期末复习专题10 二项式定理讲义【10大题型+强化训练】-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

专题10 二项式定理 知识点1：二项式定理 1．二项式定理 (a＋b)n＝ ，n∈N*. (1)这个公式叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数． 2．二项展开式的通项 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝． 【注意】(1)次数：各项的次数和都等于二项式的次数n (2)顺序：字母a按降幂排列，次数由n递减到0，字母b按升幂排列，次数由0递增到n 知识点2：二项式系数的性质 (1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的二项式系数相等； (2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数相加，即＝． 知识点3：二项式系数的增减性与最大值 增减性与最大值： ＝，即，所以，当>1，即k<时随k的增加而增大；由对称性知，二项式系数的后半部分随k的增加而减小．当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值． 【注意】二项式系数取得最大值的项，其系数不一定是系数中最大的 知识点4：二项式系数与二项展开式各项系数之和 ．＋＋＋…＋＝2n； ．＋＋＋…＝＋＋＋…＝2n-1． 求展开式的各项系数之和常用赋值法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (2)若f (x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f (x)的展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 考点一 求二项展开式的第k项 考点二 求指定项的系数 考点三 展开式各项的系数和与二项式的系数和 考点四 奇次项与偶次项的系数和 考点五 求有理项与系数最大(小)的项 考点六 由二项展开式各项系数和求参数 考点七 两个二项式乘积展开式的系数问题 考点八 三项展开式的系数问题 考点九 整除的问题 考点十 近似值的问题 考点十一 杨辉三角的应用 考点十二 二项式定理与数列求和 考点一 求二项展开式的第k项 1．（25-26高二下·河北石家庄·期中）的展开式的第3项是___________． 【答案】 【详解】由的展开式的第3项是． 2．（25-26高三上·广东·阶段检测）若的展开式中第4项为160，则__________. 【答案】 【分析】根据二项式展开的通项公式，结合题意，列出等式，化简计算，即可得答案. 【详解】的展开式中第4项为， 所以，解得. 故答案为： 3．（25-26高二下·吉林四平·阶段检测）的展开式中的第2项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】展开式中的第2项为． 4．（2026·上海徐汇·二模）若的二项展开式中，第5项为常数项，则__________. 【答案】 【分析】利用二项展开式通项以及已知条件可得出关于的等式，即可得解. 【详解】根据二项式定理，其展开式的第项通项为： ， 当时，第5项为为常数， 则， 解得：. 考点二 求指定项的系数 5．（2026·江西南昌·三模）在的展开式中，含有项的系数为_____________． 【答案】 【详解】根据二项式展开得，含有项的系数为. 6．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）二项式的展开式中，常数项为（    ） A．672 B．84 C． D． 【答案】A 【详解】通项公式， 令，可得， 所以展开式中的常数项为. 7．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）在二项式的展开式中，的系数为___________． 【答案】 【详解】的展开式的通项为，， 令，解得， 则的系数为. 8．（25-26高二下·北京海淀·期中）已知的展开式中，第2项和第6项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为（   ） A．60 B． C．240 D． 【答案】A 【分析】根据二项式定理计算即可. 【详解】因为的展开式中，第2项和第6项的二项式系数相等， 所以，所以. 所以的通项为 令，解得，所以， 故展开式中的常数项为60. 考点三 展开式各项的系数和与二项式的系数和 9．（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）展开式的各项系数之和为_________. 【答案】81 【分析】利用赋值法求解. 【详解】令，得展开式的各项系数之和为. 10．（2026·天津武清·模拟预测）若的展开式的二项式系数和为64，则展开式中的系数为_________． 【答案】60 【分析】根据二项式系数和求得，再根据二项展开式的通项公式求出的系数. 【详解】因为的展开式的二项式系数和为64， 所以，解得， 二项式的展开式通项为， 令，解得， 所以展开式中的系数为. 11．（25-26高二下·上海宝山·阶段检测）已知，则________． 【答案】2059 【详解】令，得； 令，得； . 12．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．除以5所得的余数是1 D． 【答案】C 【分析】根据二项展开式的形式，结合选项，合理利用赋值法求解，即可得到答案. 【详解】对于A，令，可得，所以A错误； 对于B，令，可得， 因为，所以，所以B错误； 对于C，由，所以除以5所得的余数是，所以C正确； 对于D，由二项式展开式的通项为， 可得为正数，为负数， 所以， 令，可得， 因为，所以，所以D错误. 考点四 奇次项与偶次项的系数和 13．（25-26高二下·陕西榆林·期中）（多选）若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】通过分别令、、代入原式求出、所有系数和、奇次项系数和，再对原式两边求导后令得到，逐一验证各选项. 【详解】对于A： 令 ，代入原式左边得：，因此 ，A错误； 对于B： 令 ，代入原式左边得：， 因此 ，B正确； 对于C： 设 ，， 由得： （1）； 令 ，代入左边得：，即： （2）； （1）（2）得 ，即 ，C正确； 对于D： 对原式两边关于求导， 左边导数为： ， 右边导数为：， 令 ，代入左边导数得： ， 即 ，D正确. 14．（2026·福建泉州·模拟预测）（多选）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】对于A，令和求解判定；对于B，令和，再结合平方差公式求解判定；对于C，令，求导并令求解判断；对于D，由题知，，都大于0，，，都小于0，再令即可求解判断. 【详解】对于选项A，因为， 令，可得；令，， 所以，故选项A错误； 对于选项B，令，； 令，； 所以.故选项B正确； 对于选项C，令， 则. 再令，，故选项C错误； 对于选项D， 解法一：展开式的通项为，，，，，，，由通项可知： ，，1，2，3，4，5，所以，，都大于0，，，都小于0， ， 令，可得， 所以，故选项D正确. 解法二：令， 由 得. 令可得，故选项D正确. 15．（25-26高二下·贵州遵义·期中）（多选）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】通过赋值法，结合二项式定理逐项判断即可. 【详解】选项A：令展开式中，可得，即，A正确； 选项B：分别令和： 时， ①， 时， ② ， ①+②得， 即，B错误； 选项C：展开式通项为， 故当，，当时，， 所以，C正确； 选项D：将所求式子变形为 ， 令代入原式得， 两边同乘得 ，D正确. 16．（2026·广东汕头·二模）已知，则下列结论中正确的个数是（   ） ①； ②； ③； ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用赋值法即可求解.对于①，令即可求解；对于②，令即可求解；对于③，令，与时的式子作差即可求解；对于④，令，结合①即可求解. 【详解】令，得，故①正确； 令，得（i），故②错误； 令，得（ii）， 由（i）-（ii）化简得，故③正确； 令，得， 则， 得，故④正确. 考点五 求有理项与系数最大(小)的项 17．（25-26高二下·云南怒江·阶段检测）已知展开式中前三项的二项式系数和为. (1)求的值； (2)求展开式中含的项的系数； (3)求展开式中系数最大的项. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据及组合数公式得到方程，解得即可； （2）写出展开式的通项，利用通项计算可得； （3）设第项的系数最大，得到关于系数的不等式组，求出，再代入通项计算可得. 【详解】（1）因为展开式中前三项的二项式系数和为， 所以，即，解得或（舍去）， 所以； （2）因为展开式的通项为（其中且）， 令，解得， 所以，所以展开式中含的项的系数为； （3）设第项的系数最大， 所以，即，解得， 又，所以， 所以，所以展开式中系数最大的项为. 18．（25-26高二下·陕西咸阳·期中）（多选）若的二项展开式共有项，则该二项展开式中（   ） A．各项二项式系数和为 B．奇数项的各项系数和为 C．有理项共有项 D．展开式中第项的系数最大 【答案】AD 【详解】∵ 二项式的展开式共有项，二项式展开式的项数为， ∴ ，解得，即二项式为， 其展开式的通项公式为，其中. 对选项A：各项二项式系数和为，故A正确. 对选项B：设奇数项系数和为，奇数项对应，代入得，故奇数项系数和为64，B错误. 对选项C：若项为有理项，则的指数为整数，即为整数，故为偶数，可取，共4个值，即有理项共有项，故C错误. 对选项D：展开式各项的系数为，正系数对应为偶数： 时系数为，时系数为，时系数为，时系数为， 最大系数为，对应，即第项，故展开式中第项的系数最大，D正确. 19．（25-26高二下·重庆·期中）若的二项展开式中只有第7项的二项式系数最大，则下列说法正确的是（     ） A． B．二项展开式中存在常数项 C．二项系数之和与各项系数之和不相等 D．二项展开式的第9项的系数最大 【答案】B 【详解】对A，因为的二项展开式中只有第7项的二项式系数最大， 所以展开式共有项，所以，错误； 对B，展开式的通项公式为， 令得，即展开式中第5项为常数项，正确； 对C，令可得各项系数和为，二项式系数和为，错误； 对D，第11项的系数为，第9项的系数为， 所以第11项的系数大于第9项的系数，错误. 20．（25-26高二下·山东淄博·期中）在的展开式中， (1)求展开式中所有项的系数和； (2)系数的绝对值最大的项是第几项？ 【答案】(1)1 (2)第6项和第7项 【分析】（1）利用赋值法计算得解. （2）求出二项式展开式的通项公式，再由已知列出不等式组求解即得. 【详解】（1）在的展开式中，令，得展开式中所有项的系数和为. （2）由的展开式的通项为，， 设第r＋1项系数的绝对值最大，显然0＜r＜8，则， 整理得，即， 解得，而，则或， 所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项． 21．（25-26高二下·山东菏泽·阶段检测）已知（）. (1)若展开式中只有第7项的二项式系数最大，求的值； (2)当，时，求二项式的展开式中系数最大的项. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式共13项，故． （2）当，时，二项式为． 展开式的通项为（，1，2，…，6）， 设第项系数最大，则， 即， 整理得，解得，又，所以． 所以二项式的展开式中系数最大的项为． 考点六 由二项展开式各项系数和求参数 22．（25-26高二下·黑龙江绥化·期中）（多选）已知在的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则下列结论错误的是（    ） A． B．展开式中含的项的系数是60 C．展开式的各二项式系数和为128 D．展开式的各项系数和为729 【答案】ACD 【分析】先利用二项式系数的对称性，根据展开式中只有第四项的二项式系数最大求出的值，再利用展开式通项公式和二项式系数性质逐一计算验证各选项的结论判断正误即可得. 【详解】对A：根据二项式系数的性质：展开式中只有一项二项式系数最大，说明为偶数， 且最大二项式系数对应中间项，则，即，故A错误； 对B：对，有， 令，解得，则， 即展开式中含的项的系数是，故B正确； 对C：二项式系数和为，故C错误； 对D：对，令，有， 故展开式的各项系数和为，故D错误. 23．（2026·重庆·模拟预测）已知的展开式中各项系数的和为2，则展开式中含项的系数为（   ） A． B．120 C． D．240 【答案】D 【分析】根据各项系数和得，再写出的展开式通项，结合乘积形式写出展开式中含项的系数. 【详解】由题意，时，所以二项式为， 其中的展开式通项为，， 所以，则，此时， ，则不是整数，故该项不存在， 综上，展开式中含项的系数为. 24．（25-26高二下·北京朝阳·期中）设的展开式的各项系数之和为256，则展开式中的系数为（    ） A． B．150 C．300 D． 【答案】B 【分析】先通过赋值法求出参数再利用二项展开式的通项公式计算项的系数. 【详解】令，得，解得， 的第项为， 令，解得， 则的系数为. 25．（25-26高二下·北京平谷·期中）展开式中只有第5项的二项式系数最大，则各项系数之和为________. 【答案】1 【分析】先依据二项式系数的对称性确定的取值，再用赋值法计算展开式的各项系数之和. 【详解】展开式中只有第5项的二项式系数最大，则该展开式共9项，即，解得， 取，得展开式各项系数之和为. 26．（25-26高二下·广东广州·期中）（多选）已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（    ） A． B．只有第3项的二项式系数最大 C．若，则展开式中常数项为15 D．若展开式中各项系数之和为64，则 【答案】AC 【详解】A选项，由二项式系数和公式得，故A正确. B选项，为偶数，二项式系数最大的是中间项即第项，不是第3项，故B错误. C选项，若，展开式通项，令得，常数项为，故C正确. D选项，令得各项系数之和为，即，得，或，故D错误. 考点七 两个二项式乘积展开式的系数问题 27．（江苏淮安市2026届高三下学期数学模拟预测卷（A））已知展开式中项的系数为30，则（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】，其中的展开式通项为， 展开式中项来自两部分，当，，当，， 由题意可得，解得. 28．（2026·山东·模拟预测）展开式中含项的系数为（     ） A．150 B．160 C．170 D．180 【答案】B 【详解】， 则展开式中含项为， 故展开式中含项的系数为． 29．（25-26高二下·重庆大足·期中）已知的展开式中的系数为35，则的值为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】利用乘法分配律以及二项式展开式等知识列方程，由此求得的值. 【详解】的展开式中，含的项为：， 依题意，，解得. 30．（2026·天津和平·三模）在的展开式中，常数项为__________．（用数字作答） 【答案】 【详解】的常数项为 . 31．（2026·湖南岳阳·三模）已知的展开式中项的系数为35，则实数的值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】已知展开式中项的系数为35，利用二项式定理，则项的系数为：． 即． 32．（25-26高二下·北京平谷·期中）展开式中含的系数（   ） A．120 B．27 C．126 D． 【答案】D 【详解】根据题意知，含的项由以下三项合并而成，展开式中的常数项与展开式中的二次项的积； 展开式中的一次项与展开式中的一次项的积； 展开式中的二次项与展开式中的常数项的积； 所以， 所以展开式中含的系数是. 考点八 三项展开式的系数问题 33．（2026·湖北武汉·三模）（多选）关于多项式的展开式，下列结论正确的是（    ） A．各项系数之和为32 B．常数项为80 C．项的系数为 D．展开式一共有21项 【答案】AC 【分析】由多项式展开式令代入计算判断A；令或或，计算可判断B；令或，计算可判断C；由的指数取值范围求解可判断D. 【详解】由题意得多项式展开式的通项如下， 为 ， 即， 对于A，令得， 所以各项系数之和为32，故A正确； 对于B，常数项中的次数为0，则或或， 则，故B错误； 对于C，令，得或， 所以项为， 故项的系数为，故C正确； 对于D，因为，的指数为的整数， 化简可得， 所以展开式一共有9项，故D错误； 34．（25-26高二下·山东聊城·期中）的展开式中的常数项为______． 【答案】49 【分析】分类讨论利用多项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】展开式中得到常数项的方法分类如下： （1）4个因式全取1，相乘得到常数项.常数项为； （2）4个因式中有1个取，则再取1个，其余因式取，相乘得到常数项.常数项为； （3）4个因式中有2个取，则再取2个，相乘得到常数项为， 合并同类项，所以展开式中常数项为. 35．（2026·陕西榆林·模拟预测）的展开式中，的系数为（    ） A．135 B．15 C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知的通项为，， 可知的通项为， 令，，解得，，所以的系数为． 36．（吉林长春市柏辰艺术中学等校2026届高三普通高校招生模拟5月联考数学试题）多项式的展开式中，含项的系数为______. 【答案】 【分析】由展开式通项为，再写出的展开式通项，结合所得写出含项的系数即可. 【详解】由可写为，展开式为，， 对于，其展开式为，， 当，即， 若，，则对应项的系数为， 若，，则对应项的系数为， 综上，含项的系数为. 37．（25-26高二下·天津武清·期中）已知的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则的展开式中的常数项是（    ） A．20 B．70 C．84 D．864 【答案】B 【分析】先得到，对变形后，由展开式通项公式进行求解 【详解】的展开式中只有第3项的二项式系数最大， 故展开式共5项，所以， 变形为， 展开式为， 令得，所以常数项为. 38．（25-26高二下·浙江杭州·期中）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用组合计数问题列式求解. 【详解】依题意，展开式中含的项为， 所以. 考点九 整除的问题 39．（上海市黄浦区2025-2026学年第二学期高三5月模拟数学试卷）利用二项式定理，被8除所得的余数为________． 【答案】7 【详解】 . 所以被8除所得的余数为7. 40．（25-26高二下·上海浦东新·期中）被7除所得的余数为__________. 【答案】2 【分析】利用二项式定理依次化简、即可得出. 【详解】因为 所以被7除所得的余数与被7除所得的余数相同， 因为， 所以被7除所得的余数与被7除所得的余数相同，均为， 故被7除所得的余数为2. 41．（25-26高二下·广东深圳·期中）昨天是2026年5月6日星期三，再过天是星期（    ） A．一 B．三 C．五 D．日 【答案】A 【分析】将写成形式的二项展开式，然后计算除以7余下的天数，最后判断是星期几. 【详解】因为 所以 则的余数为， 又因为昨天是星期三，所以今天是星期四，所以天后是星期，即星期一. 42．（25-26高二下·山西临汾·期中）若能被整除，则正数的最小值是______． 【答案】 【分析】把写成，二项式展开后前面都是的倍数，只剩，要被1000整除，正数最小就是24. 【详解】 ，为整数. 所以要使能被整除，即能被整除， 又是正数，所以的最小值为． 考点十 近似值的问题 43．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）下列选项中与最接近的数为（   ） A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15 【答案】B 【详解】 从选项可知精确到0.01即可. 所以原式. 44．（2026·江苏镇江·二模）计算保留到小数点后3位的结果是（    ） A．0.945 B．0.905 C．0.904 D．0.903 【答案】C 【分析】由结合二项式展开式计算前四项的和即可求解. 【详解】， 由于展开式的第一项，第二项， 第三项，第四项，后面的项绝对值更小，对小数点后3位的影响可以忽略， 由， 所以保留到小数点后3位的结果是. 45．（2025高三·全国·专题练习）计算：．（精确到0.001） 【答案】31.761 【分析】利用二项式定理进行近似计算. 【详解】． 所以． 46．（2025高二·全国·专题练习）某公司的股票今天的指数为1，因财报公布公司的季盈利良好，因此在之后6个交易日内指数都比上一个交易日增加2%，则6个交易日后该公司的股票指数约为______．（四舍五入，精确到0.01） 【答案】1.13 【分析】6个交易日后该公司的股票指数为：，利用二项式定理估算. 【详解】根据题意，6个交易日后该公司的股票指数为： ． 故答案为：1.13 考点十一 杨辉三角的应用 47．（25-26高二下·陕西商洛·期中）（多选）我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得自豪的，以下关于杨辉三角的叙述正确的是（   ） A．在“杨辉三角”第行中，从左到右第8个数是 B．第行的第个数最大 C．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 D．在“杨辉三角”中，当时，从第3行起，每一行的第3列的数字之和为 【答案】ABC 【分析】利用组合数的对称性，结合二项式系数的对应关系计算，判断选项A；根据二项式系数的单调性，偶数行最大系数在正中间，判断选项B；利用组合恒等式判断选项C；先确定第3列的数为，再结合组合恒等式计算，判断选项D． 【详解】根据题意，杨辉三角第行对应二项式系数，第行第个数为， 则第行，从左到右第个数： ，故正确; 第行，最大二项式系数在中间位置：行数，中间位置为， 故第个数最大，故B正确； 由组合恒等式，是第行的中间项， 故第行所有数字的平方和等于第行的中间项，故C正确； 由，结合各行第3列的数为，则 ，故D错误． 48．（2026高三·全国·专题练习）（多选）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．该表蕴含着许多的数学规律，下列结论正确的是（   ） A． B． C．从左往右逐行数，第2023项在第63行第7个 D．第5行到第10行的所有数字之和为2024 【答案】AC 【分析】A选项，利用组合数的计算性质进行判断；B选项，利用展开计算即可判断；C选项，利用等差数列求和公式求出第n行最后一项对应的项数，然后确定第2023项所在行数及位置；D选项，利用进行计算. 【详解】A选项，由组合数的计算性质知 ，A正确； B选项，，B错误； C选项，第行共有项，从左往右逐行数，第行最后一项对应的项数为，因为，且，所以，从左往右逐行数，第2023项在第63行第7个，C正确； D选项，第行所有项之和为，所以，第5行到第10行的所有数字之和为，D错误． 故选：AC 49．（25-26高二下·四川成都·期中）（多选）如图所示为杨辉三角，第行的第个数可以表示为时）．在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就．同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（　　） A．第2026行中从左到右第28个数和第2000个数大小相等 B．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 C．第45行的所有数字之和被9除的余数为1 D．若存在，使得（且）为公差不为0的等差数列，则 【答案】ABD 【分析】利用组合数对称性、组合数求和公式、二项式定理构造分析余数、组合数性质与二项式展开，逐一验证各选项正误. 【详解】对于选项A： 第行的第个数为，因此第个数为，第个数为. 由组合数对称性，得，故A正确. 对于选项B： 第行的第个数为，所求和为. 由组合数求和公式，得，故B正确. 对于选项C： 第行所有数字之和为， 由二项式定理展开：, 展开式中前项均含有因式，均可被整除，仅剩最后一项， 因此（），即， 可得被除余数为，故C错误. 对于选项D： 由组合数性质，得数列为公差不为的等差数列. 是关于的次多项式，等差数列对应一次多项式，故，即. 所以 ， 故D正确. 50．（25-26高二下·北京·期中）如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，比欧洲发现早500年左右.则第2025行所有数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】杨辉三角的第行对应二项式展开 的系数，即 ，这些系数的和为 ，因此第2025行所有数的和为 . 考点十二 二项式定理与数列求和 51．（25-26高二下·广东惠州·期中）（多选）设函数，且记，则（   ） A．数列的首项为 B．数列的前10项和为512 C．数列的前10项和为 D．数列的前10项和为0 【答案】ABD 【分析】利用赋值法，即可结合选项逐一求解. 【详解】由题意知，是常数项，是的系数，是的系数，即当 时，数列的第项是展开式中的系数. 令，则，故A对； 数列的前10项和等于，即展开式中所有项的系数之和， 令，则，故B正确； 数列的前10项和等于， 令，则，而， 则数列的前10项和为，故C错误； 数列的前10项和等于， 令，则， 因为，故D正确. 52．（25-26高二下·江苏无锡·期中）已知函数，其中． (1)若，，求的值； (2)若，，求(，1，2，3，…，8)的最大值； (3)若，求证：． 【答案】(1) (2)1792 (3)证明见解析 【分析】（1）利用赋值法，令和，两式相加即得解； （2）先求出，设为中的最大值，则，解不等式组即得解； （3）先得到，再利用二项式定理证明. 【详解】（1），时， ， 令得， 令得， 两式相加可得； （2）， ， 不妨设为中的最大值，则， ，， 或6， 所以中最大值为； （3）若，， ， 因为， 所以 ， 故得证. 53．（25-26高二下·浙江温州·阶段检测）已知二项式（其中）的展开式中，所有项的系数和为． (1)求的值，并指出展开式中的常数项是展开式中的第几项； (2)设该二项式展开式的各项系数依次为，数列满足，，求数列的前项和． 【答案】(1)，第1014项； (2) 【分析】（1）将代入即可求出，写出二项式展开项的通项公式，令，即可求出答案； （2）由（1）知，，根据可得，列出，结合的展开式即可求出答案. 【详解】（1）由题意知， 又，所以，即， 二项式展开项的通项公式为， 令，解得， 所以展开式中的常数项是展开式中的第项. （2）由（1）知，， 则， 因为， 所以， 所以 . 54．（2026·江苏南通·一模）（多选）设是数列的前项和，若，不等式恒成立，则称数列为“均增数列”，则下列说法正确的有（    ） A．若，则数列是“均增数列” B．若等差数列是“均增数列”，则公差 C．若是“均增数列”，则 D．若，则存在负数，使得数列是“均增数列” 【答案】ABD 【分析】利用等差数列求和，即可判断A和B，利用等比数列求和，结合二项式定理证明不等式，即可判断C和D． 【详解】由，可得， 则由，显然有，数列是“均增数列”，故A正确； 由等差数列是“均增数列”，且， 则由可得：，故B正确； 当，取时，， 要证明，只需要证明， 即证， 则只需要证明， 当为奇数，不等式显然成立， 当为偶数，要证明， 因为，对任意都成立， 所以，即对任意为偶数也成立， 即原不等式对任意都成立， 所以存在负数，使得数列是“均增数列”，故D正确； 由于是“均增数列”， 由于，，不满足，故C错误； 故选：ABD 1．（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）展开式的常数项为（   ） A． B． C．252 D．504 【答案】A 【详解】展开式的通项为， 令，得， 则展开式的常数项为. 2．（2026·重庆·三模）的展开式中的系数是（     ） A．40 B．30 C． D． 【答案】C 【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于3，的幂指数等于2，求出，即可求出展开式中的系数. 【详解】由题意： 令，即 故展开式中的系数为. 3．（25-26高二下·江苏南京·期中）的展开式中含项的系数为（     ） A．1 B．6 C．15 D．20 【答案】C 【分析】由，利用二项式定理求解即可. 【详解】化简得到， 展开式通项为， 令，得到，代入得到， 故展开式中含项的系数为. 4．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）若展开式中的常数项为90，则常数的值为（    ） A．4 B．2 C．8 D．6 【答案】D 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】展开式的通项为， 令，则，故常数项为，则. 5．（25-26高二下·广东广州·期中）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D．15 【答案】D 【分析】解题时先写出的展开式通项为，然后再求的系数即可． 【详解】的展开式通项为，，，，，，， 则的展开式有，， 分别取和时可得，， 所以的展开式中的系数为 6．（25-26高二下·河北唐山·期中）（多选）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】本题核心方法是赋值法，通过代入不同的值得到对应等式，再对等式运算得到所求系数和。 【详解】选项A：令，代入原式得，故A错误； 选项B：令得①式：； 令得②式：， ①+②得，即，故B正确； 选项C：①②得，即，故C正确； 选项D：令，代入原式得，移项得，故D正确. 7．（25-26高二下·吉林长春·期中）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】运用赋值法求二项式展开式中部分项的系数和. 【详解】对于A，令，，A错误. 对于B，令时，； 令时，，两式相加得， ，B正确. 对于C，令时，，C正确. 对于D，对展开式两边求导，，令，，D错误； 8．（25-26高二下·山西临汾·期中）（多选）若的二项展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（    ） A． B．展开式中各二项式系数的和为1024 C．展开式中各项系数的和为 D．展开式中不存在常数项 【答案】ABD 【详解】因为的展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以展开式中共有11项， 所以，故A选项正确； 各二项式系数的和为，故B选项正确； 令x＝1，则展开式中各项系数的和为，故C选项错误； 的展开式中的通项为，， 令，解得（舍去），所以展开式中不存在常数项，故D正确． 9．（25-26高二下·全国·单元测试）已知，若．则实数________． 【答案】1或 【分析】由展开式的通项求得常数项，即，利用赋值法，令，得，求解可得实数的值. 【详解】的展开式的通项为， 令，得其常数项为，所以. 令，得，即， 所以，所以或． 故答案为：或． 10．（25-26高二下·河北石家庄·期中）在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数字图形，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，从上到下第行（行号从1开始）的所有数字之和为，若去除杨辉三角中所有值为1的项后，将剩余项按原顺序依次排列构成数列，，则______． 【答案】21 【分析】根据该数阵第行有个数，从左向右分别为，第行最后一项位于原数列第项即可求解 【详解】将数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…变成以下数阵： 第1行            2 第2行        3        3 第3行    4        6        4 第4行5        10        10        5 …                … 则因为，所以在该数阵第6行的第2个位置，故． 11．（25-26高二下·天津滨海新区·期中）的展开式中二项式系数最大的项是第________项． 【答案】6和7 【详解】由为奇数，则展开式中第项和第项， 即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大． 12．（2026高三下·湖北咸宁·专题练习）在的展开式中，前3项的系数成等差数列，则展开式中系数最大项为第__________项. 【答案】3和4 【分析】首先根据等差中项求出，再列不等式组，解出即可. 【详解】展开式的通项公式为， 则前3项的系数分别为，，， 由题意可得，即，解得或（舍去），所以， 设展开式中系数最大项为第项， 由，解得，又因为， 所以或，所以展开式中系数最大项为第3项和第4项. 13．（25-26高二下·广东肇庆·期中）已知（，）. (1)若展开式的二项式系数和为128，求n的值； (2)当时，二项式的展开式中的系数为A，常数项为B，若，则求a的值： (3)当，时，求二项式的展开式中系数最大的项. 【答案】(1)7 (2)或 (3) 【分析】（1）根据，可求的值. （2）根据二项展开式的通项公式，求出的系数和常数项，根据可求的值. （3）设为二项展开式的第项的系数，由，确定的值，再求即可. 【详解】（1）由题意. （2）当时， 展开式的通项公式为. 由，所以； 由，所以. 由，又，所以或. （3）当，时， ， 其展开式的通项公式为. 其系数为. 由， 所以. 所以二项式的展开式中第5项的系数最大，且. 14．（25-26高二下·湖北武汉·期中）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)求该展开式中系数的绝对值最大的项. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二项式系数的符号规律，的系数正负交替，因此系数绝对值之和等价于的各项系数和，令直接计算即可； （2）对原式两边求导，得到含的等式，再令，即可直接得到所求值； （3）先写出通项公式，设第项系数绝对值最大，通过列相邻两项系数绝对值的不等式组，求解得到的取值，再代入通项得到对应项． 【详解】（1）已知， 展开式的通项， 因为，所以， 所以等价于展开式中各项系数之和， 令，得 ． （2）对， 两边同时求导得， 令，得 ． （3）设第项的系数绝对值最大，即最大， 所以，即， 化简得，解得，即， 因为，所以， 所以， 该展开式中系数的绝对值最大的项为． 15．（25-26高二下·河南商丘·期中）已知. (1)求的值； (2)求的二项展开式中的常数项. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用组合数计算公式求出； （2）利用通项公式求出，可得答案. 【详解】（1）由，得，即，解得，   由，得且，所以； （2）由（1），得， 的二项展开式中通项公式为，      令，得，     所以的二项展开式中，常数项为. 16．（25-26高二下·山东临沂·期中）已知在二项式的展开式中，第项的二项式系数为，且展开式中含的项的系数为. (1)求和的值； (2)求该二项式展开式中所有的有理项. 【答案】(1)， (2)，， 【分析】（1）利用的展开式的通项公式，结合条件，即可求解； （2）根据条件，利用二项展开式的通项公式，得，即可求解. 【详解】（1）因为的展开式的通项公式为， 由第项的二项式系数为，得，解得，所以， 又展开式中含的项的系数为，令，解得， 所以，解得， 故和的值分别为. （2）由（1）知， 要求二项式展开式中的有理项，则为整数，所以， 当时，，当时，， 当时，， 所以该二项式展开式中所有的有理项为，，. 17．（2025高三·全国·专题练习）（1）求精确到0.001的近似值； （2）若今天是星期一，再过天是星期几？ 【答案】（1）0.995；（2）星期三． 【分析】（1）由并作展开，结合精确数位即可得近似值； （2）由并作展开，判断除以7的余数，即可得. 【详解】（1）， 可以看出，及其后面的项在精确到0.001时都可以忽略， 所以近似值为． （2）因为， 显然，是一个除以7余2的数， 所以，如果今天是星期一，再过天是星期三． 18．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知m， n是正整数， 的展开式中x的系数为11. (1)试求中的系数的最小值； (2)对于使用中的系数为最小的m， n， 求出此时的系数； (3)利用上述结果，求的近似值(精确到0.001). 【答案】(1)25 (2)30 (3)2.033 【分析】（1）根据组合数公式及二项式展开式的二项式系数计算求解； （2）应用二项式展开式及组合数计算求解； （3）应用二项式展开式结合近似值计算求解. 【详解】（1）根据二项式定理，x项的系数为 需要找到使得项系数最小的正整数m和n. 将代入， 得到 该二次函数的顶点位于 因此当或时取得最小值. 此时对应的或 计算得 故项的系数最小值为25. （2）当， 时， 项的系数为 （3）展开至三次项： 相加后得到： 计算各项： 考虑更高次项的影响，发现对小数点后第三位无影响，故近似值为2.033. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 二项式定理 知识点1：二项式定理 1．二项式定理 (a＋b)n＝ ，n∈N*. (1)这个公式叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数． 2．二项展开式的通项 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝． 【注意】(1)次数：各项的次数和都等于二项式的次数n (2)顺序：字母a按降幂排列，次数由n递减到0，字母b按升幂排列，次数由0递增到n 知识点2：二项式系数的性质 (1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的二项式系数相等； (2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数相加，即＝． 知识点3：二项式系数的增减性与最大值 增减性与最大值： ＝，即，所以，当>1，即k<时随k的增加而增大；由对称性知，二项式系数的后半部分随k的增加而减小．当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值． 【注意】二项式系数取得最大值的项，其系数不一定是系数中最大的 知识点4：二项式系数与二项展开式各项系数之和 ．＋＋＋…＋＝2n； ．＋＋＋…＝＋＋＋…＝2n-1． 求展开式的各项系数之和常用赋值法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (2)若f (x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f (x)的展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 考点一 求二项展开式的第k项 考点二 求指定项的系数 考点三 展开式各项的系数和与二项式的系数和 考点四 奇次项与偶次项的系数和 考点五 求有理项与系数最大(小)的项 考点六 由二项展开式各项系数和求参数 考点七 两个二项式乘积展开式的系数问题 考点八 三项展开式的系数问题 考点九 整除的问题 考点十 近似值的问题 考点十一 杨辉三角的应用 考点十二 二项式定理与数列求和 考点一 求二项展开式的第k项 1．（25-26高二下·河北石家庄·期中）的展开式的第3项是___________． 2．（25-26高三上·广东·阶段检测）若的展开式中第4项为160，则__________. 3．（25-26高二下·吉林四平·阶段检测）的展开式中的第2项是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·上海徐汇·二模）若的二项展开式中，第5项为常数项，则__________. 考点二 求指定项的系数 5．（2026·江西南昌·三模）在的展开式中，含有项的系数为_____________． 6．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）二项式的展开式中，常数项为（    ） A．672 B．84 C． D． 7．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）在二项式的展开式中，的系数为___________． 8．（25-26高二下·北京海淀·期中）已知的展开式中，第2项和第6项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为（   ） A．60 B． C．240 D． 考点三 展开式各项的系数和与二项式的系数和 9．（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）展开式的各项系数之和为_________. 10．（2026·天津武清·模拟预测）若的展开式的二项式系数和为64，则展开式中的系数为_________． 11．（25-26高二下·上海宝山·阶段检测）已知，则________． 12．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．除以5所得的余数是1 D． 考点四 奇次项与偶次项的系数和 13．（25-26高二下·陕西榆林·期中）（多选）若，则（     ） A． B． C． D． 14．（2026·福建泉州·模拟预测）（多选）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高二下·贵州遵义·期中）（多选）已知，则（     ） A． B． C． D． 16．（2026·广东汕头·二模）已知，则下列结论中正确的个数是（   ） ①； ②； ③； ④ A．1 B．2 C．3 D．4 考点五 求有理项与系数最大(小)的项 17．（25-26高二下·云南怒江·阶段检测）已知展开式中前三项的二项式系数和为. (1)求的值； (2)求展开式中含的项的系数； (3)求展开式中系数最大的项. 18．（25-26高二下·陕西咸阳·期中）（多选）若的二项展开式共有项，则该二项展开式中（   ） A．各项二项式系数和为 B．奇数项的各项系数和为 C．有理项共有项 D．展开式中第项的系数最大 19．（25-26高二下·重庆·期中）若的二项展开式中只有第7项的二项式系数最大，则下列说法正确的是（     ） A． B．二项展开式中存在常数项 C．二项系数之和与各项系数之和不相等 D．二项展开式的第9项的系数最大 20．（25-26高二下·山东淄博·期中）在的展开式中， (1)求展开式中所有项的系数和； (2)系数的绝对值最大的项是第几项？ 21．（25-26高二下·山东菏泽·阶段检测）已知（）. (1)若展开式中只有第7项的二项式系数最大，求的值； (2)当，时，求二项式的展开式中系数最大的项. 考点六 由二项展开式各项系数和求参数 22．（25-26高二下·黑龙江绥化·期中）（多选）已知在的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则下列结论错误的是（    ） A． B．展开式中含的项的系数是60 C．展开式的各二项式系数和为128 D．展开式的各项系数和为729 23．（2026·重庆·模拟预测）已知的展开式中各项系数的和为2，则展开式中含项的系数为（   ） A． B．120 C． D．240 24．（25-26高二下·北京朝阳·期中）设的展开式的各项系数之和为256，则展开式中的系数为（    ） A． B．150 C．300 D． 25．（25-26高二下·北京平谷·期中）展开式中只有第5项的二项式系数最大，则各项系数之和为________. 26．（25-26高二下·广东广州·期中）（多选）已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（    ） A． B．只有第3项的二项式系数最大 C．若，则展开式中常数项为15 D．若展开式中各项系数之和为64，则 考点七 两个二项式乘积展开式的系数问题 27．（江苏淮安市2026届高三下学期数学模拟预测卷（A））已知展开式中项的系数为30，则（   ） A．2 B． C．4 D． 28．（2026·山东·模拟预测）展开式中含项的系数为（     ） A．150 B．160 C．170 D．180 29．（25-26高二下·重庆大足·期中）已知的展开式中的系数为35，则的值为（    ） A． B． C．3 D．5 30．（2026·天津和平·三模）在的展开式中，常数项为__________．（用数字作答） 31．（2026·湖南岳阳·三模）已知的展开式中项的系数为35，则实数的值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 32．（25-26高二下·北京平谷·期中）展开式中含的系数（   ） A．120 B．27 C．126 D． 考点八 三项展开式的系数问题 33．（2026·湖北武汉·三模）（多选）关于多项式的展开式，下列结论正确的是（    ） A．各项系数之和为32 B．常数项为80 C．项的系数为 D．展开式一共有21项 34．（25-26高二下·山东聊城·期中）的展开式中的常数项为______． 35．（2026·陕西榆林·模拟预测）的展开式中，的系数为（    ） A．135 B．15 C． D． 36．（吉林长春市柏辰艺术中学等校2026届高三普通高校招生模拟5月联考数学试题）多项式的展开式中，含项的系数为______. 37．（25-26高二下·天津武清·期中）已知的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则的展开式中的常数项是（    ） A．20 B．70 C．84 D．864 38．（25-26高二下·浙江杭州·期中）已知，则（    ）． A． B． C． D． 考点九 整除的问题 39．（上海市黄浦区2025-2026学年第二学期高三5月模拟数学试卷）利用二项式定理，被8除所得的余数为________． 40．（25-26高二下·上海浦东新·期中）被7除所得的余数为__________. 41．（25-26高二下·广东深圳·期中）昨天是2026年5月6日星期三，再过天是星期（    ） A．一 B．三 C．五 D．日 42．（25-26高二下·山西临汾·期中）若能被整除，则正数的最小值是______． 考点十 近似值的问题 43．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）下列选项中与最接近的数为（   ） A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15 44．（2026·江苏镇江·二模）计算保留到小数点后3位的结果是（    ） A．0.945 B．0.905 C．0.904 D．0.903 45．（2025高三·全国·专题练习）计算：．（精确到0.001） 46．（2025高二·全国·专题练习）某公司的股票今天的指数为1，因财报公布公司的季盈利良好，因此在之后6个交易日内指数都比上一个交易日增加2%，则6个交易日后该公司的股票指数约为______．（四舍五入，精确到0.01） 考点十一 杨辉三角的应用 47．（25-26高二下·陕西商洛·期中）（多选）我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得自豪的，以下关于杨辉三角的叙述正确的是（   ） A．在“杨辉三角”第行中，从左到右第8个数是 B．第行的第个数最大 C．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 D．在“杨辉三角”中，当时，从第3行起，每一行的第3列的数字之和为 48．（2026高三·全国·专题练习）（多选）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．该表蕴含着许多的数学规律，下列结论正确的是（   ） A． B． C．从左往右逐行数，第2023项在第63行第7个 D．第5行到第10行的所有数字之和为2024 49．（25-26高二下·四川成都·期中）（多选）如图所示为杨辉三角，第行的第个数可以表示为时）．在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就．同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（　　） A．第2026行中从左到右第28个数和第2000个数大小相等 B．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 C．第45行的所有数字之和被9除的余数为1 D．若存在，使得（且）为公差不为0的等差数列，则 50．（25-26高二下·北京·期中）如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，比欧洲发现早500年左右.则第2025行所有数的和为（   ） A． B． C． D． 考点十二 二项式定理与数列求和 51．（25-26高二下·广东惠州·期中）（多选）设函数，且记，则（   ） A．数列的首项为 B．数列的前10项和为512 C．数列的前10项和为 D．数列的前10项和为0 52．（25-26高二下·江苏无锡·期中）已知函数，其中． (1)若，，求的值； (2)若，，求(，1，2，3，…，8)的最大值； (3)若，求证：． 53．（25-26高二下·浙江温州·阶段检测）已知二项式（其中）的展开式中，所有项的系数和为． (1)求的值，并指出展开式中的常数项是展开式中的第几项； (2)设该二项式展开式的各项系数依次为，数列满足，，求数列的前项和． 54．（2026·江苏南通·一模）（多选）设是数列的前项和，若，不等式恒成立，则称数列为“均增数列”，则下列说法正确的有（    ） A．若，则数列是“均增数列” B．若等差数列是“均增数列”，则公差 C．若是“均增数列”，则 D．若，则存在负数，使得数列是“均增数列” 1．（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）展开式的常数项为（   ） A． B． C．252 D．504 2．（2026·重庆·三模）的展开式中的系数是（     ） A．40 B．30 C． D． 3．（25-26高二下·江苏南京·期中）的展开式中含项的系数为（     ） A．1 B．6 C．15 D．20 4．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）若展开式中的常数项为90，则常数的值为（    ） A．4 B．2 C．8 D．6 5．（25-26高二下·广东广州·期中）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D．15 6．（25-26高二下·河北唐山·期中）（多选）若，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·吉林长春·期中）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·山西临汾·期中）（多选）若的二项展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（    ） A． B．展开式中各二项式系数的和为1024 C．展开式中各项系数的和为 D．展开式中不存在常数项 9．（25-26高二下·全国·单元测试）已知，若．则实数________． 10．（25-26高二下·河北石家庄·期中）在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数字图形，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，从上到下第行（行号从1开始）的所有数字之和为，若去除杨辉三角中所有值为1的项后，将剩余项按原顺序依次排列构成数列，，则______． 11．（25-26高二下·天津滨海新区·期中）的展开式中二项式系数最大的项是第________项． 12．（2026高三下·湖北咸宁·专题练习）在的展开式中，前3项的系数成等差数列，则展开式中系数最大项为第__________项. 13．（25-26高二下·广东肇庆·期中）已知（，）. (1)若展开式的二项式系数和为128，求n的值； (2)当时，二项式的展开式中的系数为A，常数项为B，若，则求a的值： (3)当，时，求二项式的展开式中系数最大的项. 14．（25-26高二下·湖北武汉·期中）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)求该展开式中系数的绝对值最大的项. 15．（25-26高二下·河南商丘·期中）已知. (1)求的值； (2)求的二项展开式中的常数项. 16．（25-26高二下·山东临沂·期中）已知在二项式的展开式中，第项的二项式系数为，且展开式中含的项的系数为. (1)求和的值； (2)求该二项式展开式中所有的有理项. 17．（2025高三·全国·专题练习）（1）求精确到0.001的近似值； （2）若今天是星期一，再过天是星期几？ 18．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知m， n是正整数， 的展开式中x的系数为11. (1)试求中的系数的最小值； (2)对于使用中的系数为最小的m， n， 求出此时的系数； (3)利用上述结果，求的近似值(精确到0.001). 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $