专题10菱形性质与判定复习讲义(知识梳理+13大题型+突破题型)2025-2026学年沪科版八年级数学下册

专题10菱形性质与判定复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解菱形定义，明确菱形是特殊的平行四边形。 2.熟记菱形边、对角线、对称性的特殊性质。 3.掌握菱形三种判定方法，厘清与平行四边形、矩形的区别。 4.牢记菱形两种面积计算公式。 1.能利用菱形性质进行线段、角度的计算与证明。 2.能根据条件，规范完成菱形的判定推理。 3.学会类比矩形、平行四边形，对比区分特殊四边形性质。 4.能结合三角形知识，解决菱形基础综合题型。 1.熟记核心考点，避开概念混淆、判定条件缺失等易错点。 2.熟练套用菱形性质与判定的标准答题格式。 3.掌握菱形面积、对角线相关常考计算题解题思路。 4.应对选择、填空、简单几何证明题，提升做题准确率与速度。 题型01.利用菱形性质求角度 题型02.利用菱形性质求线段长 题型03/利用菱形性质求面积 题型04.利用菱形性质证明 题型05.证明四边形是菱形 题型06.添条件使四边形是菱形 题型07.由菱形性质与判定求角度 题型08.由菱形性质与判定求线段长 题型09.由菱形性质与判定求面积 题型10.菱形与折叠问题 题型11.菱形与动点问题 题型12.菱形与最值问题 题型13.菱形存在性问题 解答题6题 知识点01:概念定位【身份专属】 菱形：平行四边形的 “等边升级版” 定义：有一组邻边相等的平行四边形。 从属关系：四边形→平行四边形→菱形 ✅自带平行四边形全部性质，叠加独有特殊性质。 知识点02:核心性质・四字口诀速记（菱形超能力） 项目 文字语言 几何语言 图示 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O .知识点03:判定定理・三招定菱形（满足其一即可） 拓展： （1） 对角线互相垂直平分的四边形是菱形。 （2）对角线平分一组内角的平行四边形是菱形。 知识点04:菱形的面积计算 计算方法 符号表述 主要依据 .菱形面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 菱形面积=两条对角线乘积的一半 知识点05:菱形与一般四边形的区别 易错雷区【避坑专属】 ❌ 对角线互相垂直的四边形≠菱形 ✅必须是：对角线互相垂直的平行四边形才是菱形 ❌有两条边相等的四边形就是菱形（错） ✅必须四条边全相等才可直接判定 题型01.利用菱形性质求角度 【典例】如图，在菱形中，对角线相交于点O，．若，则的长是（   ） A．3 B．5 C．6 D．12 【跟踪专练1】中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，小华家有一个菱形中国结装饰，边长和较短对角线的长都为，则这个中国结菱形部分较大的内角是__________度． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，对角线与相交于点，点是的中点，过点作交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型02.利用菱形性质求线段长 【典例】如图，四边形是菱形，，于点，则的值为（   ） A．4.8 B．5 C．6 D．8 【跟踪专练1】如图，在菱形中，，对角线，过点A作，垂足为E，则的长为____________________ ． 【跟踪专练2】如图，菱形和中，，，是的中点，在的延长线上，，分别是，上的动点，且，，分别是，的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型03利用菱形性质求面积 【典例】如图所示，在菱形中，对角线，相交于点，若，，则菱形的面积为（   ） A．12 B．15 C．20 D．24 【跟踪专练1】如图所示，在菱形中，对角线与相交于点O，且，，则边上的高________． 【跟踪专练2】如图，将菱形放置在平面直角坐标系中，对角线轴，且与对角线相交于点，则菱形的面积为（  ） A． B．30 C． D．15 题型04.利用菱形性质证明 【典例】下列性质中矩形有而菱形没有的是（    ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．对边平行且相等 D．对角线相等 【跟踪专练1】如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，连接，若，则菱形的周长为__________． 【跟踪专练2】如图，菱形和菱形，，，点是的中点，点在的延长线上，连接，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型05.证明四边形是菱形 【典例】下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，是的角平分线，点E、F分别在、上，且，，当时，四边形是____________形． 【跟踪专练2】如图在中，，，，是边上的动点，将沿翻折得，射线与射线交于点．下列说法不正确的是(   ) A．当时， B．当点落在上时，四边形是菱形 C．在点运动的过程中，线段的最小值为2 D．连接，则四边形的面积始终等于 题型06.添条件使四边形是菱形 【典例】已知平行四边形，若________，则平行四边形是菱形． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，添加下列条件，不能使其成为菱形的是（   ） A． B． C． D．平分 【跟踪专练2】如图，在四边形中，点、分别是线段、的中点，、分别是线段、的中点，当四边形的边满足__时，四边形是菱形． 题型07.由菱形性质与判定求角度 【典例】如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，，如果，则______ 【跟踪专练1】如图，按以下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点；（3）分别以点为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图所示，E，F分别在和上，，则________． 题型08.由菱形性质与判定求线段长 【典例】如图，在平行四边形中，，以点为圆心，为半径画弧与交于点，然后以大于为半径，分别以，为圆心画弧交于点，连接交于点，若，，则的长为（    ） A． B． C．5 D．10 【跟踪专练1】如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，，则的长为________．    【跟踪专练2】在菱形中，，，点在上，，若点是菱形四条边上异于点的一点，，则以下长度中，不可能是的长度的是（    ） A． B．4 C． D． 题型09.由菱形性质与判定求面积 【典例】一个平行四边形的一条边长为，两条对角线的长分别为和，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，分别以点、为圆心，以5为半径画弧，两条弧分别交于、两点，已知，则以、、、四点为顶点的四边形的面积是__________．    【跟踪专练2】如图，将矩形纸片分别沿、折叠，若、两点恰好都落在对角线的交点上，下列说法：①四边形为菱形，②，③若，则四边形的面积为，④，其中正确的说法有（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 题型10.菱形与折叠问题 【典例】如图，在菱形中，，点是的中点，点为边上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为___________． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，为边上一点，连接．将菱形沿折叠，点落在点处，于点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】李老师在数学活动课上展示了一道与折叠有关的探究题，请你解答． 如图，在中，，将沿翻折得到，点的对应点为点．    (1)如图1，若，则四边形的形状为___________． (2)当与不平行时，过点作的平行线，交射线于点，过点作的平行线，交射线于点． ①猜想线段与的数量关系，并仅就图2的情形说明理由． ②若，请直接写出线段的长． 题型11.菱形与动点问题 【典例】如图，菱形，，，是上动点，是中点，，分别是，中点，则菱形的面积为________，最小值为________． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，，，为线段上的一个动点，四边形是平行四边形，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图1，在菱形中，，，点E是边上一动点，F是边上一动点，且，连接、． (1)求证：； (2)如图2，试仅用一把无刻度的直尺，在边上作点G，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 题型12.菱形与最值问题 【典例】如图，点A在直线上，以A为顶点，在直线的上方作菱形．若，，则点C到直线的最大距离是___________． 【跟踪专练1】如图，在菱形 中，、交于点，，，点为线段上的一个动点．过点分别作于点 ，作于点 ，则的值为（    ） A． B．5 C． D．6 【跟踪专练2】如图，菱形的对角线相交于点O，且，．点E在线段上，且，点F为线段上一动点． (1)求的长； (2)若时，连接，求四边形的面积； (3)记的最小值为a，的最小值为b．求的值． 题型13.菱形存在性问题. 【典例】已知如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，，点D是的中点，动点P在线段上．以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒．在第一象限内，线段上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？写出点Q的坐标__________ 【跟踪专练1】如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（）．过点D作于点F，连接、． (1)求证：； (2)四边形能否成为菱形？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由； (3)当t为何值时，为直角三角形？请直接写出结果． 【跟踪专练2】如图1，在矩形中，，点O为矩形对角线的交点，点 E 为边上任意一点，连接并延长，与边交于点 F． (1)观察：线段和有什么数量关系?并进行证明； (2)操作：如图2，聪聪连接、后发现，四边形的形状一定是 ；当的长为 时，四边形是菱形； (3)探究：受聪聪的启发，明明对图形进一步操作，将图2中 与 分别沿与进行翻折，点 A 与点C分别落在矩形内的点、处，连接、，如图3，请你判断四边形的形状，并证明你的结论． 【解答题】 1．如图，在菱形中，，E是边上的动点，作交于点F，在上取点G，使，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 2．如图，在矩形中，点O为对角线的中点． (1)尺规作图：在上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，回答以下问题： ①连接并延长交于F，连接，判断四边形的形状，并说明理由． ②若，的面积为，求的周长． 3．如图，在矩形中，对角线和交于点． (1)在图中求作点，使得四边形是菱形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接交于点，若，，求菱形的面积． 4．如图，矩形的对角线，交于点，延长到点，使，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若矩形的面积为4，求菱形的面积． 5．如图，在中，，D是中点，，是的角平分线，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 6．如图，矩形中，，点是对角线的中点，过点的直线分别交边于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，则 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10菱形性质与判定复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解菱形定义，明确菱形是特殊的平行四边形。 2.熟记菱形边、对角线、对称性的特殊性质。 3.掌握菱形三种判定方法，厘清与平行四边形、矩形的区别。 4.牢记菱形两种面积计算公式。 1.能利用菱形性质进行线段、角度的计算与证明。 2.能根据条件，规范完成菱形的判定推理。 3.学会类比矩形、平行四边形，对比区分特殊四边形性质。 4.能结合三角形知识，解决菱形基础综合题型。 1.熟记核心考点，避开概念混淆、判定条件缺失等易错点。 2.熟练套用菱形性质与判定的标准答题格式。 3.掌握菱形面积、对角线相关常考计算题解题思路。 4.应对选择、填空、简单几何证明题，提升做题准确率与速度。 题型01.利用菱形性质求角度 题型02.利用菱形性质求线段长 题型03/利用菱形性质求面积 题型04.利用菱形性质证明 题型05.证明四边形是菱形 题型06.添条件使四边形是菱形 题型07.由菱形性质与判定求角度 题型08.由菱形性质与判定求线段长 题型09.由菱形性质与判定求面积 题型10.菱形与折叠问题 题型11.菱形与动点问题 题型12.菱形与最值问题 题型13.菱形存在性问题 解答题6题 知识点01:概念定位【身份专属】 菱形：平行四边形的 “等边升级版” 定义：有一组邻边相等的平行四边形。 从属关系：四边形→平行四边形→菱形 ✅自带平行四边形全部性质，叠加独有特殊性质。 知识点02:核心性质・四字口诀速记（菱形超能力） 项目 文字语言 几何语言 图示 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O .知识点03:判定定理・三招定菱形（满足其一即可） 拓展： （1） 对角线互相垂直平分的四边形是菱形。 （2）对角线平分一组内角的平行四边形是菱形。 知识点04:菱形的面积计算 计算方法 符号表述 主要依据 .菱形面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 菱形面积=两条对角线乘积的一半 知识点05:菱形与一般四边形的区别 易错雷区【避坑专属】 ❌ 对角线互相垂直的四边形≠菱形 ✅必须是：对角线互相垂直的平行四边形才是菱形 ❌有两条边相等的四边形就是菱形（错） ✅必须四条边全相等才可直接判定 题型01.利用菱形性质求角度 【典例】如图，在菱形中，对角线相交于点O，．若，则的长是（   ） A．3 B．5 C．6 D．12 【答案】C 【分析】根据菱形的性质可得，则可证明是等边三角形，即可得到． 【详解】解：∵四边形是菱形，且， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 【跟踪专练1】中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，小华家有一个菱形中国结装饰，边长和较短对角线的长都为，则这个中国结菱形部分较大的内角是__________度． 【答案】120 【分析】根据菱形的性质可知菱形的四条边相等，结合已知条件可判定由两条邻边和较短对角线组成的三角形为等边三角形，从而求得菱形的一个内角度数，再利用菱形邻角互补的性质即可求出较大的内角度数． 【详解】解：设菱形为，较短对角线为， 四边形是菱形， ， 边长和较短对角线的长都为， ， 是等边三角形， ， 四边形是菱形， ， ， . ，， 这个中国结菱形部分较大的内角是度． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，对角线与相交于点，点是的中点，过点作交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，易得垂直平分，进而得到，根据菱形的性质，得到，进而得到，得到即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵菱形， ∴，垂直平分， ∴， ∵点在上， ∴， ∵为中点，且， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． 题型02.利用菱形性质求线段长 【典例】如图，四边形是菱形，，于点，则的值为（   ） A．4.8 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据菱形性质求出，，，根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵四边形是菱形，， ∴，，， 在上，， ∵， ∴． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，，对角线，过点A作，垂足为E，则的长为____________________ ． 【答案】/ 【分析】先根据勾股定理得，再结合菱形的性质，得，然后代入数值解得，最后由勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵于点E， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴． 【跟踪专练2】如图，菱形和中，，，是的中点，在的延长线上，，分别是，上的动点，且，，分别是，的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，交于点，根据菱形的性质，证明，可得，，结合已知可得点和点重合，由菱形的性质，结合，可得是等边三角形，是等边三角形，可得，以及的长度，连接，由菱形的性质，结合等腰三角形的性质，可得，由平行线的性质可得，从而可得，可得，以及的长度，由勾股定理可得，根据勾股定理可得的长． 【详解】解：连接，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是的中点， ∵是的中点， ∴点和点重合， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵，在的延长线上， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 连接， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 故选：A． 【点睛】本题考查菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形，勾股定理． 题型03利用菱形性质求面积 【典例】如图所示，在菱形中，对角线，相交于点，若，，则菱形的面积为（   ） A．12 B．15 C．20 D．24 【答案】D 【分析】本题主要考查了求菱形的面积，菱形的面积等于其对角线乘积的一半，据此求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，对角线，相交于点，若，， ∴， 故选：D． 【跟踪专练1】如图所示，在菱形中，对角线与相交于点O，且，，则边上的高________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得，，，由勾股定理求出，再根据计算即可． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴，，， ∴， ∴，即， 解得． 【跟踪专练2】如图，将菱形放置在平面直角坐标系中，对角线轴，且与对角线相交于点，则菱形的面积为（  ） A． B．30 C． D．15 【答案】B 【分析】根据菱形的性质可知对角线互相垂直平分，结合轴及点、分别在轴、轴上的位置，求出对角线和的长度，利用菱形面积公式计算即可． 【详解】解：四边形是菱形 ，， 轴 轴 点的坐标为，点在轴上，点在轴上 点的坐标为，点的坐标为 ， ， 菱形的面积． 题型04.利用菱形性质证明 【典例】下列性质中矩形有而菱形没有的是（    ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．对边平行且相等 D．对角线相等 【答案】D 【分析】本题考查矩形与菱形的性质，矩形和菱形都是特殊的平行四边形，只需对比两者的特有性质，找出符合要求的选项即可． 【详解】解：∵矩形和菱形都是特殊的平行四边形，平行四边形具有对角相等、对边平行且相等的性质， ∴A，C选项是矩形和菱形都具有的性质，排除； ∵对角线互相垂直是菱形特有的性质，矩形不具有该性质， ∴B选项不符合要求，排除； ∵矩形的对角线相等，一般菱形的对角线不相等， 因此对角线相等是矩形有而菱形没有的性质， 故选D． 【跟踪专练1】如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，连接，若，则菱形的周长为__________． 【答案】24 【分析】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出．本题属于基础题，难度不大． 由菱形的性质可得出，，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出的长，结合菱形的周长公式即可得出结论． 【详解】解：四边形为菱形， ，， 为直角三角形． ，且点为线段的中点， ． ． 故答案为：24． 【跟踪专练2】如图，菱形和菱形，，，点是的中点，点在的延长线上，连接，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点，根据菱形的性质以及等边三角形的性质证明，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵四边形和都是菱形， ，，，，，． ， ，为等边三角形． 为等边三角形，，． ，， ． ∵点是的中点， ． ． ． ． ． 题型05.证明四边形是菱形 【典例】下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的判定定理，逐一判断即可． 【详解】解：A、由图可知，对角线与两邻边的夹角均为，即邻边相等，则根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判定选项A一定是菱形； B、由三角形内角和定理可知对角线夹角为，即对角线垂直，则根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定选项B一定是菱形； C、根据图中数据，只能说明同旁内角互补，不能说明一定是菱形； D、由图可知对角线平分内角，即所分成的两个角均为，由平行线性质可推出三角形为等边三角形，故邻边相等，则选项D一定是菱形； 则只有选项C不一定是菱形． 【跟踪专练1】如图，是的角平分线，点E、F分别在、上，且，，当时，四边形是____________形． 【答案】 菱 【分析】由平行线的性质和角平分线的定义可证明，得到；根据，可证明四边形是平行四边形，且，由等边对等角得到，则可证明，得到，据此证明，即可得到平行四边形是菱形 ． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形 ． 【跟踪专练2】如图在中，，，，是边上的动点，将沿翻折得，射线与射线交于点．下列说法不正确的是(   ) A．当时， B．当点落在上时，四边形是菱形 C．在点运动的过程中，线段的最小值为2 D．连接，则四边形的面积始终等于 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，直角三角形的性质，根据动点的不同位置分析是解题的关键． 当时，证，当点落在上时，证，连接，证，据此逐一分析判定即可． 【详解】解：A．当时，，， ∴， ∴， ∴， ∴该选项是正确的，不符合题意； B．当点落在上时，， ∴是菱形， ∴该选项是正确的，不符合题意； C．当点在点时，作于点，作于点，如图所示， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∴在点运动的过程中，线段的最小值不为， 该选项是错误的，符合题意； D．连接，则， ∴四边形的面积始终等于， 该选项是正确的，不符合题意； 故选：C． 题型06.添条件使四边形是菱形 【典例】已知平行四边形，若________，则平行四边形是菱形． 【答案】 【分析】根据菱形的判定定理，已知四边形是平行四边形，只需一组邻边相等即可判定为菱形，据此作答即可. 【详解】解： 四边形是平行四边形，和是平行四边形的一组邻边， ∴当时，平行四边形是菱形. 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，添加下列条件，不能使其成为菱形的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】C 【详解】解：A、四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形，故选项A不符合题意； B、四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形，故选项B不符合题意； C、四边形是平行四边形，，不能证明平行四边形是菱形，故选项C符合题意； D、四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 平行四边形是菱形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，点、分别是线段、的中点，、分别是线段、的中点，当四边形的边满足__时，四边形是菱形． 【答案】 【分析】本题可根据菱形的定义来求解．、分别是，的中点，那么就是三角形的中位线，同理，是三角形的中位线，因此、同时平行且等于，因此，，因此四边形是平行四边形，、是，的中点，那么，要想证明是菱形，那么就需证明，那么就需要、满足的条件． 【详解】解：当时，四边形是菱形．理由如下： 点，分别是，的中点， ，同理， ， ∵， 四边形是平行四边形． ，又可同理证得， ， ， 四边形是菱形． 故当四边形的边满足，四边形是菱形． 题型07.由菱形性质与判定求角度 【典例】如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，，如果，则______ 【答案】/32度 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判断与性质、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 首先证明四边形是菱形，利用菱形的对角线平分一组对角即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分线段， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 【跟踪专练1】如图，按以下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点；（3）分别以点为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，可证明四边形是菱形，由等边对等角可得，由菱形的对角相等可得，据此求出的度数即可得到答案． 【详解】解；由作图方法可得， ∴四边形是菱形，， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】如图所示，E，F分别在和上，，则________． 【答案】80 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，四边形内角和，平行线的判定与性质，根据已知可判定出四边形为菱形，得到，，根据平行线性质，等边对等角可得到，根据等边三角形的判定与性质可得，利用四边形内角和求出，利用平行线性质即可求出结果． 【详解】解：， 四边形为菱形， ，， ， ， ， ， 又， ， 同理， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：80． 题型08.由菱形性质与判定求线段长 【典例】如图，在平行四边形中，，以点为圆心，为半径画弧与交于点，然后以大于为半径，分别以，为圆心画弧交于点，连接交于点，若，，则的长为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【分析】设交于点，连接，根据作图可得四边形是菱形，进而勾股定理求解即可． 【详解】设交于点，连接， 由作图可知，，， 四边形是平行四边形， ，. ， ， ∴AB=BE， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ,，， ， ， 在中，， ， ． 故选B． 【点睛】本题考查了角平分线作图，菱形的性质与判定，平行四边形的性质，等角对等边，勾股定理，理解题意证明四边形是菱形是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，，则的长为________．    【答案】 【分析】过点作交于点，过点作交于点，根据平行四边形的判定和性质，得四边形是平行四边形，根据，得，根据菱形的判定和性质，得平行四边形是菱形，得，勾股定理求出，根据，即可． 【详解】过点作交于点，过点作交于点，连接，， ∵两条纸条的宽度相等， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查平行四边形，菱形的知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质． 【跟踪专练2】在菱形中，，，点在上，，若点是菱形四条边上异于点的一点，，则以下长度中，不可能是的长度的是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】分点位于边上、位于边上、位于边上三种情况讨论，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：当点位于边上时，如图所示： 菱形中，，， ，， ； 当点位于边上时，如图所示： 菱形中，，， 是等边三角形， 过点作于点， ， 由勾股定理得， ， 点与点重合， ； 当点位于边上时， ，，， ， ， 由勾股定理得． 综上，的长为或4或． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 题型09.由菱形性质与判定求面积 【典例】一个平行四边形的一条边长为，两条对角线的长分别为和，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用平行四边形的性质求出OA，OB的长，进而利用勾股定理的逆定理得到AC⊥BD，则四边形ABCD是菱形，利用菱形面积公式即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在平行四边形ABCD中，，AB=3， ∴， ∵， ∴△AOB为直角三角形，即∠AOB=90°， ∴AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的性质与判定，勾股定理的逆定理，正确得到AC⊥BD，进而证明四边形ABCD是菱形是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，分别以点、为圆心，以5为半径画弧，两条弧分别交于、两点，已知，则以、、、四点为顶点的四边形的面积是__________．    【答案】 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，勾股定理；首先根据题意得到四边形是菱形，进而得到，，然后利用勾股定理得到，求出，最后利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】根据题意可得，， ∴四边形是菱形， ∴设和交于点O，    ∴，， ∴ ∴ ∴四边形的面积． 故答案为：24． 【跟踪专练2】如图，将矩形纸片分别沿、折叠，若、两点恰好都落在对角线的交点上，下列说法：①四边形为菱形，②，③若，则四边形的面积为，④，其中正确的说法有（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据折叠性质可得OC=CD=AB=OA，∠COF=∠EOA=∠B=∠D=90°，∠OCF=∠DCF，∠BAE=∠OAE，即可得出∠ACB=30°，进而可得∠OCF=∠DCF=∠BAE=∠OAE=30°， 可证明AE∥CF，AE=CE，根据矩形性质可得CE∥AF，即可得四边形AECF是平行四边形，进而可得四边形AECF为菱形，由∠BAE=30°，可得∠AEB=60°，即可得∠AEC=120°，根据含30°角的直角三角形的性质可求出BE的长，即可得OE的长，根据菱形的面积公式即可求出四边形AECF的面积，根据含30°角的直角三角形的性质即可求出AB：BC的值，综上即可得答案． 【详解】解：∵将矩形纸片分别沿、折叠，若、两点恰好都落在对角线的交点上， ∴OC=CD=AB=OA，∠COF=∠EOA=∠B=∠D=90°，∠OCF=∠DCF，∠BAE=∠OAE， ∴∠ACB=∠CAD=30°，∠BAC=∠ACD=60°， ∵∠OCF=∠DCF，∠BAE=∠OAE， ∴∠OCF=∠DCF=∠BAE=∠OAE=30°， ∴AE∥CF，AE=CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE=CE， ∴四边形AECF是菱形，故①正确； ∵∠BAE=30°，∠B=90°， ∴∠AEB=60°， ∴∠AEC=120°，故②正确； 设BE=x， ∵∠BAE=30° ，∴AE=2x， ∴x2+22=（2x）2，解得， ∴OE+BE=， ∴S菱形AECF=，故③正确； ∵∠ACB=30°， ∴AC=2AB， ∴BC=， ∴AB：BC=1：，故④错误； 综上，正确的结论为①②③． 故选：B． 【点睛】此题考查了矩形的性质，菱形的判定及性质及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及判定方法是解题的关键． 题型10.菱形与折叠问题 【典例】如图，在菱形中，，点是的中点，点为边上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为___________． 【答案】或 【分析】本题考查了菱形的性质、轴对称的性质、含角的直角三角形的性质等知识，分两种情况画出图象进行解答即可． 【详解】解：①若，如解图①，连接， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴，由折叠， ∴， ∴． ∵点E是的中点， ∴， 过点E作，垂足为G， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴； ②若，如解图②，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵，是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形，点落在上， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为或． 故答案为：或 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，为边上一点，连接．将菱形沿折叠，点落在点处，于点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点的坐标得，求出点，运用待定系数法求出直线的解析式为，求得，设，则，由两点间距离公式得，解得，进而可得点D的坐标． 【详解】解：∵四边形为菱形，边在轴正半轴上， ∴轴， ∵于点，且点的坐标为， ∴轴， ∴，， ∴， 过点作轴于点，则， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， ∴， ∴直线的解析式为， 由折叠可得，， ∴， 设，则 ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 【跟踪专练2】李老师在数学活动课上展示了一道与折叠有关的探究题，请你解答． 如图，在中，，将沿翻折得到，点的对应点为点．    (1)如图1，若，则四边形的形状为___________． (2)当与不平行时，过点作的平行线，交射线于点，过点作的平行线，交射线于点． ①猜想线段与的数量关系，并仅就图2的情形说明理由． ②若，请直接写出线段的长． 【答案】(1)菱形 (2)①，理由见解析；②或 【分析】（1）证明为等边三角形即可得到结论； （2）①证明四边形为平行四边形，由折叠，可知，，推出，进而求解； ②过点作于点，过点作交的延长线于点，分类讨论当点在线段的延长线上和当点在线段上时，设，则，结合求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即为等边三角形， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：①；理由如下： ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 由折叠，可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，过点作于点，过点作交的延长线于点，    ∵， ∴， 同理， ∴， 则四边形为矩形， ∴； 当点在线段的延长线上时，如图3， 由①知， 在和中， ∴， ∴， 设，则， ∴． 由折叠，得， ∴， 由勾股定理，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴； 当点在线段上时，如图4，    同理可证，， ∴， 设，则，，，， 同理有， ∴， 解得（负值舍去）， ∴； 综上所述，的长为或． 题型11.菱形与动点问题 【典例】如图，菱形，，，是上动点，是中点，，分别是，中点，则菱形的面积为________，最小值为________． 【答案】 【分析】利用菱形的性质和面积公式，由边长与夹角直接计算面积．取中点，利用三角形中位线证明，再利用平行四边形的判定证明，从而得到，，三点共线，说明点在线段上运动，最后由垂线段最短求出的最小值． 【详解】解：四边形是菱形，， ， ， ， 菱形的高， 面积． 取的中点，连接，， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ， 点在上， ． 四边形是菱形， ，， 是的中点，是的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，． ，，且是公共点， ，，三点共线， 点在线段上运动． ，都是定点， 是定点， 当时，取得最小值． ， 过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，交于点Q，此时， ∴， ∵，， ∴， ∴，则，且四边形是矩形， ∴，， 是的中点，， ∴，， ∴， ∴， ． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，，，为线段上的一个动点，四边形是平行四边形，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，利用四边形为平行四边形，得出，，由为线段上的动点，可知运动方向和距离相等，利用相对运动，可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动，过点作的平行线，过点作关于线段的对称点，由对称性得，则，当且仅当依次共线时，取得最小值，此时，设与交于点，交于点，延长交延长线于点，分别证明四边形和四边形是矩形，求出 ，，再利用勾股定理求出即可，正确作出辅助线是解题的关键 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵为线段上的动点， ∴可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动， 如图，过点作的平行线，过点作关于线段的对称点， 由对称性得，， ∴，当且仅当依次共线时，取得最小值， 如图，设与交于点，交于点，延长交延长线于点， ∵菱形中，，， ∴，，， ∵， ∴由对称性可得， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即的最小值为． 故选：B． 【跟踪专练2】如图1，在菱形中，，，点E是边上一动点，F是边上一动点，且，连接、． (1)求证：； (2)如图2，试仅用一把无刻度的直尺，在边上作点G，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，根据菱形的性质得到，，进而证明和均为等边三角形，得到，，证明，即可得到； （2）连接、交于点O，连接并延长，交边于点G即可． 【详解】（1）求证：连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，， ∴和均为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ； （2）解：如图所示，点即为所求： 证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型12.菱形与最值问题 【典例】如图，点A在直线上，以A为顶点，在直线的上方作菱形．若，，则点C到直线的最大距离是___________． 【答案】6 【分析】如图，连接，由菱形的性质推出．，得到，求出，判定是等边三角形，推出．当时，点C到直线的距离最大，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴．， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 当时，点C到直线的距离最大，最大值为6． 【跟踪专练1】如图，在菱形 中，、交于点，，，点为线段上的一个动点．过点分别作于点 ，作于点 ，则的值为（    ） A． B．5 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理，解题关键是掌握菱形的性质．先利用菱形的对角线互相垂直平分求出菱形边长，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴与互相垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，菱形的对角线相交于点O，且，．点E在线段上，且，点F为线段上一动点． (1)求的长； (2)若时，连接，求四边形的面积； (3)记的最小值为a，的最小值为b．求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据四边形是菱形，且，，得出，，，．在中，根据直角三角形的性质得出，再根据勾股定理算出，即可解答； （2）如图，连接，设，在中，根据，得出，根据勾股定理即可解出，．证明，即可得出，．算出，，再根据即可计算； （3）如图，过点B作，且，过点F作于点G，连接．证出，在中，根据直角三角形的性质得出，根据，得出当E、F、G共线时，的值最小，此时，证出四边形是矩形，即可得出，．证明，得出，得出当A、F、H共线时，的值最小，在中，根据定理得出，即可算出，即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，且，， ∴，，， ． 在中，， ∴， ∴． ∴． （2）解：如图，连接，设， ∵， ∴， 在中，， ∴，， 即， 解得：（舍），． ∴． 在和中，， ∴． ∴，． ∴． ． ∴． ∴四边形的面积是． （3）解：如图，过点B作，且，过点F作于点G，连接． ∵，， ∴． ∴， ∴在中，． ∴． ∴当E、F、G共线时，的值最小，此时． ∴， ∴四边形是矩形． ∴． ∴． 在和中，， ∴． ∴， ∴． ∴当A、F、H共线时，的值最小． 在中，， ∴． ∴． 题型13.菱形存在性问题. 【典例】已知如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，，点D是的中点，动点P在线段上．以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒．在第一象限内，线段上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？写出点Q的坐标__________ 【答案】或 【分析】分四边形是菱形和四边形是菱形两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形，，， ∴轴，，， ∵点D是的中点， ∴， 当O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当四边形是菱形时，则， ∴， ∴， ∴； ②当四边形为菱形时，则， ∴， ∴； 综上：或． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（）．过点D作于点F，连接、． (1)求证：； (2)四边形能否成为菱形？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由； (3)当t为何值时，为直角三角形？请直接写出结果． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是菱形 (3)当为秒或秒时，是直角三角形 【分析】（1）由题意得、，根据直角三角形的性质得到，进而得到，从而得出结论； （2）易证明四边形是平行四边形，若四边形是菱形，则需，利用得到，据此列出等式求解即可； （3）分三种情况讨论：①当时，证明四边形为矩形，进而得到，根据含角的直角三角形的性质得到，进而求出长，据此列出等式求解；②当时，由（2）知，四边形是平行四边形，进而求出，根据含角的直角三角形的性质得到，据此列出等式求解；③当时，、、三点共线，不构成三角形，该情况不存在． 【详解】（1）证明：在中，， 由题意得：、， ， ， 在中，， ， ， ； （2）解：四边形能成为菱形，理由如下： 、， ，即， 由（1）知，， 四边形是平行四边形， 若四边形是菱形，则需， 、， ， ， ， 解得， ， 当时，四边形是菱形； （3）解：若是直角三角形，分三种情况讨论： 当时， ， 四边形为矩形， ， 在中，， ， ， ， 由（2）知，， ， 解得； 当时， 由（2）知，四边形是平行四边形， ， ， 在中，， ， 由（2）知，， ， 解得； ③当时，此时、、三点共线，不构成三角形， 则该情况不存在； 综上所述，当为秒或秒时，是直角三角形． 【点睛】本题考查含角的直角三角形的性质、矩形的判定与性质、菱形的判定定理，熟练掌握相关性质定理，分类讨论和数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 【跟踪专练2】如图1，在矩形中，，点O为矩形对角线的交点，点 E 为边上任意一点，连接并延长，与边交于点 F． (1)观察：线段和有什么数量关系?并进行证明； (2)操作：如图2，聪聪连接、后发现，四边形的形状一定是 ；当的长为 时，四边形是菱形； (3)探究：受聪聪的启发，明明对图形进一步操作，将图2中 与 分别沿与进行翻折，点 A 与点C分别落在矩形内的点、处，连接、，如图3，请你判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)，证明见解析 (2)平行四边形； (3)四边形是平行四边形，证明见解析 【分析】（1）连接，证明，根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）根据矩形的性质得到，，则可证明，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形；根据菱形的性质得到，设，则，根据勾股定理列出方程，解方程即可； （3）连接，根据全等三角形的性质、折叠的性质得到，，根据平行四边形的判定定理证明即可． 【详解】（1）解：，证明如下： 如图所示，连接， 点为矩形对角线的交点， 点在上，且， 四边形是矩形， ， ，， 在和中， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，，； 由（1）得， ∴， ， 又∵，即， 四边形是平行四边形； 当四边形是菱形时，， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴； （3）解：四边形是平行四边形，证明如下： 如图所示，连接， 由（1）得，， ∵四边形是矩形， ∴， ， ， 由折叠的性质可知，，，，， ，，， ∴， ∵， ， ， ， 又∵， 四边形是平行四边形． 【解答题】 1．如图，在菱形中，，E是边上的动点，作交于点F，在上取点G，使，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先证明是等边三角形，即可求解； （2）根据菱形的性质以及等边三角形的性质证明即可． 【详解】（1）解：，， 是等边三角形， ， ； （2）证明：由（1）知，， 四边形为菱形， ，， ． ， ， ，． 是等边三角形， ，， ． ， ， ， ， ． 2．如图，在矩形中，点O为对角线的中点． (1)尺规作图：在上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，回答以下问题： ①连接并延长交于F，连接，判断四边形的形状，并说明理由． ②若，的面积为，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)①四边形是菱形，理由见解析；② 【分析】（1）由可知点E在的垂直平分线上，故作的垂直平分线交于点E即可； （2）①可证明，得到，则可证明四边形是平行四边形，进一步可证明平行四边形是菱形；②由菱形的性质得到，根据三角形的面积公式和勾股定理得到，据此求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：①四边形是菱形，理由如下： ∵在矩形中，点O为对角线的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵ ， ∴平行四边形是菱形； ②∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴的周长． 3．如图，在矩形中，对角线和交于点． (1)在图中求作点，使得四边形是菱形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接交于点，若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）在的右侧作，即可； （2）根据矩形的性质可得，再由菱形的性质解答即可． 【详解】（1）解：如图，在的右侧作，，则点E即为所求； ∴， ∵四边形是矩形，对角线和交于点， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴． 4．如图，矩形的对角线，交于点，延长到点，使，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若矩形的面积为4，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）根据“对角线互相平分”证明四边形是平行四边形，根据矩形的性质得到，从而得出结论； （2）根据矩形的面积求出，由菱形的性质得到、，利用求解即可． 【详解】（1）证明：、， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， ， 平行四边形是菱形； （2）解：矩形的面积为4， ， 由（1）知，四边形是菱形， 、， ． 5．如图，在中，，D是中点，，是的角平分线，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质与判定定理是解题的关键． （）由平行线的性质可得，由角平分线的定义得到，故有，所以，然后通过直角三角形的性质得，再证明四边形是平行四边形，进而可证明结论； （）先证明是等边三角形，则，由菱形的性质得，所以，然后得出是等边三角形，则有，，再通过角度和差求出，最后由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，是中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵，是中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． 6．如图，矩形中，，点是对角线的中点，过点的直线分别交边于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，则 ． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）证明，得到，即可得出结论； （2）证明四边形是菱形，得到，设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，点是对角线的中点， ∴， ，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴四边形是菱形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $