专题11正方形性质与判定复习讲义(知识梳理+17大题型+突破题型)2025-2026学年沪科版八年级数学下册

专题11正方形性质与判定复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解正方形定义，清楚它兼具矩形、菱形的所有特征。 2.掌握正方形的边、角、对角线及对称性性质。 3.牢记正方形的判定方法，理清四种四边形的从属系。 1.会利用正方形性质进行计算与简单证明。 2.能灵活判定一个四边形是否为正方形。 3.会对比区分矩形、菱形、正方形的异同。 1.熟记核心考点，避开概念混淆易错点。 2.规范几何书写，熟练解答基础题与中档证明题。 3.掌握正方形常见题型解题方法，提高做题效率。 题型01.正方形性质理解 题型02.由正方形性质求角度 题型03.由正方形性质求线段长 题型04.由正方形性质求面积 题型05.正方形折叠问题 题型06.正方形重叠部分面积 题型07.正方形的性质证明 题型08.证明四边形是正方形 题型09.正方形判定定理理解 题型10.添条件使四边形是正方形 题型11.由正方形性质与判定求角度 题型12.由正方形性质与判定求线段长 题型13.由正方形性质与判定求面积 题型14.正方形性质与判定证明 题型15.正方形与动点问题 题型16.中点四边形 题型17.四边形中线段最值问题 解答题7题 知识点01:定义（精准直击） 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 核心逻辑：正方形是特殊的平行四边形、特殊的矩形、特殊的菱形，兼具三者所有性质，是最特殊的四边形。 知识点02.正方形的性质（核心） 正方形具备平行四边形、矩形、菱形的全部性质： 类别 性质描述 几何语言（以正方形 ABCD 为例，对角线交于 O） 图示 边 四条边都相等；对边平行 AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC 角 四个角都是直角（90∘） ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 对角线 1.相等且互相垂直平分 2.每条对角线平分一组对角 3. 分成 4 个全等的等腰直角三角形 1.AC=BD，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD 2.∠BAC=∠DAC=45∘∠ABD=∠CBD=45∘ 3.△AOB≅△BOC≅△COD≅△DOA 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形（4 条对称轴） 中心对称：点 O 是对称中心轴对称：对称轴为直线 AC、BD、过对边中点的两条直线 知识点03:性质对比表（快速区分三者，避免混淆） 对比维度 正方形 矩形 菱形 边 四条边相等，邻边垂直 对边相等，邻边不垂直 四条边相等，邻边不垂直 角 四个角都是 90° 四个角都是 90° 对角相等，无直角 对角线 相等、垂直、互相平分，平分一组对角 相等、互相平分 垂直、互相平分，平分一组对角 对称轴 4 条 2 条 2 条 知识点04.正方形的判定（核心） 知识点05:易错避坑（直击考点，不啰嗦） 1.判定易错：没有 “平行四边形、矩形、菱形” 作为前提，直接说 “有直角、有等边的四边形是正方形”，是错误的（必须有前提）。 2.性质易错：混淆对称轴数量，正方形有 4 条对称轴，不是 2 条；对角线是 “既相等又垂直”，缺一不可。 3.从属关系易错：正方形是矩形和菱形的交集，不是独立于两者之外的图形，既属于矩形，也属于菱形。 知识点06:核心从属关系（理清逻辑） 知识点07:中点四边形 1、定义 依次连接任意四边形各边中点所得的四边形，叫做中点四边形 如上图四边形 ABCD，点 E,F,G,H 分别是边 AB,BC,CD,DA 的中点，顺次连接 E,F,G,H，则四边形 EFGH 叫做四边形 ABCD 的中点四边形。 2.中点四边形形状结论（必考表格） 原四边形对角线的关系 中点四边形 EFGH 的形状 一句话记忆 无特殊关系（任意四边形） 平行四边形 任意→平行 对角线相等 菱形 相等→菱形 对角线互相垂直 矩形 垂直→矩形 对角线相等且互相垂直 正方形 相等且垂直→正方形 题型01.正方形性质理解 【典例】如图，是一个正方形花园，是一条小路，现准备继续修建两条观光小路和，若小路长为15米，则小路长为_______米． 【跟踪专练1】如图，点、分别在正方形边、上，，线段与相交于点，，分别取、的中点、，若，则正方形的边长为_____． 【跟踪专练2】如图，点P是正方形的对角线上一点，，，垂足分别为E，F，连接，，下列结论：①；②；③与四边形的面积相等．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 题型02.由正方形性质求角度 【典例】如图，在正方形外侧，作等边，则为（　　） A．75° B．55° C．15° D．25° 【跟踪专练1】两个正方形按如图所示位置摆放，若，则_______． 【跟踪专练2】如图，正方形中，，直线交于点，则（    ） A． B． C． D． 题型03.由正方形性质求线段长 【典例】如图所示，在正方形中，E，F分别是的中点，若，则的长是________． 【跟踪专练1】如图，在中，D是斜边的中点，以为边作正方形，若正方形的面积为36，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【跟踪专练2】如图，等边三角形的边长为4，正方形的四个顶点分别落在的三边上，则正方形的边长为____． 题型04.由正方形性质求面积 【典例】如图，在中，，，，则正方形的面积是______． 【跟踪专练1】如图：矩形内有两个相邻的正方形，且左右两边的正方形面积分别为和，那么图中阴影部分的面积为_______． 【跟踪专练2】如图，正方形中有两个正方形，且它们的顶点分别在正方形的边上或对角线上，两个正方形的面积分别是和，若，则的值为（   ） A．24 B．27 C．30 D．36 题型05.正方形折叠问题 【典例】如图，将正方形沿对折，使点A落在对角线上的处，连接，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（可与点，重合），过点作于点，连接．当与重合时，________；若四边形为正方形，则________． 【跟踪专练2】如图，在正方形纸片中，对角线相交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤，其中结论正确的是（   ） A．①④ B．②③④ C．①④⑤ D．①②④⑤ 题型06.正方形重叠部分面积 【典例】如图，将5个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点是正方形的中心，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为_____． 【跟踪专练1】如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为_____． 【跟踪专练2】已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（    ） A． B． C．4 D．9 题型07.正方形的性质证明 【典例】如图，是正方形的对角线上的一点，连接AP，，，垂足分别是E，F，连接．若，，则的长为（   ） A．4 B．5 C． D． 【跟踪专练1】将边长为的正方形与边长为的正方形如图摆放，点G恰好落在线段上．连接，则长为________． 【跟踪专练2】如图，在边长为9的正方形中，动点E，F分别在边，上，将正方形沿直线折叠，使点B落在边上的点G处（点G不与点C，D重合），点A落在点H处，与交于点P，连接．给出下列四个结论：①；②的周长为定值18；③；④如果，那么四边形的面积为32．上述结论中，正确结论的序号有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 题型08.证明四边形是正方形 【典例】四边形的对角线，相交于点，能判定它为正方形的条件是（   ） A． B． C．，， D．， 【跟踪专练1】如图，正方形的对角线，相交于点，，．若，则点到边的距离为____________． 【跟踪专练2】如图，在正方形中，点，分别是，的中点，，交于点G，连接，，，则下列说法正确的个数为（   ） ①； ②； ③依次连接，，，的中点，，，，则四边形为正方形； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 题型09.正方形判定定理理解 【典例】下列说法不正确的是（   ） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．正方形是轴对称图形，且有四条对称轴 D．正方形的对角线平分一组对角 【跟踪专练1】数学课上，王老师让同学们对给定的正方形建立合适的平面直角坐标系，并表示出各顶点的坐标．下面是4名同学表示各顶点坐标的结果：①，，，；②，，，；③，，，；④，，，．上述四名同学表示的结果中，四个点的坐标都表示正确的是________．（填序号） 【跟踪专练2】在四边形中，点、、、分别是各边的中点，四边形是正方形，下列选项中正确的是（   ） A．四边形一定是矩形 B．四边形一定是正方形 C．四边形的对角线相等且垂直 D．四边形有一组邻边相等且有一个内角是直角 题型10.添条件使四边形是正方形 【典例】如图，已知的对角线，交于点O，添加条件后， 不一定是正方形的选项为（　　） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练1】如图，菱形的对角线相交于点O，请你添加一个条件：________ ， 使得该菱形为正方形． 【跟踪专练2】已知在中，．添加一个条件，使得四边形为正方形．添加的条件可以为（    ） A． B．平分 C． D． 题型11.由正方形性质与判定求角度 【典例】如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于___． 【跟踪专练1】如图，长方形纸片，以点A所在直线为折痕折叠，使点落在边上，折痕与边交于，将纸片展开，再一次折叠，以点所在直线为折痕，使点A落在边上，折痕与边交于，则__________．    【跟踪专练2】将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 题型12.由正方形性质与判定求线段长 【典例】如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，点P是AC边上的一个动点，连结BP，EP，则BP＋EP的最小值为（    ） A． B． C． D．＋1 【跟踪专练1】王同学用长方形纸片折纸飞机，前三步分别如图①、②、③．第一步：将长方形纸片沿对称轴对折后展开，折出折痕； 第二步：将和分别沿， 翻折，， 重合于折痕上； 第三步∶ 将和分别沿， 翻折， ， 重合于折痕上． 已知，，则的长是___________． 【跟踪专练2】如图，已知四边形为正方形．，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③；④平分．其中结论正确的序号有（   ） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 题型13.由正方形性质与判定求面积 【典例】如图，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，若正八边形的边长为2，则中间空白四边形的面积为______． 【跟踪专练1】如图，已知点E为正方形ABCD外一点，连接AE、BE，∠AEB=90°，过C点作CF//AE，过D点作DF//BE，交点为F，连接EF，若AE=5，BE=4，则四边形EBCF的面积为________． 【跟踪专练2】将四个全等的三角形按如图所示的方式围成正方形，连接、，记的面积为，四边形的面积为，若A、E、G三点共线，，，则阴影部分的面积是（   ） A．6 B．8 C．12 D．20 题型14.正方形性质与判定证明 【典例】顺次连接正方形四边中点得到的四边形是（    ） A．正方形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形 【跟踪专练1】如图，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作 交边于点 F，以为邻边作矩形，连接．若，则_____． 【跟踪专练2】如图，在正方形中，E为对角线上一点，连结，过点E作，交延长线于点F，以、为邻边作矩形，连结．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 题型15.正方形与动点问题 【典例】如图，正方形的边长为8，点M在上，且，N是上的一个动点，则的最小值是________． 【跟踪专练1】如图，已知正方形，，点E是线段的中点，连接，点M是线段上的动点，点P是线段上的动点，连接，取的中点Q，则线段的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在正方形的边上有一点E，点P为线段上一动点（不与B，E重合），连接，过P作且（点N在点P上方），连接． (1)当点E，点P在如图1所示的位置时，作，交直线于M，交直线于Q． ①在图1中补全图形； ②求证：； ③写出与的数量关系并证明； (2)如图2，若E为中点，正方形边长为2，当时，请直接写出线段的长． 题型16.中点四边形 【典例】已知如图，矩形ABCD的周长为18，其中E、F、G、H为矩形ABCD的各边中点，若AB=x，四边形EFGH的面积为y，则y与x之间的函数关系式为________．    【跟踪专练1】如图，点，，，分别为四边形的四条边，，，的中点，若，则四边形的周长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．4.5 【跟踪专练2】如图，四边形中，，，，分别是边，，，的中点．若四边形为菱形，则四边形应满足条件（   ） A． B． C． D． 题型17.四边形中线段最值问题 【典例】如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是，上的动点，M，N分别是，的中点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，为边的中点，为矩形外一个动点．且，则线段的最大值为______． 【跟踪专练2】如图，为正方形中边上的一点，且，、分别为边、上的动点，且始终保持，则的最小值为(   )                                         A．5 B． C． D． 【解答题】 1．如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，求的长和的面积； (3)当线段与正方形的某条边所在直线的夹角是时，直接写出的度数． 2．在边长为2的正方形中，点，分别在，上，，连接过点作，垂足为．      (1)如图1，证明：； (2)如图2，点，分别在，的延长线上，连接．求的长； (3)如图3，连接，则的最小值为________（直接写出结果）． 3．数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种卡片，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长为b，宽为a的长方形，并用A型卡片一张，B型卡片一张，C型卡片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2的面积关系，写出正确的等式________； (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要型卡片2张，型卡片________张，C型卡片________张； (3)正方形，如图3摆放，边长分别为x，y．若，，求图中两个阴影三角形面积和． 4．如图，已知正方形，，为的中点，连接，把沿折叠得到，连结交于点． (1)求证：； (2)求，的长． 5．如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 6．如图1，已知菱形和菱形的边长分别为，点在同一条直线上，点在边上，连接． (1)如图1，当时，连接，，．把四边形、和的面积分别记作，则①_____，_____（用含的代数式表示） ②请直接写出满足的关系式：_____； (2)如图2，当时，点是的中点，连接，．请判断的形状，并说明理由； (3)如图3，当时，点是的中点，连接，． ①用含的代数式表示；②连接，四边形可能成为平行四边形吗？若可能，请探究此时满足什么关系；若不可能，请说明理由． 7．在平面直角坐标系中，点（其中），线段平移得到线段，点A的对应点是D，点B对应点是C． (1)若，点，． ①求点的坐标； ②判断四边形的形状，并说明理由； (2)若点，点，且，，． 探究直线上是否存在点，使得，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11正方形性质与判定复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解正方形定义，清楚它兼具矩形、菱形的所有特征。 2.掌握正方形的边、角、对角线及对称性性质。 3.牢记正方形的判定方法，理清四种四边形的从属系。 1.会利用正方形性质进行计算与简单证明。 2.能灵活判定一个四边形是否为正方形。 3.会对比区分矩形、菱形、正方形的异同。 1.熟记核心考点，避开概念混淆易错点。 2.规范几何书写，熟练解答基础题与中档证明题。 3.掌握正方形常见题型解题方法，提高做题效率。 题型01.正方形性质理解 题型02.由正方形性质求角度 题型03.由正方形性质求线段长 题型04.由正方形性质求面积 题型05.正方形折叠问题 题型06.正方形重叠部分面积 题型07.正方形的性质证明 题型08.证明四边形是正方形 题型09.正方形判定定理理解 题型10.添条件使四边形是正方形 题型11.由正方形性质与判定求角度 题型12.由正方形性质与判定求线段长 题型13.由正方形性质与判定求面积 题型14.正方形性质与判定证明 题型15.正方形与动点问题 题型16.中点四边形 题型17.四边形中线段最值问题 解答题7题 知识点01:定义（精准直击） 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 核心逻辑：正方形是特殊的平行四边形、特殊的矩形、特殊的菱形，兼具三者所有性质，是最特殊的四边形。 知识点02.正方形的性质（核心） 正方形具备平行四边形、矩形、菱形的全部性质： 类别 性质描述 几何语言（以正方形 ABCD 为例，对角线交于 O） 图示 边 四条边都相等；对边平行 AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC 角 四个角都是直角（90∘） ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 对角线 1.相等且互相垂直平分 2.每条对角线平分一组对角 3. 分成 4 个全等的等腰直角三角形 1.AC=BD，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD 2.∠BAC=∠DAC=45∘∠ABD=∠CBD=45∘ 3.△AOB≅△BOC≅△COD≅△DOA 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形（4 条对称轴） 中心对称：点 O 是对称中心轴对称：对称轴为直线 AC、BD、过对边中点的两条直线 知识点03:性质对比表（快速区分三者，避免混淆） 对比维度 正方形 矩形 菱形 边 四条边相等，邻边垂直 对边相等，邻边不垂直 四条边相等，邻边不垂直 角 四个角都是 90° 四个角都是 90° 对角相等，无直角 对角线 相等、垂直、互相平分，平分一组对角 相等、互相平分 垂直、互相平分，平分一组对角 对称轴 4 条 2 条 2 条 知识点04.正方形的判定（核心） 知识点05:易错避坑（直击考点，不啰嗦） 1.判定易错：没有 “平行四边形、矩形、菱形” 作为前提，直接说 “有直角、有等边的四边形是正方形”，是错误的（必须有前提）。 2.性质易错：混淆对称轴数量，正方形有 4 条对称轴，不是 2 条；对角线是 “既相等又垂直”，缺一不可。 3.从属关系易错：正方形是矩形和菱形的交集，不是独立于两者之外的图形，既属于矩形，也属于菱形。 知识点06:核心从属关系（理清逻辑） 知识点07:中点四边形 1、定义 依次连接任意四边形各边中点所得的四边形，叫做中点四边形 如上图四边形 ABCD，点 E,F,G,H 分别是边 AB,BC,CD,DA 的中点，顺次连接 E,F,G,H，则四边形 EFGH 叫做四边形 ABCD 的中点四边形。 2.中点四边形形状结论（必考表格） 原四边形对角线的关系 中点四边形 EFGH 的形状 一句话记忆 无特殊关系（任意四边形） 平行四边形 任意→平行 对角线相等 菱形 相等→菱形 对角线互相垂直 矩形 垂直→矩形 对角线相等且互相垂直 正方形 相等且垂直→正方形 题型01.正方形性质理解 【典例】如图，是一个正方形花园，是一条小路，现准备继续修建两条观光小路和，若小路长为15米，则小路长为_______米． 【答案】 15 【详解】解：连接， 四边形为正方形， ∴垂直平分， ∴， ∵米， ∴米． 【跟踪专练1】如图，点、分别在正方形边、上，，线段与相交于点，，分别取、的中点、，若，则正方形的边长为_____． 【答案】 【分析】如图，过点作于点，连接，根据三角形中位线定理得，证明，根据全等三角形的性质推出，最后根据勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ∴， ∵点、分别是、的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵在正方形中，， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴正方形的边长为． 【跟踪专练2】如图，点P是正方形的对角线上一点，，，垂足分别为E，F，连接，，下列结论：①；②；③与四边形的面积相等．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】连接PC，延长AP交EF于G，根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABP=∠CBP=45°，然后利用“边角边”证明△ABP和△CBP全等，根据全等三角形对应边相等可得AP=PC，对应角相等可得∠BAP=∠BCP，再根据矩形的对角线相等可得EF=PC，由余角的性质可得AP⊥EF，再由△ABP和△CBP全等得S△APD=S△CPD，由矩形得△EFP和△CFP面积相等，等量代换即可求解． 【详解】连接PC，延长AP交EF于点G， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABP=∠CBP=45°，AB=CB， 在△ABP和△CBP中， ， ∴△ABP≌△CBP（SAS）． ∴AP=PC，∠BAP=∠BCP． ∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD=90°， ∴四边形PECF是矩形． ∴PC=EF，∠BCP=∠PFE． ∴AP=EF，∠PFE=∠BAP，故①正确； ∵PE∥BA， ∴∠BAP=∠EPG． ∵∠PFE+∠PEF=90°， ∴∠EPG+∠PEF=90°． ∴AP⊥EF，故②正确； ∵△ABP≌△CBP， ∴S△ABP=S△CBP． ∴S△APD=S△CPD． ∵S四边形PEFD=S△PFD+S△PEF =S△PCF+S△PFD=S△PCD， ∴△APD与四边形PEFD的面积相等，故③正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明△ABP≌△CBP是本题的关键． 题型02.由正方形性质求角度 【典例】如图，在正方形外侧，作等边，则为（　　） A．75° B．55° C．15° D．25° 【答案】A 【分析】根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角，等边三角形的三条边都相等，三个角都是求出，的度数，然后根据等腰三角形两个底角相等求出即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ，， 在中，，， ∴， ， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 【跟踪专练1】两个正方形按如图所示位置摆放，若，则_______． 【答案】 【分析】根据正方形的性质和角之间的关系，计算即可求解． 【详解】解：如图， 两个正方形， ，， ， ， ， ． 【跟踪专练2】如图，正方形中，，直线交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意易得，然后根据等腰三角形的性质可得，进而根据三角形内角和及角的和差关系可进行求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，且， ∴， ∴， ∴． 题型03.由正方形性质求线段长 【典例】如图所示，在正方形中，E，F分别是的中点，若，则的长是________． 【答案】10 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理；连接，由三角形中位线定理得；再由正方形的性质即可求得的长． 【详解】解：如图，连接， ∵E，F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴； ∵四边形是正方形， ∴． 故答案为：10． 【跟踪专练1】如图，在中，D是斜边的中点，以为边作正方形，若正方形的面积为36，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线性质等知识点．掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 先根据正方形的面积求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，点D是斜边的中点， ∴． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，等边三角形的边长为4，正方形的四个顶点分别落在的三边上，则正方形的边长为____． 【答案】 【分析】根据等边三角形和正方形的性质，找出全等三角形，再根据直角三角形的性质和勾股定理建立方程，即可求解正方形的边长． 【详解】∵为等边三角形且边长为4， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴ ，， ∴， ∴在和中， （）， ∴， 设， ∵，， ∴ ， ∴在中,，， ∴， 由，得， 解得： ， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理的相关知识点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 题型04.由正方形性质求面积 【典例】如图，在中，，，，则正方形的面积是______． 【答案】16 【分析】根据已知条件利用勾股定理求得的长，从而利用正方形面积公式即可求得结果． 【详解】解：∵，，， ∴在中，， ∴． 【跟踪专练1】如图：矩形内有两个相邻的正方形，且左右两边的正方形面积分别为和，那么图中阴影部分的面积为_______． 【答案】 【分析】根据正方形的面积求出矩形的长和宽，再用矩形的面积减去两正方形的面积即为阴影部分的面积． 【详解】解：如图 由两个相邻的正方形，面积分别为和， 得， ∴， 故 ． 【跟踪专练2】如图，正方形中有两个正方形，且它们的顶点分别在正方形的边上或对角线上，两个正方形的面积分别是和，若，则的值为（   ） A．24 B．27 C．30 D．36 【答案】B 【分析】设，根据正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的面积公式解答即可． 本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记性质并判断出图中三角形都是等腰直角三角形是解题的关键． 【详解】解：设， ∵正方形中有两个正方形，正方形和正方形， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 题型05.正方形折叠问题 【典例】如图，将正方形沿对折，使点A落在对角线上的处，连接，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质；由正方形性质得，，由折叠性质得，则由等腰三角形的性质及三角形内角和即可求解． 【详解】解：在正方形中， ∵是正方形的对角线 ∴，， 由折叠性质得， ∴， ∴， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（可与点，重合），过点作于点，连接．当与重合时，________；若四边形为正方形，则________． 【答案】 【分析】利用矩形和折叠的性质可得，，设，则，在中，根据勾股定理可得；连接，当四边形为正方形时，，由勾股定理得出，在中，利用勾股定理求出，进而即可求解． 【详解】解：当与重合时，如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由折叠可得，，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 如图，连接， 当四边形为正方形时，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 由折叠可得，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，在正方形纸片中，对角线相交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤，其中结论正确的是（   ） A．①④ B．②③④ C．①④⑤ D．①②④⑤ 【答案】C 【分析】①由四边形是正方形，可得，又由折叠的性质，可求得的度数；②由，可得；③由，可得的面积的面积；④由折叠的性质与平行线的性质，易得是等腰三角形，即可证得，易证得四边形是菱形；⑤由菱形性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，即可得． 【详解】解：四边形是正方形， ， 由折叠的性质可得： 故，故①正确． 由折叠的性质可得：，， ， ， ， ，故②错误． ， ，与同高， ，故③错误． ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是菱形， 故四边形是菱形，故④正确． 四边形是菱形， ， ， ， ， 同理可得．故⑤正确． 综上，正确的结论有①④⑤． 题型06.正方形重叠部分面积 【典例】如图，将5个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点是正方形的中心，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为_____． 【答案】 【分析】如图，连接，，证明出，得到，推出每一个阴影部分的面积等于正方形的，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接，， 由正方形的性质得，，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴每一个阴影部分的面积等于正方形的， ∴正方形重叠的部分（阴影部分）面积和． 【跟踪专练1】如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【分析】连接、，证明，得到，再由，代值求解即可得到答案． 【详解】解：连接、，如图所示： ， ， 是正方形，为正方形的中心， ，， 在和中， ， ， ， ， 故答案是：4． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的性质，构造全等三角形得到阴影部分的面积等于的面积是解决问题的关键． 【跟踪专练2】已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（    ） A． B． C．4 D．9 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，连接，设交于点，交于点，证明，推出，同理推出，进而求出即可． 【详解】解：连接，设交于点，交于点， ∵正方形，正方形，点为正方形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 题型07.正方形的性质证明 【典例】如图，是正方形的对角线上的一点，连接AP，，，垂足分别是E，F，连接．若，，则的长为（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．连接，证明，可得，再证得四边形是矩形， 可得，从而得到，然后在中，利用勾股定理可求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴在中，，， ∴． 故选：D 【跟踪专练1】将边长为的正方形与边长为的正方形如图摆放，点G恰好落在线段上．连接，则长为________． 【答案】1 【分析】连接，设和相交于点O， 先推导出， ，，证明，得到，，进而推导出，得到，代入数值求解即可． 【详解】解：如图，连接，设和相交于点O， ∵四边形、四边形都是正方形， ∴， ，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即， 化简，得 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． 【跟踪专练2】如图，在边长为9的正方形中，动点E，F分别在边，上，将正方形沿直线折叠，使点B落在边上的点G处（点G不与点C，D重合），点A落在点H处，与交于点P，连接．给出下列四个结论：①；②的周长为定值18；③；④如果，那么四边形的面积为32．上述结论中，正确结论的序号有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据折叠的性质，得，，得到，，可以判定①正确；过点B作于Q，利用三角形全等的判定和性质，等量代换，可以判定②；设，的交点为M，过点E作于点K，利用三角形全等的判定和性质，等量代换，可以判定③正确；设，则，根据勾股定理，得，根据③的结论，得到；四边形的面积为 ，计算可以判定④． 【详解】解：边长为9的正方形， ， ， 根据折叠的性质，得，， ，， ， 故①正确； 如图，过点B作于Q，则， 由①可知：， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴． ∴， ∴ 故的周长为定值18； 故②正确； 设，的交点为M，过点E作于点K， 根据题意，得， 故四边形是矩形， ∴， 根据折叠的性质，得，， ，， ， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴； 故③正确； ， ，， 设，则， 根据勾股定理，得， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴； ∴； ∴四边形的面积为 ； 故④错误． 题型08.证明四边形是正方形 【典例】四边形的对角线，相交于点，能判定它为正方形的条件是（   ） A． B． C．，， D．， 【答案】D 【分析】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，有两种方式： 先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等； 先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角． 根据正方形的判定对各个选项进行分析从而得到最后的答案． 【详解】解：A、不能判定为特殊的四边形； B、只能判定为矩形； C、只能判定为菱形； D、能判定为正方形； 故选：D． 【跟踪专练1】如图，正方形的对角线，相交于点，，．若，则点到边的距离为____________． 【答案】0.5 【分析】连接，交于点，由，可知四边形是平行四边形，进而推断出四边形是正方形，然后利用正方形的性质进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，交于点． ，， 四边形是平行四边形． 在正方形中，，， ， 四边形是正方形， ，． ， ， ， 即点到边的距离为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，掌握正方形的性质与判定是解决本题的关键． 【跟踪专练2】如图，在正方形中，点，分别是，的中点，，交于点G，连接，，，则下列说法正确的个数为（   ） ①； ②； ③依次连接，，，的中点，，，，则四边形为正方形； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定得到，可判断①；根据全等三角形的性质得出，，进而得到，设正方形的边长为，利用勾股定理表示出、的长，可判断②；根据中点四边形的性质，结合和，利用正方形的判定可判断③；延长和交于点，通过证明，得到，利用斜边中线定理得到，则有，再利用角的和差和等量代换可判断④，即可得出答案． 【详解】解：正方形， ，， 点，分别是，的中点， ，， ， ，故①正确； ，， ， ， ，即， 设正方形的边长为，则， ， ， ， ，故②正确； 点，，，分别是，，，的中点， ，，，， ， ， 四边形是菱形， ， ，即， 菱形是正方形，故③正确； 延长和交于点， ，，， ， ，， ，， ，即， ， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，说法正确的个数为4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质和判定、中点四边形、勾股定理、三角形中位线定理、直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定等知识点，结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题属于正方形综合题，有一定难度，需要较强的几何推理能力，适合有能力解决几何难题的学生． 题型09.正方形判定定理理解 【典例】下列说法不正确的是（   ） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．正方形是轴对称图形，且有四条对称轴 D．正方形的对角线平分一组对角 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，根据正方形的判定和性质逐一判断即可解题． 【详解】解：A. 一组邻边相等的矩形是正方形，说法正确，不符合题意； B. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法错误，符合题意； C. 正方形是轴对称图形，且有四条对称轴，说法正确，不符合题意； D. 正方形的对角线平分一组对角，说法正确，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练1】数学课上，王老师让同学们对给定的正方形建立合适的平面直角坐标系，并表示出各顶点的坐标．下面是4名同学表示各顶点坐标的结果：①，，，；②，，，；③，，，；④，，，．上述四名同学表示的结果中，四个点的坐标都表示正确的是________．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了正方形的性质，两点间的距离公式，掌握正方形的性质，两点间的距离公式是解本题的关键． 根据正方形的性质，四个边都相等，逐个分析四个选项即可得出． 【详解】①易知点原点，则，故①同学所标的正确； ②易知点为原点，则，故②同学所标的正确； ③因为，，，，所以，故③同学所标的正确； ④因为 ， ，所以 ，故④同学的表示错误． 即只有①②③三位同学四个点的坐标都表示正确． 故答案为：①②③． 【跟踪专练2】在四边形中，点、、、分别是各边的中点，四边形是正方形，下列选项中正确的是（   ） A．四边形一定是矩形 B．四边形一定是正方形 C．四边形的对角线相等且垂直 D．四边形有一组邻边相等且有一个内角是直角 【答案】C 【分析】本题考查中点四边形的性质，解题的关键是掌握三角形中位线定理以及中点四边形与原四边形对角线的关系． 利用三角形中位线定理，得出中点四边形的边与原四边形对角线的关系，再结合正方形性质判断原四边形对角线特征． 【详解】中点四边形性质：四边形各边中点连线形成的四边形（中点四边形）的边平行于原四边形的对角线，且长度为对角线的一半． 正方形条件：若中点四边形为正方形，则其四条边相等且互相垂直． 边相等：原四边形的两条对角线长度相等（若中点四边形边长为原对角线的一半，则对角线相等）． 边垂直：原四边形的对角线互相垂直（若中点四边形邻边垂直，则原对角线垂直）． A、B错误，原四边形不一定是矩形或正方形，只需满足对角线相等且垂直即可； C正确：对角线相等且垂直是原四边形满足中点四边形为正方形的充要条件； D错误：原四边形可能无邻边相等或直角，仅需对角线满足条件． 题型10.添条件使四边形是正方形 【典例】如图，已知的对角线，交于点O，添加条件后， 不一定是正方形的选项为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的判定，根据题意逐一对选项分析即可得出答案． 【详解】解：A、因为，所以为菱形，又因为所以为正方形，故A错误； B、因为，所以为菱形，但不能证明为正方形，故B正确； C、因为，所以为矩形，又因为所以为正方形，故C错误； D、因为，所以为菱形，又因为所以为正方形，故D错误； 故选：B． 【跟踪专练1】如图，菱形的对角线相交于点O，请你添加一个条件：________ ， 使得该菱形为正方形． 【答案】（或等，答案不唯一） 【分析】本题考查了正方形的判定方法，已知四边形是菱形，根据对角线相等的菱形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形进行添加条件即可． 【详解】解：已知四边形是菱形， 若添加条件：，则满足“对角线相等的菱形是正方形”的判定定理， 若添加条件：，则满足“有一个角是直角的菱形是正方形”的判定定理， 任选其中一个为答案即可． 【跟踪专练2】已知在中，．添加一个条件，使得四边形为正方形．添加的条件可以为（    ） A． B．平分 C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知条件推出四边形是菱形，再结合正方形的判定定理逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形， A、菱形对边相等，是菱形原本就成立的性质，添加该条件不能判定四边形是正方形，错误； B、菱形对角线平分内角，平分是菱形原本就成立的性质，添加该条件不能判定四边形是正方形，错误； C、根据正方形的判定，对角线相等的菱形是正方形， ∴添加，可判定菱形是正方形，正确； D、平行四边形对角相等，原本就成立，添加该条件不能判定四边形是正方形，错误． 题型11.由正方形性质与判定求角度 【典例】如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于___． 【答案】 【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴直线AC是正方形ABCD的对称轴， ∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J． ∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，△AIE的面积＝△AEG的面积， ∴S阴＝S正方形ABCD＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决问题，属于中考常考题型． 【跟踪专练1】如图，长方形纸片，以点A所在直线为折痕折叠，使点落在边上，折痕与边交于，将纸片展开，再一次折叠，以点所在直线为折痕，使点A落在边上，折痕与边交于，则__________．    【答案】 【分析】先根据折叠的性质得到，继而得出，再由折叠的性质即可得到的度数． 【详解】解：如图，    ∵以点所在直线为折痕，折叠纸片，使点落在上的点，折痕与交于点， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， 由再一次折叠，得 ． ， ． 故答案为：． 【点睛】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【跟踪专练2】将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠，正方形的判定与性质．熟练掌握矩形与折叠，正方形的判定与性质是解题的关键． 由矩形与折叠的性质可证四边形是正方形，，由折叠的性质可知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由矩形与折叠的性质可知，，， ∴四边形是正方形，， 由折叠的性质可知，， ∴， 故选：B． 题型12.由正方形性质与判定求线段长 【典例】如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，点P是AC边上的一个动点，连结BP，EP，则BP＋EP的最小值为（    ） A． B． C． D．＋1 【答案】A 【分析】根据正方形是轴对称图形，所在的直线是正方形的一条对称轴，进而根据对称性可知，BP+EP＝PD+PE，当在同一直线上时，的值最小为的长，进而根据勾股定理求得的值． 【详解】解：连接BD， ∵正方形是轴对称图形，所在的直线是正方形的一条对称轴， ∴无论P在什么位置，都有PD＝PB； 故均有BP+EP＝PD+PE成立； 连接DE与AC，所得的交点，即为BP+EP的最小值时的位置， 如图所示： 此时BP+EP＝DE， ∵正方形ABCD的边长为2， ∴DC＝BC＝2， ∵E是BC的中点， ∴EC＝1， 在Rt△DEC中， DE＝＝＝， 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，理解对角线所在的直线是正方形的对称轴是解题的关键． 【跟踪专练1】王同学用长方形纸片折纸飞机，前三步分别如图①、②、③．第一步：将长方形纸片沿对称轴对折后展开，折出折痕； 第二步：将和分别沿， 翻折，， 重合于折痕上； 第三步∶ 将和分别沿， 翻折， ， 重合于折痕上． 已知，，则的长是___________． 【答案】 【分析】根据第一、二步折叠易得四边形为正方形，，以此得出，根据勾股定理求出，根据第三步折叠可得，进而得到，则，于是，即可求解． 【详解】解：四边形为矩形，，， ， 由第一步折叠可得，，，，， ， 四边形为平行四边形， ，， 平行四边形为正方形， ， ， 在中，， 根据第三步折叠可得，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、矩形的性质、正方形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 【跟踪专练2】如图，已知四边形为正方形．，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③；④平分．其中结论正确的序号有（   ） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】过作，过作于，如图所示，根据正方形性质得，，推出四边形是正方形，由矩形性质得，，根据全等三角形的性质得，推出矩形是正方形，故①正确；根据正方形性质得，推出，得到，，故③正确；由此推出平分，故④正确；进而求得，故②错误；故选． 【详解】解：过作，过作于，如图所示，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形，故①正确； ∴， ∵四边形是正方形 ∴，， ∴， 在和中 ∴ ∴，，故③正确， ∵， ∴， ∴平分，故④正确； ∵， ∴ ∴，故②错误； 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键． 题型13.由正方形性质与判定求面积 【典例】如图，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，若正八边形的边长为2，则中间空白四边形的面积为______． 【答案】4 【分析】本题考查正方形的判定，正多边形的性质，多边形内角和定理．正确判定出中间空白四边形为正方形是解题的关键． 先根据正八边形边长为2得出中间空白四边形的边长为2，再根据多边形内角和与正多边形的性质，得出中间空白四边形的每个内角为 【详解】解：∵正八边形的边长为2， ∴中间空白四边形的边长为2， ∵中间空白四边形的每个内角为：， ∴中间空白四边形为正方形， ∴中间空白四边形的面积为， 故答案为：4． 【跟踪专练1】如图，已知点E为正方形ABCD外一点，连接AE、BE，∠AEB=90°，过C点作CF//AE，过D点作DF//BE，交点为F，连接EF，若AE=5，BE=4，则四边形EBCF的面积为________． 【答案】/30/30.5 【分析】延长EB、FC交于点H，延长EA、FD交于点G，得到边长为9的正方形GEHF，根据四边形EBCF的面积=即可求解． 【详解】解：延长EB、FC交于点H，延长EA、FD交于点G，如图： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°， ∵CF//AE，DF//BE， ∴四边形GEHF是平行四边形， ∵∠AEB=90°， ∴平行四边形GEHF是矩形， ∴∠AEB =∠G=∠CFD=∠H=90°， 根据等角的余角相等， ∴∠EAB=∠GDA=∠FCD=∠HBC， ∴Rt△EAB≌Rt△GDA≌Rt△FCD≌Rt△HBC， ∴EA=GD=FC=HB=5，EB=GA=FD=HC=4， ∴EG=GF=FH=HE=5+4=9，即矩形GEHF是边长为9的正方形， ∴四边形EBCF的面积为： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【跟踪专练2】将四个全等的三角形按如图所示的方式围成正方形，连接、，记的面积为，四边形的面积为，若A、E、G三点共线，，，则阴影部分的面积是（   ） A．6 B．8 C．12 D．20 【答案】B 【分析】先证明，可得，从而得到四边形是正方形，设，则，再由，列式计算即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 依题意得，，， ， 四边形为正方形， ， 即， 在和中， ， ， ， 同理：， ， 四边形为菱形， ∵A、E、G三点共线，即，，和，，和，，也在同一条直线上， ， ， 菱形为正方形，则， 设，则， ， ， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ， ． 题型14.正方形性质与判定证明 【典例】顺次连接正方形四边中点得到的四边形是（    ） A．正方形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】A 【分析】根据三角形的中位线定理可推出，进一步即可根据正方形的判定推出答案． 【详解】解：如图， ∵，，，分别为，，，的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，中位线的性质，掌握正方形的性质与判定是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作 交边于点 F，以为邻边作矩形，连接．若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，证明是解题的关键． 根据正方形，矩形，等腰直角三角形的性质得到，，如图所示，过点作于点，于点，可证矩形是正方形，矩形是正方形，从而得到，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 故答案为： ． 【跟踪专练2】如图，在正方形中，E为对角线上一点，连结，过点E作，交延长线于点F，以、为邻边作矩形，连结．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】①过E作于M点，过E作于N点，如图所示：根据正方形的性质得到，，推出四边形为正方形，由矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，故①正确； ②利用已知条件可以推出矩形为正方形；根据正方形的性质得到，，推出，故②正确； ③根据②的结论可得，所以，故③正确； ④当时，点C与点F重合，得到不一定等于，故④错误． 【详解】解：①过E作于M点，过E作于N点，如图所示： ∵四边形是正方形， ，， ， ， ∴四边形为正方形， ∵四边形是矩形， ，， ， 又， 在和中，， ， ， 故①正确； ②∵矩形为正方形； ，， ∵四边形是正方形， ，， ， 在和中，， ， 故②正确； ③根据②得， ， ， 故③正确； ④当时，点C与点F重合， 不一定等于， 故④错误， 综上所述：①②③正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 题型15.正方形与动点问题 【典例】如图，正方形的边长为8，点M在上，且，N是上的一个动点，则的最小值是________． 【答案】 / 【分析】当时，有最小值，由正方形的性质可得，进而求出此时，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是正方形，且边长为8， ∴，， ∵， ∴， 当时，有最小值，即有最小值， 此时，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴的最小值是． 【跟踪专练1】如图，已知正方形，，点E是线段的中点，连接，点M是线段上的动点，点P是线段上的动点，连接，取的中点Q，则线段的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定动点的轨迹，由在上运动且为中点可知的轨迹为线段（为正方形中心，为中点）；动点的轨迹为线段；分别求出的最大值和最小值，最后求差即可． 【详解】解：取的中点，连接交于点，连接、、， ∵正方形，，点E是线段的中点， ∴，，， ∵点E是线段的中点， ∴是的中位线， ∴，，， 同理由中位线可得，，，， 四点共线， ∴点的轨迹是线段， ∵点在线段上， 当与重合，与重合时，取得最大值，此时； 当且与重合时，取得最小值，此时， ∴， 解得， 的最小值为， 线段的最大值与最小值的差为． 【跟踪专练2】如图，在正方形的边上有一点E，点P为线段上一动点（不与B，E重合），连接，过P作且（点N在点P上方），连接． (1)当点E，点P在如图1所示的位置时，作，交直线于M，交直线于Q． ①在图1中补全图形； ②求证：； ③写出与的数量关系并证明； (2)如图2，若E为中点，正方形边长为2，当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析；③，证明见解析 (2) 【分析】（1）①根据题意画图即可； ②由四边形是正方形，，结合四边形内角和，可得，再由，即可证明结论； ③将绕点逆时针旋转到，连接，，，设与交于点，与交于点，可证明，可得，，，再可证明四边形是平行四边形，最后证明，即可证明； （2）连接，设与交于点，则可证明垂直平分，利用等面积法可求得的长，即可得的长，即可求得的长． 【详解】（1）解：①补全图形如图： ②证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ③． 证明：如图，将绕点逆时针旋转到，连接，，，设与交于点，与交于点，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由②可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图，连接，设与交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵E为中点， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵正方形边长为2， ∴，， ∵E为中点， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 题型16.中点四边形 【典例】已知如图，矩形ABCD的周长为18，其中E、F、G、H为矩形ABCD的各边中点，若AB=x，四边形EFGH的面积为y，则y与x之间的函数关系式为________．    【答案】 【分析】根据矩形的周长表示出边BC，再根据EFGH的面积等于矩形ABCD的面积的一半列式整理即可得解． 【详解】∵矩形ABCD的周长为18，AB=， ∴BC=， ∵E、F、G、H为矩形ABCD的各边中点， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了中点四边形，矩形的性质，熟知中点四边形EFGH的面积等于矩形ABCD的面积的一半是本题的关键． 【跟踪专练1】如图，点，，，分别为四边形的四条边，，，的中点，若，则四边形的周长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．4.5 【答案】B 【分析】本题考查了中点四边形，根据点，，，分别为四边形的四条边，，，的中点，得出，是，的中位线，同理分别是的中位线，故四边形的周长为，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： 在中，点，分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中，点，分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理得分别是的中位线， ∴， ∴四边形的周长为， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，四边形中，，，，分别是边，，，的中点．若四边形为菱形，则四边形应满足条件（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的中位线定理和菱形的判定，可得顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形，进而得到即可． 【详解】解：∵四边形中，，，，分别是边，，，的中点， ∴在中，为的中位线，所以且； 同理且；，， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形为菱形， ∴应满足条件，即， ∴． 题型17.四边形中线段最值问题 【典例】如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是，上的动点，M，N分别是，的中点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先证明出是的中位线，得出，然后由正方形的性质和勾股定理得到，证明出当最大时，最大，此时最大，进而得到当点和点重合时，最大，即的长度，最后代入求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ，分别是，的中点， 是的中位线， ， 四边形是正方形，， ， 当最大时，最大，此时最大， 点是上的动点， 当点和点重合时，最大，即的长度， 此时， ， 的最大值为． 故选B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，为边的中点，为矩形外一个动点．且，则线段的最大值为______． 【答案】8 【分析】连接，取的中点，连接，，通过矩形的性质结合勾股定理求出，再运用中位线定理求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，最后根据三角形的三边关系得、、三点共线时最大即可求解． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，， 矩形中，，，， ，， 根据勾股定理，， 为的中点，为的中点， ， ， ， 由三角形的三边关系得、、三点共线时最大， 此时． 【跟踪专练2】如图，为正方形中边上的一点，且，、分别为边、上的动点，且始终保持，则的最小值为(   )                                         A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用等．过点作，过点作交于点，连接，则四边形为平行四边形，证得当、、三点在同一直线上时，有最小值，即为的长，过点作于点，设与相交于点，证明，得到是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作，过点作交于点，连接，则四边形为平行四边形， ， ， 当、、三点在同一直线上时，有最小值，即为的长， 过点作于点，设与相交于点， 四边形是正方形，， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 由勾股定理得， ， 即的最小值为． 故选：D． 【解答题】 1．如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，求的长和的面积； (3)当线段与正方形的某条边所在直线的夹角是时，直接写出的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)；1 (3)或 【分析】（1）先根据正方形的性质得到，，从而可得 ，求得，再根据矩形的性质得到，从而可利用证明，根据全等三角形的性质可得，从而可得矩形是正方形． （2）先根据正方形的性质可得， ，从而可得是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再利用勾股定理求得，接着利用证明，根据全等三角形的性质可得，从而可得．再证明四边形是矩形，根据矩形的性质可得，再利用勾股定理求得，然后求得，再根据三角形面积公式求解即可； （3）分与（或）的夹角为、与（或）的夹角为两种情形，分别求出即可． 【详解】（1）证明：如图1，过点E作于点于点Q． ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ． ∵四边形是矩形， ∴，则， ∴． 在和中 ∴， ∴， ∴矩形是正方形． （2）如图2，过点G作交延长线于点H． 由正方形的性质可得， ， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴，即， ∴． 由（1）可得， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴．                     ∵， ∴， ∴的面积． （3）①当与（或）的夹角为时，点F在边上，，如图3， 则． 在四边形中，由四边形内角和定理得； ②当与（或）的夹角为时，点F在的延长线上，，与交于点H，如图4． ∵，， ∴． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质综合（或），勾股定理，四边形的内角和定理等知识点，解题关键是掌握上述知识点，并能熟练运用求解． 2．在边长为2的正方形中，点，分别在，上，，连接过点作，垂足为．      (1)如图1，证明：； (2)如图2，点，分别在，的延长线上，连接．求的长； (3)如图3，连接，则的最小值为________（直接写出结果）． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质和同角的余角相等，利用证明，即可证得结论； （2）延长，交的延长线于，同（1）可证得，得到，从而可推出点是的中点，，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答； （3）连接、，延长，交的延长线于，同（2）可推出的长度，然后根据，可知当、、三点共线时，取得最小值，利用勾股定理求得，即可解答． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， ，， ， ， ， ∴， 在和中， ， ， ； （2）解：如图2，延长，交的延长线于， ∵正方形的边长为2， ∴，， ，， ， ， ， ∴， ∵，， ， ， ∴ 是的中点，， ∴在中，； （3）解：如图3，连接、，延长，交的延长线于， 由（1）可知：，， ∵边长为2的正方形中，，， ，即点是的中点，， ∴在中，， ， ∴当、、三点共线时，取得最小值，最小值为． 故答案为：． 3．数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种卡片，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长为b，宽为a的长方形，并用A型卡片一张，B型卡片一张，C型卡片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2的面积关系，写出正确的等式________； (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要型卡片2张，型卡片________张，C型卡片________张； (3)正方形，如图3摆放，边长分别为x，y．若，，求图中两个阴影三角形面积和． 【答案】(1) (2)3，7 (3)8 【分析】本题考查多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式的几何背景及其应用，理解题意，看懂图形，会利用不同方法表示面积，并灵活运用所得结论是解答的关键． （1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可求解； （2）先计算，再根据面积不变结合乘法的结果可得答案； （3）根据图形得到，利用完全平方公式分别求得和即可求解． 【详解】（1）解：由图2知，大正方形的面积为，又可以为， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴要拼出一个面积为的矩形， 需要A型卡片2张，B型卡片3张，C型卡片7张； 故答案为：3，7； （3）解：由题知：，， 则， ∴， ∴， ∴ (负值舍去)， 图中阴影部分面积为：． 4．如图，已知正方形，，为的中点，连接，把沿折叠得到，连结交于点． (1)求证：； (2)求，的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）根据正方形的性质和折叠的性质找到条件，利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质和勾股定理进行解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ∵把沿折叠得到， ，， ，， 在和中， ， ∴； （2）解：四边形是正方形， ， ∵， ， 设，则 为中点， ， 则， 在中， ， ， 解得， ∴，． 5．如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）通过证明和全等得到、，结合推出，进而证得； （2）利用菱形性质、全等三角形判定与性质，结合等腰三角形三线合一、矩形及正方形的判定，推导得出． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，． 在和中， ， ∴（）， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，． 在和中， ， ∴（）， ∴． 又∵， ∴， ∴是等腰三角形． 过点作于，交于， ∴（等腰三角形三线合一）． ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵是菱形对角线， ∴， 又∵，， ∴（）， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴菱形是正方形， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、正方形的判定，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的判定方法是解题的关键． 6．如图1，已知菱形和菱形的边长分别为，点在同一条直线上，点在边上，连接． (1)如图1，当时，连接，，．把四边形、和的面积分别记作，则①_____，_____（用含的代数式表示） ②请直接写出满足的关系式：_____； (2)如图2，当时，点是的中点，连接，．请判断的形状，并说明理由； (3)如图3，当时，点是的中点，连接，． ①用含的代数式表示；②连接，四边形可能成为平行四边形吗？若可能，请探究此时满足什么关系；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)①；②； (2)等腰直角三角形，见解析； (3)①；②． 【分析】（1）①根据正方形的判定和性质进行解答即可；②根据的代数式之间的关系进行解答即可； （2）根据正方形的性质和全等三角形是判定与性质证明，，即可得到结论； （3）①根据含角的直角三角形的性质进行解答即可；②根据四边形是平行四边形，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，菱形和菱形的边长分别为， ∴四边形是正方形， ∴， ∴菱形是正方形， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ （2）是等腰直角三角形， 理由：延长交于点， 四边形和是菱形，， 图2四边形和是正方形， ， ， 在和中， 又， ， 又， ， 是等腰直角三角形； （3）①同（2）可证，， ， 图3 ②四边形是菱形， 是等边三角形， ， ， ， 当时，四边形是平行四边形， ， ． 7．在平面直角坐标系中，点（其中），线段平移得到线段，点A的对应点是D，点B对应点是C． (1)若，点，． ①求点的坐标； ②判断四边形的形状，并说明理由； (2)若点，点，且，，． 探究直线上是否存在点，使得，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为；四边形是菱形； (2)存在，点的坐标为． 【分析】（1） ①DC是AB平移得到的，对应点的坐标变化相同。根据点B与对应点C的坐标变化情况，点A的坐标也作相同变换，得到对应点D。 ②菱形．DC是AB平移得到的，所以四边形是平行四边形，利用两点间距离公式计算相邻两边长度，得出四边形是菱形． （2）通过点B，点C纵坐标相同，得出轴，通过计算距离，得到轴，并且，从而证明四边形是正方形，正方形对角线的交点即为所求的点E． 【详解】（1）解：①设点，若，则点，根据点B移动到点C，对点A坐标作相同变化，得到点D； ，得点D的坐标为； ②平移得到， , 四边形是平行四边形， 根据两点间距离公式 ，， ， 四边形是菱形． 如下图： （2）解：平移得到线段， 四边形是平行四边形， 纵坐标相同， 轴， ， 运用两点距离公式计算长度，得， ， ， 等于点，与点纵坐标相等， 轴， ，， 平行四边形是正方形， 连接正方形的对角线，相交于点M，正方形的对角线互相垂直、平分， ， 点M符合条件E点的条件， 点M为的中点，坐标为， ， ， 点M，也就是符合条件的点E的坐标为：． 如下图： 【点睛】本题考查了菱形、正方形的判定与性质，两点距离公式．利用四点坐标特点，证明四边形是正方形，是解本题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $