6.2 排列与组合【5大题型】讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.2 排列与组合 题型预览 题型一 排列与组合的辨析 题型二 排列数与组合数的计算 题型三 用排列数和组合数公式证明 题型四 组合数的性质及应用 题型五 排列数和组合数方程和不等式 知识清单 排列概念的理解 1．定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 2．两个排列相同的充要条件 (1)两个排列的元素完全相同． (2)元素的排列顺序相同． 【注意】排列定义中的两层含义：一是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素；二是按一定顺序排列 排列数公式 排列数 的定义 及表示 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示 全排列 的概念 n个不同的元素全部取出的一个排列 阶乘的概 念及表示 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示 排列数 公式 ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，n，m∈N*，m≤n 阶乘式＝(n，m∈N*，m≤n) 特殊情况 ＝n！，1！＝1，0！＝1 【注意】排列数公式的特征：(1)乘积是m个连续正整数的乘积．(2)最大的因数是n，最小的因数是n－m＋1.(3)m，n∈N*，m≤n，当m>n时不成立 组合的概念 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 【注意】(1)组合中取出的元素没有顺序．(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同 组合与组合数公式 1．组合数的概念 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示． 2．组合数公式 乘积式：＝(n，m∈N*，并且m≤n)． 阶乘式：＝(n，m∈N*，并且m≤n)． 规定：＝1． 题型突破 题型一 排列与组合的辨析 1．（25-26高二下·全国·课后作业）（多选）已知下列问题，其中是排列问题的有（   ） A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组 B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动 C．从四个字母中取出个字母 D．从四个数字中取出个数字组成一个两位数 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）判断下列问题是不是排列问题，并说明理由． (1)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加活动A，另一名同学参加活动B； (2)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动； (3)从所有互质的三位数中选出两个数求其和； (4)从所有互质的三位数中选出两个数求其商； (5)高二（1）班有四个空位，安排从外校转来的三个学生坐到这四个空位中的三个上． 3．（25-26高二下·全国·课后作业）（多选）给出下列问题，是组合问题的是（   ） A．从四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法 B．从四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法 C．四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场 D．四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果 4．（25-26高二下·全国·课堂例题）判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)设集合，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？ (2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？ (3)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？ (4)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？ 5．（2025高二·全国·专题练习）从集合中任取两个元素，有以下五个问题： ①相加可得多少个不同的和？ ②相除可得多少个不同的商？ ③作为椭圆方程中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？ ④作为双曲线方程中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？ ⑤作为对数中的a，b，可得到多少个不同的对数？其中属于排列问题的是（    ）． A．①②③④⑤ B．②④⑤ C．②③⑤ D．②④ 6．（24-25高二下·广东东莞·月考）（多选）下列问题属于排列问题的是（    ） A．从6人中选2人分别去游泳和跳绳 B．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 C．从10个不同的质数中取2个数求其商 D．从5，6，7三个数字中取2个组成一个两位数 题型二 排列数与组合数的计算 7．（25-26高二下·上海·期中）可以表示为________（用排列数表示）. 8．（25-26高二下·江苏扬州·期中）（1）计算：（结果用数字作答） （2）解方程： 9．（25-26高二下·安徽芜湖·期中）（1）解方程：； （2）求所有满足且的的值． 10．（25-26高二下·山东青岛·月考）若  ，则 （    ） A．6 B．5 C．4 D．3 11．（河北承德市2025-2026学年高二下学期4月阶段检测数学试题）若正整数满足，则（    ） A． B． C．或 D．或 12．（25-26高二下·宁夏吴忠·期中）（1）计算：； （2）计算： ，求； （3）计算：，求. 题型三 用排列数和组合数公式证明 13．（24-25高二下·全国·课后作业）证明下列等式． (1)； (2)． 14．（24-25高二下·江苏徐州·月考）求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：. (3)解关于的不等式：； 15．（24-25高三·上海·随堂练习）（1）证明：； （2）化简：． 16．（25-26高二下·江苏淮安·月考）（多选）对于，关于下列排列组合数关系式，结论正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（2026高三·全国·专题练习）求证：． 题型四 组合数的性质及应用 18．（25-26高二下·安徽·期中）（多选）下列各项中，正确的是（    ）. A． B． C． D． 19．（江苏宿迁市2025-2026学年第二学期期中质量监测高二数学）（多选）下列正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高二下·浙江·期中）计算： (1)； (2)解方程：； (3)解关于的不等式：． 21．（25-26高二下·江苏无锡·期中）若，则（   ） A．2 B．6 C．8 D．10 22．（24-25高二上·河南南阳·期末）若，则_____. 23．（25-26高二下·山东泰安·月考）若，则_______．（用数字作答） 24．（25-26高二下·江苏南京·月考）（   ） A． B． C． D．6 题型五 排列数和组合数方程和不等式 25．（25-26高二下·重庆·期中）（1）求值：． （2）解方程：． （3）求不等式的解集． 26．（25-26高二下·河南许昌·期中）若，则（   ） A．20 B．21 C．27 D．42 27．（25-26高二下·浙江·期中）不等式的一个解是______．（写出一个符合要求的答案即可） 28．（25-26高二下·四川凉山·期中）计算下列各式. (1)； (2)解方程：（） 29．（24-25高二下·江苏无锡·月考）（1）求值：； （2）解方程：； （3）解不等式：. 30．（2026高二下·浙江台州·专题练习）（1）计算； （2）若，求m的值； （3）已知，求n的值． 强化训练 1．（广东茂名市第一中学等九校2025-2026学年高二下学期4月学情调研数学试题）（    ） A． B．2 C． D．2026 2．（河北定州中学等校2025-2026学年高二下学期4月期中数学试题）若，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（25-26高二下·广西南宁·期中）若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（24-25高二下·上海闵行·月考）下列选项中，不属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 5．（2025高二·全国·专题练习）给出下列问题： ①若集合求集合A的含有3个元素的子集的个数； ②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数； ③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数； ④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数； ⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数． 其中是组合问题的为（    ） A．①⑤ B．①② C．①③⑤ D．①③ 6．（25-26高二下·河北沧州·月考）可表示为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·陕西西安·月考）（多选）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 9．（25-26高二下·河北邢台·月考）（多选）若，则n的值可能为（    ） A．6 B．8 C．9 D．11 10．（24-25高二下·湖北宜昌·期中）（多选）已知，，则满足不等式的的值为（   ） A．6 B．3 C．8 D．4 11．（24-25高二下·河北邯郸·月考）（多选）已知，则满足不等式的的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 12．（25-26高二上·甘肃庆阳·期末）已知，则_______. 13．（2026高三·全国·专题练习）（1）若组合数满足，则正整数______． （2）计算______． 14．（25-26高二下·吉林四平·月考）若，则n的值为______． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2 排列与组合 题型预览 题型一 排列与组合的辨析 题型二 排列数与组合数的计算 题型三 用排列数和组合数公式证明 题型四 组合数的性质及应用 题型五 排列数和组合数方程和不等式 知识清单 排列概念的理解 1．定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 2．两个排列相同的充要条件 (1)两个排列的元素完全相同． (2)元素的排列顺序相同． 【注意】排列定义中的两层含义：一是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素；二是按一定顺序排列 排列数公式 排列数 的定义 及表示 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示 全排列 的概念 n个不同的元素全部取出的一个排列 阶乘的概 念及表示 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示 排列数 公式 ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，n，m∈N*，m≤n 阶乘式＝(n，m∈N*，m≤n) 特殊情况 ＝n！，1！＝1，0！＝1 【注意】排列数公式的特征：(1)乘积是m个连续正整数的乘积．(2)最大的因数是n，最小的因数是n－m＋1.(3)m，n∈N*，m≤n，当m>n时不成立 组合的概念 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 【注意】(1)组合中取出的元素没有顺序．(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同 组合与组合数公式 1．组合数的概念 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示． 2．组合数公式 乘积式：＝(n，m∈N*，并且m≤n)． 阶乘式：＝(n，m∈N*，并且m≤n)． 规定：＝1． 题型突破 题型一 排列与组合的辨析 1．（25-26高二下·全国·课后作业）（多选）已知下列问题，其中是排列问题的有（   ） A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组 B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动 C．从四个字母中取出个字母 D．从四个数字中取出个数字组成一个两位数 【答案】AD 【分析】根据排列的定义，逐个选项判断即可. 【详解】选项A是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序有关； 选项B不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关； 选项C不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关； 选项D是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列． 故选：AD 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）判断下列问题是不是排列问题，并说明理由． (1)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加活动A，另一名同学参加活动B； (2)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动； (3)从所有互质的三位数中选出两个数求其和； (4)从所有互质的三位数中选出两个数求其商； (5)高二（1）班有四个空位，安排从外校转来的三个学生坐到这四个空位中的三个上． 【答案】(1)是排列，理由见解析 (2)不是排列，理由见解析 (3)不是排列，理由见解析 (4)是排列，理由见解析 (5)是排列，理由见解析 【分析】（1）选出两个人参加两个不同的活动与顺序有关，所以是排列； （2）4名同学中选出2名参加一项活动，与顺序无关，所以不是排列； （3）选出两个三位数求和，交换两个结果不变，说明与顺序无关，不是排列； （4）选出两个互质的三位数求其商，交换两个数顺序，商的结果也不同，所以与顺序有关，所以是排列； （5）三名学生坐到4个空位，任意交换两个学生的位置，其结果也不相同，所以是排列. 【详解】（1）是排列，因为选出的两名同学参加的是不同的活动，即相当于把选出的同学按顺序安排到两个不同的活动中． （2）不是排列，因为选出的两名同学参加的是同一个活动，没有顺序之分． （3）不是排列，因为选出的两个三位数求其和对顺序没有要求． （4）是排列，因为选出的两个三位数之商会因为分子、分母的顺序颠倒而发生变化， 且这些三位数是互质的，不会产生选出的数不同而商的结果相同的可能性，故是排列． （5）是排列，可看作从四个空位中选出三个座位，分别安排给三个学生． 3．（25-26高二下·全国·课后作业）（多选）给出下列问题，是组合问题的是（   ） A．从四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法 B．从四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法 C．四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场 D．四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果 【答案】AC 【分析】根据有序与否，判断所述问题是排列问题还是组合问题. 【详解】对于A，2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题．所以A正确. 对于B，2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．所以B错误. 对于C，单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．所以C正确. 对于D，冠亚军是有顺序的，是排列问题．所以D错误. 故选：AC. 4．（25-26高二下·全国·课堂例题）判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)设集合，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？ (2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？ (3)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？ (4)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？ 【答案】(1)组合问题 (2)排列问题；组合问题 (3)排列问题 (4)组合问题 【分析】根据排列与组合的定义进行判断即可. 【详解】（1）因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题. （2）因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题；但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题. （3）因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题. （4）因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题. 5．（2025高二·全国·专题练习）从集合中任取两个元素，有以下五个问题： ①相加可得多少个不同的和？ ②相除可得多少个不同的商？ ③作为椭圆方程中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？ ④作为双曲线方程中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？ ⑤作为对数中的a，b，可得到多少个不同的对数？其中属于排列问题的是（    ）． A．①②③④⑤ B．②④⑤ C．②③⑤ D．②④ 【答案】B 【分析】根据排列的定义，是否与顺序相关是确定一个问题是否为排列问题的关键，据此逐项判断即可． 【详解】对于①，两数的和与顺序无关，故①是组合问题； 对于②，两数的商与顺序有关，故②是排列问题； 对于③，因为椭圆的焦点在x轴上，故与取的两数顺序无关，故③是组合问题； 对于④，取得两数与顺序有关，故④是排列问题； 对于⑤，取得两数与顺序有关，故⑤是排列问题； 所以，②④⑤与两数的顺序有关，为排列问题. 故选：B. 6．（24-25高二下·广东东莞·月考）（多选）下列问题属于排列问题的是（    ） A．从6人中选2人分别去游泳和跳绳 B．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 C．从10个不同的质数中取2个数求其商 D．从5，6，7三个数字中取2个组成一个两位数 【答案】ACD 【分析】根据给定的条件，利用排列的定义逐项判断作答. 【详解】对于A，从6个人中选2人分别去游泳和跳绳，选出的2人有分工的不同，是排列问题； 对于B，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，不是排列问题； 对于C，从10个不同的质数中取2个数求其商，2个数谁作被除数谁作除数结果不同,与顺序有关，是排列问题； 对于D，从数字从5，6，7三个数字中取2个组成一个两位数，各数位上的数字有顺序性，是排列问题． 故选：ACD. 题型二 排列数与组合数的计算 7．（25-26高二下·上海·期中）可以表示为________（用排列数表示）. 【答案】 【详解】依题意，. 8．（25-26高二下·江苏扬州·期中）（1）计算：（结果用数字作答） （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）； （2）由题意可得，，得. 根据排列数公式展开原方程：， 约去，可得， 化简得：，即， 解得或（舍去），故解为. 9．（25-26高二下·安徽芜湖·期中）（1）解方程：； （2）求所有满足且的的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）（2）利用排列数的阶乘计算公式化简求解即得. 【详解】（1）因，则， 即， 又且，则得．     （2）由得， 因为且，则得，即，解得； 由得， 化简得，即，解得或， 又因为，，所以且， 故． 10．（25-26高二下·山东青岛·月考）若  ，则 （    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】利用排列数公式、组合数公式计算可得答案. 【详解】因为，所以，且，解得. 11．（河北承德市2025-2026学年高二下学期4月阶段检测数学试题）若正整数满足，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】直接根据组合数的性质解组合数方程可得. 【详解】因为，得，由组合数的性质得， 即或，解得或. 经检验，或均符合题意，因此或. 12．（25-26高二下·宁夏吴忠·期中）（1）计算：； （2）计算： ，求； （3）计算：，求. 【答案】（1）0；（2）；（3）或 【分析】（1）利用排列数性质计算即可得； （2）利用组合数与排列数性质计算即可得； （3）利用组合数计算即可得. 【详解】（1）； （2）由已知可得，所以， 所以，所以，解得或， 又，即，故； （3）由可得或， 解方程，即，解得或， 解方程，即，解得或， 又因为、均为整数，且， 所以或符合要求，和均不符合要求. 故或； 题型三 用排列数和组合数公式证明 13．（24-25高二下·全国·课后作业）证明下列等式． (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】根据题意，结合排列数公式，准确化简、运算，即可求解. 【详解】（1）证明：由排列数的公式，可得： ． （2）证明：由排列数公式，可得． 14．（24-25高二下·江苏徐州·月考）求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：. (3)解关于的不等式：； 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）（2）（3）应用排列数公式化简求值、证明恒等关系及解不等式； 【详解】（1）； （2），. （3）依题意，有，可得， 由，得，即， 整理得，解得，所以， 又，得，所以的解集为. 15．（24-25高三·上海·随堂练习）（1）证明：； （2）化简：． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】利用排列数的计算公式即可证明和化简； 【详解】（1）证明：； （2）原式． 16．（25-26高二下·江苏淮安·月考）（多选）对于，关于下列排列组合数关系式，结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据排列数、组合数的性质或排列数、组合数的计算公式即可求解. 【详解】根据组合数的性质或组合数的计算公式， 所以 ，所以A选项正确； ， ， 所以，所以B选项正确； ，而，所以C选项错误； ， ，所以D选项正确． 17．（2026高三·全国·专题练习）求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据组合数的性质证明即可. 【详解】因为，故， 同理， 又，所以， 即． 题型四 组合数的性质及应用 18．（25-26高二下·安徽·期中）（多选）下列各项中，正确的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由组合数计算公式、组合数性质、排列数计算公式逐项判断即可. 【详解】对于选项A，因为，A正确； 对于选项B，根据组合数性质知道，B错误； 对于选项C，，， 因此，C正确； 对于选项D，全班n个男生n个女生，选取n个人留下来搞卫生， 左边是从性别的角度考虑，用分类加法得， 所以.D正确. 19．（江苏宿迁市2025-2026学年第二学期期中质量监测高二数学）（多选）下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据组合数以及排列数的性质和公式即可求解ABD，根据二项式定理的展开式即可求解C. 【详解】,,故AB正确， ,C错误， ，D正确， 20．（25-26高二下·浙江·期中）计算： (1)； (2)解方程：； (3)解关于的不等式：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用组合数的计算公式求解； （2）根据排列数和组合数的计算公式解方程； （3）利用组合数的计算公式求解. 【详解】（1）； （2）由题知． 由且； （3）由题知 解得， 又，且 ， ∴不等式的解集为. 21．（25-26高二下·江苏无锡·期中）若，则（   ） A．2 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【详解】根据组合数性质，若，则或. 已知，显然，因此满足，所以. 22．（24-25高二上·河南南阳·期末）若，则_____. 【答案】 【分析】根据组合数的性质计算可得结果. 【详解】由题意得，且，解得， ∵，∴或，解得（舍去）或． 23．（25-26高二下·山东泰安·月考）若，则_______．（用数字作答） 【答案】 【详解】由组合数的性质结合得，解得， 则． 24．（25-26高二下·江苏南京·月考）（   ） A． B． C． D．6 【答案】C 【详解】原式． 题型五 排列数和组合数方程和不等式 25．（25-26高二下·重庆·期中）（1）求值：． （2）解方程：． （3）求不等式的解集． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】利用排列数和组合数的公式运算求解即可. 【详解】（1）原式 （2） 由题可知且 ，则， 整理得，解得或（舍去）， 故. （3）由题可知且，则， 整理得，解得，又因为且， 故，即不等式的解集为. 26．（25-26高二下·河南许昌·期中）若，则（   ） A．20 B．21 C．27 D．42 【答案】C 【分析】借助组合数性质计算可得，再利用组合数与排列数公式计算即可得解. 【详解】由，则或， 解得或，由，故， 则. 27．（25-26高二下·浙江·期中）不等式的一个解是______．（写出一个符合要求的答案即可） 【答案】3（答案不唯一） 【分析】借助组合数定义及性质计算即可得. 【详解】因为，则使得的可取. 28．（25-26高二下·四川凉山·期中）计算下列各式. (1)； (2)解方程：（） 【答案】(1)16 (2)或 【详解】（1）； （2）因为，解得，且， 由，可得或，解得或. 29．（24-25高二下·江苏无锡·月考）（1）求值：； （2）解方程：； （3）解不等式：. 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】（1）直接利用排列数公式计算即可； （2）根据组合数的性质可得出关于的方程，解出的值，再结合题意检验即可； （3）根据排列数公式可得出关于的不等式，结合题意得出且，即可得出的取值. 【详解】（1）原式； （2）由可得或， 解方程，即，解得或， 解方程，即，解得或， 又因为、均为整数，且， 所以或符合要求，和均不符合要求. 故或； （3）由可得， 由题意可知且，整理可得，即， 解得，又因为且，所以. 30．（2026高二下·浙江台州·专题练习）（1）计算； （2）若，求m的值； （3）已知，求n的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用组合数公式化简计算； （2）直接由排列数公式计算； （3）根据组合数的公式直接化简求解. 【详解】（1）原式． （2）根据题意，若，则， 则有， 即，解得 （3）原方程可变形为，即， 即， 化简整理，得，解得或 (舍去)， 故． 强化训练 1．（广东茂名市第一中学等九校2025-2026学年高二下学期4月学情调研数学试题）（    ） A． B．2 C． D．2026 【答案】B 【分析】根据排列数和组合数的计算公式，准确计算，即可求解. 【详解】由排列数和组合数的公式得：. 2．（河北定州中学等校2025-2026学年高二下学期4月期中数学试题）若，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】由， 则，解得， 又，故的最小值为6. 3．（25-26高二下·广西南宁·期中）若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】由，可得：， 整理得，由于且，解得：． 4．（24-25高二下·上海闵行·月考）下列选项中，不属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【答案】B 【分析】排列是要求有顺序的，故而只需看每个选项中的是否和顺序有关即可. 【详解】A.选出3名学生后，哪位同学参加哪门竞赛需再排序，故属于排列问题，故A错误； B. 分组无顺序，故不属于排列问题，B正确； C. 如和是不同的，即哪个数作指数和底数是不同的，故属于排列问题，故C错误； D. 如和是不同的点，故属于排列问题，故D错误. 故选：B. 5．（2025高二·全国·专题练习）给出下列问题： ①若集合求集合A的含有3个元素的子集的个数； ②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数； ③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数； ④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数； ⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数． 其中是组合问题的为（    ） A．①⑤ B．①② C．①③⑤ D．①③ 【答案】C 【分析】根据组合的定义分别判断即可. 【详解】对于①，集合的元素与顺序无关，故①是组合问题； 对于②，从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动与顺序有关，故②是排列问题； 对于③，从7本不同的书中选出5本给某一个同学，与顺序无关，故③是组合问题； 对于④，因为飞机有起始站与终点站，故四个城市之间需要准备的飞机票的种数与顺序有关，故④是排列问题； 对于⑤，因为书是相同的，所以问题就等价于从5人中选出3人，故⑤是组合问题． 故选：C． 6．（25-26高二下·河北沧州·月考）可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用排列数公式即可求解. 【详解】． 7．（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，因，而，故A错误； 对于B，因，故B错误； 对于C，因，而，故C正确； 对于D，因，而，故D错误. 8．（25-26高二下·陕西西安·月考）（多选）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】BC 【详解】因为，所以A不正确； 因为，所以B正确； 因为，所以C正确； 因为，所以， 所以或（舍去），故D不正确. 9．（25-26高二下·河北邢台·月考）（多选）若，则n的值可能为（    ） A．6 B．8 C．9 D．11 【答案】BCD 【详解】由，得且， 所以，所以，解得. 10．（24-25高二下·湖北宜昌·期中）（多选）已知，，则满足不等式的的值为（   ） A．6 B．3 C．8 D．4 【答案】BD 【分析】根据排列数的计算得出不等式，解不等式再根据的范围即可求得结果. 【详解】因为， 所以，即，解得； 又，，所以或4， 故选：BD. 11．（24-25高二下·河北邯郸·月考）（多选）已知，则满足不等式的的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】AB 【分析】求出列出不等式即可求解. 【详解】因为， 所以， 即，又， 所以或4. 故选：AB. 12．（25-26高二上·甘肃庆阳·期末）已知，则_______. 【答案】 【分析】根据排列数计算即可得到答案. 【详解】， 由题意得， 解得. 故答案为：. 13．（2026高三·全国·专题练习）（1）若组合数满足，则正整数______． （2）计算______． 【答案】 8 35 【分析】根据组合数的性质求解即可. 【详解】（1）由组合数性质可知，要使，需满足，即． （2）因为，所以． 14．（25-26高二下·吉林四平·月考）若，则n的值为______． 【答案】3或8 【分析】根据组合数的性质化简已知条件，由此求得的值. 【详解】因为， 所以或， 解得或. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $