排列数与组合数计算7大题型讲义-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

2024-2025学年高二下学期数学常考题型归纳 【排列数与组合数的计算】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：排列数的计算】 知识讲解 1. 排列的概念 从个不同元素中取出（）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。 2. 排列数的定义 从个不同元素中取出（）个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示。 3. 排列数的计算公式 公式形式：。 推导过程：对于第一个位置，有种选择；选了第一个位置的元素后，第二个位置就有种选择；第三个位置有种选择；以此类推，第个位置就有种选择。根据分步乘法计数原理，将每个位置的选择数相乘，就得到了排列数的计算公式。 阶乘形式：，其中。例如。当时，，称为个元素的全排列。 4. 计算示例 例如，计算，根据公式。 再如，计算，。 例题精选 【例题1】（24-25高二下·山西·阶段练习）若是正整数，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）下列等式中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·海南三亚·阶段练习）求的值为 . 【相似题2】（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）用排列数表示且 ． 【题型2：排列数公式的证明】 知识讲解 1. 排列数公式回顾 排列数公式为，其中表示元素的总数，表示选取的元素个数，。 2. 用分步乘法计数原理证明 第1步：从个不同元素中选一个放在第一个位置，有种选法。 第2步：在剩下的个元素中选一个放在第二个位置，有种选法。 第3步：在剩下的个元素中选一个放在第三个位置，有种选法。 …… 第步：在剩下的个元素中选一个放在第个位置，有种选法。 根据分步乘法计数原理，完成这件事（即从个不同元素中取出个元素进行排列）共有种不同的方法，所以。 3. 证明 因为，那么，分子分母约去后，就得到，而前面已证，所以。 例题精选 【例题1】多选题（23-24高二下·重庆·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【例题2】多选题（21-22高二上·全国·课后作业）（多选题）下列等式中成立的是（　　） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高二下·全国·课后作业）证明下列等式． (1)； (2)． 相似练习 【相似题1】（2024高三·全国·专题练习）求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：． 【相似题2】（22-23高二·全国·课堂例题）求证：． 【相似题3】（22-23高二·全国·课堂例题）证明： ． 【题型3：排列的解方程与不等式】 知识讲解 排列数解方程 1. 根据排列数公式展开 首先将方程中涉及的排列数根据公式展开。例如，对于方程，根据公式展开得到。 2. 化简方程 对展开后的式子进行化简。在中，展开括号得，移项化为。 3. 求解方程 通过试值法、因式分解等方法求解方程。对于，可以先尝试一些简单的整数，如时，，所以是方程的一个因式。然后利用多项式除法或综合除法将方程因式分解为。对于二次方程，其判别式，无实数根，所以原方程的解为。同时要注意，因为排列数中且，所以要舍去不符合条件的解。 排列数解不等式 1. 根据排列数公式展开 与解方程类似，先将不等式中的排列数按照公式展开。例如，对于不等式，展开得到。 2. 化简不等式 把展开后的式子进行化简，可化为。 3. 求解不等式 对于一元二次不等式，先因式分解为，得到或。又因为且在排列数中（这里），所以不等式的解集为且。同样，要根据排列数的定义和条件，对解进行筛选和取舍，确保解符合实际意义 例题精选 【例题1】（24-25高二下·新疆哈密·阶段练习）已知，则等于（    ） A．12 B．7 C．6或13 D．6 【例题2】（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【例题3】（23-24高二下·河南郑州·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高三·上海·课堂例题）若，则 . 【相似题2】（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）（1）计算：； （2）解不等式：. 【相似题3】（24-25高三·上海·课堂例题）求满足的整数的值. 【题型4：组合数的计算】 知识讲解 1. 定义式 从个不同元素中取出（）个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，记作。其计算公式为，其中是排列数。 2. 阶乘表示式 由排列数公式，以及，将其代入组合数定义式可得。例如，计算，则。 3. 性质推导式 性质1：。这是因为从个元素中取个元素的组合与从个元素中取个元素的组合是一一对应的。例如，，与的值相等。 性质2：。可以这样理解，从个元素中取个元素的组合数，等于从个元素中取个元素的组合数加上从个元素中取个元素的组合数。比如，要从个元素中选个元素，可先把其中一个元素单独拿出来，那么选法就分为两类，一类是不选这个特殊元素，从剩下个元素中选个，即；另一类是选这个特殊元素，那么就需要从剩下个元素中选个，即，所以。利用这个性质，可以通过已知的组合数来计算其他组合数，在一些计算中能简化过程。 例题精选 【例题1】（24-25高二下·福建三明·阶段练习）（    ） A．9 B．10 C．19 D．20 【例题2】（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）计算的值为（    ） A．24 B．32 C．33 D．34 【例题3】（24-25高二下·广西南宁·阶段练习）已知，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·山东枣庄·阶段练习）已知，则 【相似题2】（24-25高二下·山东泰安·阶段练习）（1）计算：； （2）若，求的值. （3）化简求值：. 【相似题3】（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）（1）解方程：； （2）计算：； （3）计算. 【题型5：组合数公式的证明】 知识讲解 利用组合数的定义证明 1. 明确组合与排列的概念 组合是从个不同元素中取出个元素并成一组，不考虑元素的顺序。而排列是从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列。 2. 分析排列数与组合数的关系 对于从个不同元素中取出个元素的排列，它包含了两部分：一是从个元素中选出个元素的组合过程，二是对选出的个元素进行全排列的过程。 从个不同元素中取出个元素的组合数为，而对这个元素进行全排列的排列数为。 3. 得出组合数公式 因为是由与两个步骤得到的，所以根据分步乘法计数原理，有，那么。 利用阶乘表示证明 1. 根据排列数公式展开 已知排列数公式，且。 2. 代入组合数公式 由，将和代入可得。 证明组合数的性质 1. 从组合的定义出发 表示从个不同元素中取出个元素的组合数。 那么从个不同元素中取出个元素后，剩下的元素个数为个，从个元素中取个元素的组合数为。 2. 建立一一对应关系 对于从个元素中取个元素的每一种组合，都对应着一种从个元素中取个元素的组合，即取了个元素后，剩下的就是个元素的组合，反之亦然。所以。 证明组合数的性质 1. 分类讨论 考虑从个不同元素中取出个元素的组合情况。 设这个元素中有一个特殊元素。 2. 分析含特殊元素与不含特殊元素的组合数 一类是取出的个元素中不包含特殊元素，那么这种组合数就是从除之外的个元素中取出个元素的组合数，即。 另一类是取出的个元素中包含特殊元素，那么相当于从除之外的个元素中取出个元素，再加上特殊元素，这种组合数为。 3. 得出结论 从个元素中取个元素的组合数，就等于上述两类组合数之和，即。 例题精选 【例题1】多选题（24-25高二下·山东·阶段练习）排列数和组合数都有丰富的性质和实际应用，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2024高三·全国·专题练习）求证： 【例题3】（2024高三·全国·专题练习）求证： 相似练习 【相似题1】（2024高三·全国·专题练习）利用倒序相加法证明： ． 【相似题2】（2024高三·全国·专题练习）求证：. 【相似题3】（2024高三·全国·专题练习）求证： ． 【题型6：组合数方程与不等式】 知识讲解 1. 化简不等式 利用组合数公式，将不等式中的组合数展开并化简，尽量将其转化为关于和的较为简单的表达式。例如，对于不等式，根据组合数公式可将其化为，进一步化简得到。 2. 求解不等式 根据化简后的不等式进行求解。 如果是一元不等式，可按照常规的解不等式方法进行求解。如对于上述化简后的不等式，两边同时乘以去分母得，然后移项、因式分解得，即，通过分析根的情况，得到不等式的解为或，又因为且，所以且。 如果是含有多个变量的不等式，可能需要根据变量的取值范围进行分类讨论，或者利用一些组合数的性质来进一步分析求解。例如，对于不等式，利用组合数性质，则不等式可化为，进一步求解可得，再结合以及等条件确定和的取值范围。 3. 检验结果 将求得的解代入原不等式进行检验，确保解的正确性。因为在化简和求解过程中可能会出现一些增根或忽略一些条件限制的情况，所以检验是必不可少的步骤。例如在上述例子中，将代入原不等式，即，，满足，说明且是正确的解。同时，要检查解是否满足组合数中对和的取值要求，如且等条件。 4. 确定最终答案 根据检验结果，确定不等式的最终解集。解集要以符合题目要求的形式表示出来，比如如果是求正整数解，就将满足条件的正整数列举出来或用集合表示；如果是求取值范围，就用区间或不等式的形式表示。例如，对于上述不等式的解为且，可以用集合来表示其解集。 例题精选 【例题1】（24-25高二下·山东烟台·阶段练习）已知，则的值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．2或6 【例题2】（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）若，则 . 【例题3】（24-25高二下·全国·课后作业）已知，则 ． 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·全国·课后作业）已知组合数，则关于的不等式的解集为 ． 【相似题2】（24-25高二上·全国·课后作业）若，则 . 【相似题3】（24-25高二下·山东济宁·阶段练习）解下列方程. (1)若，求. (2) (3). 【题型7：组合数的性质及其应用（重难点）】 知识讲解 组合数的性质 1. 对称性：。 解释：从个不同元素中取出个元素的组合数，与从个不同元素中取出个元素的组合数是相等的。例如，从个元素中选个元素的组合数，与从个元素中选个元素的组合数是一样的。这是因为选出个元素后，剩下的就是个元素，所以这两种选法的数量是相同的。 应用：在计算组合数时，如果接近，可以利用此性质将转化为来简化计算，因为可能更小，计算起来更简便。 2. 组合数的递推公式：。 解释：考虑从个不同元素中取出个元素的组合数。可以把这个元素分成两类，一类是特定的一个元素，另一类是其余个元素。那么从个元素中取个元素的组合可以分为两种情况：一种是不包含元素的，即从其余个元素中取个元素，组合数为；另一种是包含元素的，那么就需要从其余个元素中取个元素，组合数为。所以。 应用：常用于组合数的计算和证明，例如在杨辉三角中，每一行的数字都是组合数，就可以利用这个递推公式来计算下一行的组合数。同时，在一些证明题中，也可以通过这个公式对组合数进行变形和推导。 3. 。 解释：从个不同元素中取出个、个、个、、个元素的组合数之和，等于。可以从集合的角度来理解，对于一个有个元素的集合，它的子集个数为，而子集的个数可以通过计算从个元素中取个元素（空集）、取个元素、取个元素……取个元素（全集）的组合数之和得到。 应用：在一些概率问题和组合计数问题中，如果需要计算所有可能情况的总数，就可以利用这个性质。例如，在抛次硬币的试验中，所有可能的结果总数就可以用来表示，也可以理解为从次抛硬币中，出现次正面、次正面、次正面……次正面的所有组合数之和。 例题精选 【例题1】（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）的值为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高二上·江苏常州·期末）（   ） A．55 B．120 C．165 D．220 【例题3】多选题（24-25高二上·江苏南京·期末）若，为正整数且，则下列等式正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）（1）解不等式； （2）计算：；（结果用数字表示） 【相似题2】（24-25高二下·福建泉州·阶段练习）计算下列各式． (1)解方程：. (2)证明： 【相似题3】（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）（1）已知，求n． （2）． 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高二下·福建莆田·阶段练习）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·陕西商洛·阶段练习）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 4．（24-25高二下·福建三明·阶段练习）方程且的解为 ．（结果用数字作答） 5．（24-25高二下·山西·阶段练习）已知为正整数，若，则 ． 6．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）若，则的值为 ． 四、解答题 7．（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）（1）解不等式：． （2）求证：． 8．（24-25高二下·山东菏泽·阶段练习）求值： (1) (2) (3)解方程：． 9．（24-25高二下·山东枣庄·阶段练习）计算下列各式． (1)； (2) (3)解方程：解关于的不等式； 10．（24-25高二下·河北保定·阶段练习）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二下学期数学常考题型归纳 【排列数与组合数的计算】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：排列数的计算】 知识讲解 1. 排列的概念 从个不同元素中取出（）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。 2. 排列数的定义 从个不同元素中取出（）个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示。 3. 排列数的计算公式 公式形式：。 推导过程：对于第一个位置，有种选择；选了第一个位置的元素后，第二个位置就有种选择；第三个位置有种选择；以此类推，第个位置就有种选择。根据分步乘法计数原理，将每个位置的选择数相乘，就得到了排列数的计算公式。 阶乘形式：，其中。例如。当时，，称为个元素的全排列。 4. 计算示例 例如，计算，根据公式。 再如，计算，。 例题精选 【例题1】（24-25高二下·山西·阶段练习）若是正整数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据排列数公式，即可确定目标乘式对应的排列数. 【详解】由，且都为正整数， 故． 故选：B 【例题2】（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）下列等式中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用组合数和排列数公式分别计算可判定ABC，利用组合数的性质，组合数与排列数的关系可判定D. 【详解】故A正确； ,故B错误； ,故C正确； ,故D正确. 故选：B. 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·海南三亚·阶段练习）求的值为 . 【答案】18 【分析】利用排列数公式计算. 【详解】 故答案为：18 【相似题2】（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）用排列数表示且 ． 【答案】 【分析】根据排列数公式确定已知式对应的排列数即可. 【详解】由，且都为正整数， 对于，有，，即排列数表示为. 故答案为： 【题型2：排列数公式的证明】 知识讲解 1. 排列数公式回顾 排列数公式为，其中表示元素的总数，表示选取的元素个数，。 2. 用分步乘法计数原理证明 第1步：从个不同元素中选一个放在第一个位置，有种选法。 第2步：在剩下的个元素中选一个放在第二个位置，有种选法。 第3步：在剩下的个元素中选一个放在第三个位置，有种选法。 …… 第步：在剩下的个元素中选一个放在第个位置，有种选法。 根据分步乘法计数原理，完成这件事（即从个不同元素中取出个元素进行排列）共有种不同的方法，所以。 3. 证明 因为，那么，分子分母约去后，就得到，而前面已证，所以。 例题精选 【例题1】多选题（23-24高二下·重庆·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据排列数公式计算可得. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：因为， ， 所以，故C正确； 对于D：因为， 所以，故D错误. 故选：BC 【例题2】多选题（21-22高二上·全国·课后作业）（多选题）下列等式中成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用排列数公式，逐项计算判断作答. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，当时，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 【例题3】（24-25高二下·全国·课后作业）证明下列等式． (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】根据题意，结合排列数公式，准确化简、运算，即可求解. 【详解】（1）证明：由排列数的公式，可得： ． （2）证明：由排列数公式，可得． 相似练习 【相似题1】（2024高三·全国·专题练习）求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 【分析】（1）根据排列数公式计算； （2）根据排列数公式计算可得左右两边相等. 【详解】（1）. （2），. 【相似题2】（22-23高二·全国·课堂例题）求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据排列数公式可得 【详解】． 【相似题3】（22-23高二·全国·课堂例题）证明： ． 【答案】证明见解析 【分析】根据排列数公式和运算性质，准确化简，即可求解. 【详解】证明 ： ． 为了使上述结论在时也成立，我们规定． 由此可知，排列数公式还可以写成． 【题型3：排列的解方程与不等式】 知识讲解 排列数解方程 1. 根据排列数公式展开 首先将方程中涉及的排列数根据公式展开。例如，对于方程，根据公式展开得到。 2. 化简方程 对展开后的式子进行化简。在中，展开括号得，移项化为。 3. 求解方程 通过试值法、因式分解等方法求解方程。对于，可以先尝试一些简单的整数，如时，，所以是方程的一个因式。然后利用多项式除法或综合除法将方程因式分解为。对于二次方程，其判别式，无实数根，所以原方程的解为。同时要注意，因为排列数中且，所以要舍去不符合条件的解。 排列数解不等式 1. 根据排列数公式展开 与解方程类似，先将不等式中的排列数按照公式展开。例如，对于不等式，展开得到。 2. 化简不等式 把展开后的式子进行化简，可化为。 3. 求解不等式 对于一元二次不等式，先因式分解为，得到或。又因为且在排列数中（这里），所以不等式的解集为且。同样，要根据排列数的定义和条件，对解进行筛选和取舍，确保解符合实际意义 例题精选 【例题1】（24-25高二下·新疆哈密·阶段练习）已知，则等于（    ） A．12 B．7 C．6或13 D．6 【答案】D 【分析】根据排列数公式，化简计算，结合的取值范围，即可得答案. 【详解】由题意，，即， 化简可得，即，解得或 因为，所以，故 故选：D. 【例题2】（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排列数公式化简并求解不等式. 【详解】不等式中，，化为， 整理得，解得，因此， 所以不等式的解集是. 故选：A 【例题3】（23-24高二下·河南郑州·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排列数公式将不等式转化为二次不等式求解. 【详解】易知，. 因为，，， 所以原不等式可化为， 所以， 所以原不等式的解集为. 故选：A 相似练习 【相似题1】（24-25高三·上海·课堂例题）若，则 . 【答案】6 【分析】根据排列数的计算公式即可求解. 【详解】由可得，所以， 故答案为：6 【相似题2】（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）（1）计算：； （2）解不等式：. 【答案】（1）64；（2）3或4 【分析】（1）利用排列数公式计算即可； （2）根据排列数公式运算求解即可. 【详解】（1）. （2）因为，可知，且， 整理可得，解得， 且，所以或. 【相似题3】（24-25高三·上海·课堂例题）求满足的整数的值. 【答案】8 【分析】根据排列数的计算公式即可求解. 【详解】因为得，解得， 又，为整数，所以. 【题型4：组合数的计算】 知识讲解 1. 定义式 从个不同元素中取出（）个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，记作。其计算公式为，其中是排列数。 2. 阶乘表示式 由排列数公式，以及，将其代入组合数定义式可得。例如，计算，则。 3. 性质推导式 性质1：。这是因为从个元素中取个元素的组合与从个元素中取个元素的组合是一一对应的。例如，，与的值相等。 性质2：。可以这样理解，从个元素中取个元素的组合数，等于从个元素中取个元素的组合数加上从个元素中取个元素的组合数。比如，要从个元素中选个元素，可先把其中一个元素单独拿出来，那么选法就分为两类，一类是不选这个特殊元素，从剩下个元素中选个，即；另一类是选这个特殊元素，那么就需要从剩下个元素中选个，即，所以。利用这个性质，可以通过已知的组合数来计算其他组合数，在一些计算中能简化过程。 例题精选 【例题1】（24-25高二下·福建三明·阶段练习）（    ） A．9 B．10 C．19 D．20 【答案】B 【分析】利用组合数的计算即可得解． 【详解】， 故选：D． 【例题2】（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）计算的值为（    ） A．24 B．32 C．33 D．34 【答案】D 【分析】根据组合数的计算方法求解即可. 【详解】. 故选：. 【例题3】（24-25高二下·广西南宁·阶段练习）已知，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据排列与组合公式计算求解即可. 【详解】由，则， 则，即. 故选：D 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·山东枣庄·阶段练习）已知，则 【答案】21 【分析】由组合数的性质建立方程解出的值，利用组合数的计算公式可得答案. 【详解】由，则或，解得或， 所以. 故答案为：21 【相似题2】（24-25高二下·山东泰安·阶段练习）（1）计算：； （2）若，求的值. （3）化简求值：. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用排列数和组合数公式计算； （2）利用排列数和组合数公式化简，得到关于的一元二次方程，结合可求； （3）根据且以及得出的值，再计算即可. 【详解】（1） （2）依题意，，则， 整理得：，而，所以. （3）由题意知，需满足且 即满足不等式组，即，解得 所以原式. 【相似题3】（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）（1）解方程：； （2）计算：； （3）计算. 【答案】（1）； （2）； （3）； 【分析】由排列数公式与组合数公式及组合数的性质逐个求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 又因为，所以，故. （2）. （3） . 【题型5：组合数公式的证明】 知识讲解 利用组合数的定义证明 1. 明确组合与排列的概念 组合是从个不同元素中取出个元素并成一组，不考虑元素的顺序。而排列是从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列。 2. 分析排列数与组合数的关系 对于从个不同元素中取出个元素的排列，它包含了两部分：一是从个元素中选出个元素的组合过程，二是对选出的个元素进行全排列的过程。 从个不同元素中取出个元素的组合数为，而对这个元素进行全排列的排列数为。 3. 得出组合数公式 因为是由与两个步骤得到的，所以根据分步乘法计数原理，有，那么。 利用阶乘表示证明 1. 根据排列数公式展开 已知排列数公式，且。 2. 代入组合数公式 由，将和代入可得。 证明组合数的性质 1. 从组合的定义出发 表示从个不同元素中取出个元素的组合数。 那么从个不同元素中取出个元素后，剩下的元素个数为个，从个元素中取个元素的组合数为。 2. 建立一一对应关系 对于从个元素中取个元素的每一种组合，都对应着一种从个元素中取个元素的组合，即取了个元素后，剩下的就是个元素的组合，反之亦然。所以。 证明组合数的性质 1. 分类讨论 考虑从个不同元素中取出个元素的组合情况。 设这个元素中有一个特殊元素。 2. 分析含特殊元素与不含特殊元素的组合数 一类是取出的个元素中不包含特殊元素，那么这种组合数就是从除之外的个元素中取出个元素的组合数，即。 另一类是取出的个元素中包含特殊元素，那么相当于从除之外的个元素中取出个元素，再加上特殊元素，这种组合数为。 3. 得出结论 从个元素中取个元素的组合数，就等于上述两类组合数之和，即。 例题精选 【例题1】多选题（24-25高二下·山东·阶段练习）排列数和组合数都有丰富的性质和实际应用，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用组合数的定义和排列数的定义可A、B；利用组合数的递推关系式​可证明C正确；从组合数的意义角度看，都表示是两个各有个元素的集合 和 中选取总共 个元素的方式数，由此得D正确. 【详解】对于A，因为，故A不正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，因为，故C正确； 对于D，考虑从两个各有个元素的集合 和 中选取总共 个元素的方式数，总的选取方式数是.另一方面，我们可以将选取过程分为不同的情况，即从集合 中选取个元素，从集合中选取个元素，其中 从0 到，对于每个，选取的方式数是.由于 ​，所以每种情况的方式数是，因此，总的选取方式数可以表示为：，由于这两种方法计算的是同一个选取过程的方式数，所以它们相等：，故D正确. 故选：BCD. 【例题2】（2024高三·全国·专题练习）求证： 【答案】证明见解析 【分析】利用相关等式化简即可. 【详解】证明：. 【例题3】（2024高三·全国·专题练习）求证： 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，结合组合数的运算公式，准确化简，即可求解. 【详解】证明：由组合数的运算性质，可得： . 相似练习 【相似题1】（2024高三·全国·专题练习）利用倒序相加法证明： ． 【答案】证明见解析 【分析】由倒序相加法结合即可证明. 【详解】证明：记 ， 又 ， 上式两边相加，并注意到 ， 得：， 所以． 【相似题2】（2024高三·全国·专题练习）求证：. 【答案】证明见解析 【分析】把证明问题转化为组合实际模型，利用两种方法求解，根据选法相同即可证明结果. 【详解】证明：构造组合模型如下： 从个男学生及个女学生中，选出个学生组成一个代表团，其中男学生至少有1名， 并在其中选择1名男学生为团长，问有多少种不同的选法? 选法一 按选出的男学生人数分类，男学生选法有种，女学生选法有种， 团长的选法有种，故完成这件事情的选法有种． 令 ，则符合条件的选法总数为： ． 选法二 从个男同学中选出团长有种方法，然后在剩下的个学生中选出个团员有种，由乘法原理共有种选法． 比较上述两种结果，得：. 【相似题3】（2024高三·全国·专题练习）求证： ． 【答案】证明见解析 【分析】设集合，从集合中的个不同元素中任取个元素的组合数可分为三类： 都不取的， 都取的和 只取其中一个的，相加结合组合数的定义即可证明. 【详解】证明：设集合 ． 从集合中的个不同元素中任取个元素的组合数为 ． 满足条件的组合数分成三类： 一类为 都不取的，有 ； 一类为 都取的，有 ； 一类为 只取其中一个的，有 ． 由加法原理知： ． 【题型6：组合数方程与不等式】 知识讲解 1. 化简不等式 利用组合数公式，将不等式中的组合数展开并化简，尽量将其转化为关于和的较为简单的表达式。例如，对于不等式，根据组合数公式可将其化为，进一步化简得到。 2. 求解不等式 根据化简后的不等式进行求解。 如果是一元不等式，可按照常规的解不等式方法进行求解。如对于上述化简后的不等式，两边同时乘以去分母得，然后移项、因式分解得，即，通过分析根的情况，得到不等式的解为或，又因为且，所以且。 如果是含有多个变量的不等式，可能需要根据变量的取值范围进行分类讨论，或者利用一些组合数的性质来进一步分析求解。例如，对于不等式，利用组合数性质，则不等式可化为，进一步求解可得，再结合以及等条件确定和的取值范围。 3. 检验结果 将求得的解代入原不等式进行检验，确保解的正确性。因为在化简和求解过程中可能会出现一些增根或忽略一些条件限制的情况，所以检验是必不可少的步骤。例如在上述例子中，将代入原不等式，即，，满足，说明且是正确的解。同时，要检查解是否满足组合数中对和的取值要求，如且等条件。 4. 确定最终答案 根据检验结果，确定不等式的最终解集。解集要以符合题目要求的形式表示出来，比如如果是求正整数解，就将满足条件的正整数列举出来或用集合表示；如果是求取值范围，就用区间或不等式的形式表示。例如，对于上述不等式的解为且，可以用集合来表示其解集。 例题精选 【例题1】（24-25高二下·山东烟台·阶段练习）已知，则的值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．2或6 【答案】D 【分析】根据组合数的性质得到方程求解. 【详解】因为已知，由组合数的性质得到或， 解得或. 故选：D. 【例题2】（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）若，则 . 【答案】或 【分析】由组合数的性质即可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为，则或，且，解得或. 故答案为：或. 【例题3】（24-25高二下·全国·课后作业）已知，则 ． 【答案】21或10 【分析】借助组合数的性质可得或，分类计算出后再计算即可得. 【详解】因为，所以， 则或， 当时，即，解得，此时； 当时，即，解得或（舍去）， 此时． 故答案为：21或10. 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·全国·课后作业）已知组合数，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用组合数的计算展开不等式求解即可； 【详解】不等式， 即不等式， 解得，又因且为正整数， 所以原不等式的解集为． 故答案为：. 【相似题2】（24-25高二上·全国·课后作业）若，则 . 【答案】3 【分析】利用排列数与组合数的公式即可得解. 【详解】因为， 所以， 则，即，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：3. 【相似题3】（24-25高二下·山东济宁·阶段练习）解下列方程. (1)若，求. (2) (3). 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）（2）（3）利用排列数和组合数的性质对给定方程不断化简，进而得到未知数的值即可. 【详解】（1）由题意得， 则， 则同除得， 同乘得到， 则，又，故解得. （2）因为，所以， 又因为，所以，解得. （3）由题意得， 即，因为，所以， 得到，则， 化简可得，解得或， 又，即，所以解得. 【题型7：组合数的性质及其应用（重难点）】 知识讲解 组合数的性质 1. 对称性：。 解释：从个不同元素中取出个元素的组合数，与从个不同元素中取出个元素的组合数是相等的。例如，从个元素中选个元素的组合数，与从个元素中选个元素的组合数是一样的。这是因为选出个元素后，剩下的就是个元素，所以这两种选法的数量是相同的。 应用：在计算组合数时，如果接近，可以利用此性质将转化为来简化计算，因为可能更小，计算起来更简便。 2. 组合数的递推公式：。 解释：考虑从个不同元素中取出个元素的组合数。可以把这个元素分成两类，一类是特定的一个元素，另一类是其余个元素。那么从个元素中取个元素的组合可以分为两种情况：一种是不包含元素的，即从其余个元素中取个元素，组合数为；另一种是包含元素的，那么就需要从其余个元素中取个元素，组合数为。所以。 应用：常用于组合数的计算和证明，例如在杨辉三角中，每一行的数字都是组合数，就可以利用这个递推公式来计算下一行的组合数。同时，在一些证明题中，也可以通过这个公式对组合数进行变形和推导。 3. 。 解释：从个不同元素中取出个、个、个、、个元素的组合数之和，等于。可以从集合的角度来理解，对于一个有个元素的集合，它的子集个数为，而子集的个数可以通过计算从个元素中取个元素（空集）、取个元素、取个元素……取个元素（全集）的组合数之和得到。 应用：在一些概率问题和组合计数问题中，如果需要计算所有可能情况的总数，就可以利用这个性质。例如，在抛次硬币的试验中，所有可能的结果总数就可以用来表示，也可以理解为从次抛硬币中，出现次正面、次正面、次正面……次正面的所有组合数之和。 例题精选 【例题1】（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用代换和组合数的性质计算即可 【详解】因为，， 故选：C. 【例题2】（24-25高二上·江苏常州·期末）（   ） A．55 B．120 C．165 D．220 【答案】C 【分析】利用组合数的性质计算得解. 【详解】 . 故选：C 【例题3】多选题（24-25高二上·江苏南京·期末）若，为正整数且，则下列等式正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】ABD 【分析】对于A：根据组合数公式分析判断；对于B：根据组合数性质分析判断；对于CD：根据排列数公式分析判断. 【详解】因为，为正整数且， 对于选项A：因为，故A正确； 对于选项B：因为， 则 ， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，所以，故C错误； 对于选项D：因为 ， 所以，故D正确； 故选：ABD. 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）（1）解不等式； （2）计算：；（结果用数字表示） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由已知条件可得出关于的不等式，可解出的可能取值，再结合排列数公式可解出的值； （2）利用组合数的运算性质可得出所求代数式的值. 【详解】（1）对于不等式，有，可得， 因为，所以， 即，可得，解得. 又因为，解得； （2）由题意可知： . 【相似题2】（24-25高二下·福建泉州·阶段练习）计算下列各式． (1)解方程：. (2)证明： 【答案】(1)或. (2)证明见解析 【分析】（1）根据组合数的计算性质即可求解， （2）根据组合数的阶乘形式的公式即可化简求解. 【详解】（1）因为，由可得或，解得或. （2）证明： 【相似题3】（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）（1）已知，求n． （2）． 【答案】（1）6；（2）252 【分析】（1）利用组合数性质以及组合数公式和排列数公式，将化简并展开，解方程即可求得答案. （2）法一：利用组合数的性质求解；法二：直接计算，求和. 【详解】（1）由得， 即，即， 解得，或， 又由知，即， 故. （2）法一： . 法二：原式. 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高二下·福建莆田·阶段练习）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·陕西商洛·阶段练习）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 4．（24-25高二下·福建三明·阶段练习）方程且的解为 ．（结果用数字作答） 5．（24-25高二下·山西·阶段练习）已知为正整数，若，则 ． 6．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）若，则的值为 ． 四、解答题 7．（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）（1）解不等式：． （2）求证：． 8．（24-25高二下·山东菏泽·阶段练习）求值： (1) (2) (3)解方程：． 9．（24-25高二下·山东枣庄·阶段练习）计算下列各式． (1)； (2) (3)解方程：解关于的不等式； 10．（24-25高二下·河北保定·阶段练习）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 参考答案 题号 1 2 3 答案 C ABD ACD 1．C 【分析】利用排列数公式展开化简，得，再结合即可. 【详解】则，得， 得，又因为，则. 故选：C. 2．ABD 【分析】根据排列数和组合数公式求解即可. 【详解】对选项A，，故A正确. 对选项B，，故B正确. 对选项C，当时，，， 所以，故C错误. 对选项D， . 因为，故D正确. 故选：ABD 3．ACD 【分析】根据排列数公式和组合数公式，以及性质，分别对选项逐一进行分析. 【详解】对于选项A：，，因此，所以A选项正确. 对于选项B，根据组合数性质知道，所以B选项错误. 对于选项C， ， 因此，所以C选项正确. 对于选项D，根据组合数性质知道，所以D选项正确. 故选：ACD. 4．2或4 【分析】结合排列数与组合数运算即可得． 【详解】由题意，可知，则，所以或． 故答案为：2或4． 5．3或7 【分析】根据组合数的定义和性质分析求解即可. 【详解】因为，则，解得， 由组合数性质可知：或，解得或． 故答案为：3或7. 6．或 【分析】由组合数的性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得或， 解得或， 又，解得，且， 所以的值为或. 故答案为：或 7．；证明见解析 【分析】（1）根据排列数公式化简不等式，解不等式即可求解； （2）根据组合数公式证明即可. 【详解】（1）因为所以，， 由，得：， 化简得：，令，解得，， 所以不等式的解集为， 又因为，所以或， 所以不等式：的解集为. （2）根据组合数性质有：， 所以左边右边，等式得证. 8．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据排列数、组合数的计算公式求解. （2）根据组合数的性质求解. （3）根据排列数、组合数的计算公式求解. 【详解】（1）. （2） . （3）由，得， 即， 即， 而由，知，解得， 所以原方程的解为. 9．(1) (2)30 (3) 【分析】（1）根据排列数的计算公式求得正确答案. （2）根据组合数的计算公式求得正确答案. （3）根据排列数的计算公式求得正确答案. 【详解】（1）； （2） （3）因为，则且，则且 所以， 即，解得或（舍去） 10．（1）；（2） 【分析】由排列数与组合数的计算公式，可得答案. 【详解】（1）由，则， 整理可得，解得. （2）由，则，整理可得， 分解因式得，解得， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$