即xt与项的系数相同， 即当i≥t且i﹣t为偶数时，在的展开式中，xt与项的系数均相同， 所以在f（x）的展开式中，xt与项的系数相同，原命题得证． 【题型 6 整除、余数与近似计算】 【题型特征】 求高次幂除以某数的余数、证明整除、数值近似计算（高中核心考法）。 【解题方法】整除问题、余数问题 ① 核心拆数规则 底数必须拆成：“除数的倍数 ± 1”的形式，即“底数（只能是 ±1，这是解题的关键） ② 用二项式定理展开后，所有含除数倍数的项均可被除数整除，因此余数仅由末项决定。 ③ 若计算结果为负，需加上除数，使余数 r 满足（余数标准化）。 【典型例题】 【例1】8100﹣2除以7的余数是（　　） A．1 B．2 C．5 D．6 【答案】D 【分析】依题意可得8100﹣2＝（1+7）100﹣2，再写出（1+7）100的展开式，即可判断． 【解答】解：8100﹣2＝（1+7）100﹣2， ， 则， 所以， 故选：D． 【例2】实数1.9965的近似值（精确到0.001）是（　　） A．31.680 B．31.681 C．31.682 D．31.683 【答案】B 【分析】先将1.9965变形为（2﹣0.004）5，再利用二项式定理展开化简即可得解． 【解答】解：由32﹣0.32+0.00128＝31.68128， 故实数1.9965的近似值（精确到0.001）是31.681． 故选：B． 【例3】已知142027+m恰能被13整除，则m的最大负整数取值为　 　 ． 【答案】﹣1． 【分析】利用二项式定理展开，根据整除性即可确定． 【解答】解：因 ， 因是整数， 则，故m的最大负整数取值为﹣1． 故答案为：﹣1． 【巩固训练】 1．26078被7除所得的余数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据二项式定理即可求解结论． 【解答】解：因为：， 所以26078被7除所得的余数为1． 故选：A． 2．若的展开式中，各项的二项式系数之和为128，系数和为﹣1，则38n+a除以13的余数是（　　） A．0 B．3 C．10 D．11 【答案】C 【分析】根据二项式系数之和求出n的值，再根据系数和求出a的值，最后计算38n+a除以13的余数． 【解答】解：若的展开式中，各项的二项式系数之和为128， 则2n＝128，得n＝7， 代入x＝1，得（1+a）7＝﹣1，解得a＝﹣2， 计算387+（﹣2）除以13： 先把38写成39﹣1，则387＝（39﹣1）7， 根据二项式定理得：， 除了i＝7这项外，其余项都含有因数39能被13整除， 所以387除以13余数和﹣1除以13余数相同， 38⁷除以 13 的余数为 12（即 - 1），则 38⁷-2 除以 13 的余数等价于 - 1-2=-3，-3+13=10，最终余数为 10， 所以387+（﹣2）除以13余数是10． 故选：C． 3．若，则2（a1+a3+⋯+a99）﹣5被8整除的余数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据题意，给自变量赋值，取x＝1和x＝﹣1，两个式子相减，得到2（a1+a3+⋯+a99）﹣4的值，将2（a1+a3+⋯+a99）﹣5构造成一个新的二项式，根据二项展开式可以看出被8整除的结果，得到余数． 【解答】解：令x＝1，得①， 令x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣⋯+a100＝1②， ①﹣②得， ∴． ∵3100﹣6＝950﹣6＝（8+1）50﹣6 ， ∵能被8整除， ∴被8整除的余数为3， ∴2（a1+a3+⋯+a99）﹣5被8整除的余数为3． 故选：C． 4．985除以128的余数为（　　） A．51 B．43 C．41 D．33 【答案】C 【分析】变形为985＝（8+1）85，再利用二项展开式即可得到答案． 【解答】解：因为985＝（8+1）85885884883+...828 ＝82（883882881+...）+681， 且82（883882881+...）能被128整除， 所以所求余数即为681除以128的余数， 因为681＝128×5+41，所以985除以128的余数为41． 故选：C． 5．92025除以80的余数为（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解． 【解答】解：，由于能被80整除， 所以除以80的余数为9， 即92025除以80的余数为9． 故选：C． 6．若能被5整除，则x，n的一组值可能为（　　） A．x＝2，n＝6 B．x＝4，n＝6 C．x＝8，n＝4 D．x＝14，n＝4 【答案】C 【分析】由已知结合二项展开式检验各选项即可判断． 【解答】解：（x+1）n﹣1， 当x＝2，n＝6时，36﹣1＝（33+1）（33﹣1）＝28×26，不能被5整除； 当x＝4，n＝6时，56﹣1不能被5整除； 当x＝8，n＝4时，94﹣1＝（92+1）（92﹣1）＝82×80能被5整除； 当x＝14，n＝4时，154﹣1＝（152+1）（152﹣1）＝226×224不能被5整除． 故选：C． 7．2.035的近似值（精确到0.01）为 　 　 ． 【答案】34.47． 【分析】由于2.035＝（2+0.03）5，利用二项式定理展开求解即可． 【解答】解：∵2.035＝（2+0.03）5＝250.031×240.032×23+...0.035≈32+2.4+0.072≈34.47． 故答案为：34.47． 8．设被9除所得的余数为m，则的展开式中的常数项为　 　 ． 【答案】﹣20． 【分析】由得出m值，再根据的展开式通项列方程求解即可． 【解答】解：由于， 所以； 由于320﹣1＝910﹣1＝910﹣9+8被9除所得的余数为m＝8， 故即的展开式的通项公式为， 令0，解得r＝3，故的展开式中的常数项为． 故答案为：﹣20． 9．设a∈Z，且0≤a≤13，若512026+a能被13整除，则a等于　 　 ． 【答案】12． 【分析】将51表示为52﹣1，利用二项式定理展开（52﹣1）2026，因52是13的倍数，展开式中除末项外均可被13整除，故只需末项与a的和能被13整除，结合0≤a≤13求a． 【解答】解：∵a∈Z，且0≤a≤13，52能被13整除， ∴512026+a＝（52﹣1）2026+a， ∵512026+a能被13整除， ∴能被13整除， ∵0≤a≤13， ∴a＝12． 故答案为：12． 10．已知二项式（x+0.01）n的二项式系数的和为1024，则n＝　 　 ．试估算x＝1时，（x+0.01）n的值为 　 　 ．（精确到0.001） 【答案】10；1.105． 【分析】利用二项式系数的性质可求得n，再利用二项展开式，可估算求得x＝1时，（x+0.01）n的值． 【解答】解：∵二项式（x+0.01）n的二项式系数的和为1024， ∴2n＝1024， ∴n＝10． ∴x＝1时，（1+0.01）10＝10.01（0.01）2+...＝1+0.1+0.0045+...≈1.105． 故答案为：10；1.105． 11．已知（1+2x）n的展开式中仅有第6项的二项式系数最大（结果用数值作答）． （1）求（1+2x）n的展开式中x4的系数； （2）令f（x）＝（1+2x）n，证明f（27）+6能被7整除； （3）若，求实数a8． 【答案】（1）3360； （2）证明见解析； （3）103680． 【分析】（1）展开式中仅有第6项的二项式系数最大，所以展开式共有11项，即可得出结果； （2）易知f（27）+6＝（56﹣1）10+6，由二项展开式计算可得结果； （3），利用展开式计算即可得出结果． 【解答】解：（1）由题意可得n为偶数，且展开式共有11项，则n+1＝11，则n＝10， 所以（1+2x）10的通项公式为Tr+1，r＝0，1，…，10， 令r＝4，得x4的系数为； （2）f（27）+6＝（1+2×27）10+6 ＝5510+6＝（56﹣1）10+6 ， 则展开式的前10项都能被56整除，也一定能被7整除，而最后一项也能被7整除， 所以f（27）+6能被7整除； （3）， ∴展开式的通项公式为，r＝0，1，…，10， 令r＝8，则28×45×9＝103680． 12．已知m，n是正整数，f（x）＝（1+x）m+（1+x）n的展开式中x的系数为11． （1）试求f（x）中x2的系数的最小值； （2）对于使用f（x）中x2的系数为最小的m，n，求出此时x3的系数； （3）利用上述结果，求f（0.003）的近似值（精确到0.001）． 【答案】（1）25； （2）30； （3）2.033． 【分析】（1）根据组合数公式及二项式展开式的二项式系数计算求解； （2）应用二项式展开式及组合数计算求解； （3）应用二项式展开式结合近似值计算求解． 【解答】解：（1）f（x）＝（1+x）m+（1+x）n的展开式中，x项的系数为． ， 根据二次函数性质可得，当m＝5或m＝6时取得最小值，此时对应的n＝6或n＝5， ，故x2项的系数最小值为25． （2）当m＝5，n＝6时，x3项的系数为； （3）f（x）＝（1+x）5+（1+x）6， （1+0.003）5≈1+5×0.003+10×（0.003）2+10×（0.003）3， （1+0.003）6≈1+6×0.003+15×（0.003）2+20×（0.003）3， 则2+11×0.003+25×（0.003）2+30×（0.003）3， 2+0.033+0.000225+0.00000081≈2.03322581， 考虑更高次项的影响，对小数点后第三位无影响，故近似值为2.033． 学科网（北京）股份有限公司 $