专题08平行四边形复习讲义(知识梳理+18大题型+突破题型)2025-2026学年沪科版八年级数学下册

专题08平行四边形复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.牢记平行四边形定义及核心特征； 2.掌握边、角、对角线的性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分）； 3.熟记5种判定定理，区分性质与判定。 1.能运用性质计算边长、角度，用判定证明平行四边形； 2.应对综合题型（结合全等、动点），规范书写解题步骤； 3.培养几何推理与数形结合思维。 1.基础题（选择、填空）零失分； 2.中档计算、证明题稳拿分； 3.突破综合题，规避易错点（混淆性质与判定、步骤不规范），提升得分率。 题型01.等腰梯形的定义 题型02.数图形中平行四边形的个数 题型03.利用平行四边形性质求解 题型04.利用平行四边形性质证明 题型05.平行四边形性质的应用 题型06.求平行线间的距离 题型07.利用平行线间距离解决问题 题型08.证明四边形是平行四边形 题型09.判断能否构成平行四边形 题型10.添条件成为平行四边形 题型11.求与已知三点组成平行四边形 题型12.全等三角形拼平行四边形问题 题型13.由平行四边形判定与性质求解 题型14.由平行四边形性质与判定证明 题型15.平行四边形性质与判定的应用 题型16.三角形中位线求解问题 题型17.三角形中位线证明问题 题型18.三角形中位线实际应用问题 解答题10题 知识点01:平行四边形 核心定义 1.精准定义：两组对边分别互相平行的四边形，叫作平行四边形 本质逻辑：平行是平行四边形的源头属性，所有性质、判定都围绕 “对边平行” 延伸。 几何判定句式：∵AB∥CD, AD∥BC ∴ 四边形ABCD是平行四边形 2.基本元素：边（4 条，分对边、邻边）、角（4 个，分对角、邻角）、对角线（2 条，互相相交）、对称中心（对角线的交点）。 平行四边形基本元素：边、角、对角线。 知识点02:平行四边形核心性质(必考.知平行四边形推边角特征) 维度 性质 几何语言 边 对边平行且相等 AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分 AO=OC，BO=OD 面积 S=底×对应高（S=ah） 同底等高的平行四边形面积相等 知识点03:平行线衍生性质 平行线间距离：两条平行线之间的垂线段长度，叫做平行线间的距离； 关键规律：平行线间距离处处相等； 延伸结论：夹在两条平行线之间的所有平行线段，长度全部相等。 知识点04:平行四边形的判定定理（核心，知边角特征推平行四边形） 判定方法 文字条件 几何语言 定义法 两组对边分别平行 ∵AB∥CD, AD∥BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等 两组对边分别相等 ∵AB=CD, AD=BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等 一组对边平行且相等 ∵AB∥CD 且 AB=CD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 对角线互相平分 对角线互相平分 ∵OA=OC, OB=OD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 知识点05:重中之重：三角形中位线 1. 概念精准区分（特色易混辨析） 三角形中位线：连接三角形两条边中点的线段； 三角形中线：连接三角形顶点与对边中点的线段；. 核心区别：中位线无顶点，中线必带顶点，一字之差完全不同。 2. 三角形中位线定理（必考核心） 文字表述：三角形的中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半。 双重考点：既有位置平行关系，又有数量倍数关系，一题两用。 标准几何语言：在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则 DE∥BC，DE =BC。 3. 中位线与中线的区别 中位线：连接两边中点，平行于第三边。 中线：连接顶点与对边中点，经过重心。 4.三角形中位线拓展规律 任意三角形有三条中位线，围成一个小三角形； 中位线分割：原三角形被三条中位线分成四个全等小三角形； 数值规律：小三角形周长=原三角形周长小三角形面积=原三角形面积 5.解题特色技巧 遇多个中点、线段一半、证明两直线平行题型，优先构造中位线； 中位线 + 平行四边形结合，是几何大题经典综合考法。 题型01.等腰梯形的定义 【典例】下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 【跟踪专练1】如图，梯形中，，，，，则______． 【跟踪专练2】在如图的几何体中，上、下底面都是平行四边形，各个侧面都是梯形，那么图形中与平行的线段有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 题型02.数图形中平行四边形的个数 【典例】如图所示，在中，，，分别是，，上的点，且，，，则图中平行四边形共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【跟踪专练1】如图，点分别在边，上，，，，则图中的平行四边形共有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【跟踪专练2】如图，在中，，则图中平行四边形的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型03.利用平行四边形性质求解 【典例】如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形，，，的平分线交的延长线于点，则的长为______． 【跟踪专练2】如图，中，，D、E分别是、上的点，于点H，，，，则长为（   ） A．7 B． C．8 D． 题型04.利用平行四边形性质证明 【典例】如图，四边形是平行四边形，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线折叠得到，交于点，连结，若，，，则的长是_________． 【跟踪专练2】如图，是内一点，，，，连接，，，下列结论：①；②为等腰直角三角形； ③；④，其中正确的个数有 （       ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 题型05.平行四边形性质的应用 【典例】如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，则下列结论正确的是（    ） A．AB＝CD B．OA＝OD C．AD＝CD D．AC⊥BD 【跟踪专练1】平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是______． 【跟踪专练2】嘉嘉和淇淇在研究平行四边形的性质时，想到这样一个问题：如图，已知，G为CD边上一点，E为BC延长线上一点，以CG，CE为边作，请用一条直线平分与组合的图形面积．他们延长EF，AD交于点H，分别作出，，，对角线的交点P，Q，M，N，得出甲、乙、丙三种方案．下列说法正确的是（    ）    A． 甲对，乙、丙错 B．甲、丙对，乙错 C．甲、乙对，丙错 D．乙、丙对，甲错 题型06.求平行线间的距离 【典例】如图，直线，则直线之间的距离是（    ） A．线段 B．线段的长度 C．线段 D．线段的长度 【跟踪专练1】如图，梯形中，，，，，，为边上一点，，则，之间的距离为_____． 【跟踪专练2】如图，，，，则点C到的距离为（   ） A．2 B．8 C．10 D．12 题型07.利用平行线间距离解决问题 【典例】如图a、b是两条平行线，则表示这两条平行线间距离的线段有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【跟踪专练1】如图，，若的面积等于8，则的面积等于_________． 【跟踪专练2】如图，直线，点A，B固定在直线上，C是直线上一动点．若E，F分别为的中点，下列各值中，不随点C的移动而改变的是（    ） ①线段的长；②的周长；③的面积；④的度数． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 题型08.证明四边形是平行四边形 【典例】如图，小明将两根木条，的中点重合钉起来，然后将木条端点首尾相接即可得到平行四边形，他这样做的数学原理是（   ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 【跟踪专练1】如图，任取两点、，分别以点和点为圆心、任意长为半径，分别在线段的两侧画弧，再分别以点和点为圆心、适当长为半径画弧，与前面所画的弧分别交于点A和点，顺次连结点A、、、，则四边形是平行四边形的依据是______．    【跟踪专练2】如图，在四边形中，对角线，相交于点E，，，，，则四边形的面积为（   ） A．24 B．48 C．80 D．96 题型09.判断能否构成平行四边形 【典例】在木工制作中，师傅常用“两组对边分别相等”的方法来检验做的窗框是否为平行四边形．这是因为（   ） A．平行四边形的对边平行 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．平行四边形的对角相等 D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 【跟踪专练1】下列条件能判断一个四边形是平行四边形的是_________（填上正确答案的序号） ①一组对边平行，一组对边相等；②一组对边平行且相等；③两组对边分别相等；④两组对边分别平行；⑤两条对角线相等． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，与交于点，则下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 题型10.添条件成为平行四边形 【典例】如图给出了四边形的部分数据，若使得四边形为平行四边形，还需要添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，点为对角线和的交点，已知，，当___________时，四边形是平行四边形． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，对角线相交于点O，请添加一组条件，使四边形是平行四边形，以下添加条件不正确的是（　） A． B． C． D． 题型11.求与已知三点组成平行四边形 【典例】以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形，最多能作____个不同的平行四边形． 【跟踪专练1】在一个平面上有不在同一直线上的三点，则这些点为顶点的平行四边形的个数是______个． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 题型12.全等三角形拼平行四边形问题 【典例】用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练1】直角边不等的两个全等直角三角形能拼成的不同平行四边形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练2】如图，将绕边的中点O顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ） 点A，C分别转到了点C，A处， 而点B转到了点D处． ∵， ∴四边形是平行四边形． A．应补充：且 B．应补充：且 C．应补充：且 D．应补充：且 题型13.由平行四边形判定与性质求解 【典例】在四边形中，且，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，点A、B在的对角线所在的直线上且．若，则_________． 【跟踪专练2】如图，在梯形中，，，，，，为边上一点，，则，之间的距离是（    ） A． B． C． D． 题型14.由平行四边形性质与判定证明 【典例】夹在两条平行线之间的平行线段的大小关系是_____． 【跟踪专练1】五一假期将至，某风景区为迎接游客，在相互平行的小溪两岸分别设有休息区与娱乐区．现计划在小溪上修建一座桥梁，要求桥梁与河岸垂直，欲使从休息区到娱乐区的通行路程最短，则下列作图正确的是（    ） A． B． B． C． D． 【跟踪专练2】在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，连接，，，，，有以下结论：①四边形的周长是定值；②四边形的面积是定值；③四边形是平行四边形；④四边形是平行四边形．上述结论正确的个数是（   ） A． B． C． D． 题型15.平行四边形性质与判定的应用 【典例】如图，两条宽度为4的矩形纸带交叉摆放，若，则重叠部分四边形的面积为_______． 【跟踪专练1】如图，在中，，点，分别从点，同时出发，沿，方向以相同的速度运动（分别运动到点，即停止），与相交于点，与相交于点．则在此运动过程中，线段的长始终等于______． 【跟踪专练2】如图，已知的面积为a，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为______． 题型16.三角形中位线求解问题 【典例】如图，在中，，M，N分别为，的中点，若，，则的长为（   ） A．3 B． C．4 D．5 【跟踪专练1】如图，在中，点为上一点，，平分，交于点，点为的中点．若，则_____． 【跟踪专练2】如图，在中，，，D，E分别是边，上的动点，连接，F，M分别是，的中点，则长的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 题型17.三角形中位线证明问题 【典例】如图，点，为定点，定直线，是上一动点，点，分别为，的中点，对于下列各值：①线段的长；②的周长；③的大小；④直线，之间的距离．其中会随点的移动而不改变的是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【跟踪专练1】如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是________． 【跟踪专练2】若一个三角形一条边上的中线等于与这条边平行的中位线，则这个三角形一定是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【跟踪专练3】如图，的对角线、交于点，平分交于点，且，连结．下列结论正确的是__________．（填序号） ①平分；②；③；④． 题型18.三角形中位线实际应用问题 【典例】如图，，两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量、间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，，并且测出的长为20米，则，间的距离为__________米． 【跟踪专练1】如图，A，B两地被房子隔开，小明先在外选一点，然后步测出，的中点分别为M，N，并步测出的长约为45米，由此可知A，B间的距离约为（    ） A．22.5米 B．45米 C．85米 D．90米 【跟踪专练2】如图，中，D、E分别是的中点，平分，交于点F，若，则的长是_____ 【解答题】 1．如图，在等腰梯形中，，，．等腰直角三角形的斜边长，A点与N点重合，和在一条直线上．如果等腰梯形不动，等腰直角三角形沿所在直线以1厘米/秒的速度向右平移，直到点N与点B重合为止． (1)等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状由________形变为________形． (2)当等腰直角三角形运动________秒时，等腰直角三角形与等腰梯形重叠的面积最大，此时面积是________平方厘米． (3)当等腰直角三角形运动4秒时，等腰直角三角形与等腰梯形的重叠面积是多少平方厘米？ 2．如图，在中，E、F是对角线上的点，且．连接、、、． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，直接写出的度数为________． 3．如图，在中，点、分别在、上，且，连接，与相交于点，求证：是的中点． 4．如图所示，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，物业公司在此长方形地块内修建了一条平行四边形小路，小路的底边宽为米，为了进一步美化小区环境，提高业主居住舒适度和幸福感，营造一个宜居、温馨、和谐的居住氛围，近期，物业公司计划将图中阴影部分进行绿化． (1)用含有、的式子表示绿化的面积； (2)若，，请你帮助物业公司求出此时绿化的面积． 5．如图，在中，于点，于点，若的周长为，，    (1)求和之间的距离及和之间的距离． (2)求平行四边形的面积． 6．如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点、，连接、．求证：四边形是平行四边形． 7．已知：如图：在中，，，垂直于D，是上的一个动点，以，为边作，连接，设， (1)探究与的数量关系，并说明理由． (2)设，求S关于t的关系式； (3)Q在内部，当时，求t的值． 8．如图，在中，，（），是的中点，延长至点使得，连接．是线段上的动点，点在线段上，满足． (1)如图1，当且点与重合时，直接写出的长； (2)如图2，点不与，重合，判断与的数量关系，并证明； (3)若当点为的中点时，点恰为的中点，求的值． 9．如图，的中线，相交于点，且，分别是，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 10．情境：图1是由一个边长为4的等边三角形纸片沿一条中位线去掉一个等边三角形后得到的“完美梯形”纸片．将该纸片通过裁剪，可拼接为新的等边三角形（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）． 操作：嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪拼成了图2的等边三角形．嘉嘉沿虚线、、裁剪三刀，将纸片剪成①-④四块，再将①、③、④移动到新的位置进行拼接．根据嘉嘉的拼接过程解答下列问题： （1）的度数为 ， ； （2）直接写出图2中三条裁剪线、、的数量关系，并计算等边三角形的边长； 探究： （3）淇淇说：“将图1所示纸片沿过四边形顶点的直线裁剪，只剪两刀，分成三块，就可以拼成新的等边三角形”，请你按照淇淇的说法设计一种方案，在图3所示的纸片中画出两条裁剪线的位置（可以借助刻度尺、三角尺或圆规），并直接写出较长的裁剪线的长（若两条裁剪线长度相等，写出其长度即可）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08平行四边形复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.牢记平行四边形定义及核心特征； 2.掌握边、角、对角线的性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分）； 3.熟记5种判定定理，区分性质与判定。 1.能运用性质计算边长、角度，用判定证明平行四边形； 2.应对综合题型（结合全等、动点），规范书写解题步骤； 3.培养几何推理与数形结合思维。 1.基础题（选择、填空）零失分； 2.中档计算、证明题稳拿分； 3.突破综合题，规避易错点（混淆性质与判定、步骤不规范），提升得分率。 题型01.等腰梯形的定义 题型02.数图形中平行四边形的个数 题型03.利用平行四边形性质求解 题型04.利用平行四边形性质证明 题型05.平行四边形性质的应用 题型06.求平行线间的距离 题型07.利用平行线间距离解决问题 题型08.证明四边形是平行四边形 题型09.判断能否构成平行四边形 题型10.添条件成为平行四边形 题型11.求与已知三点组成平行四边形 题型12.全等三角形拼平行四边形问题 题型13.由平行四边形判定与性质求解 题型14.由平行四边形性质与判定证明 题型15.平行四边形性质与判定的应用 题型16.三角形中位线求解问题 题型17.三角形中位线证明问题 题型18.三角形中位线实际应用问题 解答题10题 知识点01:平行四边形 核心定义 1.精准定义：两组对边分别互相平行的四边形，叫作平行四边形 本质逻辑：平行是平行四边形的源头属性，所有性质、判定都围绕 “对边平行” 延伸。 几何判定句式：∵AB∥CD, AD∥BC ∴ 四边形ABCD是平行四边形 2.基本元素：边（4 条，分对边、邻边）、角（4 个，分对角、邻角）、对角线（2 条，互相相交）、对称中心（对角线的交点）。 平行四边形基本元素：边、角、对角线。 知识点02:平行四边形核心性质(必考.知平行四边形推边角特征) 维度 性质 几何语言 边 对边平行且相等 AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分 AO=OC，BO=OD 面积 S=底×对应高（S=ah） 同底等高的平行四边形面积相等 知识点03:平行线衍生性质 平行线间距离：两条平行线之间的垂线段长度，叫做平行线间的距离； 关键规律：平行线间距离处处相等； 延伸结论：夹在两条平行线之间的所有平行线段，长度全部相等。 知识点04:平行四边形的判定定理（核心，知边角特征推平行四边形） 判定方法 文字条件 几何语言 定义法 两组对边分别平行 ∵AB∥CD, AD∥BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等 两组对边分别相等 ∵AB=CD, AD=BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等 一组对边平行且相等 ∵AB∥CD 且 AB=CD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 对角线互相平分 对角线互相平分 ∵OA=OC, OB=OD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 知识点05:重中之重：三角形中位线 1. 概念精准区分（特色易混辨析） 三角形中位线：连接三角形两条边中点的线段； 三角形中线：连接三角形顶点与对边中点的线段；. 核心区别：中位线无顶点，中线必带顶点，一字之差完全不同。 2. 三角形中位线定理（必考核心） 文字表述：三角形的中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半。 双重考点：既有位置平行关系，又有数量倍数关系，一题两用。 标准几何语言：在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则 DE∥BC，DE =BC。 3. 中位线与中线的区别 中位线：连接两边中点，平行于第三边。 中线：连接顶点与对边中点，经过重心。 4.三角形中位线拓展规律 任意三角形有三条中位线，围成一个小三角形； 中位线分割：原三角形被三条中位线分成四个全等小三角形； 数值规律：小三角形周长=原三角形周长小三角形面积=原三角形面积 5.解题特色技巧 遇多个中点、线段一半、证明两直线平行题型，优先构造中位线； 中位线 + 平行四边形结合，是几何大题经典综合考法。 题型01.等腰梯形的定义 【典例】下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 【答案】D 【分析】本题考查了梯形定义，熟练掌握梯形的特征是解题的关键． 根据梯形的定义：梯形是只有一组对边平行的四边形，进行判断即可. 【详解】解：A、因为有一组对边平行的四边形可能为平行四边形（两组对边平行），不一定是梯形，该选项说法错误，不符合题意； B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，该描述不是梯形的定义，且当其为平行四边形时，不符合梯形只有一组对边平行的特点，故该选项说法错误，不符合题意； C、因为有两组对边平行的四边形是平行四边形，不是梯形，该选项说法错误，不符合题意； D、只有一组对边平行的四边形是梯形，符合梯形定义，符合题意. 故选：D． 【跟踪专练1】如图，梯形中，，，，，则______． 【答案】11 【分析】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，解题的关键在于作辅助线构造平行四边形． 作交于点E，证明四边形是平行四边形，结合平行四边形性质推出，，进而得到，再根据求解，即可解题． 【详解】解：作交于点E，则， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：11． 【跟踪专练2】在如图的几何体中，上、下底面都是平行四边形，各个侧面都是梯形，那么图形中与平行的线段有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，梯形的性质，平行公理的推理，根据平行四边形和梯形的性质可得，，，进而由平行公理的推理可得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，∵几何体的上、下底面都是平行四边形，各个侧面都是梯形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴图形中与平行的线段有，，，共条， 故选：． 题型02.数图形中平行四边形的个数 【典例】如图所示，在中，，，分别是，，上的点，且，，，则图中平行四边形共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的定义即可得到平行四边形有：平行四边形，平行四边形，平行四边形．解题的关键是掌握：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 【详解】解：∵，，， ∴四边形，四边形和四边形都是平行四边形， ∴图中平行四边形共有个． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，点分别在边，上，，，，则图中的平行四边形共有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明四边形，四边形，四边形是平行四边形． 【详解】解：∵，， ∴， ， 四边形，四边形，四边形是平行四边形， ∴图中一共有平行四边形个． 【跟踪专练2】如图，在中，，则图中平行四边形的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握根据两组对边分别平行的判定条件是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理逐一分析． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∵ ∴可以通过选择两条平行于的线段和两条平行于的线段来构成新的平行四边形 ∴图中的平行四边形有： 平行四边形 平行四边形 平行四边形 平行四边形 平行四边形 平行四边形 ∴共有个平行四边形． 故选：D． 题型03.利用平行四边形性质求解 【典例】如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形，，，的平分线交的延长线于点，则的长为______． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质得出，，，利用平行线的性质得出内错角相等，结合角平分线的定义证明为等腰三角形，得出，进而求出的长，即可得出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点在的延长线上， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，中，，D、E分别是、上的点，于点H，，，，则长为（   ） A．7 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】以为边构造平行四边形，过点E作于点G，连接，则有，然后可得，，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：以为边构造平行四边形，过点E作于点G，连接，如图所示： ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． 题型04.利用平行四边形性质证明 【典例】如图，四边形是平行四边形，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形．熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键． 根据平行四边形的边角对角线性质逐一判断，即得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴A. ，不一定成立； B. ，不一定成立； C. ，一定成立； D. ，不一定成立． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线折叠得到，交于点，连结，若，，，则的长是_________． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质得，，进而求出，由折叠的性质得，，，求出得，求出得，然后由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵将沿着所在的直线折叠得到， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质以及解直角三角形．熟练掌握平行四边形和折叠的性质，得到是解决本题的关键． 【跟踪专练2】如图，是内一点，，，，连接，，，下列结论：①；②为等腰直角三角形； ③；④，其中正确的个数有 （       ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【分析】①延长交于点，根据平行四边形性质和四边形内角和即可得到；②先证明，得，又有，可得，即可得到为等腰直角三角形；③过点作交延长线于点，证明，再根据勾股定理及等腰直角三角形的性质，可得成立；④过点作于，根据勾股定理即可证明，可知结论不成立． 【详解】解：①延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故①正确； 在中，∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴为等腰直角三角形， 故②正确； ∵， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， 过点作交延长线于点，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，，，则为等腰直角三角形， ∴， 由等腰直角三角形可知，， ∴， 故③正确； 由勾股定理可知，，则， 过点作于，则， ∵， ∴， ∴， 则，， ∴， 故④不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，勾股定理，等腰直角三角形判定和性质，全等三角形判定和性质等知识点，解题关键正确添加辅助线构造全等三角形和直角三角形． 题型05.平行四边形性质的应用 【典例】如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，则下列结论正确的是（    ） A．AB＝CD B．OA＝OD C．AD＝CD D．AC⊥BD 【答案】A 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边平行且相等，对角相等，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，OA=OC，AD=BC，对角线互相平分，但不一定垂直， ∴ 所以A正确，B、C、D错误． 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质．注意平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分定理的应用是解此题的关键． 【跟踪专练1】平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是______． 【答案】12或18/18或12 【分析】分两种情况讨论：①3是长为4的边上的高，②3是长为6的边上的高，再根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】解：当3是长为4的边上的高时，平行四边形的面积为：3×4=12； 当3是长为6的边上的高时，平行四边形的面积为：3×6=18； 故答案为：12或18． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的面积计算，解题的关键是掌握平行四边形的面积公式，当高不知道是哪条边上的高时，要进行讨论． 【跟踪专练2】嘉嘉和淇淇在研究平行四边形的性质时，想到这样一个问题：如图，已知，G为CD边上一点，E为BC延长线上一点，以CG，CE为边作，请用一条直线平分与组合的图形面积．他们延长EF，AD交于点H，分别作出，，，对角线的交点P，Q，M，N，得出甲、乙、丙三种方案．下列说法正确的是（    ）    A． 甲对，乙、丙错 B．甲、丙对，乙错 C．甲、乙对，丙错 D．乙、丙对，甲错 【答案】B 【分析】根据平行四边形为中心对称图形，得到过对称中心的任意一条直线平分平行四边形的面积，进行判断即可． 【详解】解：∵平行四边形为中心对称图形， ∴过对称中心的任意一条直线平分四边形的面积， 甲方案：直线既平分的面积，也平分的面积，符合题意；正确； 乙方案：直线平分的面积，所以下面阴影部分的面积大于上面的阴影部分的面，不符合题意；错误； 丙方案：直线既平分的面积，也平分，所以直线上方和下方的阴影部分面积也相等，符合题意；正确． 故选B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质．熟练掌握过平行四边形的中心的直线平分四边形的面积，是解题的关键． 题型06.求平行线间的距离 【典例】如图，直线，则直线之间的距离是（    ） A．线段 B．线段的长度 C．线段 D．线段的长度 【答案】D 【分析】根据两平行线之间的距离的概念：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做两平行线的距离，进行判断即可． 【详解】解：直线，， 线段的长度是直线之间的距离， 故选：D． 【点睛】此题考查了平行线间的距离，熟练掌握平行线间的距离的概念是解答此题的关键． 【跟踪专练1】如图，梯形中，，，，，，为边上一点，，则，之间的距离为_____． 【答案】 【分析】先证明四边形是平行四边形，得出，，进而求出，然后在中根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又， ∴， ∵， ∴， 即，之间的距离为． 【跟踪专练2】如图，，，，则点C到的距离为（   ） A．2 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质，运用平行线之间三角形面积相等是解题的关键． 首先利用平行线之间三角形面积相等，得到的面积，再根据面积公式求解点C到的距离即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点C到的距离为， 故选：A． 题型07.利用平行线间距离解决问题 【典例】如图a、b是两条平行线，则表示这两条平行线间距离的线段有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】D 【分析】本题考查了平行线之间的距离，掌握从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，平行线间的距离处处相等是解题的关键． 根据从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，平行线间的距离处处相等即可得出答案． 【详解】解：表示这两条平行线间距离的线段有无数条， 故选：D． 【跟踪专练1】如图，，若的面积等于8，则的面积等于_________． 【答案】8 【分析】根据平行线的性质得到和同底等高，进而得到． 【详解】解：， 和同底等高， ． 【跟踪专练2】如图，直线，点A，B固定在直线上，C是直线上一动点．若E，F分别为的中点，下列各值中，不随点C的移动而改变的是（    ） ①线段的长；②的周长；③的面积；④的度数． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形中位线定理、三角形面积等知识，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 判断出长为定值，到的距离为定值，再根据三角形的中位线与平行线的性质即可判断①③，根据运动得出不断发生变化、的大小不断发生变化，即可判断②④． 【详解】解：、为定点， 长为定值， 点，分别为，的中点， 是的中位线， 为定值，故①正确； 点，为直线上定点，直线， 到的距离为定值， 是的中位线， ， 到的距离为定值， 又为定值， 的面积为定值，故③正确； 当点移动时，的长发生变化， 则的长发生变化， 的周长发生变化，故②错误； 当点移动时，发生变化，则发生变化，故④错误； 故选：B． 题型08.证明四边形是平行四边形 【典例】如图，小明将两根木条，的中点重合钉起来，然后将木条端点首尾相接即可得到平行四边形，他这样做的数学原理是（   ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 【答案】A 【分析】已知和是对角线，取各自中点，则对角线互相平分（即，）的四边形是平行四边形． 【详解】解：由已知可得，， ∴四边形是平行四边形，依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形． 【跟踪专练1】如图，任取两点、，分别以点和点为圆心、任意长为半径，分别在线段的两侧画弧，再分别以点和点为圆心、适当长为半径画弧，与前面所画的弧分别交于点A和点，顺次连结点A、、、，则四边形是平行四边形的依据是______．    【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【分析】本题考查了复杂作图，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理求解． 【详解】解：根据题意可以得到，， ∴四边形是平行四边形的依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，对角线，相交于点E，，，，，则四边形的面积为（   ） A．24 B．48 C．80 D．96 【答案】D 【分析】在中，由勾股定理可求得，再根据，则．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，进而可求得四边形的面积． 【详解】解：在中，，，， ∴． ， ， ∵， 四边形是平行四边形． 四边形的面积为． 题型09.判断能否构成平行四边形 【典例】在木工制作中，师傅常用“两组对边分别相等”的方法来检验做的窗框是否为平行四边形．这是因为（   ） A．平行四边形的对边平行 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．平行四边形的对角相等 D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【分析】检验窗框是否为平行四边形属于平行四边形的判定问题，只需匹配题目中“两组对边分别相等”对应的判定结论即可． 【详解】解：∵检验窗框是否为平行四边形，是利用平行四边形的判定定理进行判断，本题使用的判定条件为两组对边分别相等， ∴判定依据为“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，对应选项B． 其余选项均不匹配题目给出的检验方法，不符合要求． 【跟踪专练1】下列条件能判断一个四边形是平行四边形的是_________（填上正确答案的序号） ①一组对边平行，一组对边相等；②一组对边平行且相等；③两组对边分别相等；④两组对边分别平行；⑤两条对角线相等． 【答案】②③④ 【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．按照平行四边形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故①错误，②正确； ③两组对边分别相等，符合平行四边形的判定条件，故③正确； ④两组对边分别平行，符合平行四边形的判定条件，故④正确； 对角线互相平分的四边形是平行四边形，故⑤错误； 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的定义和判定方法是解答此类题目的关键． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，与交于点，则下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理，解答即可． 本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：A. ，可以，不符合题意，     B. ，不可以，符合题意， C. ，可以，不符合题意，     D. ，可以，不符合题意， 故选：B． 题型10.添条件成为平行四边形 【典例】如图给出了四边形的部分数据，若使得四边形为平行四边形，还需要添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理添加条件即可求解． 【详解】解：∵在四边形中，， ∴， ∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，可添加的条件是：． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，点为对角线和的交点，已知，，当___________时，四边形是平行四边形． 【答案】3 【分析】根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，已知 ，只需 即可． 【详解】解：根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形， 在四边形 中， ， 要使四边形 是平行四边形，只需 ， ， ． 即当时，四边形是平行四边形． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，对角线相交于点O，请添加一组条件，使四边形是平行四边形，以下添加条件不正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、添加，可以运用两组对边分别相等的四边形是平行四边形的方法判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、添加，无法证明四边形是平行四边形，符合题意； C、添加，可运用对角线相互平分的四边形是平行四边形的方法判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、添加，可以运用两组对边分别平行的四边形是平行四边形的方法判定四边形是平行四边形，不符合题意； 故选：B ． 题型11.求与已知三点组成平行四边形 【典例】以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形，最多能作____个不同的平行四边形． 【答案】3 【分析】连接三点，分别以三边作为平行四边形的对角线，作图即可得3个平行四边形． 【详解】解：如图， 以点，，能做三个平行四边形：，，． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法． 【跟踪专练1】在一个平面上有不在同一直线上的三点，则这些点为顶点的平行四边形的个数是______个． 【答案】3/三 【分析】在同一直线上的三点为，连接，分别以其中一条线段为对角线，另两边为平行四边形的边，可构成三个不同的平行四边形． 【详解】解：设已知三点为，连接， 分别以为平行四边形的对角线，另外两边为边， 可构成的平行四边形有三个：． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定以及分类讨论的数学思想，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．分三种情况：①和为对角线时，②和为对角线时，③和为对角线时，设点的坐标为，利用平行四边形两对角线互相平分结合中点公式即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， 分三种情况：①和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； ②和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； ③和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，点C的坐标可能是或或，不可能是． 故选：D． 题型12.全等三角形拼平行四边形问题 【典例】用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．以三角尺的三边为对角线，分别拼成不同的平行四边形，即可得出结论． 【详解】解：如图所示， 用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有3个． 故选：C． 【跟踪专练1】直角边不等的两个全等直角三角形能拼成的不同平行四边形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】因为直角边不等，直角三角形三条边长度均不同，每种对应边重合可得到不同平行四边形，统计个数即可． 【详解】解：分别将两条不同直角边、斜边依次重合拼接，共得到3种不同的平行四边形，如图： ∴能拼成的不同平行四边形的个数是3． 【跟踪专练2】如图，将绕边的中点O顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ） 点A，C分别转到了点C，A处， 而点B转到了点D处． ∵， ∴四边形是平行四边形． A．应补充：且 B．应补充：且 C．应补充：且 D．应补充：且 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定方法逐个分析即可． 【详解】A．加上，可证得时间△ABC和△CDA全等，可得AB=CD，可得四边形是平行四边形； B．加上，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形； C．加上，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形； D．加上，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形． 故选：C 【点睛】考核知识点：平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定方法是关键． 题型13.由平行四边形判定与性质求解 【典例】在四边形中，且，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明四边形是平行四边形，则，即可求得． 【详解】解：∵且， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的邻角互补是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，点A、B在的对角线所在的直线上且．若，则_________． 【答案】/35度 【分析】利用平行四边形的性质证明即可． 【详解】解：∵中， ∴， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，在梯形中，，，，，，为边上一点，，则，之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判定四边形是平行四边形，从而得出，，然后求出的长，最后在中利用勾股定理求出的长，即为，之间的距离． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 在中，， ，即，且， ，之间的距离为的长，即． 题型14.由平行四边形性质与判定证明 【典例】夹在两条平行线之间的平行线段的大小关系是_____． 【答案】相等 【分析】根据两组对边分别平行可判定四边形为平行四边形，再利用平行四边形对边相等的性质，即可得到两条平行线之间平行线段的大小关系． 【详解】解：由题意可知，两条直线互相平行，夹在两直线间的线段也互相平行，因此任选两条平行线段，则组成的四边形两组对边分别平行．根据平行四边形的判定定理，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．根据平行四边形的性质，平行四边形的对边相等，因此夹在两条平行线之间的平行线段相等．故答案为相等． 【跟踪专练1】五一假期将至，某风景区为迎接游客，在相互平行的小溪两岸分别设有休息区与娱乐区．现计划在小溪上修建一座桥梁，要求桥梁与河岸垂直，欲使从休息区到娱乐区的通行路程最短，则下列作图正确的是（    ） A． B． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把点（或点）沿着它们垂直于河岸的方向平移，使平移的距离等于河宽，再作两点间的线段，再结合图形分析即可得出结果． 【详解】解：根据题意，应先把点（或点）沿着它们垂直于河岸的方向平移，使平移的距离等于河宽，再作两点间的线段，如图： ． 【跟踪专练2】在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，连接，，，，，有以下结论：①四边形的周长是定值；②四边形的面积是定值；③四边形是平行四边形；④四边形是平行四边形．上述结论正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行四边形的性质可证，，得到四边形是平行四边形，即可判定④；分别证明和，可得，，得到四边形是平行四边形，即可判定③；利用平行线间的距离相等可得，，即得，即可判定②；由点在上移动时，的长度发生变化，在中，的长度随之变化，同理的长度也变化，可知四边形的周长不是定值，即可判定①，综上即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，，，，，， 分别为的中点， ， ， 又∵， ∴四边形是平行四边形，故④正确； ∵，，， ∴， 在和中， ， ， ， ， ，即， 同理可证， ， ∴四边形是平行四边形，故③正确； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴点到的距离等于点到的距离， 设距离为， ∵ ， ， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 同理可得，， ∴， ∴四边形的面积是定值，故②正确； 当点在上移动时，的长度发生变化，在中，的长度随之变化，同理的长度也变化，所以四边形的周长不是定值，故①错误； 综上所述，正确的结论有②③④，共个． 题型15.平行四边形性质与判定的应用 【典例】如图，两条宽度为4的矩形纸带交叉摆放，若，则重叠部分四边形的面积为_______． 【答案】 【分析】作AE⊥BC，AF⊥CD，然后确定四边形ABCD为平行四边形，从而根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，作AE⊥BC，AF⊥CD， 由题意，AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵AE⊥BC，∠ABC=45°， ∴∠AEB=90°，∠BAE=45°， ∴△ABE为等腰直角三角形，AB=AE， 由题意，AE=AF=4， ∴AB=4， ∴四边形ABCD的面积=AB·AF=16． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定方法，理解题中的实际意义是解题关键． 【跟踪专练1】如图，在中，，点，分别从点，同时出发，沿，方向以相同的速度运动（分别运动到点，即停止），与相交于点，与相交于点．则在此运动过程中，线段的长始终等于______． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质得出，，得出四边形和四边形都是平行四边形，则，，由三角形中位线定理可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 点，分别从点A，同时出发，沿，方向以相同的速度运动， ， ， 四边形和四边形都是平行四边形， ，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，证明四边形和四边形是平行四边形是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，已知的面积为a，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】连接EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，求出平行四边形ACFM，根据等底等高的三角形面积相等得出△BDE的面积和△CDE的面积相等，△ADE的面积和△AME的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，求出CF×hCF的值即可． 【详解】解：连接EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M， ∵四边形CDEF是平行四边形， ∴DE∥CF，EF∥CD， ∴AM∥DE∥CF，AC∥FM， ∴四边形ACFM是平行四边形， ∵△BDE边DE上的高和△CDE的边DE上的高相同， ∴△BDE的面积和△CDE的面积相等， 同理△ADE的面积和△AME的面积相等， 即阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，是×CF×hCF， ∵△ABC的面积是，， ∴BC×hBC＝×3CF×hCF＝a， ∴CF×hCF＝a， ∴阴影部分的面积是CF×hCF＝a＝， 故答案为： 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积的应用，正确得出阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半是解题关键． 题型16.三角形中位线求解问题 【典例】如图，在中，，M，N分别为，的中点，若，，则的长为（   ） A．3 B． C．4 D．5 【答案】C 【分析】由三角形中位线定理求出的长，再由勾股定理可求出的长． 【详解】解：∵M，N分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴． 【跟踪专练1】如图，在中，点为上一点，，平分，交于点，点为的中点．若，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了三线合一，中位线的性质．根据，平分，可得，再由点为的中点可知，为的中位线，从而得出答案． 【详解】解：，平分， ，即点为中点， 点为的中点， 为的中位线， ， ， ． 【跟踪专练2】如图，在中，，，D，E分别是边，上的动点，连接，F，M分别是，的中点，则长的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】过点B作于G，连接，由三线合一定理和勾股定理求出，进而求出，证明是的中位线，得到，则当时，最小，即此时最小，利用面积法求出，则． 【详解】解：如图所示，过点B作于G，连接， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵F，M分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当时，最小，即此时最小， ∵当时，， ∴， ∴， ∴最小值为． 题型17.三角形中位线证明问题 【典例】如图，点，为定点，定直线，是上一动点，点，分别为，的中点，对于下列各值：①线段的长；②的周长；③的大小；④直线，之间的距离．其中会随点的移动而不改变的是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理判断即可． 【详解】解：∵点，分别为，的中点， ∴，， ∴线段的长不变，直线，之间的距离不变，故①④符合题意， 而、的长随点的运动而改变，的大小随点的运动而改变，故②③不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是________． 【答案】/30度 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理和等腰三角形的性质，根据已知条件证明是解题关键． 根据题中所给的中点关系，由中位线定理可得，，进而可得，即是等腰三角形，由此即可求解． 【详解】点是对角线的中点，点分别是的中点， 是的中位线，即， 同理，， ， ， 是等腰三角形， 故答案为：． 【跟踪专练2】若一个三角形一条边上的中线等于与这条边平行的中位线，则这个三角形一定是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定和性质，根据题意，画出图形，证明三角形为直角三角形即可得． 【详解】解：如图，为的中位线，为的中线，且， ∴ ∴，， ∵， 即， ∴，即． ∴是直角三角形． 故选D． 【跟踪专练3】如图，的对角线、交于点，平分交于点，且，连结．下列结论正确的是__________．（填序号） ①平分；②；③；④． 【答案】①②④. 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，直角三角形的 判定和性质，勾股定理及角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．根据平行四边形的性质、角平分线的性质、解直角三角形、勾股定理分别推理计算即可． 【详解】解四边形是平行四边形， ，，， ． 平分， ， 是等边三角形， ， ∵， ， ， ， ， 平分．故①正确； ． ， 在 中，， ， ，故②正确； 在 中，，， 则． ， ， 令交于，则， 与不垂直，故③错误； 四边形是平行四边形，． ， ， 是的中位线． ． 设，则， ， ， ． ， ， ，故④正确．故正确的为①②④． 故答案为：①②④． 题型18.三角形中位线实际应用问题 【典例】如图，，两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量、间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，，并且测出的长为20米，则，间的距离为__________米． 【答案】 40 【详解】解：如下图，连接， ∵，的中点分别为，，的长为20米， ∴米， 即，间的距离为40米. 【跟踪专练1】如图，A，B两地被房子隔开，小明先在外选一点，然后步测出，的中点分别为M，N，并步测出的长约为45米，由此可知A，B间的距离约为（    ） A．22.5米 B．45米 C．85米 D．90米 【答案】D 【分析】根据三角形中位线求解即可； 【详解】解：根据题意，得是的中位线， 故（米）； 【跟踪专练2】如图，中，D、E分别是的中点，平分，交于点F，若，则的长是_____ 【答案】3 【分析】由题意得是的中位线，则，由此，根据角平分线定义得，进而推出，即可求出 【详解】∵D、E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵D是的中点，， ∴， ∴ 故答案为3. 【解答题】 1．如图，在等腰梯形中，，，．等腰直角三角形的斜边长，A点与N点重合，和在一条直线上．如果等腰梯形不动，等腰直角三角形沿所在直线以1厘米/秒的速度向右平移，直到点N与点B重合为止． (1)等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状由________形变为________形． (2)当等腰直角三角形运动________秒时，等腰直角三角形与等腰梯形重叠的面积最大，此时面积是________平方厘米． (3)当等腰直角三角形运动4秒时，等腰直角三角形与等腰梯形的重叠面积是多少平方厘米？ 【答案】(1)等腰直角三角；等腰梯 (2)10；21 (3)4平方厘米 【分析】本题主要考查三角形、梯形的有关知识，考查学生应用运动观念，通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想的能力和分类讨论、数形结合的思想方法． （1）等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状有两种情况，画出图形即可； （2）根据（1）中分析知，当点N与点B重合时，重叠部分面积最大，最大为梯形的面积，利用梯形面积公式即可求解； （3）易得此时重叠部分为等腰直角三角形，计算出此等腰直角三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状如下： 开始是等腰直角三角形，当经过点D后，重叠部分变为等腰梯形； 故答案为：等腰直角三角；等腰梯； （2）解：如图，当点N与点B重合时，重叠部分面积最大，最大为梯形的面积， 此时运动时间为：（秒）； 过点D作于点E， ∵， ∴ ∴， 故答案为：10；21； （3）解：等腰直角三角形运动4秒时，此时重叠部分为等腰直角三角形，如图，过点E作于点H， 则； ∵， ∴， ∴ 2．如图，在中，E、F是对角线上的点，且．连接、、、． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，直接写出的度数为________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，交于点O，由平行四边形的性质得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）先由平行四边形的性质得到，进而得到，即，求出，即可得到． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点O， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，在中，点、分别在、上，且，连接，与相交于点，求证：是的中点． 【答案】见详解 【分析】通过证明与全等，最后根据全等三角形的对应边相等，推出， 从而证明是的中点． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， （两直线平行，内错角相等）， 在和中， ， ， ， 是的中点． 4．如图所示，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，物业公司在此长方形地块内修建了一条平行四边形小路，小路的底边宽为米，为了进一步美化小区环境，提高业主居住舒适度和幸福感，营造一个宜居、温馨、和谐的居住氛围，近期，物业公司计划将图中阴影部分进行绿化． (1)用含有、的式子表示绿化的面积； (2)若，，请你帮助物业公司求出此时绿化的面积． 【答案】(1) (2)平方米 【分析】本题考查多项式乘多项式， （1）利用长方形的面积公式及平行四边形的面积公式进行求解即可； （2）把相应的值代入（1）中运算即可； 解答的关键是掌握相应的运算法则和公式． 【详解】（1）解：由题意得： （平方米）， ∴绿化的面积为平方米； （2）当，时， （平方米）， ∴此时绿化的面积为平方米． 5．如图，在中，于点，于点，若的周长为，，    (1)求和之间的距离及和之间的距离． (2)求平行四边形的面积． 【答案】(1)和之间的距离，和之间的距离 (2) 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是掌握以下知识点：（1）平行四边形的两组对边分别相等；（2）平行四边形的面积等于边长乘以高． （1）根据平行线间的距离求解即可； （2）已知平行四边形的高，，根据“等面积法”列方程，求出BC＝8，根据平行四边形的面积＝底乘以高可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴和之间的距离，和之间的距离； （2）∵的周长为， ∴， 又，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点、，连接、．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】根据一组对边平行且相等来证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形． 7．已知：如图：在中，，，垂直于D，是上的一个动点，以，为边作，连接，设， (1)探究与的数量关系，并说明理由． (2)设，求S关于t的关系式； (3)Q在内部，当时，求t的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查等腰三角形的性质、平行四边形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，设点P到的距离为，利用三角形面积公式和平行四边形面积公式求出和，进而探究二者的数量关系即可； （2）过点D作于点E，根据勾股定理求出长，利用“等面积法”求出长，进而求出，由（1）知，，据此解答即可； （3）根据平行四边形的性质得到、，进而得到，利用求出，进而求出长，利用，列方程求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ，垂直于D， ， 设点P到的距离为， 、， ； （2）解：如图，过点D作于点E， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 由（1）知，， ； （3）解：设交于点M， 四边形是平行四边形， 、， ， ， 由（2）知，， ， ， ， ， ， 在内部， ， ， 整理得：， 解得． 8．如图，在中，，（），是的中点，延长至点使得，连接．是线段上的动点，点在线段上，满足． (1)如图1，当且点与重合时，直接写出的长； (2)如图2，点不与，重合，判断与的数量关系，并证明； (3)若当点为的中点时，点恰为的中点，求的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）先证明为等边三角形，再证明，然后证明为等边三角形，即可得出结果； （2）连接，易得垂直平分，得到，进而得到，设，倒角推出，推出，即可得出结论； （3）延长至点，使，连接，易得为的中位线，进而得到，设，推出，在和，利用勾股定理求出，进而推出，得到为等腰直角三角形，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； （2）解：，理由如下： 连接， ∵，（），是的中点， ∴垂直平分， ∵是线段上的动点， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：延长至点，使，连接， 由（1）可知， ∴， ∵为的中点， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 由（2）知：， ∴设，则， ∵，为的中点， ∴， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 9．如图，的中线，相交于点，且，分别是，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形中位线定理可得出，，然后利用平行四边形的判定即可得证； （2）利用三线合一得，由勾股定理求出，结合平行四边形的性质可求出，再由勾股定理求出，然后根据三角形中位线定理可得的长． 【详解】（1）证明：∵的中线，交于点O， ∴，， ∵点F，G分别是，的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， ∵，是的中线， ∴，， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∴． ∵，E分别是，的中点， ∴． 10．情境：图1是由一个边长为4的等边三角形纸片沿一条中位线去掉一个等边三角形后得到的“完美梯形”纸片．将该纸片通过裁剪，可拼接为新的等边三角形（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）． 操作：嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪拼成了图2的等边三角形．嘉嘉沿虚线、、裁剪三刀，将纸片剪成①-④四块，再将①、③、④移动到新的位置进行拼接．根据嘉嘉的拼接过程解答下列问题： （1）的度数为 ， ； （2）直接写出图2中三条裁剪线、、的数量关系，并计算等边三角形的边长； 探究： （3）淇淇说：“将图1所示纸片沿过四边形顶点的直线裁剪，只剪两刀，分成三块，就可以拼成新的等边三角形”，请你按照淇淇的说法设计一种方案，在图3所示的纸片中画出两条裁剪线的位置（可以借助刻度尺、三角尺或圆规），并直接写出较长的裁剪线的长（若两条裁剪线长度相等，写出其长度即可）． 【答案】（1）；；（2），；（3）见解析， 【分析】（1）利用拼接的特征得到，再利用直角三角形的性质解答即可； （2）利用（1）的方法求得，再利用全等三角形的判定与性质得到；利用对称的性质得到等边三角形的边长； （3）连接，过点A作于点E，则，为所画出两条裁剪线；利用直角三角形的性质解答即可得出结论； 【详解】解：（1）由题意得：， ∵， ∴． ∴ ∵， ∴ ∴． 故答案为：；． （2）三条裁剪线、、的数量关系为． 由题意得：，，，， ∵， ∴． ∵， ∴ ∴． 连接，如图， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴等边三角形的边长为； （3）1．连接， 2．过点A作于点E， 则，将纸片沿过四边形顶点A的直线裁剪，分成三块，将绕着点C旋转得到，将绕着点E旋转得到，可以拼成新的等边三角形，如图， 则，为所画出两条裁剪线． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴较长的裁剪线的长为． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，等腰梯形的性质，尺规作图，图形的拼接，熟练掌握等边三角形的性质和直角三角形性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $