精品解析：安徽芜湖市第一中学2025-2026学年高二第二学期期中教学质量检测数学试题

芜湖一中2025-2026学年第二学期期中教学质量检测 高二数学试卷 命题人：孙卫校对人：王慧 （本试卷共150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号； 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题； 3.请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效； 4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 定义在R上的函数，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的定义求解即可. 【详解】已知，由导数的定义可以知道， 设，当时，.且 所以 2. 展开式中，的系数为（ ） A. B. 32 C. D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式展开式计算求解. 【详解】展开式中，的项为. 故选：C. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数运算公式，即可求解. 【详解】A.，故A错误；B.，故B错误； C.，故C错误；D.，故D正确. 故选：D 4. 已知函数，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合函数的定义域和的单调性判断即可. 【详解】由题意可得，解得且，即定义域为，可排除D， 设，则， 所以当时，；当时，，即， 所以当时，，可排除A；当，，可排除A， 综上，C为正确选项. 故选：C 5. 离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P m 0.3 n 0.2 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分布列的性质得，再由期望的求法列方程求得，最后结合期望的性质、方差公式及概率的性质判断各项的正误. 【详解】由题设，则，A对； 由，则，联立， 所以，则，D错； ，B对； ，C对. 故选：D 6. 已知函数，方程解的个数有两个，则的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，求导得，令，解得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故在处取得最小值. 再分析函数极限处取值，当时，，，乘积趋近于，所以；当时，. 方程有两个解等价于直线与图象有两个交点，结合最小值及函数极限趋势，可得. 7. 某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（ ） A. 35 B. 36 C. 42 D. 50 【答案】D 【解析】 【分析】以舱的人数为分类依据，将 5 人分配到 A、B、C 三个舱中，分别计算各类分组与排列的方法数，最后求和得到总安排数. 【详解】有四类不同的安排情形： ①甲单独在舱，其余四人分成两组，一组1人，一组3人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ②甲单独在舱，其余四人平均分成两组每组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ③舱安排人，其余三人分成两组，一组人，一组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ④舱安排人，其余二人分成两组，安排在舱， 有种不同的安排方法； 综上，不同的安排方法共有种. 【点睛】本题是分类加法计数原理 + 分组分配问题，核心方法是按特殊元素或位置分类，结合均匀 或不均匀分组与排列计算. 8. 已知函数，若，则最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，解得，分和三种情况讨论，推出，得，构造函数，利用导数即可求解. 【详解】函数， 由，得， 当时，由，得或，由，得， 不满足； 当时，由，得或，由，得， 不满足； 当时，函数成立，符合条件， 因此，则， 令，求导得，由，得；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减，故. 所以最大值为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列不等式中，在上恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】举出反例可得A错误；BCD选项，构造函数，求导，得到函数单调性，结合最值可得结论. 【详解】A选项，当时，，A错误； B选项，令，，则且不恒为0， 故在上单调递减， 又当时，，故， 故在上恒成立，B正确； C选项，，，则， 当得，当得， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，所以， 所以，C正确； D选项，令，， 则，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， ，故， 所以，D正确. 10. 已知事件A，B，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合条件概率公式，由，再由得到，进而求解判断各个选项. 【详解】因为，所以，A选项正确； 由题意，，B选项正确； 因为，所以，所以，C选项正确； 又因为，所以， 所以，D选项错误； 故选：ABC. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的单调递增区间是， B. 的值域为 C. D. 若，，，则. 【答案】ABD 【解析】 【详解】由导函数在定义域上恒成立即可判断A；由函数单调性和函数值情况即可判断B；由即可分析判断C；将转化变形为得到即可分析判断D. 【分析】A选项，的定义域为，在定义域上恒成立， 故的单调递增区间是，，A正确； B选项，当时，，当时，； 当时，，当时，趋向于， 故的值域为，B正确； C选项，时，， 又，所以，C错误； D选项， ， 又，故，故， 因为，所以，又，在上单调递增， 故，即，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据导函数与斜率的关系求出切线方程，联立曲线和切线方程，根据方程只有一个解求解即可. 【详解】因为，所以， 所以当时，，即切线的斜率为2， 所以由点斜式得即， 联立整理得， 因为切线与曲线只有一个公共点， 所以方程只有一个根， 当时，方程为只有一个根，满足题意； 当时，，即，解得， 综上或， 故答案为: 或. 13. 某小微企业制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料，可获利0.4分，且能制作的瓶子的最大半径为6cm，当每瓶饮料的利润最大时，瓶子的半径为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】写出利润关于的函数，利用导函数求出利润最大时的的取值. 【详解】设每瓶饮料获得的利润为，依题意得，，，于是，递减；，递增，是极小值点，于是在，只可能使得最大. 故答案为： 14. 已知，若存在使得，则的最大值为__________． 【答案】49 【解析】 【分析】先写出和展开式的通项，然后求出，讨论为偶数和奇数时的正负，并列出不等式求出解集即可. 【详解】展开式的通项为. 展开式的通项为. 已知， 所以是的系数，由上述两个展开式可知. 当为偶数时，； 当为奇数时，. 若，则，即. 因为指数函数在上单调递增，所以， 解得，又因为是奇数，所以. 故答案为：49. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若P是曲线上一动点，求在P处的切线l的倾斜角的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：利用导数的意义求解即可；方法二：直接根据求导法则计算； （2）利用导数得，其值域就是切线斜率取值范围，计算即可． 【小问1详解】 方法一：由导数的定义及几何意义可得 ． 方法二：，则 所以在处的切线方程为，整理得 【小问2详解】 设，在P处的切线斜率为， 即，由斜率，， 且得，. 16. 某学校有A，B两家餐厅，经过统计分析发现：学生第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选择了A餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率为；前一天选择B餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率也是，如此往复.记同学甲第n天选择B餐厅的概率为. （1）求同学甲第二天选择B餐厅的概率； （2）证明：数列为等比数列，并求出. 【答案】（1） （2） 设“甲第n天选择B餐厅”，则，，， 当时，由全概率公式可得 则， 整理得 又因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 【解析】 【分析】（1）运用全概率公式计算即可 （2）设第n天选择B餐厅的概率，与通过全概率公式得到有关概率的递推公式，变成数列问题，配凑即可证明. 【小问1详解】 设“同学甲第i天选择B餐厅”， 根据题意可知：， ，. 由全概率公式可得 即同学甲第二天选择B餐厅的概率为. 【小问2详解】 略 17. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）在上为减函数，在上为增函数 （2）. 【解析】 【分析】（1）求导可得，可求单调区间； （2）分离变量，可得，令，求得的最大值即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， 当时，，所以， 当时，，在上为减函数， 当时，，在上为增函数， 综上所述：在上为减函数，在上为增函数； 【小问2详解】 若，不等式恒成立， 则对均成立，所以 令， 则， 令，显然为上的减函数， 又， 所以，，则在上为增函数， 当时，，则在上为减函数， 所以，所以，所以， 所以实数的取值范围为. 18. 一辆汽车上有个座位，编号从1到．现在编号为1到的乘客依次上车，编号为1的乘客比较顽皮，上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为2的乘客上了车后会先看看2号座位有没有人，如果有，那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果2号座位没有人，那么他就在2号座位坐下，编号为3及后面的乘客的选择座位方式与2号相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机等可能挑选座位坐下，如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上． （1）当时，求4号乘客坐在编号4号座位上的概率； （2）当时，设为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为的乘客坐在了编号为的座位上为坐在了自己的座位上），求随机变量的期望． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件和互斥事件概率公式进行求解即可； （2）根据独立事件和互斥事件概率公式，结合数学期望公式进行求解即可. 【小问1详解】 设1号乘客坐在号位上时，4号乘客坐在4号位的概率为， 则， ，， ，， 所以. 【小问2详解】 随机变量所有可能的取值为0，1，2，4； ， ， ， ， 所以. 19. 已知函数. （1）讨论的极值； （2）已知，函数有两个不同的零点和一个极值点，记，，，试判断与的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）时，无极值；时，的极大值为，无极小值； （2），理由： ，函数有两个不同的零点和一个极值点， 由（1）知在单调递增，在单调递减， 故为的极大值点，极大值， 令，. 则，故在单调递增，故， 又注意到，故为的一个零点， 此外，， 则，记，， 则，所以在上单调递减，所以， 即，故在单调递减，故，. 由零点存在性定理，知有零点，因为，所以， 则，，. 设，则，显然，， 所以， 为的高，由勾股定理得， 故. 【解析】 【分析】（1）求导，分和两种情况，得到函数单调性，确定函数的极值； （2）在（1）基础上，结合零点存在性定理得到零点的范围，得到与的大小关系. 【小问1详解】 由，得， 当时，对任意，， 所以在单调递减，无极值； 当时，令，得；令，得. 在单调递增，在单调递减， 函数在处取得极大值，极大值为，无极小值， 综上所述，时，无极值； 时，在处取得极大值，极大值为，无极小值； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 芜湖一中2025-2026学年第二学期期中教学质量检测 高二数学试卷 命题人：孙卫校对人：王慧 （本试卷共150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号； 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题； 3.请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效； 4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 定义在R上的函数，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 2. 展开式中，的系数为（ ） A. B. 32 C. D. 24 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P m 0.3 n 0.2 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，方程解的个数有两个，则的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 7. 某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（ ） A. 35 B. 36 C. 42 D. 50 8. 已知函数，若，则最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列不等式中，在上恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知事件A，B，且，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的单调递增区间是， B. 的值域为 C. D. 若，，，则. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则__________. 13. 某小微企业制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料，可获利0.4分，且能制作的瓶子的最大半径为6cm，当每瓶饮料的利润最大时，瓶子的半径为______cm． 14. 已知，若存在使得，则的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若P是曲线上一动点，求在P处的切线l的倾斜角的取值范围． 16. 某学校有A，B两家餐厅，经过统计分析发现：学生第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选择了A餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率为；前一天选择B餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率也是，如此往复.记同学甲第n天选择B餐厅的概率为. （1）求同学甲第二天选择B餐厅的概率； （2）证明：数列为等比数列，并求出. 17. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. 一辆汽车上有个座位，编号从1到．现在编号为1到的乘客依次上车，编号为1的乘客比较顽皮，上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为2的乘客上了车后会先看看2号座位有没有人，如果有，那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果2号座位没有人，那么他就在2号座位坐下，编号为3及后面的乘客的选择座位方式与2号相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机等可能挑选座位坐下，如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上． （1）当时，求4号乘客坐在编号4号座位上的概率； （2）当时，设为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为的乘客坐在了编号为的座位上为坐在了自己的座位上），求随机变量的期望． 19. 已知函数. （1）讨论的极值； （2）已知，函数有两个不同的零点和一个极值点，记，，，试判断与的大小关系，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $