第19章 二次根式单元复习（8大知识点总结+10大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年人教版数学八年级下册易错题重难点培优讲义

第19章 二次根式 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.二次根式的定义（，） 1.判断代数式是否为二次根式； 2.结合整式、分式判断复合型式子的二次根式属性； 3.根据定义确定字母初步取值范围 1.忽略“根指数为2”的隐含条件； 2.误将“被开方数部分非负”当作“整体非负”； 3.混淆“二次根式”与“根式”（如三次根式）概念 2.二次根式有意义的条件（） 1.单个二次根式中字母的取值范围； 2.多个二次根式+分式组合式中字母的取值范围； 3.被开方数为多项式时的取值范围求解 1.仅关注被开方数非负，忽略分式分母不为0； 2.解多项式不等式时漏判符号； 3.忽略偶次幂、绝对值等隐含非负条件 3.二次根式的非负性（，） 1.利用非负性判断代数式取值范围； 2.结合绝对值、平方和为0求值； 3.简单最值问题 1.仅关注被开方数非负，忽略本身非负； 2.多个非负数和为0时漏看某一非负形式； 3.错误判断二次根式的增减性导致最值求解错误 4.二次根式的性质（；，） 1.具体数值的性质化简（如）； 2.含字母的二次根式化简（需判断符号）； 3.逆用性质将非负数化为平方形式 1.混淆两个性质的适用条件（如对用）； 2.化简时未先判断的符号； 3.逆用性质时漏加二次根号 5.二次根式的乘除运算（，，；，，） 1.直接乘除运算； 2.含系数的二次根式乘除（系数先算，根式后算）； 3.乘除混合运算（从左到右，先化最简） 1.忽略运算适用条件（如时用除法法则）； 2.系数与根式混合运算时顺序错误； 3.结果未化为最简二次根式 6.二次根式的加减与混合运算 1.同类二次根式的识别与合并； 2.混合运算（先乘方开方，再乘除，后加减）； 3.结合乘法公式（平方差、完全平方）运算 1.未化简就合并“同类二次根式”； 2.混合运算中运算顺序错误； 3.乘法公式应用时漏乘或符号错误 7.最简二次根式 1.判断二次根式是否为最简形式； 2.将普通二次根式化为最简二次根式； 3.结合同类二次根式求参数值 1.被开方数含分母未化简； 2.被开方数含能开尽方的因式未提取； 3.分母含根号未有理化 8.二次根式的实际应用 1.几何图形（边长、面积、周长）计算； 2.物理情境（自由落体、速度公式）应用； 3.实际生活（测量、用料）问题求解 1.单位换算错误； 2.代入公式时数据对应错误； 3.结果未按要求取近似值 【易错题型】 【题型1】二次根式有意义的条件——条件判断不全（含复合型、多项式） 1.易错点总结 忽略复合型式子的叠加条件（如二次根式+分式，需同时满足“被开方数非负”和“分母不为0”）； 被开方数为多项式时，未整体判断非负性（如，误判为，忽略）； 漏看隐含非负条件（如，误认为，实际为任意实数）。 2.纠错技巧 列“条件不等式组”：先找出所有限制条件（非负、分母不为0等），再联立求解； 多项式非负性判断：先因式分解（如），再根据符号法则确定取值范围； 牢记“平方、绝对值、二次根式”均为非负形式，其组合式的限制条件需全面覆盖。 【例题1】.（25-26八年级上·云南曲靖·期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件． 根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且 即且， 解得：且， ∴． 故答案为：． 【变式题1-1】.（25-26九年级上·山东威海·月考）使式子有意义的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件等知识点，掌握分式的分母不能为零以及二次根式的被开方数的非负性是解题的关键． 根据分式和二次根式有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：由题意可得：，解得：． 故选B． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·江苏扬州·月考）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，完全平方公式等知识，根据有意义，求出，然后根据完全平方公式和二次根式的性质等化简即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∴原式 ， ， 故答案为：． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·湖南株洲·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，化简二次根式，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数非负． 根据二次根式有意义的条件是被开方数非负得到不等式组，求出值，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型2】二次根式性质化简——性质适用混淆与符号判断缺失 1.易错点总结 混淆与的适用条件（如对，误算，）； 化简含字母的时，未先判断字母符号（如，直接化简为，忽略时为）； 逆用性质时漏加二次根号（如将化为平方形式，误写为，但实际应用时漏写根号）。 2.纠错技巧 画“条件思维导图”：先判断的取值范围，再选择对应性质（用；任意用）； 含字母化简三步法：①判断字母符号；②化为绝对值形式；③去绝对值（正不变，负变号）； 逆用性质口诀：“非负数变平方，根号里面把它装”（如，）。 【例题2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A．2026 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，积的乘方，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质即可求解． 【详解】解：∵ = × ， ∴ 结果为． 故选：A． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）化简： ． 【答案】0 【分析】本题考查绝对值、二次根式的性质/完全平方公式，解题的关键是根据的取值范围判断绝对值内代数式的正负性． 根据二次根式的定义，被开方数必须非负，因此 ，即 ，此时化简各部分即可． 【详解】解：由题意，，即 ； ；； 当 时，； 故原式 ． 故答案为：． 【变式题2-2】.（2025八年级上·北京·专题练习）化简． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的性质，先将被开方数因式分解，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）若，，则的值为 ． 【答案】8或2 【分析】根据二次根式的性质分别求出和的可能值，再计算． 【详解】解：根据二次根式的性质： 由，得； 由，得， ∴或． 分情况计算： 当时，； 当时，． 综上，的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次根式的性质、，解题关键是注意化简后是，需考虑的正负两种情况． 【基础题型】 【题型3】二次根式的识别与最简判断 1.考点总结 核心考查二次根式的定义双重条件（含二次根号+被开方数非负）； 最简二次根式的两个标准（被开方数不含分母、不含能开尽方的因式）； 区分“二次根式”与“同类二次根式”“最简二次根式”的概念边界。 2.解题技巧 识别口诀：“根号下非负，根指数是2，满足这两点，就是二次式”； 最简判断三步法：①看分母（含根号则非最简）； ②看因式（能开方则非最简）； ③看系数（整数且无公因数则达标） 【例题3】.（24-25八年级下·云南红河·期末）下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，熟练掌握二次根式的定义是解此题的关键． 根据二次根式的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】二次根式需满足根指数为且被开方数， 对于：，根指数为，不是二次根式； 对于：，被开方数，无意义，不是二次根式； 对于：，，，恒成立，是二次根式； 对于：，当时，，被开方数不能保证为非负数，不属于二次根式的式子； 故选． 【变式题3-1】.（24-25八年级下·辽宁大连·月考）下列二次根式中，是最简二次根式的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·陕西西安·月考）下列各式中，不一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式． 根据二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】A． 当时，即是二次根式； B． ，，即是二次根式； C． ，即是二次根式； D． 当时，即不一定是二次根式； 故选：D． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·上海金山·月考）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式， 最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，逐一分析各选项解答即可． 【详解】解：∵ A：被开方数含分母，不是最简； B:，可开方，不是最简； C:，被开方数含平方因数，不是最简； D:被开方数无分母且无平方因数，是最简． 故选：D． 【题型4】二次根式的乘除与加减混合运算 1.考点总结 乘除运算：法则应用（，）； 加减运算：同类二次根式的合并（先化简，再合并系数）； 运算结果的最简要求（必须化为最简二次根式或整式）。 2.解题技巧 乘除运算步骤：①系数相乘除；②根式相乘除；③化简结果； 加减运算步骤：①分别化简每个根式；②识别同类二次根式（被开方数相同）；③合并系数； 混合运算：遵循“先乘方，再乘除，后加减”，能用法则（平方差、完全平方）简化的优先用。 【例题4】.（25-26八年级上·福建福州·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质．先运用二次根式的性质化简，再运算乘除，最后运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·河南郑州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式： （1）先将二次根式化为最简二次根式，再计算； （2）用完全平方公式展开再计算加减． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·陕西汉中·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查实数的混合运算及二次根式混合运算，熟练掌握二次根式化简，绝对值，零次幂，平方差公式的计算是解题的关键， （1）化简二次根式，进行绝对值，零次幂运算即可得到答案； （2）进行二次根式除法及平方差公式计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·上海杨浦·月考）（1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，二次根式的混合运算，熟知二次根式的相关运算法则是解题的关键． （1）先利用平方差公式去括号和化简二次根式，再计算加减法即可； （2）先化简二次根式，再计算加减法即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【提升题型】 【题型5】几何图形中的二次根式应用 1.考点总结 结合矩形、正方形、三角形等图形的边长、面积、周长公式； 利用二次根式的运算求解几何量（如已知面积求边长，已知边长求周长）； 体现“数形结合”素养，融入实际测量情境。 2.解题技巧 步骤：①根据图形性质列关系式（如正方形面积，则）；②代入数据（含二次根式）；③运算并化简结果； 关键：统一单位（如与换算），结果按需取近似值 【例题5】.（25-26八年级上·山东青岛·月考）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为18，则小正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，化为最简二次根式，由题意可知：中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长． 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为， ∵每一个直角三角形的面积为：， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式题5-1】.（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，长方形中有两个正方形和，正方形的面积是，正方形的面积是． (1)求长方形的周长； (2)求长方形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了算术平方根的应用， （1）首先求出，，得到，进而求解即可； （2）首先求出，然后根据长方形面积公式求解即可． 【详解】（1）∵正方形的面积是，正方形的面积是 ∴， ∴ ∴长方形的周长； （2）∵ ∴ ∴长方形的面积． 【变式题5-2】.（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫作奇异三角形．例如，某三角形的三边长分别是2，和，因为，所以这个三角形是奇异三角形． (1)若的三边长分别是3，5和，判断此三角形是不是奇异三角形，说明理由． (2)若是奇异三角形，且其中有两条边长分别为3、4，求出第三条边长． 【答案】(1)此三角形是奇异三角形，理由见解析； (2)或或 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）可证明，据此可得结论； （2）设第三边为x，分边长为4的边是最长边和边长为x的边是最长边两种情况，根据奇异三角形的定义建立方程求解即可． 【详解】（1）解：此三角形是奇异三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴此三角形是奇异三角形； （2）解：设第三边为x， 当边长为4的边是最长边时， ∵是奇异三角形， ∴或， 解得或（舍去）；或（舍去）； 当边长为x的边是最长边时， ∵是奇异三角形， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，第三边的长为或或． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·广东深圳·期中）已知长方形的长，宽． (1)求长方形的周长； (2)求与长方形等面积的正方形的边长，并比较正方形的周长与长方形周长的大小关系． 【答案】(1) (2)；长方形周长大 【分析】本题考查了二次根式的应用，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键． （1）根据长方形的周长列式，根据二次根式的运算法则计算即可； （2）先求长方形的面积，可求得与长方形等面积的正方形的面积，即得该正方形的边长，再计算该正方形的周长，即可得到答案． 【详解】（1）解：当，时， 长方形的周长为； （2）解：长方形的面积为， 与长方形等面积的正方形的面积为12， 与长方形等面积的正方形的边长为， 与长方形等面积的正方形的周长为， ， 长方形周长大． 【题型6】二次根式分母有理化——单一与复合分母化简 1.考点总结 核心考查分母有理化的定义（化去分母中根号的运算）； 常见类型：单一根号分母（如）、复合根号分母（如）； 要求化简结果为最简二次根式或有理数。 2.解题技巧 步骤：①识别分母类型，确定有理化因式（的因式为，的因式为）；②分子分母同乘有理化因式；③约分并化简至最简形式； 关键：避免漏乘分子，运算后需检查是否为最简形式。 【例题6】.（24-25八年级下·辽宁大连·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的减法运算，分母有理化，先化简二次根式，再相减即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·全国·期末）已知，，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化， 先对x和y进行分母有理化，得到 ，然后分别计算和的值，最后求和即可． 【详解】解： ； ， ， ， ， ． 故答案为：15． 【变式题6-2】.（24-25九年级下·湖北襄阳·自主招生）已知数，，则与的大小关系为 ．（请用“或”号作答） 【答案】 【分析】本题考查的知识点是分子有理化、平方差公式、实数的大小比较，解题关键是通过有理化比较实数大小．通过有理化将和转化为分式形式，比较分母大小即可判断和的大小关系． 【详解】解：， ， 又，， ， ， 则， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是分子有理化、平方差公式、实数的大小比较，解题关键是通过有理化比较实数大小． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·辽宁辽阳·期末）阅读材料，解决问题． 材料1：我们规定：如果两个含有二次根式的因式的积中不含根号，那么就称这两个因式互为有理化因式．如，我们称与互为有理化因式． 材料2∶利用分式的基本性质和二次根式的运算性质，可以对进行如下的化简：，从而把分母中的根号化去，我们把这样的化简称为“分母有理化”． 问题： (1)与是否互为有理化因式？请说明理由； (2)分母有理化：； (3)化简：． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)； (3)． 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理化的方法． （1）求出两个式子的积即可得到答案； （2）根据阅读材料分母有理化即可； （3）分母有理化，再合并即可． 【详解】（1）解：与互为有理化因式，理由如下： 因为乘积的结果中不含根号，所以它们互为有理化因式． （2）解：； （3）解： 【培优题型】 【题型7】二次根式的新定义运算 1.考点总结 理解新定义规则； 结合二次根式的性质、运算化简求解； 考查“阅读理解”和“知识迁移”素养。 2.解题技巧 步骤：①拆解新定义（明确运算逻辑，如）；②代入二次根式表达式；③按规则运算并化简； 关键：紧扣定义，不擅自改变运算顺序，结果需符合最简要求 【例题7】.（24-25九年级上·湖南·月考）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于6的共轭二次根式，求a的值； (2)若与是关于2的共轭二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了新定义：共轭二次根式的理解和应用，掌握二次根式的混合运算法则是解题关键． （1）由题意得：，即可求解； （2）由题意得：，化简即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴； （2）解：由题意得：， ∴， ∴； 【变式题7-1】.（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若定义一种新运算：，则的值为 ． 【答案】6 【分析】考查新定义运算、完全平方公式与平方差公式．解题关键是根据新运算规则，将a、b代入公式，结合乘法公式简化计算；易错点是展开完全平方时遗漏中间项，或计算平方差时符号出错． 首先设，，根据新运算，分别计算、、；其次用完全平方公式算、，用平方差公式算；最后代入新运算公式，计算得结果． 【详解】设 ，，则 ， ， ． 代入得 ． 故答案为：6． 【变式题7-2】.（24-25八年级下·吉林松原·月考）定义两种新运算，规定：，，其中a，b为实数且． (1)求的值； (2)化简． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查新定义运算和二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可； （2）根据新定义列式，合并同类二次根式解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·江苏泰州·月考）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：， (其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数)，则称无理数T的“麓外区间”为， 如 所以 的麓外区间为． (1)无理数 的“麓外区间”是 ； (2)若 则b的“麓外区间”是 ； (3)若无理数 (a为正整数)的“麓外区间”为 的“麓外区间”为，求 的值； (4)实数x，y，n满足 求n的算术平方根的“麓外区间”． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】本题主要考查无理数的估算、二次根式有意义的条件、算术平方根的非负性以及立方根的计算． （1）通过找出与19相邻的两个完全平方数，进而确定的取值范围，从而得到其“麓外区间”； （2）先根据二次根式有意义的条件求出的值，进而求出的值，再确定的“麓外区间”； （3）根据无理数的“麓外区间”定义，分别列出关于的不等式，求出的取值范围，进而确定的值最后计算． （4）先根据二次根式有意义的条件求出的值，再根据等式求出的值，最后确定的算术平方根的“麓外区间”． 【详解】（1）解：， ， 的“麓外区间”是； （2）解：要使有意义， ， 解得：， 将代入， 得：， ， ， ， b的“麓外区间”是． （3）解：的“麓外区间”为， ， ， ， 的“麓外区间”为， ， 即， ， 又a为正整数， 或， 当时，， 当时，， 的值为或． （4）解：和有意义， 且， 且， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的算术平方根为， ， ， ， 的“麓外区间”是． 【题型8】二次根式的规律探究 1.考点总结 观察二次根式的排列规律（如系数、被开方数的变化）； 归纳通项公式或递推关系； 考查“观察分析”“归纳推理”素养，融入探究式命题思路。 2.解题技巧 步骤：①列出前3-4项，标注系数、被开方数的变化；②找规律（如系数递增、被开方数为等差数列）；③验证规律并应用（如化简、求值）； 关键：关注“不变量”与“变量”，结合二次根式性质化简规律表达式 【例题8】.（24-25八年级下·安徽淮北·月考）【观察思考】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； …… 【规律发现】 （1）①直接写出第4个等式： ； ②如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律： ． 【规律证明】 （2）证明②中的运算规律． 【规律应用】 （3）根据上述规律，化简：． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）①根据已知的三个等式中的各数字与序号数的关系写出第个等式即可； ②利用前面规律写出第个等式， （2）根据二次根式的性质证明即可； （3）根据（2）中的等式的规律，结合二次根式的乘法法则计算即可得出答案． 【详解】解：（1）① 故答案为：． ② 故答案为：． （2）证明：等式左边 又， 右边， 等式成立 （3）原式 【变式题8-1】.（24-25八年级下·安徽淮北·期末）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律．第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，…，按照上述规律，第4个等式：_____________； (2)观察、归纳，得出猜想．如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为____________； (3)应用运算规律：计算：的值． 【答案】(1) (2) (3)22 【分析】本题考查了二次根式的规律探索，二次根式的加减运算，分母有理化等知识，得到规律是解题的关键． （1）根据前面3个等式的规律，可写出第4个等式； （2）根据规律即可得出第n个等式； （3）根据规律，利用二次根式的加减计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：由前面规律得：； 故答案为：； （3）解： ． 【变式题8-2】.（24-25八年级下·四川自贡·期中）探索下列等式规律，并解决下列问题： 【规律发现】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 【规律探索】 （1）第5个等式：_______； （2）如果n为正整数，用含n的式子表示上述第n个等式为_______； 【规律应用】 （3）计算： 【答案】（1） （2） （3）44 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据所给的式子的形式进行求解即可； （2）分析所给的式子的形式即可得出规律； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意可得：第5个等式： （2）由（1）归纳可得：； （3） ． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·全国·周测）阅读下列解题过程： ； ； ； … (1)__________，__________． (2)利用这一规律计算：． (3)观察上面的解题过程，计算：（为正整数）． 【答案】(1)   (2) (3) 【分析】（1）通过观察已知例子，总结被开方数的规律，再利用二次根式的性质化简； （2）先根据规律将每个根式转化为分数形式，再通过约分计算乘积； （3）先对被开方数通分，再结合完全平方公式和二次根式性质化简． 【详解】（1）解：对于： ∵， ∴． 对于： ∵， ∴． （2）解： ． （3）解：对被开方数通分并化简： ∵为正整数 ∴，即． 【点睛】本题考查了二次根式的化简与规律探究，解题关键是通过观察例子总结出根式的化简规律，再利用分式约分、完全平方公式等知识进行计算． 【题型9】复合二次根式的化简 1.考点总结 化简形如的复合二次根式（、为有理数）； 利用完全平方公式逆向变形（，，）； 考查“公式逆用”和“代数变形”素养。 2.解题技巧 步骤：①将拆分为两个正数的乘积（）；②验证；③变形为完全平方形式化简（如）； 关键：拆分时，确保、为完全平方数的因数，且和为； 注意：结果需为最简二次根式，且被开方数非负。 【例题9】.（25-26八年级上·江苏扬州·月考）阅读并回答问题:为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式。 (1)______； (2)_______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，利用二次根式的性质化简，分母有理化等知识点． （1）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （2）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （3）先将被开方数化为完全平方数，然后利用二次根式的性质化简，再分母有理化计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·广西桂林·期末）阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 （1）填空： ① ② （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 【答案】（1）①；；②；；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式． （1）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （2）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为，根据题意得：，，即可得x、y的值，再根据剩余部分的面积为，代值计算即可． 【详解】解：（1）①； ②； 故答案为：①；；②；； （2）； （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为， 根据题意得：，， ∴，， 剩余部分的面积为：． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·湖南怀化·期中）观察下列等式： 根据上述材料，解决下列问题： (1)化简：= (2)猜想： （，且为整数），并验证你的猜想． (3)计算： 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了化简复合二次根式，分母有理化，二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干解题过程，得，即可作答． （2）模仿题干解题过程，得，即可作答． （3）先根据复合二次根式的性质化简，再进行分母有理化，最后运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·湖南怀化·期末）阅读材料：数学中有一种根号内又带根号的数，它们能根据完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．如：化简： 解：因为且，所以，所以． (1)仿照上述方法化简：①；②． (2)比较与的大小． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简与大小比较，核心是利用完全平方公式将根号内的式子配成完全平方式，再结合二次根式的性质进行化简，同时运用分母有理化来比较大小． （1）先观察根号内的代数式，将其拆分为两个数的平方和与这两个数乘积的倍的形式，凑成完全平方式，再根据二次根式的性质去掉外层根号完成化简； （2）先对两个分式的分母进行化简，同样通过配方法将分母根号内的式子配成完全平方式，再进行分母有理化，最后根据化简后的结果比较两个数的大小． 【详解】（1）解：① ． ② ； （2）解： ． 【题型10】二次根式的最值问题 1.考点总结 利用二次根式的非负性求最值（如的最小值）； 结合不等式（如，，）求最值； 融入实际情境（如用料最省、距离最短），考查“建模求解”素养。 2.解题技巧 非负性最值：，当且仅当时取最小值0（如的最小值为2）； 不等式最值：先确认、非负，再利用“和定积最大，积定和最小”（如时，，最小值为4）； 实际问题：先列二次根式表达式，再根据非负性或不等式确定最值，验证实际意义。 【例题10】.（24-25八年级下·北京·期中）阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，学习了分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”；与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如： 比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下： ，， 因为，． 再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而， 当时，分母有最小值，所以的最大值是． 解决下述问题： (1)________； (2)比较和的大小； (3)求的最大值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去．也考查了平方差公式． （1）利用分母有理化得到，即可解答； （2）将变形为，变形为，利用即看判断； （3）根据二次根式有意义的条件得到由，则，利用分母有理化得到，由于时，有最小值3，从而得到y的最大值． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ∵， ∴； ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴时，有最小值， ∴的最大值为． 【变式题10-1】.（24-25八年级下·重庆·月考）阅读下面材料：聪明的小张在学习完完全平方公式后发现，当，时，，∵，∴，∴，当且仅当时，取最小值． 例如：当时，，当且仅当，即时，取最小值2． 请利用上述结论解决以下问题： (1)若，当________时，式子有最小值为________；若，求当取何值时．式子有最大值，最大值为多少？ (2)若，当取何值时，有最小值，请求出这个最小值； (3)如图，四边形的对角线，相交于点，若，，当的面积为5时，求四边形面积的最小值，并直接写出此时四边形的形状． 【答案】(1)，；，有最大值，最大值为； (2)时，有最小值，最小值为； (3)四边形面积的最小值为，四边形为等腰梯形． 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，二次根式的性质，等高三角形的面积问题，正确理解已知结论，并灵活运用是解题关键． （1）直接根据公式计算即可； （2）将原式变形为，再利用计算即可； （3）先求出，设，根据等高三角形的性质得到，则四边形的面积，可求出四边形面积最小值为，证明，即可得出四边形为等腰梯形． 【详解】（1）解：当时，， ∴当，即时，有最小值，最小值为， 当时，， ∵， ∴， ∴当，即，有最大值，最大值为， 故答案为：，； （2）解：， ∵， ∴， ∴， 当，即时，有最小值，最小值为； （3）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 设， ∵与，与同高，且与，与同底， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积， ∴当，即时，四边形面积有最小值，最小值为， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为等腰梯形． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时， 当且仅当，即时，取得最小值，最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： 若，则当 时，有最小值，最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算和平方的非负性，将给定分式化简为，仿照材料中的例子，利用配方法求的最小值，进而得到整个表达式的最小值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 当且仅当，即时最小值，最小值为， 则， 那么，， 故当时，原式取得最小值． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·江苏扬州·月考）阅读材料：用配方法求最值． 已知，为非负实数， ∵ ∴，当且仅当“”时，等号成立． 例：已知，求函数的最小值． 解∶令，则有， 得 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上信息回答下列问题． (1)已知，则函数取到最小值，最小值为______，已知，则的最小值是______； (2)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (3)如图，四边形的对角线，交于点O，，，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1)6，4 (2) (3)100 【分析】本题主要考查二次根式的计算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示得到，设，由此即可求解； （2）根据题意得到，则，此时有最大值，最大值为：，由此即可求解； （3）设，则，结合题意得到，所以此时，，由此即可求解． 【详解】（1）解：函数， 令， ∴， ∴当且仅当，即时，取得最小值，最小值为6， 设， 当且仅当，即时，的最小值是4， 故答案为：6，． （2）解：∵， 又∵， 当且仅当时，有最小值， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴此时有最大值，最大值为：； ∴当时，函数取到最大值，最大值为． （3）解：设，则， ∵， ∴， ∴； 当且仅当时，； 此时，， 故． 同步练习 一、单选题 1．若在实数范围内有意义，则实数的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根有意义的条件，即被开方数大于等于零．根据平方根在实数范围内有意义的条件，被开方数必须非负，得出，然后解不等式即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得， 观察各选项，只有选项A符合题意， 故选：A． 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，可化简，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，可化简，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查指数运算、平方根运算和乘法公式． 选项A使用幂的乘方法则；选项B错误因为平方根的和不等于和的平方根；选项C错误因为完全平方公式展开后应有中间项；选项D错误因为立方运算中系数计算错误． 【详解】解：∵ 对于选项A，根据幂的乘方法则，， ∴ ，故A正确； 对于选项B，，， ∴ ，但 ，故B错误； 对于选项C，根据完全平方公式，，故C错误； 对于选项D，，故D错误． 故选：A． 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的性质与二次根式的运算，解题的关键是掌握分式的基本性质、分式加减法法则，二次根式的乘法法则及混合运算．对于分式的运算，要根据分式的基本性质和运算法则进行判断；对于二次根式的运算，要根据二次根式的乘法法则和混合运算法则进行计算． 【详解】解：A选项：中，根据分式的基本性质，分式的分子与分母同时减去，不符合分式的基本性质，所以，故A选项不合题意； B选项：先将进行变形，因为，所以，故B选项不合题意； C选项：，，故C选项不合题意； D选项：，故D选项符合题意； 故选：D． 5．如图，数轴上，，，四个点所表示的数中，与最接近的数对应的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是无理数的估算，实数和数轴，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键． 先进行化简，再进行估算即可． 【详解】解：∵ 又∵ ∴ ∴ ∴数轴上最接近的是A． 故选：A． 二、填空题 6．最简根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查同类二次根式，同类二次根式要求被开方数相同，据此列方程求解，并验证被开方数的非负性． 【详解】解：∵最简根式与是同类二次根式， ∴， 解得 或 检验：当 时，，；当 时，，不符合二次根式定义， 故 ． 故答案为：10． 7．的倒数是 ；的相反数是 ，绝对值是 ． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了分母有理化，求一个数的相反数，倒数和绝对值，乘积为1的两个数互为倒数，只有符号不同的两个数互为相反数，负数的绝对值是它的相反数，据此逐一求解即可． 【详解】解：的倒数为． 的相反数为． ∵， ∴的绝对值为， 故答案为：；；． 8．一个数值转换器的原理如图所示当输入的的值为64，则输出的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数计算，计算出64的算术平方根，若结果为无理数，则输出，若结果为有理数，则把结果作为新数输入，继续求算术平方根，直至结果为无理数作为输出的结果，据此求解即可． 【详解】解：64的算术平方根是8，8是有理数， 8的算术平方根是， ∵是无理数， ∴输出的数是． 故答案为：． 9．若整数满足，则能使为整数的的值是 ． 【答案】或3 【分析】根据绝对值不等式确定整数的取值范围，再根据算术平方根为整数的条件，逐一验证可能的值． 本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算方法是解题的关键． 【详解】解：由整数满足 得可取． 计算 ： 当 时，，不是整数； 当 时，，是整数； 当 时，，不是整数； 当 时，，不是整数； 当 时，，不是整数； 当 时，，不是整数； 当 时，，是整数． ∴能使 为整数的 的值是和 ； 故答案为：或． 10．对一切实数k，有成立，求k的最大值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，求不等式组的解集，先根据二次根式有意义的条件求出，设，则，得到，即，即可解答． 【详解】解：由题意得 且 ， 解得且， ∴， 设， 则， ∵， ∴，即， ∴的最小值为， ∴的最大值为． 三、解答题 11．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法的运算法则是解题的关键． （1）（2）直接利用二次根式的乘除法运算法则计算即可得出答案． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 12．已知的算术平方根是3，的立方根是． (1)求的值； (2)若是的整数部分，求的值． 【答案】(1)17 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、算术平方根、立方根的定义、代数式求值等知识点，熟练掌握算术平方根、立方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根，算术平方根的定义，分别求得m，n的值，然后求解即可； （2）根据无理数的估算可得到c的值，再代入求值即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是3， ． 的立方根是， ， ； （2）解：， 的整数部分， ． 13．先化简，再求值：，其中 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算（通分、约分）、二次根式的代入求值．熟悉分式的混合运算法则，运用平方差公式进行因式分解，以及二次根式的代入求值与分母有理化的计算，是解题的关键． 根据分式的混合运算法则，先计算括号内的算式，经过通分，除法转化为乘法，因式分解，约分等步骤后得到最简分式，代入，并进行分母有理化即可． 【详解】解：， ， ， ， 当时，原式． 14．对于实数a，b，我们定义运算“#”：，例如：，因为，所以；又如，因为，所以． 问：下列各式的结果哪些是有理数？哪些是无理数？请说明理由． ①；②；③；④． 【答案】①②的结果是有理数，③④的结果是无理数；理由见解析 【分析】本题考查新定义，二次根式的乘法运算，实数的分类，解题的关键在于正确理解“#”的运算法则． 根据的运算法则，逐个运算并结合有理数与无理数进行判断，即可解题． 【详解】解：①②的结果是有理数，③④的结果是无理数． 理由如下： ①∵， ∴； ②∵， ∴； ③∵， ∴； ④∵， ∴． ∴①②的结果是有理数，③④的结果是无理数． 15．根据以下素材，探索完成任务. 设计合适的盒子 素材1 团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，小志制作了一面圆形团扇作为春节礼物，这把团扇的扇面圆面积为，手柄长为. 素材2 为了美观，小志设计一个正面的面积为，且长、高比为的长方体纸盒进行包装. 任务 （1）根据素材1，该圆形团扇的半径为__________； （2）根据素材2，求出该长方体盒子的长和高； （3）如果不考虑团扇和盒子的厚度，这个长方体盒子能装得下这面团扇吗？请说明理由. 【答案】（1）；（2）该长方体盒子的长为，高为；（3）这个长方体盒子能装得下这面团扇，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，无理数的估算，解题的关键是正确理解题意，化简二次根式． （1）设该圆形团扇的半径为，根据扇形面积公式即可求解； （2）可设长为，高为，再由长方体的正面的面积为建立方程求解即可； （3）先求出圆形团扇的直径为，总高度为，再与长方体盒子的长和高比较即可． 【详解】解：（1）设该圆形团扇的半径为 团扇面积为， ∴， 解得（舍负） 故答案为：9． （2）∵小志设计一个正面的面积为，且长、高比为的长方体纸盒进行包装 ∴可设长为，高为， ∵， 解得（舍负）， ∴该长方体盒子的长为，高为； （3）这个长方体盒子能装得下这面团扇，理由如下： 圆形团扇的直径为，总高度为， ∵，， ∴这个长方体盒子能装得下这面团扇． 16．阅读材料：用配方法求最值． 已知，为非负实数， ，当且仅当“”时，等号成立． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则有， 得， 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上信息回答下列问题： (1)已知，则函数取到最小值，最小值为 ；已知，则的最小值是 ． (2)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (3)如图，四边形的对角线，交于点，，，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1)， (2)当时，函数取到最大值，最大值为 (3) 【分析】本题主要考查二次根式的计算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示得到，设，由此即可求解； （2）根据题意得到，则，此时有最大值，最大值为：，所以当时，函数取到最大值，由此即可求解； （3）设，则，结合题意得到，所以此时，，由此即可求解． 【详解】（1）解：函数， 令， ∴， ∴当且仅当，即时，取得最小值， 设， 当且仅当，即时，的最小值是4， 故答案为：，． （2）解：∵， 又∵， 当且仅当时，有最小值， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴此时有最大值，最大值为：； ∴当时，函数取到最大值，最大值为． （3）解：设，则， ∵， ∴， ∴； 当且仅当时，； 此时，， 故． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19章 二次根式 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.二次根式的定义（，） 1.判断代数式是否为二次根式； 2.结合整式、分式判断复合型式子的二次根式属性； 3.根据定义确定字母初步取值范围 1.忽略“根指数为2”的隐含条件； 2.误将“被开方数部分非负”当作“整体非负”； 3.混淆“二次根式”与“根式”（如三次根式）概念 2.二次根式有意义的条件（） 1.单个二次根式中字母的取值范围； 2.多个二次根式+分式组合式中字母的取值范围； 3.被开方数为多项式时的取值范围求解 1.仅关注被开方数非负，忽略分式分母不为0； 2.解多项式不等式时漏判符号； 3.忽略偶次幂、绝对值等隐含非负条件 3.二次根式的非负性（，） 1.利用非负性判断代数式取值范围； 2.结合绝对值、平方和为0求值； 3.简单最值问题 1.仅关注被开方数非负，忽略本身非负； 2.多个非负数和为0时漏看某一非负形式； 3.错误判断二次根式的增减性导致最值求解错误 4.二次根式的性质（；，） 1.具体数值的性质化简（如）； 2.含字母的二次根式化简（需判断符号）； 3.逆用性质将非负数化为平方形式 1.混淆两个性质的适用条件（如对用）； 2.化简时未先判断的符号； 3.逆用性质时漏加二次根号 5.二次根式的乘除运算（，，；，，） 1.直接乘除运算； 2.含系数的二次根式乘除（系数先算，根式后算）； 3.乘除混合运算（从左到右，先化最简） 1.忽略运算适用条件（如时用除法法则）； 2.系数与根式混合运算时顺序错误； 3.结果未化为最简二次根式 6.二次根式的加减与混合运算 1.同类二次根式的识别与合并； 2.混合运算（先乘方开方，再乘除，后加减）； 3.结合乘法公式（平方差、完全平方）运算 1.未化简就合并“同类二次根式”； 2.混合运算中运算顺序错误； 3.乘法公式应用时漏乘或符号错误 7.最简二次根式 1.判断二次根式是否为最简形式； 2.将普通二次根式化为最简二次根式； 3.结合同类二次根式求参数值 1.被开方数含分母未化简； 2.被开方数含能开尽方的因式未提取； 3.分母含根号未有理化 8.二次根式的实际应用 1.几何图形（边长、面积、周长）计算； 2.物理情境（自由落体、速度公式）应用； 3.实际生活（测量、用料）问题求解 1.单位换算错误； 2.代入公式时数据对应错误； 3.结果未按要求取近似值 【易错题型】 【题型1】二次根式有意义的条件——条件判断不全（含复合型、多项式） 1.易错点总结 忽略复合型式子的叠加条件（如二次根式+分式，需同时满足“被开方数非负”和“分母不为0”）； 被开方数为多项式时，未整体判断非负性（如，误判为，忽略）； 漏看隐含非负条件（如，误认为，实际为任意实数）。 2.纠错技巧 列“条件不等式组”：先找出所有限制条件（非负、分母不为0等），再联立求解； 多项式非负性判断：先因式分解（如），再根据符号法则确定取值范围； 牢记“平方、绝对值、二次根式”均为非负形式，其组合式的限制条件需全面覆盖。 【例题1】.（25-26八年级上·云南曲靖·期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 【变式题1-1】.（25-26九年级上·山东威海·月考）使式子有意义的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·江苏扬州·月考）化简： ． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·湖南株洲·期末）已知，则 ． 【题型2】二次根式性质化简——性质适用混淆与符号判断缺失 1.易错点总结 混淆与的适用条件（如对，误算，）； 化简含字母的时，未先判断字母符号（如，直接化简为，忽略时为）； 逆用性质时漏加二次根号（如将化为平方形式，误写为，但实际应用时漏写根号）。 2.纠错技巧 画“条件思维导图”：先判断的取值范围，再选择对应性质（用；任意用）； 含字母化简三步法：①判断字母符号；②化为绝对值形式；③去绝对值（正不变，负变号）； 逆用性质口诀：“非负数变平方，根号里面把它装”（如，）。 【例题2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A．2026 B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）化简： ． 【变式题2-2】.（2025八年级上·北京·专题练习）化简． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）若，，则的值为 ． 【基础题型】 【题型3】二次根式的识别与最简判断 1.考点总结 核心考查二次根式的定义双重条件（含二次根号+被开方数非负）； 最简二次根式的两个标准（被开方数不含分母、不含能开尽方的因式）； 区分“二次根式”与“同类二次根式”“最简二次根式”的概念边界。 2.解题技巧 识别口诀：“根号下非负，根指数是2，满足这两点，就是二次式”； 最简判断三步法：①看分母（含根号则非最简）； ②看因式（能开方则非最简）； ③看系数（整数且无公因数则达标） 【例题3】.（24-25八年级下·云南红河·期末）下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（24-25八年级下·辽宁大连·月考）下列二次根式中，是最简二次根式的为（   ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·陕西西安·月考）下列各式中，不一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·上海金山·月考）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【题型4】二次根式的乘除与加减混合运算 1.考点总结 乘除运算：法则应用（，）； 加减运算：同类二次根式的合并（先化简，再合并系数）； 运算结果的最简要求（必须化为最简二次根式或整式）。 2.解题技巧 乘除运算步骤：①系数相乘除；②根式相乘除；③化简结果； 加减运算步骤：①分别化简每个根式；②识别同类二次根式（被开方数相同）；③合并系数； 混合运算：遵循“先乘方，再乘除，后加减”，能用法则（平方差、完全平方）简化的优先用。 【例题4】.（25-26八年级上·福建福州·期末）计算： 【变式题4-1】.（25-26八年级上·河南郑州·期末）计算： (1)； (2)． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·陕西汉中·期末）计算： (1) (2) 【变式题4-3】.（25-26八年级上·上海杨浦·月考）（1）计算：． （2）化简：． 【提升题型】 【题型5】几何图形中的二次根式应用 1.考点总结 结合矩形、正方形、三角形等图形的边长、面积、周长公式； 利用二次根式的运算求解几何量（如已知面积求边长，已知边长求周长）； 体现“数形结合”素养，融入实际测量情境。 2.解题技巧 步骤：①根据图形性质列关系式（如正方形面积，则）；②代入数据（含二次根式）；③运算并化简结果； 关键：统一单位（如与换算），结果按需取近似值 【例题5】.（25-26八年级上·山东青岛·月考）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为18，则小正方形的边长为 ． 【变式题5-1】.（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，长方形中有两个正方形和，正方形的面积是，正方形的面积是． (1)求长方形的周长； (2)求长方形的面积． 【变式题5-2】.（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫作奇异三角形．例如，某三角形的三边长分别是2，和，因为，所以这个三角形是奇异三角形． (1)若的三边长分别是3，5和，判断此三角形是不是奇异三角形，说明理由． (2)若是奇异三角形，且其中有两条边长分别为3、4，求出第三条边长． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·广东深圳·期中）已知长方形的长，宽． (1)求长方形的周长； (2)求与长方形等面积的正方形的边长，并比较正方形的周长与长方形周长的大小关系． 【题型6】二次根式分母有理化——单一与复合分母化简 1.考点总结 核心考查分母有理化的定义（化去分母中根号的运算）； 常见类型：单一根号分母（如）、复合根号分母（如）； 要求化简结果为最简二次根式或有理数。 2.解题技巧 步骤：①识别分母类型，确定有理化因式（的因式为，的因式为）；②分子分母同乘有理化因式；③约分并化简至最简形式； 关键：避免漏乘分子，运算后需检查是否为最简形式。 【例题6】.（24-25八年级下·辽宁大连·月考）计算： ． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·全国·期末）已知，，则代数式 ． 【变式题6-2】.（24-25九年级下·湖北襄阳·自主招生）已知数，，则与的大小关系为 ．（请用“或”号作答） 【变式题6-3】.（25-26八年级上·辽宁辽阳·期末）阅读材料，解决问题． 材料1：我们规定：如果两个含有二次根式的因式的积中不含根号，那么就称这两个因式互为有理化因式．如，我们称与互为有理化因式． 材料2∶利用分式的基本性质和二次根式的运算性质，可以对进行如下的化简：，从而把分母中的根号化去，我们把这样的化简称为“分母有理化”． 问题： (1)与是否互为有理化因式？请说明理由； (2)分母有理化：； (3)化简：． 【培优题型】 【题型7】二次根式的新定义运算 1.考点总结 理解新定义规则； 结合二次根式的性质、运算化简求解； 考查“阅读理解”和“知识迁移”素养。 2.解题技巧 步骤：①拆解新定义（明确运算逻辑，如）；②代入二次根式表达式；③按规则运算并化简； 关键：紧扣定义，不擅自改变运算顺序，结果需符合最简要求 【例题7】.（24-25九年级上·湖南·月考）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于6的共轭二次根式，求a的值； (2)若与是关于2的共轭二次根式，求m的值． 【变式题7-1】.（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若定义一种新运算：，则的值为 ． 【变式题7-2】.（24-25八年级下·吉林松原·月考）定义两种新运算，规定：，，其中a，b为实数且． (1)求的值； (2)化简． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·江苏泰州·月考）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：， (其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数)，则称无理数T的“麓外区间”为， 如 所以 的麓外区间为． (1)无理数 的“麓外区间”是 ； (2)若 则b的“麓外区间”是 ； (3)若无理数 (a为正整数)的“麓外区间”为 的“麓外区间”为，求 的值； (4)实数x，y，n满足 求n的算术平方根的“麓外区间”． 【题型8】二次根式的规律探究 1.考点总结 观察二次根式的排列规律（如系数、被开方数的变化）； 归纳通项公式或递推关系； 考查“观察分析”“归纳推理”素养，融入探究式命题思路。 2.解题技巧 步骤：①列出前3-4项，标注系数、被开方数的变化；②找规律（如系数递增、被开方数为等差数列）；③验证规律并应用（如化简、求值）； 关键：关注“不变量”与“变量”，结合二次根式性质化简规律表达式 【例题8】.（24-25八年级下·安徽淮北·月考）【观察思考】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； …… 【规律发现】 （1）①直接写出第4个等式： ； ②如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律： ． 【规律证明】 （2）证明②中的运算规律． 【规律应用】 （3）根据上述规律，化简：． 【变式题8-1】.（24-25八年级下·安徽淮北·期末）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律．第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，…，按照上述规律，第4个等式：_____________； (2)观察、归纳，得出猜想．如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为____________； (3)应用运算规律：计算：的值． 【变式题8-2】.（24-25八年级下·四川自贡·期中）探索下列等式规律，并解决下列问题： 【规律发现】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 【规律探索】 （1）第5个等式：_______； （2）如果n为正整数，用含n的式子表示上述第n个等式为_______； 【规律应用】 （3）计算： 【变式题8-3】.（25-26八年级下·全国·周测）阅读下列解题过程： ； ； ； … (1)__________，__________． (2)利用这一规律计算：． (3)观察上面的解题过程，计算：（为正整数）． 【题型9】复合二次根式的化简 1.考点总结 化简形如的复合二次根式（、为有理数）； 利用完全平方公式逆向变形（，，）； 考查“公式逆用”和“代数变形”素养。 2.解题技巧 步骤：①将拆分为两个正数的乘积（）；②验证；③变形为完全平方形式化简（如）； 关键：拆分时，确保、为完全平方数的因数，且和为； 注意：结果需为最简二次根式，且被开方数非负。 【例题9】.（25-26八年级上·江苏扬州·月考）阅读并回答问题:为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式。 (1)______； (2)_______； (3)计算：． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·广西桂林·期末）阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 （1）填空： ① ② （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·湖南怀化·期中）观察下列等式： 根据上述材料，解决下列问题： (1)化简：= (2)猜想： （，且为整数），并验证你的猜想． (3)计算： 【变式题9-3】.（25-26八年级上·湖南怀化·期末）阅读材料：数学中有一种根号内又带根号的数，它们能根据完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．如：化简： 解：因为且，所以，所以． (1)仿照上述方法化简：①；②． (2)比较与的大小． 【题型10】二次根式的最值问题 1.考点总结 利用二次根式的非负性求最值（如的最小值）； 结合不等式（如，，）求最值； 融入实际情境（如用料最省、距离最短），考查“建模求解”素养。 2.解题技巧 非负性最值：，当且仅当时取最小值0（如的最小值为2）； 不等式最值：先确认、非负，再利用“和定积最大，积定和最小”（如时，，最小值为4）； 实际问题：先列二次根式表达式，再根据非负性或不等式确定最值，验证实际意义。 【例题10】.（24-25八年级下·北京·期中）阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，学习了分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”；与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如： 比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下： ，， 因为，． 再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而， 当时，分母有最小值，所以的最大值是． 解决下述问题： (1)________； (2)比较和的大小； (3)求的最大值． 【变式题10-1】.（24-25八年级下·重庆·月考）阅读下面材料：聪明的小张在学习完完全平方公式后发现，当，时，，∵，∴，∴，当且仅当时，取最小值． 例如：当时，，当且仅当，即时，取最小值2． 请利用上述结论解决以下问题： (1)若，当________时，式子有最小值为________；若，求当取何值时．式子有最大值，最大值为多少？ (2)若，当取何值时，有最小值，请求出这个最小值； (3)如图，四边形的对角线，相交于点，若，，当的面积为5时，求四边形面积的最小值，并直接写出此时四边形的形状． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时， 当且仅当，即时，取得最小值，最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： 若，则当 时，有最小值，最小值为 ． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·江苏扬州·月考）阅读材料：用配方法求最值． 已知，为非负实数， ∵ ∴，当且仅当“”时，等号成立． 例：已知，求函数的最小值． 解∶令，则有， 得 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上信息回答下列问题． (1)已知，则函数取到最小值，最小值为______，已知，则的最小值是______； (2)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (3)如图，四边形的对角线，交于点O，，，求四边形的面积的最小值． 同步练习 一、单选题 1．若在实数范围内有意义，则实数的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，数轴上，，，四个点所表示的数中，与最接近的数对应的点是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．最简根式与是同类二次根式，则 ． 7．的倒数是 ；的相反数是 ，绝对值是 ． 8．一个数值转换器的原理如图所示当输入的的值为64，则输出的数是 ． 9．若整数满足，则能使为整数的的值是 ． 10．对一切实数k，有成立，求k的最大值． 三、解答题 11．计算： (1)． (2)． 12．已知的算术平方根是3，的立方根是． (1)求的值； (2)若是的整数部分，求的值． 13．先化简，再求值：，其中 14．对于实数a，b，我们定义运算“#”：，例如：，因为，所以；又如，因为，所以． 问：下列各式的结果哪些是有理数？哪些是无理数？请说明理由． ①；②；③；④． 15．根据以下素材，探索完成任务. 设计合适的盒子 素材1 团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，小志制作了一面圆形团扇作为春节礼物，这把团扇的扇面圆面积为，手柄长为. 素材2 为了美观，小志设计一个正面的面积为，且长、高比为的长方体纸盒进行包装. 任务 （1）根据素材1，该圆形团扇的半径为__________； （2）根据素材2，求出该长方体盒子的长和高； （3）如果不考虑团扇和盒子的厚度，这个长方体盒子能装得下这面团扇吗？请说明理由. 16．阅读材料：用配方法求最值． 已知，为非负实数， ，当且仅当“”时，等号成立． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则有， 得， 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上信息回答下列问题： (1)已知，则函数取到最小值，最小值为 ；已知，则的最小值是 ． (2)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (3)如图，四边形的对角线，交于点，，，求四边形的面积的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $