精品解析：江苏徐州市泉山区2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

2025-2026学年度第二学期期中检测 八年级数学试题 （全卷共140分，考试时间90分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1. 下列四边形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 2. 下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 4. “随机掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”这一事件是（ ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 确定事件 5. 某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能是（ ） 次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.60 0.62 0.61 0.61 0.61 A. 抛掷图钉，顶尖不着地 B. 掷一枚一元的硬币，正面朝上 C. 不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球 D. 掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“6” 6. 如图，在中，的平分线交于点E，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 7. 如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，连接．若，则菱形的边长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有8小题，每小题4分，共32分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置） 9. 一只不透明的口袋中装有3只黄色乒乓球和5只白色乒乓球（除颜色外都相同），搅匀后从中任意摸出一只乒乓球，摸到 __（填写“黄”或“白”）色乒乓球的可能性大． 10. 因式分解：__________． 11. 如图在矩形中，对角线与交于点，，，则________． 12. 如图，在梯形中，，．若，则__________ 13. 根据如图所示的拼图过程，分解因式：__________． 14. 若，，则__________． 15. 若整式可以分解成一个多项式的平方，则常数的值为__________． 16. 如图，在矩形中，，，点是对角线上一动点，过点分别作的垂线，垂足分别为点，连接，则的最小值为___________ ． 三、解答题（本大题共有9小题，共84分） 17. 因式分解： （1）； （2）． 18. 在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共只，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近 ___________；（精确到 （2）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为 ___________； （3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？ 19. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那我们称这个正整数为和谐数，如，则96是和谐数； （1）请判断56是否是和谐数？如果是，请直接写出平方差为56的连续的两个奇数； （2）求证：任何一个和谐数一定能被8整除． 20. 如图，在中，、分别是，的中点，连接、．求证：四边形是平行四边形． 21. 如图，在中，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E． （1）求证：四边形为矩形； （2）当满足什么条件时，四边形为正方形？给出证明． 22. 如图，在正方形中，对角线，相交于点，平分，交于点． （1）求证： （2）若，求线段的长． 23. 如图1是一架舞台升降机，图2是其工作截面示意图，升降机的四根交叉撑长度相同（即），交叉撑，与工作台分别交于点，，点可以在工作台上滑动，点固定．交叉撑，与底座分别交于点，，点可以在底座上滑动，点固定．点是交叉撑和的中点，点是交叉撑和的中点．底座与工作台平行．当液压增加时，交叉撑形成的交叉角的角度变小，从而使升降机上升，反之会下降． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）当（交叉撑的宽度忽略不计），交叉角从180°减小到120°时，舞台升高了多少米？ 24. 按要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． （1）如图1，在正方形网格中，四边形的顶点，，，均在格点上．请仅用无刻度的直尺在上画出点，使得； （2）如图2，在菱形中，点是边的中点，请仅用无刻度的直尺，画出矩形，使得点、、分别在边、、上． 25. 【综合与实践】八年级的同学们在课程中开展活动，根据以下操作，完成相应的任务． 【研究素材】若干张全等的矩形纸片，其中，，现将纸片折叠，点，的对应点分别记为点，，折痕为（点、是折痕与矩形的边的交点）． 【探究1】 如图1，小明沿（点在上，点在上）折叠纸片，点落在矩形的边上，连接． 【任务1】 （1）①四边形形状是________； ②调整折痕的位置，当的面积最大时，_________； 【探究2】 如图2，小丽沿（点与点重合，点在上）折叠纸片，点落在上． 【任务2】 （2）求的长； 【探究3】 小亮沿（点与点重合，点在上）折叠纸片，射线与射线交于点． 【任务3】 （3）在折叠过程中，当时，__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中检测 八年级数学试题 （全卷共140分，考试时间90分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1. 下列四边形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 【详解】解：平行四边形，是中心对称图形，而不是轴对称图形，故A符合题意； 矩形，是中心对称图形，也是轴对称图形，故B不符合题意； 菱形，是中心对称图形，也是轴对称图形，故C不符合题意； 正方形，是中心对称图形，也是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 2. 下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，判断变形是否为将多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵选项A中，左边是单项式，不是多项式，不符合因式分解定义，故A不符合题意． ∵选项B中，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解定义，故B符合题意． ∵选项C中，变形是整式乘法，是将整式的积化为多项式，不属于因式分解，故C不符合题意． ∵选项D中，右边是和的形式，不是几个整式的积，不符合因式分解定义，故D不符合题意． 3. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式分解因式的特点是解本题的关键．根据平方差公式分解因式的特点逐项分析即可． 【详解】A. 是b与a的平方差的形式，故选项正确，符合题意； B. 不是平方差的形式，故选项错误，不符合题意； C. 是a、b的平方和的形式，不是平方差的形式，故选项错误，不符合题意； D. 不是平方差的形式，故选项错误，不符合题意； 故选：A． 4. “随机掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”这一事件是（ ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 确定事件 【答案】B 【解析】 【分析】根据不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件即可得出答案． 【详解】解：随机掷一枚质地均匀的硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上， ∴“随机掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上”这一事件是随机事件． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了必然事件、随机事件、不可能事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 5. 某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能是（ ） 次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.60 0.62 0.61 0.61 0.61 A. 抛掷图钉，顶尖不着地 B. 掷一枚一元的硬币，正面朝上 C. 不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球 D. 掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“6” 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查利用频率估算概率，根据表格数据，可知某一结果出现的概率为，分别求出各个选项中的概率进行判断即可． 【详解】解：根据表格数据，可知某一结果出现的概率为， A、抛掷图钉，顶尖不着地的概率约为，符合题意； B、掷一枚一元的硬币，正面朝上的概率为，不符合题意； C、不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球的概率为：，不符合题意； D、掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“6”的概率是，不符合题意； 故选A． 6. 如图，在中，的平分线交于点E，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质，由在中，的平分线交于点E，易证得是等腰三角形，继而求得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ． 故选：D． 7. 如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，连接．若，则菱形的边长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”可得，即可得解． 本题主要考查了菱形的性质和“直角三角形中斜边中线等于斜边一半”的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ∵E是的中点， ， ∴。 故选：A． 8. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作AD⊥轴于D，作CE⊥x轴于E，则∠ADO=∠BED=，得出∠1+∠2=，由正方形的性质得出AB=AO，∠2+∠3=90°，证出∠3=∠1，由AAS证明△BAE≌△AOD，BE=AD=4，AE=OD=3，即可得出结果． 【详解】解：作AD⊥轴于D，作BE⊥AD轴于E，如图所示： 则∠ADO=∠BED=， ∴∠1+∠2=， ∵点A的坐标为（3,4）， ∴OD=3，AD=4， ∵四边形OABC是正方形， ∴∠BAO=90°，AB=AO， ∴∠2+∠3=90°， ∴∠3=∠1， ∴△BAE≌△AOD（AAS）， ∴BE=AD=4，AE=OD=3， ∴点B的坐标为（-1，7）， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题4分，共32分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置） 9. 一只不透明的口袋中装有3只黄色乒乓球和5只白色乒乓球（除颜色外都相同），搅匀后从中任意摸出一只乒乓球，摸到 __（填写“黄”或“白”）色乒乓球的可能性大． 【答案】白 【解析】 【分析】用个体分别除以总数，算出可能性再进行比较． 【详解】解：∵袋中共8个乒乓球，3只黄色乒乓球和5只白色乒乓球， ∴摸到黄色乒乓球的可能性为 ，摸到白色乒乓球可能性为 ． ∵ ∴白色可能性大． 故答案为：白． 【点睛】本题考查了可能性的比较，掌握可能性的求法是解题关键． 10. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题关键． 使用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 如图在矩形中，对角线与交于点，，，则________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．先由矩形的性质得出，再证明是等边三角形，得出，然后求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：10． 12. 如图，在梯形中，，．若，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】先由两直线平行，同旁内角互补求出，再利用等腰梯形同一底上的角相等，得到． 【详解】解：，， ， ， 梯形是等腰梯形， ． 13. 根据如图所示的拼图过程，分解因式：__________． 【答案】()() 【解析】 【分析】利用拼图前后面积相等，将多项式因式分解为长方形的长乘宽． 【详解】解：据图可知，左边图形的面积为， 右边图形的面积为， 故． 14. 若，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先对所求多项式提取公因式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：， 将，代入得，原式． 15. 若整式可以分解成一个多项式的平方，则常数的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】可以写成或，展开后对比对应项系数即可求出常数的值． 【详解】解：或， 则， ， 故． 16. 如图，在矩形中，，，点是对角线上一动点，过点分别作的垂线，垂足分别为点，连接，则的最小值为___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由矩形的性质可得四边形是矩形， 即得，可知要求的最小值，就是要求的最小值，当时，取最小值，由勾股定理得，再根据三角形的面积求出即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当有最小值时，取最小值， 当时，取最小值， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 三、解答题（本大题共有9小题，共84分） 17. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用平方差公式分解； （2）先提公因式，再用完全平方公式分解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共只，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近 ___________；（精确到 （2）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为 ___________； （3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？ 【答案】（1） （2） （3）盒子里黑、白两种颜色的球各有只 【解析】 【分析】本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率． （1）计算出其平均值即可； （2）概率接近于（1）得到的频率； （3）白球个数球的总数得到的白球的概率，让球的总数减去白球的个数即为黑球的个数，问题得解． 【小问1详解】 解：摸到白球的频率为， 当很大时，摸到白球的频率将会接近， 故答案为：； 【小问2详解】 摸到白球的频率为， 假如你摸一次，你摸到白球的概率（白球）， 故答案为：； 【小问3详解】 盒子里黑、白两种颜色的球各有，． 故盒子里黑、白两种颜色的球各有只． 19. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那我们称这个正整数为和谐数，如，则96是和谐数； （1）请判断56是否是和谐数？如果是，请直接写出平方差为56的连续的两个奇数； （2）求证：任何一个和谐数一定能被8整除． 【答案】（1）56是和谐数，两个连续奇数是13和15 （2） 证明：设任意两个连续奇数分别为和（为正整数），对应的和谐数为， ∵ ∴ ∵为正整数，即是8的倍数， ∴任何一个和谐数一定能被8整除． 【解析】 【分析】解决本道题的关键是利用平方差公式将 “两个连续奇数的平方差” 转化为含参数的代数式，再进行计算或证明； （1）利用平方差公式设出两个连续奇数，列方程求解，判断 56 是否能表示为两个连续奇数的平方差； （2）设两个连续奇数为含整数参数的代数式，利用平方差公式展开并化简，证明结果是 8 的倍数． 【小问1详解】 解：设任意两个连续奇数分别为和（为正整数）， ， 56是和谐数，两个连续奇数是13和15； 【小问2详解】 略． 20. 如图，在中，、分别是，的中点，连接、．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ，， 、分别是，的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合中点定义，证明四边形的一组对边平行且相等，从而判定它是平行四边形． 【详解】略 21. 如图，在中，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E． （1）求证：四边形为矩形； （2）当满足什么条件时，四边形为正方形？给出证明． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵是外角的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； （2） 解：当时，四边形为正方形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∴ ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的意义，矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质和角平分线的意义，垂直的意义，可得，进而证明即可； （2）利用等腰三角形的性质可得，进而证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，在正方形中，对角线，相交于点，平分，交于点． （1）求证： （2）若，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵在正方形中，对角线，相交于点， ∴， ∵平分， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质以及角平分线的定义得出，根据三角形的外角的性质可得，得出，根据等角对等边，即可得证； （2）根据正方形的性质可得，，结合（1）的结论，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵在正方形中，对角线，相交于点，， ∴，， ∵， ∴． 23. 如图1是一架舞台升降机，图2是其工作截面示意图，升降机的四根交叉撑长度相同（即），交叉撑，与工作台分别交于点，，点可以在工作台上滑动，点固定．交叉撑，与底座分别交于点，，点可以在底座上滑动，点固定．点是交叉撑和的中点，点是交叉撑和的中点．底座与工作台平行．当液压增加时，交叉撑形成的交叉角的角度变小，从而使升降机上升，反之会下降． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）当（交叉撑的宽度忽略不计），交叉角从180°减小到120°时，舞台升高了多少米？ 【答案】（1） 四边形是菱形．理由如下： ∵点C是和的中点，点A是和的中点， ∴，，，． ∵， ∴． ∴四边形是菱形． （2）交叉角从180°减小到120°时，舞台升高了米 【解析】 【分析】（1）根据已知条件证明，可得四边形是菱形． （2）根据含30度角的直角三角形的性质得出，同理可得，证明是等边三角形，得出，即可求解． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点， 点A是和的中点，， ∴． ∵， ∴． 当时， ∴， ∴， 同理可得 ∵，四边形是菱形． ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴交叉角从180°减小到120°时，舞台升高了米 24. 按要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． （1）如图1，在正方形网格中，四边形的顶点，，，均在格点上．请仅用无刻度的直尺在上画出点，使得； （2）如图2，在菱形中，点是边的中点，请仅用无刻度的直尺，画出矩形，使得点、、分别在边、、上． 【答案】（1） 如图所示， （2） 如图，四边形即为所求 【解析】 【分析】（1）取的垂直平分线与的交点，即可求解； （2）连接，交于点，连接，延长交于点，连接交于点，连接并延长交于点，则是的中点，连接并延长交于点，连接，，，，四边形即为所求． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∴ ∵， ∴四边形是菱形， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：略． 25. 【综合与实践】八年级的同学们在课程中开展活动，根据以下操作，完成相应的任务． 【研究素材】若干张全等的矩形纸片，其中，，现将纸片折叠，点，的对应点分别记为点，，折痕为（点、是折痕与矩形的边的交点）． 【探究1】 如图1，小明沿（点在上，点在上）折叠纸片，点落在矩形的边上，连接． 【任务1】 （1）①四边形形状是________； ②调整折痕的位置，当的面积最大时，_________； 【探究2】 如图2，小丽沿（点与点重合，点在上）折叠纸片，点落在上． 【任务2】 （2）求的长； 【探究3】 小亮沿（点与点重合，点在上）折叠纸片，射线与射线交于点． 【任务3】 （3）在折叠过程中，当时，__________． 【答案】（1）①菱形；② （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）①由折叠的性质可得到，，，再由矩形的性质证出，即可得到四边形是菱形； ②分析出当点与重合时，最大，再利用勾股定理列式运算即可； （2）利用勾股定理求出的长，设，则，利用折叠的性质和勾股定理列式运算即可； （3）分类讨论的位置，当点在点右边时，连接，证出，得到，设，则，，利用勾股定理列式运算即可；当点在点左边时，连接，证出，得到，设，则，，利用勾股定理列式运算即可； 【小问1详解】 解：①∵折叠， ∴，，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②∵， ∴当最大时，菱形的面积最大， ∴当点与重合时，最大，如图所示： ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴在中，， ∴， 解得：； 【小问2详解】 ∵四边形为矩形， ∴ ， 解：在中，， 设，则， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴在中，， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：如图1，当点在点右边时，连接， ∵， ∴在和中， ， ， ∴ ， 设，则， ， ∴， ， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴ ， 解得：； ②如图2，当点在点左边时，连接， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴ ，，， ∴ ∴ 设，则，，， 则 ， ， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 综上所述，线段的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $