6.3.2二项系数的性质【10大题型归纳总结】讲义-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

2024-2025学年高二下学期数学常考题型归纳 【6.3.2二项式系数的性质】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：二项式系数和的问题】 知识讲解 二项式定理 对于任意正整数，有，其中（）叫做二项式系数。 二项式系数和的性质 性质一：二项式系数的和等于 在中，令，，则可得，即。所以展开式的二项式系数和为。 性质二：奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和 在中，令，，则可得。 当为偶数时，，即。 当为奇数时，，同样有。 例题精选 1．（24-25高二下·广西南宁·阶段练习）若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为（   ） A． B．90 C．40 D． 2．（24-25高三下·贵州·阶段练习）若的展开式的各项的二项式系数和为32，则展开式中的系数为（    ） A．1960 B． C．40 D． 相似练习 3．（24-25高二下·全国·课后作业）已知关于的二项式的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（24-25高三上·江苏无锡·期末）在二项式的展开式中二项式系数的和是32，则展开式中的系数为（    ） A．40 B．80 C． D． 二、填空题 5．（24-25高三上·北京·阶段练习）若的展开式的二项式系数和为32，则展开式中的系数为 ． 【题型二：项的系数和问题】 知识讲解 赋值法 基本原理：通过对二项式中的字母赋予特定的值，来求得各项系数和或部分项系数和。 常见赋值： 1. 令二项式中，，则可得展开式的所有项系数和为。例如，对于，令，就得到展开式的各项系数和为。 2. 令，，可得到奇数项系数和与偶数项系数和的关系。如在中，令，则，即，由此可知当为偶数时，奇数项系数和等于偶数项系数和，都为；当为奇数时，同样有奇数项系数和等于偶数项系数和，也为。 例题精选 1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知的展开式中，各项系数的和为243，则该展开式中的项的系数为（   ） A．24 B．80 C．160 D．240 2．（24-25高三下·辽宁本溪·开学考试）若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（    ） A．32 B．64 C．80 D．16 相似练习 3．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）在的二项展开式中，若各项系数和为729，则正整数的值为 ． 4．（2025·山东·模拟预测）已知的展开式中各项系数的和与二项式系数的和相等，则展开式中含项的系数为 （用数字作答） 5．（24-25高三上·浙江·阶段练习）的展开式中的所有项的系数之和是 ． 【题型三：二项式系数的最值问题】 知识讲解 1. 当为偶数时 根据二项式系数的性质，二项式系数（）是先增大后减小的，且具有对称性，即。 在的展开式中，中间一项（即第项）的二项式系数最大，为。 例如，在的展开式中，为偶数，那么中间一项是第项，其对应的二项式系数是所有二项式系数中最大的。 2. 当为奇数时 同样由于二项式系数先增大后减小且具有对称性。 在的展开式中，中间两项（即第项和第项）的二项式系数相等且最大，这两项的二项式系数分别为和。 例如，对于的展开式，为奇数，中间两项分别是第项和第项，它们对应的二项式系数和相等且为所有二项式系数中的最大值。 3. 证明方法 可以通过比较相邻两项二项式系数与的大小来确定二项式系数的增减性，进而得出最值情况。 根据组合数公式，，则。 当，即，时，，说明二项式系数是递增的。 当，即，时，，说明二项式系数是递减的。 当时： 若为偶数，不是整数，最接近的整数是，此时最大。 若为奇数，是整数，此时且最大。 例题精选 1．（23-24高二下·天津滨海新·期中）已知展开式的第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（   ） A． B．252 C． D．28 2．（24-25高三下·北京·开学考试）若的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中含项的系数（    ） A． B．252 C．7 D．8 二、多选题 3．（24-25高二下·辽宁抚顺·开学考试）若（）的展开式中第5项的二项式系数最大，则的可能取值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 相似练习 4．（2025·湖北·一模）已知在，的展开式中，有且只有第项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 5．（2025高三·全国·专题练习）若展开式的第7项二项式系数最大，写出一个满足条件的的值 . 6．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）在二项式的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中x的系数为 用数字作答 【题型四：项的系数最值问题】 知识讲解 1. 写出二项式展开式的通项公式 对于二项式，其展开式的通项公式为（）。若中、前面还有系数，例如，则其通项公式为，此时该项的系数为。 2. 设出系数最大的项 设第项的系数最大，记该项系数为。 3. 根据最大项的性质列不等式组 因为第项系数最大，所以它不小于它前一项（第项）的系数，同时也不小于它后一项（第项）的系数。 即。 以为例，，，，则不等式组为： 4. 化简不等式组并求解的范围 对上述不等式组进行化简求解。 由组合数公式，，，对不等式化简： 同理对不等式化简可得。 然后结合是自然数（），确定的值，进而得到系数最大的项。 例题精选 1．（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）在 的展开式中系数最大的项为 . 2．（24-25高三下·广东清远·开学考试）在的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是 . 二、解答题 3．（24-25高二·全国·课堂例题）（1）已知的展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大992．求展开式中二项式系数最大的项． （2）已知的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，求该展开式中系数最大的项． 相似练习 4．（24-25高二上·江西赣州·期末）已知的展开式中各项的二项式系数之和为128. (1)求展开式中项的系数； (2)求展开式中项的系数最大的项. 5．（24-25高二上·甘肃·期末）在的展开式中． (1)求二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项是第几项？ (3)求系数最大的项． 6．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知的二项式系数之和为4096． (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大项． 【题型五：赋值法求奇偶项系数和的问题】 知识讲解 1. 明确二项式展开式 设二项式为，其展开式为。 2. 进行赋值 令，得到，此时得到的是所有项系数的和。 令，得到，此时展开式中奇数项系数不变，偶数项系数变为原来的相反数。 3. 求奇偶项系数和 求奇数项系数和：将令与得到的两式相加，即，此时偶数项相互抵消，得到的结果就是奇数项系数和。 求偶数项系数和：将令与得到的两式相减，即，此时奇数项相互抵消，得到的结果就是偶数项系数和。 例题精选 一、多选题 1．（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（24-25高二上·北京·期末）若，则 ， .（用数字作答） 三、解答题 3．（24-25高二下·全国·课后作业）展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)各项系数绝对值的和. 相似练习 4．（24-25高二·全国·课堂例题）若，求： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 6．（24-25高二上·吉林四平·阶段练习）设，且． (1)求与的值； (2)求的值． 【题型六：“换元”求系数和的问题】 知识讲解 1. 换元法的核心思想 通过引入新变量替换原二项式中的复杂表达式，将问题转化为更简单的形式，从而简化计算。 2. 换元法的步骤 (1) 识别复杂结构 确定原二项式中需要简化的部分（如高次幂、复合项等）。 (2) 选择合适的换元变量 用新变量（如 ）代替复杂部分，使原二项式转化为标准形式（如 ）。 (3) 应用赋值法求系数和 对新变量赋值（通常令 ），计算简化后的表达式的值，即为原二项式的系数和。 例题精选 1．（23-24高二下·天津·阶段练习）若，则 ．（写成指数幂形式即可） 2．（24-25高三上·上海·开学考试）设，若，则 ． 3．（24-25高三上·上海·阶段练习）设，若，则 ． 相似练习 4．（23-24高二下·河北·阶段练习）已知展开式中各二项式系数的和为128，则 ；若，则 . 5．（23-24高二下·四川成都·期末）若，则的值为 ． 6．（24-25高二上·全国·随堂练习）若，则的值为 ． 【题型七:“求导”求系数和的问题】 知识讲解 1. 写出二项式的展开式：根据二项式定理，将给定的二项式展开。 2. 对展开式求导：利用求导公式对展开式中的每一项进行求导。求导时要注意运用复合函数求导法则等相关求导规则。例如，对于的展开式求导，展开为，求导后得到。 3. 赋值计算：根据题目要求，对求导后的式子进行赋值。通常会令取一些特殊值，如，等，这样可以得到关于二项式系数的关系式，从而求出所需的系数和。例如，对于求导后的式子，令，就可以得到的值。 4. 结合已知结论和性质：在解题过程中，要善于利用二项式系数的性质，如，等，以及前面提到的组合公式的结论，来简化计算和推导过程。 例如，已知，求的值。按照上述思路，先对求导得，再令，则，从而得出答案。 例题精选 1．（23-24高二下·广东清远·期中）已知，则 ． 2．（23-24高二下·安徽六安·期中）已知,则 . 相似练习 3．（2023·山东泰安·模拟预测）若，则 . 4．（22-23高二下·江苏南京·阶段练习）二项展开式，则 . 【题型八：利用组合公式求值的问题】 知识讲解 1. 组合数的对称性： 其中，，且 。 2. 组合数的递推关系（杨辉三角性质）： 其中，，，且。当时，（规定） ，此时；当时，（规定），此时。 3. 二项式定理中的组合数： 其中，。 4. 组合数的和： 其中。 5. 奇数项与偶数项组合数之和： 当为偶数（，）时： 当为奇数（，）时： 例题精选 1．（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）在的展开式中，的系数是（   ） A．690 B． C．710 D． 2．（24-25高三上·四川成都·期中）在的展开式中，含项的系数是（   ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）这里所使用的方法，实际上是将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫作“算两次”，对此我们并不陌生，如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式，几何中常用的等积法也是“算两次”的典范，再如，我们还可以用这种方法，结合二项式定理得到很多排列和组合恒等式，如由等式可知，其左边的项的系数和右边的项的系数相等，得到如下恒等式为（ ） A． B． C． D． 相似练习 4．（2025·江西·一模）用0，1，2，3组成没有重复数字的四位偶数有n个，则 的展开式中，x3项的系数为 ．（用数字作答） 5．（2025高三下·全国·专题练习）在的展开式中，含项的系数为 ． 6．（24-25高三下·广东·开学考试）在的展开式中，含的项的系数是 .（用数字作答） 7．（2020·江苏南通·二模）设，. （1）求的展开式中系数最大的项； （2）时，化简； （3）求证：. 8．（2020·江苏扬州·三模）（1）已知的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为，求的值. （2）记，， ①求； ②设，求和：. 【题型九：与数列综合的问题】 知识讲解 利用二项式定理展开式的系数与数列项的关系 确定对应关系：将二项式展开，找到其系数与数列各项之间的对应关系。例如，对于的展开式，其系数可能构成一个数列，或者与给定数列存在某种关联。 根据数列性质求解：若发现二项式系数构成的数列具有等差数列、等比数列等常见数列的特征，可利用相应数列的通项公式、求和公式等进行求解。例如，若系数数列是等差数列，可根据等差数列的通项公式（其中为首项，为公差）来确定数列的通项，再进行求和等运算；若为等比数列，则利用等比数列的通项公式（其中为公比）及求和公式（）来处理。 利用二项式定理进行数列求和 构造二项式：根据数列的特点，构造一个与二项式相关的式子，使得数列的和可以通过二项式定理来表示。例如，对于数列，它恰好是的展开式各项系数之和，根据二项式定理可知其和为。 利用二项式展开式的性质求和：利用二项式展开式的一些性质，如对称性、系数和的关系等，对数列进行求和。例如，在的展开式中，令，，得到，再令取特殊值，如或等，可得到不同的系数和关系，进而用于数列求和。当时，；当时，（为偶数时）或（为奇数时），通过这些关系可以对一些数列进行巧妙求和。 利用二项式定理证明数列不等式 展开二项式：将相关的二项式展开，然后通过对展开式各项的分析来证明不等式。例如，要证明（，，），可将展开为，由于，，所以展开式中除了和$nx$外，其余各项均为正，从而可得。 放缩法结合：在证明过程中，常常需要结合放缩法，对二项式展开式进行适当的放大或缩小，以达到证明不等式的目的。例如，在证明（，）时，可以利用二项式定理，然后通过放缩，舍去一些项，得到，再经过计算证明（），从而完成证明。 利用二项式定理求数列的极限 将数列转化为二项式形式：通过适当的变形，将给定的数列表示为二项式的形式，以便利用二项式定理进行分析。例如，对于数列，可以将其看作是在时的情况。 利用二项式展开式求极限：将二项式展开，然后分析当趋向于无穷大时，各项的极限情况。对于，展开后得到，当时，通过分析各项的极限，可以得出该数列的极限为。在求极限过程中，可能需要用到一些极限的运算法则和常见的极限结论，如（）等。 例题精选 1．（2024·上海·三模）已知． (1)无穷等比数列的首项，公比．求的值． (2)无穷等差数列的首项，公差．求的通项公式和． 2．（23-24高二下·江苏宿迁·期末）在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列． (1)证明展开式中不存在常数项； (2)求展开式中所有的有理项． 相似练习 3．（23-24高二下·安徽·阶段练习）在的展开式中，前项的系数的绝对值成等差数列． (1)求展开式中二项式系数最大的项及各项系数和； (2)求展开式中所有的有理项． 4．（2023·湖南邵阳·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和. 【题型十：杨辉三角的应用】 知识讲解 1. 每行数字左右对称：由杨辉三角的构造可知，它以中间的数字为对称轴，左右两边的数字是对称相等的。即第行的第个数与第行的第个数相等，用组合数表示为。 2. 每行两端的数都是：杨辉三角的每一行的第一个数和最后一个数都是，这是因为在二项式展开中，当和时，。 3. 从第三行起，除两端的以外的每个数都等于它肩上两个数之和：即第行的第个数等于第行的第个数与第行的第个数之和，用组合数表示为。这是杨辉三角最基本的性质，也是组合数的重要递推公式。 4. 第行的数字之和为：根据二项式定理，展开式的各项系数之和为，而杨辉三角的第行恰好是展开式的二项式系数，所以第行数字之和为。 5. 斜行性质：从杨辉三角的左上角到右下角的斜线上，数字呈现出一定的规律。例如，第一条斜线上都是；第二条斜线上是自然数数列；第三条斜线上是三角形数数列，其通项公式为。 6. 二项式系数的增减性与最大值：当为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当为奇数时，中间两项的二项式系数与相等且最大。并且，从杨辉三角的某一行中间向两边，二项式系数先逐渐增大，再逐渐减小。 例题精选 1．（23-24高二上·山东德州·期末）将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的莱布尼茨三角形.莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果（为正整数），则下列结论中正确的是（   ） 第0行                  第1行                   第2行                      第3行                       ……             …… A．当时中间的两项相等，且同时取得最大值 B．当时中间一项为 C．第6行第5个数是 D． 2．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2024行，每行的第3个数字之和为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高二上·湖南长沙·期末）杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的两个数之和.那么下列说法中正确的是（    ） A．第行的第个位置的数是 B．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一个新的数列，则 C．70在杨辉三角中共出现了3次 D．记第行的第个数为，则 4．（24-25高二上·江西·阶段练习）如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（    ） A． B．第8行所有数字之和为256 C． D．记第20，21行数字的最大值分别为，则 5．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，下列结论正确的是（    ）相似练习 A．第n行的第个位置的数是 B． C．第2024行的第1012个数最大 D．第28行中第5个数与第6个数的比值为 6．（23-24高二下·湖北·期末）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝，最早出现在南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》中．“杨辉三角”中三角形数的排列规律如图所示，它的第行的各项从左往右依次是二项式展开式中各项的二项式系数．下列结论正确的是（    ）    A． B．第2024行中从左往右第1013个数是该行中所有数字中最大的 C．记第行的第个数为，则 D．记第2行第3个数字为，第3行第3个数字为，…，第行的第3个数字为，则 7．（23-24高二下·河南郑州·期末）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》､《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.根据以上材料，以下说法正确的是（    ） A．第2024行中，第1012个数最大 B．杨辉三角中第8行的各数之和为256 C．记第行的第个数为，则 D．在“杨辉三角”中，记每一行第个数组成的数列称为第斜列，该三角形数阵前2024行中第斜列各项之和为 三、解答题 8．（23-24高二下·贵州黔西·期末）观察杨辉三角（如图所示）的相邻两行，发现三角形的两个腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数相加，即．已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)请利用上述杨辉三角的性质求数列的前项和． 课后针对训练 1．（24-25高二上·湖南长沙·期末）若展开式中只有第项的二项式系数最大，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·安徽芜湖·期末）若的展开式各项系数之和为，则实数为（   ） A．0 B． C．1 D． 3．（21-22高二下·山东聊城·期中）在的展开式中，的系数为（    ） A．120 B．84 C．210 D．126 4．（24-25高二上·江西抚州·期末）若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·安徽亳州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高二上·吉林长春·期末）设，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·广东·一模）已知在的展开式中，设前项的系数分别为，，，若，则下列结论正确的是（    ） A． B．展开式的中间项为 C．展开式中有项有理项 D．展开式中系数最大项为第项和第项 8．（24-25高二上·河南焦作·期末）如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第行是的展开式的二项式系数，观察图中数字的排列规律，可知下列结论正确的是（   ） A． B．第10行所有数字之和为 C．第12行从左到右第4个数与第5个数之比为4：9 D．第2025行从左到右第1013个数比该行其他数都大 9．（24-25高二上·江西·期末）关于，下列结论正确的是（   ） A．展开式中的常数项为1 B．展开式中项的系数为 C．展开式中所有项的系数和为 D．展开式中项的系数为392 三、填空题 10．（24-25高三上·吉林长春·期末）二项式，若，则 ． 11．（21-22高二下·福建福州·期末）“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．它揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，早在南宋时期数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现这一规律，而欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第11行中从左至右第5与第6个数的比值为 ． 12．（24-25高三上·湖北武汉·期末）展开式中只有第7项的系数最大，则 . 四、解答题 13．（24-25高二上·北京昌平·期末）设，求： (1)； (2)； (3). 14．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知， (1)求的值； (2)求的值； (3)求展开式中系数的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二下学期数学常考题型归纳 【6.3.2二项式系数的性质】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：二项式系数和的问题】 知识讲解 二项式定理 对于任意正整数，有，其中（）叫做二项式系数。 二项式系数和的性质 性质一：二项式系数的和等于 在中，令，，则可得，即。所以展开式的二项式系数和为。 性质二：奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和 在中，令，，则可得。 当为偶数时，，即。 当为奇数时，，同样有。 例题精选 1．（24-25高二下·广西南宁·阶段练习）若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为（   ） A． B．90 C．40 D． 【答案】A 【分析】先由二项式系数和求出，再由展开式公式写出二项式的展开式通项，然后得到结果. 【详解】由题意可知：，∴， 则二项式的展开式通项， 令，即时，， 即展开式的常数项为20. 故选：A. 2．（24-25高三下·贵州·阶段练习）若的展开式的各项的二项式系数和为32，则展开式中的系数为（    ） A．1960 B． C．40 D． 【答案】A 【分析】根据二项式展开式的各项的二项式系数和求得，结合展开式的通项公式计算即可求解. 【详解】因为展开式的各项的二项式系数和为32，所以，解得， 则展开式的通项公式为， 令，得展开式中含的系数为. 故选：A 相似练习 3．（24-25高二下·全国·课后作业）已知关于的二项式的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据二项式系数和求得，结合展开式通项利用常数项列方程求解即可. 【详解】由条件知，即，在通项中， 令，得.所以常数项为，解得. 故选：C 4．（24-25高三上·江苏无锡·期末）在二项式的展开式中二项式系数的和是32，则展开式中的系数为（    ） A．40 B．80 C． D． 【答案】A 【分析】根据二项式系数的和可得，再利用二项展开式的通项计算可得结果. 【详解】由展开式二项式系数和为，可得， 易知展开式第项， 令，即的系数为40， 故选：A. 二、填空题 5．（24-25高三上·北京·阶段练习）若的展开式的二项式系数和为32，则展开式中的系数为 ． 【答案】 【分析】根据二项式系数和得到的值，再根据二项式展开式的通项公式可得到结果. 【详解】因为的展开式的二项式系数和为32， 所以，即， 二项式展开式的通项公式为， 令，则，所以的系数为， 故答案为：. 【题型二：项的系数和问题】 知识讲解 赋值法 基本原理：通过对二项式中的字母赋予特定的值，来求得各项系数和或部分项系数和。 常见赋值： 1. 令二项式中，，则可得展开式的所有项系数和为。例如，对于，令，就得到展开式的各项系数和为。 2. 令，，可得到奇数项系数和与偶数项系数和的关系。如在中，令，则，即，由此可知当为偶数时，奇数项系数和等于偶数项系数和，都为；当为奇数时，同样有奇数项系数和等于偶数项系数和，也为。 例题精选 1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知的展开式中，各项系数的和为243，则该展开式中的项的系数为（   ） A．24 B．80 C．160 D．240 【答案】B 【分析】写出二项式的展开式，令求得各项系数的和，解得的值，代入的值，写出二项式的展开式通项，令求出即可得到结果. 【详解】设 令，则，∴， 所以的展开式通项为， 令，则， 故选：B. 2．（24-25高三下·辽宁本溪·开学考试）若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（    ） A．32 B．64 C．80 D．16 【答案】C 【分析】根据二项式系数之和以及系数之和求，再根据二项式定理运算求解即可. 【详解】因为的二项式系数之和为32， 则，解得，即二项式为， 因为展开式各项系数和为243， 令，代入可得，解得，即二项式为， 则该二项式展开式的通项为， 令，解得， 则展开式中的系数为. 故选：C. 相似练习 3．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）在的二项展开式中，若各项系数和为729，则正整数的值为 ． 【答案】6 【分析】利用在的二项展开式中，令，可得各项系数和即可求解. 【详解】在的二项展开式中，令，可得各项系数和为， 解得. 故答案为：6 4．（2025·山东·模拟预测）已知的展开式中各项系数的和与二项式系数的和相等，则展开式中含项的系数为 （用数字作答） 【答案】15 【分析】根据二项式系数与项的系数和相等求出n，再由通项公式确定常数项即可得解. 【详解】因为的展开式各项系数的和为，二项式系数的和为， 所以，解得 因为的展开式的通项为， 由，得4， 所以，即含项的系数为15． 故答案为：15 5．（24-25高三上·浙江·阶段练习）的展开式中的所有项的系数之和是 ． 【答案】 【分析】令即可求解. 【详解】在中，令，故展开式中的所有项的系数之和为， 故答案为： 【题型三：二项式系数的最值问题】 知识讲解 1. 当为偶数时 根据二项式系数的性质，二项式系数（）是先增大后减小的，且具有对称性，即。 在的展开式中，中间一项（即第项）的二项式系数最大，为。 例如，在的展开式中，为偶数，那么中间一项是第项，其对应的二项式系数是所有二项式系数中最大的。 2. 当为奇数时 同样由于二项式系数先增大后减小且具有对称性。 在的展开式中，中间两项（即第项和第项）的二项式系数相等且最大，这两项的二项式系数分别为和。 例如，对于的展开式，为奇数，中间两项分别是第项和第项，它们对应的二项式系数和相等且为所有二项式系数中的最大值。 3. 证明方法 可以通过比较相邻两项二项式系数与的大小来确定二项式系数的增减性，进而得出最值情况。 根据组合数公式，，则。 当，即，时，，说明二项式系数是递增的。 当，即，时，，说明二项式系数是递减的。 当时： 若为偶数，不是整数，最接近的整数是，此时最大。 若为奇数，是整数，此时且最大。 例题精选 1．（23-24高二下·天津滨海新·期中）已知展开式的第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（   ） A． B．252 C． D．28 【答案】B 【分析】根据组合数的性质可得最大，进而得，即可根据通项公式求解. 【详解】由于展开式的第5项的二项式系数为最大，故， 展开式中的系数为， 故选：B 2．（24-25高三下·北京·开学考试）若的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中含项的系数（    ） A． B．252 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据二项式系数的最值可得，再结合二项展开式的通项运算求解即可. 【详解】因为二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项， 则，解得， 可得的展开式的通项为， 令，解得， 所以含项的系数为. 故选：A. 二、多选题 3．（24-25高二下·辽宁抚顺·开学考试）若（）的展开式中第5项的二项式系数最大，则的可能取值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，建立不等式，再解析组合数不等式即可. 【详解】依题意，，即，解得，而， 所以. 故选：ABC 相似练习 4．（2025·湖北·一模）已知在，的展开式中，有且只有第项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 【答案】 【分析】根据二项式系数的性质求出的值，写出二项展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】依题意可知， 的展开式通项为， 令，则，故的系数为. 故答案为：. 5．（2025高三·全国·专题练习）若展开式的第7项二项式系数最大，写出一个满足条件的的值 . 【答案】11（或12或13）写出其中一个即可 【分析】由二项式系数的性质即可判断； 【详解】当只有第7项的二项式系数最大时，此时展开式共13项，可得：； 当第6、7项的二项式系数最大时，此时展开式由12项，可得：； 当第7、8项的二项式系数最大时，此时展开式由14项，可得：. 故答案为：11（或12或13） 6．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）在二项式的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中x的系数为 用数字作答 【答案】7 【分析】先由展开式中只有第5项的二项式系数最大，可得展开式共9项，从而可得以，再由二项展开式的通项公式得到. 【详解】解：因为只有第五项的二项式系数最大，所以 故的展开式通项为 令解得 所以展开式中x的系数为. 故答案为：7. 【题型四：项的系数最值问题】 知识讲解 1. 写出二项式展开式的通项公式 对于二项式，其展开式的通项公式为（）。若中、前面还有系数，例如，则其通项公式为，此时该项的系数为。 2. 设出系数最大的项 设第项的系数最大，记该项系数为。 3. 根据最大项的性质列不等式组 因为第项系数最大，所以它不小于它前一项（第项）的系数，同时也不小于它后一项（第项）的系数。 即。 以为例，，，，则不等式组为： 4. 化简不等式组并求解的范围 对上述不等式组进行化简求解。 由组合数公式，，，对不等式化简： 同理对不等式化简可得。 然后结合是自然数（），确定的值，进而得到系数最大的项。 例题精选 1．（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）在 的展开式中系数最大的项为 . 【答案】 【分析】根据二项式展开式的通项公式求结果. 【详解】的展开式的通项公式为, 所以系数为，其中， 当为奇数时，为负数，系数不是最大， ， 所以系数最大的项为 故答案为： 2．（24-25高三下·广东清远·开学考试）在的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是 . 【答案】或 【分析】利用二项式系数的性质求出，再求出展开式的通项公式，列出不等式求出系数最大项. 【详解】由的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，得展开式共9项，则， 的展开式的通项公式， 设展开式中系数最大项是，则，即， 解得，而，因此或，，， 所以展开式中系数最大的项是或. 故答案为：或 二、解答题 3．（24-25高二·全国·课堂例题）（1）已知的展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大992．求展开式中二项式系数最大的项． （2）已知的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，求该展开式中系数最大的项． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）利用赋值法表示出系数和，由题意建立方程求得指数，根据二项式系数的单调性，可得答案； （2）由二项式系数的单调性，建立方程求得指数，写出通项建立不等式组，可得答案. 【详解】（1）令，可得各项系数和为，展开式各项的二项式系数之和为． 由已知得，即，解得或（舍去）， 的展开式中二项式系数最大的项为中间两项， 它们分别是，． （2）由题意可知，解得，故展开式的通项为． 设第项的系数最大，则，解得． 展开式中的系数最大的项为. 相似练习 4．（24-25高二上·江西赣州·期末）已知的展开式中各项的二项式系数之和为128. (1)求展开式中项的系数； (2)求展开式中项的系数最大的项. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据二项式系数和，得出，再应用通项公式计算即可得出系数； （2）根据通项公式列不等式组计算求出，再结合，则最后计算即可. 【详解】（1）次二项式的展开式中各项的二项式系数和， 由题意，得，即， 由二项式通项公式，得， 即，令，得 展开式中项的系数为. （2）设展开式中第项的系数最大， 则有， 化简得，即为， 解得， ，则， 展开式中项的系数最大的项为. 5．（24-25高二上·甘肃·期末）在的展开式中． (1)求二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项是第几项？ (3)求系数最大的项． 【答案】(1) (2)第6项和第7项 (3) 【分析】（1）由二项式系数的性质即可得到结果； （2）由展开式的通项公式列出不等式，代入计算，即可得到结果； （3）结合展开式的通项公式，由（2）中的结论，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）二项式系数最大的项为中间项，即第5项，； （2）的展开式的通项为 ，，， 设第项系数的绝对值最大，显然，则， 整理得，即， 解得，而，则或， 所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项； （3）由（2）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负， 第7项的系数为正，所以系数最大的项为第7项． 6．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知的二项式系数之和为4096． (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大项． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二项式系数可得，求得，进而求得展开式的通项为，根据题意得，可求得展开式的常数项； （2）设展开式第项的系数最大，得出不等式组，可求得系数最大的项. 【详解】（1）因为的二项式系数之和为4096． 所以，解得， 所以二项式展开式的通项为， 令，解得，所以展开式的常数项为. （2）设展开式中第项的系数最大， 则，可得，解得， 因为，所以，所以系数最大的项为. 【题型五：赋值法求奇偶项系数和的问题】 知识讲解 1. 明确二项式展开式 设二项式为，其展开式为。 2. 进行赋值 令，得到，此时得到的是所有项系数的和。 令，得到，此时展开式中奇数项系数不变，偶数项系数变为原来的相反数。 3. 求奇偶项系数和 求奇数项系数和：将令与得到的两式相加，即，此时偶数项相互抵消，得到的结果就是奇数项系数和。 求偶数项系数和：将令与得到的两式相减，即，此时奇数项相互抵消，得到的结果就是偶数项系数和。 例题精选 一、多选题 1．（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用赋值法可判断ACD的正误，利用二项展开式的通项公式可判断B的正误. 【详解】对A：令得，A选项错误； 对B：，B选项正确； 对C：令得，又， 所以，C选项错误； 对D：令得， 又，所以，D选项正确； 故选：BD. 二、填空题 2．（24-25高二上·北京·期末）若，则 ， .（用数字作答） 【答案】 【分析】利用赋值法计算可得. 【详解】令，可得， 令，可得①， 令，可得②， ①②，得，解得. 故答案为：；. 三、解答题 3．（24-25高二下·全国·课后作业）展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)各项系数绝对值的和. 【答案】(1)512 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二项式系数和的性质直接计算即可. （2）令，即可求得各项系数之和. （3）令，得，结合（2）的结果相加即可求解. （4）结合展开式通项可知各项系数的符号，有，令，即可求得. 【详解】（1）设. 二项式系数之和为. （2）令，，得各项系数之和. （3）令，，得， 又， 两式相加得， 故所有奇数项系数之和为. （4）， ，，，，. ， 令，，得. 相似练习 4．（24-25高二·全国·课堂例题）若，求： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)129； (2)8256； (3)； (4)16384. 【分析】（1）应用赋值法求得、，即可求值； （2）应用赋值法得，结合（1）所得即得； （3）根据（1）（2）所得可求； （4）法一：根据奇偶数项系数的符号，及（2）（3）结果求值；法二：化为求中各项系数之和. 【详解】（1）令，则， 令，则①， ． （2）令，则②， 由，得. （3）由，得． （4）法一：展开式中均小于零，均大于零， . 法二：，即为展开式中各项的系数和， ． 5．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】（1）利用二项式展开式的通项公式(且)求解； （2）分别令，令求解； （3）根据展开式的通项得到偶数项的系数为负数，令求解. 【详解】（1）二项式展开式的通项为：(且)， 所以，所以． （2）令，得， 令，得， 所以． （3）因为展开式的通项为(且)， 所以当为奇数时，项的系数为负数． 所以， 令，得， ． 6．（24-25高二上·吉林四平·阶段练习）设，且． (1)求与的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据组合数的性质可得，即可利用赋值法求解， （2）利用赋值法即可求解. 【详解】（1）根据可得， 令，则 （2）令，则 令，则， 相加可得 【题型六：“换元”求系数和的问题】 知识讲解 1. 换元法的核心思想 通过引入新变量替换原二项式中的复杂表达式，将问题转化为更简单的形式，从而简化计算。 2. 换元法的步骤 (1) 识别复杂结构 确定原二项式中需要简化的部分（如高次幂、复合项等）。 (2) 选择合适的换元变量 用新变量（如 ）代替复杂部分，使原二项式转化为标准形式（如 ）。 (3) 应用赋值法求系数和 对新变量赋值（通常令 ），计算简化后的表达式的值，即为原二项式的系数和。 例题精选 1．（23-24高二下·天津·阶段练习）若，则 ．（写成指数幂形式即可） 【答案】 【分析】二项展开式中，令即可得答案. 【详解】在中， 令可得 即， 故答案为：. 2．（24-25高三上·上海·开学考试）设，若，则 ． 【答案】 【分析】令，即可得到，再利用赋值法计算可得. 【详解】令，则， 令，可得， 令，可得， 所以. 故答案为： 3．（24-25高三上·上海·阶段练习）设，若，则 ． 【答案】20 【分析】先由题设赋值得，从而求出n，再由二项式定理的通项公式即可计算求解. 【详解】由题，所以， 所以， 所以，即. 故答案为：20. 相似练习 4．（23-24高二下·河北·阶段练习）已知展开式中各二项式系数的和为128，则 ；若，则 . 【答案】 7 2186 【分析】由二项式系数和计算，求解.分别令，计算即可得到答案. 【详解】由，可得. 令，得，令，得，所以. 故答案为：；. 5．（23-24高二下·四川成都·期末）若，则的值为 ． 【答案】128 【分析】赋值令，代入求出结果即可； 【详解】令，得． 故答案为：128. 6．（24-25高二上·全国·随堂练习）若，则的值为 ． 【答案】129 【分析】利用特殊值法，结合进行求解即可. 【详解】令，得， 又， 则，解得． 故． 故答案为：129 【题型七:“求导”求系数和的问题】 知识讲解 1. 写出二项式的展开式：根据二项式定理，将给定的二项式展开。 2. 对展开式求导：利用求导公式对展开式中的每一项进行求导。求导时要注意运用复合函数求导法则等相关求导规则。例如，对于的展开式求导，展开为，求导后得到。 3. 赋值计算：根据题目要求，对求导后的式子进行赋值。通常会令取一些特殊值，如，等，这样可以得到关于二项式系数的关系式，从而求出所需的系数和。例如，对于求导后的式子，令，就可以得到的值。 4. 结合已知结论和性质：在解题过程中，要善于利用二项式系数的性质，如，等，以及前面提到的组合公式的结论，来简化计算和推导过程。 例如，已知，求的值。按照上述思路，先对求导得，再令，则，从而得出答案。 例题精选 1．（23-24高二下·广东清远·期中）已知，则 ． 【答案】10 【分析】将二项展开式两边求导，再代入，计算即得. 【详解】由两边求导得， ， 取，可得：. 故答案为：10. 2．（23-24高二下·安徽六安·期中）已知,则 . 【答案】 【分析】对两边分别求导,再利用赋值法令即可求解. 【详解】对两边分别求导得: , 令得:. 故答案为:. 相似练习 3．（2023·山东泰安·模拟预测）若，则 . 【答案】 【分析】观察已知条件，通过求导赋值构造出式子计算即可. 【详解】已知，对式子两边同时求导， 得， 令，得. 故答案为：240 4．（22-23高二下·江苏南京·阶段练习）二项展开式，则 . 【答案】 【分析】等式的两边同时求导数得到，令，即可求解. 【详解】因为， 等式的两边同时求导数，可得， 令，可得. 故答案为： 【题型八：利用组合公式求值的问题】 知识讲解 1. 组合数的对称性： 其中，，且 。 2. 组合数的递推关系（杨辉三角性质）： 其中，，，且。当时，（规定） ，此时；当时，（规定），此时。 3. 二项式定理中的组合数： 其中，。 4. 组合数的和： 其中。 5. 奇数项与偶数项组合数之和： 当为偶数（，）时： 当为奇数（，）时： 例题精选 1．（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）在的展开式中，的系数是（   ） A．690 B． C．710 D． 【答案】D 【分析】本题可先根据等比数列求和公式对原式进行化简，再根据二项式展开式的通项公式求出的系数. 【详解】观察原式，这是首项为，公比为（），项数为的等比数列的和. 根据等比数列求和公式 要求原式展开式中的系数，即求展开式中的系数. 根据二项式展开式的通项公式分别求出和展开式中的系数. 对于，，令，则的系数为. 对于，，令，则的系数为. 所以展开式中的系数为，即原式展开式中的系数为.   故选：D. 2．（24-25高三上·四川成都·期中）在的展开式中，含项的系数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出展开式中含的系数为，再利用组合数的计算性质求和即可. 【详解】解：展开式中第项为：， 中含有项的系数为： . 故选：C. 3．（2024高三·全国·专题练习）这里所使用的方法，实际上是将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫作“算两次”，对此我们并不陌生，如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式，几何中常用的等积法也是“算两次”的典范，再如，我们还可以用这种方法，结合二项式定理得到很多排列和组合恒等式，如由等式可知，其左边的项的系数和右边的项的系数相等，得到如下恒等式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据新定义分别求出、展开式中求出的系数即可判断A；根据排列数的定义即可判断B；根据新定义分别求出、展开式中求出的系数即可判断C；根据组合数的运算性质即可判断D． 【详解】对于A，在展开式中，的系数为， ， 其中的系数为， ∴，故A符合题意； 对于B，由“算两次”的定义知， 从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数为， 同时还可以分类考虑： 第一类：取出个元素不包括元素甲，则所有排列的个数为， 第二类：取出个元素包括元素甲，则先排元素甲，有m个位置， 然后从其余n个元素中抽出个元素全排列，则所有的排列个数为， 综上，从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数为， ∴，但是该等式不是由所给二项式得到，故B不符合题意； 对于C，对于，由“算两次”的定义知， 展开式中，的系数为， ， 其中的系数为， ∴，故C不符合题意； 对于D，由组合数的运算性质知， ， 当时，；当时，，故D不符合题意， 故选：A． 相似练习 4．（2025·江西·一模）用0，1，2，3组成没有重复数字的四位偶数有n个，则 的展开式中，x3项的系数为 ．（用数字作答） 【答案】330 【分析】求出用，，，组成没有重复数字的四位偶数的个数，得到的值.再根据二项式定理通项公式求出展开式中项的系数即可. 【详解】当个位数字为时：其他三个数位从，，这三个数字中任意排列，有种情况. 当个位数字为时：千位不能为，所以千位有种选择（从，中选），百位从剩下的个数字中选，十位再从剩下的个数字中选， 根据分步乘法计数原理，共有种情况. 所以 根据二项式展开式的通项公式，对于，展开式中项的系数为（）. 那么展开式中项的系数为. 由组合数的性质，且，则. 可得. 故答案为：330. 5．（2025高三下·全国·专题练习）在的展开式中，含项的系数为 ． 【答案】64 【分析】应用二项式定理，写出原式中各二项式展开式的含项，即可得该项的系数. 【详解】在的展开式中， 含项为， 则含项的系数为. 故答案为：64 6．（24-25高三下·广东·开学考试）在的展开式中，含的项的系数是 .（用数字作答） 【答案】 【分析】利用二项式展开式通项公式写出含的项，即可得答案. 【详解】的展开式中， 含的项的系数是. 故答案为： 5．（2020·江苏南通·二模）设，. （1）求的展开式中系数最大的项； （2）时，化简； （3）求证：. 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析 【分析】（1）中间项的二项式系数（也是系数）最大； （2）在原式乘以4，然后逆用二项式定理即可； （3）根据，将左边利用倒序相加法求和. 【详解】解：（1），通项为：， 故各项的系数即为二项式系数，故系数最大的项为； （2） ； （3）证明：令①， 则， 所以②， ①②得：，∴. 【点睛】本题考查二项式定理的通项、系数的性质以及赋值法.同时考查学生的逻辑推理和数学运算等数学核心素养.属于中档题. 6．（2020·江苏扬州·三模）（1）已知的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为，求的值. （2）记，， ①求； ②设，求和：. 【答案】（1）；（2）①；②. 【分析】（1）根据的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为1：4，得到求解. （2）①由题意可得，再令求解；②由题意知，根据，解得，结合组合数性质，然后求和即可. 【详解】（1）∵的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为1：4， ∴，即，解得. （2）①由题意， 令，得； ②由题意，又， ∴， ∴ ， ∴ . 【点睛】本题主要考查二项式系数，项的系数以及组合数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 【题型九：与数列综合的问题】 知识讲解 利用二项式定理展开式的系数与数列项的关系 确定对应关系：将二项式展开，找到其系数与数列各项之间的对应关系。例如，对于的展开式，其系数可能构成一个数列，或者与给定数列存在某种关联。 根据数列性质求解：若发现二项式系数构成的数列具有等差数列、等比数列等常见数列的特征，可利用相应数列的通项公式、求和公式等进行求解。例如，若系数数列是等差数列，可根据等差数列的通项公式（其中为首项，为公差）来确定数列的通项，再进行求和等运算；若为等比数列，则利用等比数列的通项公式（其中为公比）及求和公式（）来处理。 利用二项式定理进行数列求和 构造二项式：根据数列的特点，构造一个与二项式相关的式子，使得数列的和可以通过二项式定理来表示。例如，对于数列，它恰好是的展开式各项系数之和，根据二项式定理可知其和为。 利用二项式展开式的性质求和：利用二项式展开式的一些性质，如对称性、系数和的关系等，对数列进行求和。例如，在的展开式中，令，，得到，再令取特殊值，如或等，可得到不同的系数和关系，进而用于数列求和。当时，；当时，（为偶数时）或（为奇数时），通过这些关系可以对一些数列进行巧妙求和。 利用二项式定理证明数列不等式 展开二项式：将相关的二项式展开，然后通过对展开式各项的分析来证明不等式。例如，要证明（，，），可将展开为，由于，，所以展开式中除了和$nx$外，其余各项均为正，从而可得。 放缩法结合：在证明过程中，常常需要结合放缩法，对二项式展开式进行适当的放大或缩小，以达到证明不等式的目的。例如，在证明（，）时，可以利用二项式定理，然后通过放缩，舍去一些项，得到，再经过计算证明（），从而完成证明。 利用二项式定理求数列的极限 将数列转化为二项式形式：通过适当的变形，将给定的数列表示为二项式的形式，以便利用二项式定理进行分析。例如，对于数列，可以将其看作是在时的情况。 利用二项式展开式求极限：将二项式展开，然后分析当趋向于无穷大时，各项的极限情况。对于，展开后得到，当时，通过分析各项的极限，可以得出该数列的极限为。在求极限过程中，可能需要用到一些极限的运算法则和常见的极限结论，如（）等。 例题精选 1．（2024·上海·三模）已知． (1)无穷等比数列的首项，公比．求的值． (2)无穷等差数列的首项，公差．求的通项公式和． 【答案】(1)5 (2)，． 【分析】（1）先求出展开式的通项，从而可求出等比数列的首项与公比，再根据等比数列前项和公式即可得解； （2）先求出等差数列的首项和公差，进而可求出等差数列的通项，再根据等差数列前项和公式即可得解. 【详解】（1）二项式展开式的通项公式为：， 因为， 所以， 所以, 故； （2）由（1）知，等差数列首项，公差， 所以等差数列的通项公式为， 等差数列的前项和为． 2．（23-24高二下·江苏宿迁·期末）在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列． (1)证明展开式中不存在常数项； (2)求展开式中所有的有理项． 【答案】(1)证明见解析； (2)，，，. 【分析】（1）根据题意可求得，利用二项展开式的通项可得展开式中不存在常数项； （2）由二项展开式的通项令的指数为整数即可解得合适的值，求出所有的有理项. 【详解】（1）易知第2，3，4项的二项式系数依次为， 可得，即， 整理得，解得或（舍）； 所以二项式为，假设第项为常数项，其中， 即可得为常数项，所以， 解得，不合题意； 即假设不成立，所以展开式中不存在常数项； （2）由（1）可知，二项展开式的通项可得， 其中的有理项需满足，即，且； 当，此时有理项为； 当，此时有理项为； 当，此时有理项为； 当，此时有理项为； 综上可知，展开式中所有的有理项为，，，. 相似练习 3．（23-24高二下·安徽·阶段练习）在的展开式中，前项的系数的绝对值成等差数列． (1)求展开式中二项式系数最大的项及各项系数和； (2)求展开式中所有的有理项． 【答案】(1)，展开式系数和为； (2)；. 【分析】（1）根据展开式通项公式，写出前三项的系数，再由三项的绝对值成等差数列可求出；根据的值可确定二项式系数最大的项，再令可求各项的和； （2）写出二项展开式通项，再由为整数确定有理项. 【详解】（1）二项式展开式的通项为， 因为前3项的系数的绝对值成等差数列，且前三项系数为，，， 所以，即， 所以（舍去）或， 因为，所有展开式中二项式系数最大的项为第五项， 即， 令得，即展开式系数和为. （2）由（1）知，二项式通项公式：， 当、6时对应的项为有理项，有理项分别为：；. 4．（2023·湖南邵阳·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据递推式得出是等差数列，然后求出基本量即可解答； （2）利用错位相减法即可求和. 【详解】（1）∵，∴，∴数列是等差数列，设公差为， 则由题有，解得，， ∴数列的通项公式为. （2）∵，∴， ∴， ∴，① ，② ①②得：， ∴. 【题型十：杨辉三角的应用】 知识讲解 1. 每行数字左右对称：由杨辉三角的构造可知，它以中间的数字为对称轴，左右两边的数字是对称相等的。即第行的第个数与第行的第个数相等，用组合数表示为。 2. 每行两端的数都是：杨辉三角的每一行的第一个数和最后一个数都是，这是因为在二项式展开中，当和时，。 3. 从第三行起，除两端的以外的每个数都等于它肩上两个数之和：即第行的第个数等于第行的第个数与第行的第个数之和，用组合数表示为。这是杨辉三角最基本的性质，也是组合数的重要递推公式。 4. 第行的数字之和为：根据二项式定理，展开式的各项系数之和为，而杨辉三角的第行恰好是展开式的二项式系数，所以第行数字之和为。 5. 斜行性质：从杨辉三角的左上角到右下角的斜线上，数字呈现出一定的规律。例如，第一条斜线上都是；第二条斜线上是自然数数列；第三条斜线上是三角形数数列，其通项公式为。 6. 二项式系数的增减性与最大值：当为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当为奇数时，中间两项的二项式系数与相等且最大。并且，从杨辉三角的某一行中间向两边，二项式系数先逐渐增大，再逐渐减小。 例题精选 1．（23-24高二上·山东德州·期末）将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的莱布尼茨三角形.莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果（为正整数），则下列结论中正确的是（   ） 第0行                  第1行                   第2行                      第3行                       ……             …… A．当时中间的两项相等，且同时取得最大值 B．当时中间一项为 C．第6行第5个数是 D． 【答案】C 【分析】根据莱布尼茨三角形的数的排列规律，明确每行的数的个数，以及数的分布规律，即可判断A，B，C；结合从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，即可判断D. 【详解】对于A，由莱布尼茨三角形知，当n为奇数时，中间两项相等，且同时取到最小值， 为奇数，故A错误； 对于B，当时，这一行有2025个数，最中间为第1013个数， 即，B错误； 对于C，第6行有7个数，第5个数是，C正确； 对于D，由于从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和， 故，D错误， 故选：C 2．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2024行，每行的第3个数字之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用组合数的性质即可求解. 【详解】由题意可知，从第2行开始，第行的第3个数字为， 故从第2行到第2024行，每行的第3个数字之和为 . 故选：B. 二、多选题 3．（24-25高二上·湖南长沙·期末）杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的两个数之和.那么下列说法中正确的是（    ） A．第行的第个位置的数是 B．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一个新的数列，则 C．70在杨辉三角中共出现了3次 D．记第行的第个数为，则 【答案】BCD 【分析】A选项，由杨辉三角形的特征，可直接判断A错；B选项，由题意易知，根据累加法即可判断B正确；C选项，根据，可判断C正确；D选项，逆用二项展开式，得到 ，即可判断D正确. 【详解】A选项，第行的第个位置的数是，故A错； B选项，由题意可得，，， 则,，,......，， 以上各式相加得：， 因此，故B正确； C选项，由于，不妨设，令， 当时，，所以； 当时，，无正整数解； 当时，，当时，；当时，；而递增，从而，无正整数解； 当时，，当时，；而是第九行最中间的数，杨辉三角中以该数为顶点的下方三角形区域中的数都大于， 所以当时，，70在杨辉三角中共出现了3次，故C正确； D选项，第行的第个数为，则， 因为 ， 所以.故D正确； 故选：BCD 4．（24-25高二上·江西·阶段练习）如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（    ） A． B．第8行所有数字之和为256 C． D．记第20，21行数字的最大值分别为，则 【答案】BC 【分析】根据“杨辉三角”，利用组合数的计算可判断A和C；利用二项式系数的性质可判断B和D. 【详解】对于A，， 所以，故A错误； 对于B，由二项式系数的性质知，第行各数的和为， 所以第8行所有数字之和为，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D，第20行数字的最大值为，第21行数字的最大值为， 所以，故D错误. 故选：BC. 5．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，下列结论正确的是（    ）相似练习 A．第n行的第个位置的数是 B． C．第2024行的第1012个数最大 D．第28行中第5个数与第6个数的比值为 【答案】AB 【分析】对于A：根据杨辉三角即可得结果；对于BC：根据组合数的性质分析求解；对于D：根据组合数公式分析求解. 【详解】对于选项A：由杨辉三角可得：第n行的第个位置的数是，故A正确； 对于选项B：因为 ， 所以，故B正确； 对于选项C：因为第2024行的第个位置的数是， 由组合数性质可知：为的最大值， 所以第2024行的第1013个数最大，故C错误； 对于选项D：第28行中第5个数与第6个数的比值为，故D错误； 故选：AB. 6．（23-24高二下·湖北·期末）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝，最早出现在南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》中．“杨辉三角”中三角形数的排列规律如图所示，它的第行的各项从左往右依次是二项式展开式中各项的二项式系数．下列结论正确的是（    ）    A． B．第2024行中从左往右第1013个数是该行中所有数字中最大的 C．记第行的第个数为，则 D．记第2行第3个数字为，第3行第3个数字为，…，第行的第3个数字为，则 【答案】BD 【分析】由的性质判断A；根据二项式系数的特点判断B；将求和式化为二项式即可判断C；由结合裂项相消法判断D. 【详解】解：由可得 ，故A错误； 第2024行是偶数，中间一项最大，即，也就是第2024行中第1013个数，故B正确； 第行的第个数为， 所以，故错误； 由题意知 ，故D正确. 故选：BD 【点睛】关键点点睛：本题A选项的解决关键是，利用组合数的性质进行添项减项即可得解. 7．（23-24高二下·河南郑州·期末）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》､《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.根据以上材料，以下说法正确的是（    ） A．第2024行中，第1012个数最大 B．杨辉三角中第8行的各数之和为256 C．记第行的第个数为，则 D．在“杨辉三角”中，记每一行第个数组成的数列称为第斜列，该三角形数阵前2024行中第斜列各项之和为 【答案】BC 【分析】利用的展开式的二项式系数的性质可判断AB；求出，再利用展开式的特征可判断C；利用可判断D. 【详解】对于A，因为杨辉三角的第行就是的展开式的二项式系数， 即，当为偶数时中间一项最大，因为， 所以中间一项最大，且为第个数最大，故A错误； 对于B，杨辉三角中第8行的各数之和为，故B正确； 对于C，记第行的第个数为，则， 则，故C正确； 对于D，因为 ， 所以时，该三角形数阵前2024行中第斜列各项之和为 ， 时，该三角形数阵前2024行中第1斜列各项之和为2024，而， 所以只适用于，故D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用的展开式的二项式系数性质解题. 三、解答题 8．（23-24高二下·贵州黔西·期末）观察杨辉三角（如图所示）的相邻两行，发现三角形的两个腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数相加，即．已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)请利用上述杨辉三角的性质求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定的递推公式，构造常数列求出通项. （2）利用杨辉三角的性质可得，再结合裂项相消法求和即得. 【详解】（1）数列中，由，得，因此数列是常数列， 而，则，解得， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，，而， 即当时，，令数列的前项和为， 则 ，显然当时，满足上式， 所以数列的前项和. 课后针对训练 1．（24-25高二上·湖南长沙·期末）若展开式中只有第项的二项式系数最大，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·安徽芜湖·期末）若的展开式各项系数之和为，则实数为（   ） A．0 B． C．1 D． 3．（21-22高二下·山东聊城·期中）在的展开式中，的系数为（    ） A．120 B．84 C．210 D．126 4．（24-25高二上·江西抚州·期末）若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·安徽亳州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高二上·吉林长春·期末）设，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·广东·一模）已知在的展开式中，设前项的系数分别为，，，若，则下列结论正确的是（    ） A． B．展开式的中间项为 C．展开式中有项有理项 D．展开式中系数最大项为第项和第项 8．（24-25高二上·河南焦作·期末）如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第行是的展开式的二项式系数，观察图中数字的排列规律，可知下列结论正确的是（   ） A． B．第10行所有数字之和为 C．第12行从左到右第4个数与第5个数之比为4：9 D．第2025行从左到右第1013个数比该行其他数都大 9．（24-25高二上·江西·期末）关于，下列结论正确的是（   ） A．展开式中的常数项为1 B．展开式中项的系数为 C．展开式中所有项的系数和为 D．展开式中项的系数为392 三、填空题 10．（24-25高三上·吉林长春·期末）二项式，若，则 ． 11．（21-22高二下·福建福州·期末）“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．它揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，早在南宋时期数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现这一规律，而欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第11行中从左至右第5与第6个数的比值为 ． 12．（24-25高三上·湖北武汉·期末）展开式中只有第7项的系数最大，则 . 四、解答题 13．（24-25高二上·北京昌平·期末）设，求： (1)； (2)； (3). 14．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知， (1)求的值； (2)求的值； (3)求展开式中系数的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D D C C C AC BD ABC ABC 1．D 【分析】根据二项式系数的单调性可得出展开式的项数，即可求得的值. 【详解】因为展开式中只有第项的二项式系数最大，则其展开式中共项， 所以，，解得. 故选：D. 2．D 【分析】采用赋值法，令，根据展开式各项系数的和即可求得答案. 【详解】由题意令，则的展开式各项系数的和是， 故选：D 3．C 【分析】先通过求出各项二项式中的系数，再利用组合数的性质即可得解. 【详解】因为的展开通项为， 所以的展开式中没有这一项， 的展开式中没有这一项， 的展开式中的系数为， 的展开式中的系数为， …… 的展开式中的系数为， 所以所求的系数为. 故选：C. 4．C 【分析】根据给定条件，利用赋值法逐项计算判断. 【详解】对于A，取，得，A错误； 对于B，展开式中项的系数为，B错误； 对于C，二项式展开式中各项系数均为正，取， 得，C正确； 对于D，取，得，取，得， 联立解得，因此，D错误. 故选：C 5．C 【分析】写出二项展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项后即可得出的值. 【详解】展开式的通项为， 因为， 在中，由， 由，可得； 在中，令， 则. 故选：C. 6．AC 【分析】由二项式定理可得展开式的通项，由求出n的值判断选项AB；令判断选项C；由展开式的通项求得判断选项D. 【详解】由二项式定理，得的展开式通项为， 对于AB，由，得，即，解得，A正确，B错误； 对于C，在中，令，得，C正确； 对于D，，D错误. 故选：AC 7．BD 【分析】写出展开式的通项，依题意可求得，进而利用其通项公式对各个选项逐一分析可得答案． 【详解】展开式的通项为其中且， 由于前项的系数为，，，且， ，整理可得， 解得或（舍去），故A错误； 所以展开式的通项为其中且 则展开式的中间项为，故B正确； 令，且，所以或或， 则当，，时为有理项，共项，故C错误； 由，解得， 故展开式中系数最大项为第项和第项，故D正确． 故选：BD． 8．ABC 【分析】对于A，根据组合数公式：，可得答案； 对于B，根据二项式系数的求和公式，可得答案； 对于C，根据组合数公式：，以及组合数计算方法，可得答案； 遂于D，根据二项式系数的单调性，可得答案. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由题可知，第10行所有数字之和为，故B正确； 对于C，由题可知，第12行从左到右第4个数为，第5个数为， 则第12行从左到右第4个数与第5个数之比为，故C正确； 对于D，由题图可知，第2025行共有2026个数，从左到右第1013个数和第1014个数相等，且都是该行最大的，故D错误. 故选：ABC. 9．ABC 【分析】利用赋值法计算判断AC；利用二项式定理求出项的系数判断BD. 【详解】对于A，令，展开式中的常数项为1，A正确； 对于B，展开式中项的系数为，B正确： 对于C，令，展开式中所有项的系数和为，C正确： 对于D，展开式中项的系数为，D错误. 故选：ABC 10． 【分析】由二项式定理写出展开式的通项，利用赋值法求得参数，根据指定项，可得答案. 【详解】由可得其展开式通项， 令时，，可得，解得， 令时，. 故答案为：. 11． 【分析】先求得第11行中从左至右第5与第6个数，再去求其比值即可 【详解】第11行中从左至右第5与第6个数分别为 ， 则第11行中从左至右第5与第6个数的比值为 故答案为： 12．12 【分析】由题意利用二项式定理，二项式系数的性质，得出结论． 【详解】解：的展开式中，只有第七项的系数即二项式系数最大， 故展开式共有13项，则， 故答案为： 13．(1)0 (2) (3)729 【分析】（1）（2）（3）根据给定的展开式，利用赋值法计算得解. 【详解】（1）在展开式中，令，得：， 令，得：， 所以. （2）令，得：， 由（1）知，， 两式相加得：， 所以. （3）令，得：. 14．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二项式通项特征即可求解， （2）利用赋值法即可求解， （3）根据通项特征，即可列不等式求解. 【详解】（1）； （2）令得 令得 则； （3）的通项为， 令，① ② 代入得：解得， 解得， 解得，所以， 所以展开式中系数的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$