湖北罗田县第一中学2025-2026学年下学期期中考试高一数学试卷

**基本信息** 2026年高一数学期中卷以文化传承与现实应用为特色，通过古希腊泰特托斯无理数构造、污水处理厂管道设计等情境，融合向量、三角函数、解三角形等核心知识，考察抽象能力、几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量夹角（第3题）、三角函数图像（第6题）|基础巩固，结合数学史情境（第4题）| |多选题|3/18|复数性质（第9题）、解三角形判定（第10题）|能力辨析，引入“奔驰定理”（第11题）| |填空题|3/15|三角函数定义（第12题）、动点最值（第14题）|概念辨析与空间想象| |解答题|5/60|向量函数（第15题）、解三角形（第17题）、实际建模（第18题）|综合应用，仿射坐标系创新（第19题）|

( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 绝密★启用前 2026年春季罗田一中期中考试高一数学试题 考试时间：120分钟满分： 150分 题号 一 二 三 四 总分 得分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 先根据共轭复数的定义写出  ，然后根据复数的乘法计算． 【解答】 解：依题意得，  ，故  ． 故选： 2.设，，，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查比较大小，利用指数函数和对数函数的性质判断范围是解决本题的关键，属于简单题． 利用指数函数和对数函数性质，结合中间值进行比较即可． 【解答】 解：， ， ，， 所以． 故选D． 3.已知向量，，且，的夹角为锐角，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由题意得 得且， 即的取值范围为 故选：． 4.古希腊数学家泰特托斯，公元前公元前年详细地讨论了无理数的理论，他通过图来构造无理数，如图，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查两角和的余弦公式，属于基础题． 利用直角三角形中边角关系和两角和的余弦公式即可求解． 【解答】 解：记，， 由图知：，，， 所以 ． 故选：． 5.已知点，，，点在所在平面内，且满足，则在上的投影向量为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：设，则，，， 由，解得，即， 从而，， 所以在上的投影向量为 故选： 6.将的图象上所有点向右平移个单位长度后，得到函数的图象，函数的图象如图所示，则(    ) A. B. 的图像的对称轴方程为 C. 不等式的解集为 D. 在上单调递增 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查的图象与性质，考查由部分图象求三角函数的解析式． 先求出函数的解析式，再根据平移求出的解析式，结合函数的性质对选项进行判断即可． 【解答】 解：由图知，，函数的图像的最小正周期， 所以，所以， 因为点在的图像上，所以， 所以，因为，所以， 所以，故选项A错误； 所以， 令，解得， 所以的图像的对称轴方程为，故选项错误； 由，得， 所以， 即不等式的解集为，所以选项错误； 令得， 即的单调递增区间为， 因为，所以选项D正确． 故选：． 7.中，，，，是外接圆上一点，，则的最大值是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查平面向量基本定理的应用，利用余弦定理解三角形，属偏难题． 由余弦定理求出，即可得到，设的中点为，则为外接圆的圆心，如图建立平面直角坐标系，设，根据平面向量的线性运算的坐标表示得到，再利用辅助角公式及正弦函数的性质计算可得其最大值． 【解答】 解：由余弦定理， 即， 所以，所以，即， 则为等腰直角三角形． 设的中点为，则为外接圆的圆心，如图建立平面直角坐标系， 则，，，设， 则，，， 因为，即， 所以 所以， 所以当，即时； 故选： 8.已知函数的相邻两个对称中心的距离为，且，则函数的图像与函数且的图象所有交点横坐标之和为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查三角函数的图象与性质知识，考查对称思想在解函数中巧妙运用，属于较难题． 根据对称中心，得到最小正周期，再由，求得，利用图象与函数且的图象交点特征求得结果． 【解答】解：函数 的相邻两个对称中心的距离为， 最小正周期为， 即，所以，则， 又，即， 所以，， ， ， ， 又， 关于中心对称，作出两个函数的大致图象， 可知两函数共有个交点，且都关于成中心对称，故这六根之和为， 故选D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是(    ) A. B. 复数的虚部为 C. 若复数为纯虚数，则 D. 【答案】AD  【解析】【分析】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义、复数的模，是基础题． 根据虚数单位的幂的周期性可判断，由复数的概念可判断，设，求出， 判断，设，求出即可判定． 【解答】 解：对于，，故A正确； 对于，复数的虚部为，故B错误； 对于，若为纯虚数，不妨设， 则，，，故C错误； 对于，设， 所以， 所以， 又， 所以，故D正确． 故选：． 10.在中，内角的对边分别为，下列命题中正确的是(    ) A. 若，则 B. 若为锐角三角形，则 C. 若，则一定为钝角三角形 D. 若三角形有两解，则的取值范围为 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查正弦定理及变形，利用正弦定理判定三角形解的个数，诱导公式，以及两角差的正切函数公式，属于中档题． 选项根据三角形的边角关系结合正弦定理即可解决；选项根据锐角三角形中任意两个角的和大于，再由诱导公式即可解决；选项根据三角形内角和定理、诱导公式化简并结合已知条件讨论确定符号，从而确定角的情况；选项已知两边和其中一边的对角，根据有两解列出不等式即可得出的取值范围． 【解答】 解：对于选项：根据大角对大边，， 根据正弦定理可得， 其中为三角形外接圆半径，于是， A正确； 对于选项：若为锐角三角形，则， 所以，则， B正确； 对于选项：因为， 所以， 所以， 因为，所以中有个或个为负数， 又因为中最多一个为钝角，所以， 即都是锐角，所以为锐角三角形， C错误． 对于选项：因为三角形有两解，所以，即 所以的取值范围为， D正确． 故选：． 11.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且则下列说法正确的是(    ) A. 若，则为的重心 B. 若，则 C. 若，则 D. 若为的内心，且，则 【答案】ABD  【解析】解：对于选项，若，则， 取线段的中点，连接， 则， 所以， 即，故、、三点共线， 分别取线段、的中点、，连接、， 同理可证、、三点共线，、、三点共线， 则为的重心， 因此，若，则为的重心，故 A正确； 对于选项，若， 由“奔驰定理”可得， 所以，， 所以， 故，故 B正确； 对于选项，若，即， 即， 所以， 又，不共线， 所以， 所以由“奔驰定理”可得， ，故 C错误； 对于选项，若为的内心，设的内切圆半径为， 则， 因为，则， 故， 设，则，， 所以，故为直角， 所以，，故 D正确． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知角的终边上有一点，其中，则的值为___________． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题． 先求得的值，化简原式，根据同角三角函数的基本关系求解． 【解答】 解：由题意角的终边上有一点，令，， 可得， ． 故答案为：． 13.给出如下命题： 若点为角终边上一点，则 若，则一定是第一象限角或第四象限角 ，的值都大于 终边不同的角的同名三角函数的值不相等． 其中正确命题的序号是          ． 【答案】  【解析】若点为角终边上一点， 则，，，，故错误 当时，也符合已知条件，但不属于第一象限角或第四象限角，故错误 因为，所以，，所以，故正确 ，，与的终边不同，但正弦值相等，故错误． 故选． 14.在中，，，为钝角，，是边上的两个动点，且，若的最小值为，则          ． 【答案】  【解析】解：取中点，又，则， 则， 又的最小值为，故，则，易知最小时，且， 所以，，则， 所以．    故答案为． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 若已知向量，，设函数． 若且，求角的大小； 已知，均为锐角，，，求的值． 【答案】，， ，又，， ，，，又， ，，． ， ，， ，，，，． ，， ．   【解析】略 16.本小题分 已知，函数是奇函数，． 求实数的值； 若，，使得，求实数的取值范围． 【答案】解：由函数是奇函数，则， 可得，，，解得， 由，则， 当时，，可得，，解得， 所以函数的定义域为，经检验，符合题意； 由函数， 则易得函数在上单调递增， 所以函数在上的最小值； 由函数，且当时，， 则在上的最小值． 由，，使得，则， 即，解得， 即实数的取值范围为．   【解析】本题考查利用函数的奇偶性求参数，考查利用复合函数的单调性与最值，属于中档题． 根据奇函数的定义，建立方程，结合对数运算，经过验根，可得答案； 整理是函数解析式，利用复合函数单调性，求得函数在对应区间上的最小值，由题意化简不等式，可得答案． 17.本小题分 在中，内角，，所对的边分别是，，，且，． 求角 若，求边上的角平分线长 求边上的中线的取值范围． 【答案】解：由  及正弦定理得  ， 即  ， 即  ， 所以  ，因为  ，所以  ． 因为  ，所以  ． 由  及余弦定理得  ，又  ，所以  ， 由  得  ， 所以  ，所以  ，解得  ． 因为为的中点，所以， 则， 因为，所以， 所以， 即边上的中线的取值范围为    【解析】本题考查正余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，考查三角恒等变换，属于中档题． 根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求值即可； 根据余弦定理及已知得  ，然后利用面积分割法列方程求解即可； 利用向量加法运算及数量积模的运算得  ，利用基本不等式求解范围即可． 18.本小题分 如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道是直角顶点来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口是的中点，，分别落在线段，上．已知米，米，记． 试将污水净化管道的长度表示为的函数，并写出定义域； 若，求此时管道的长度； 当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度． 【答案】解：由题意可得为锐角，，， 所以， 由于，， 所以， 所以， 所以，； 当时，， 所以米； ， 设，则， 由于， 所以， 所以，， 由于在上单调递减， 所以当，即或时，取得最大值米， 答：当或时，污水净化效果最好，此时管道的长度为米．  【解析】本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型，根据已知条件构造出关于的函数，是解答本题的关键，属于较难题． 由，是的中点，易得，，，由污水净化管道的长度，则易将污水净化管道的长度表示为的函数； 若，结合中所得的函数解析式，代入易得管道的长度的值； 污水净化效果最好，即为管道的长度最长，由中所得的函数解析式，结合三角函数的性质，易得结论． 19.本小题分 如图，设，是平面内相交成的两条射线，，分别为，同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系在仿射坐标系中，若，则记． 在仿射坐标系中 若，求 若，，且与的夹角为，求 如图所示，在仿射坐标系中，，分别在轴，轴正半轴上，，，，分别为，中点，求的最大值． 【答案】解：因为，， ， 所以， 由，，得， ， ， 因为与的夹角为，则，得 方法一：依题意设，， ，， 因为为中点，所以 为中点，所以， 所以 因为，． 在中依据余弦定理得，所以，代入上式， ， 设，则， 令得，得，舍，所以， ， 方法二：方法一：依题意设，，， ，， 因为为中点， 为中点，所以， 所以， 因为，． ， 在中依据余弦定理得，所以，代入上式， ， 在中，由正弦定理， 设，， ， ．  【解析】本题主要考查新概念，向量模，向量夹角，向量数量积的最值，属于中档题． 由得； 由，可得； 由向量数量积可得的最大值． 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 绝密★启用前 2026年春季罗田一中期中考试高一数学试题 考试时间：120分钟满分： 150分 题号 一 二 三 四 总分 得分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设，则(    ) A. B. C. D. 2.设，，，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 3.已知向量，，且，的夹角为锐角，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 4.古希腊数学家泰特托斯，公元前公元前年详细地讨论了无理数的理论，他通过图来构造无理数，如图，则(    ) A. B. C. D. 5.已知点，，，点在所在平面内，且满足，则在上的投影向量为(    ) A. B. C. D. 6.将的图象上所有点向右平移个单位长度后，得到函数的图象，函数的图象如图所示，则(    ) A. B. 的图像的对称轴方程为 C. 不等式的解集为 D. 在上单调递增 7.中，，，，是外接圆上一点，，则的最大值是(    ) A. B. C. D. 8.已知函数的相邻两个对称中心的距离为，且，则函数的图像与函数且的图象所有交点横坐标之和为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是(    ) A. B. 复数的虚部为 C. 若复数为纯虚数，则 D. 10.在中，内角的对边分别为，下列命题中正确的是(    ) A. 若，则 B. 若为锐角三角形，则 C. 若，则一定为钝角三角形 D. 若三角形有两解，则的取值范围为 11.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且则下列说法正确的是(    ) A. 若，则为的重心 B. 若，则 C. 若，则 D. 若为的内心，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知角的终边上有一点，其中，则的值为___________． 13.给出如下命题： 若点为角终边上一点，则 若，则一定是第一象限角或第四象限角 ，的值都大于 终边不同的角的同名三角函数的值不相等． 其中正确命题的序号是          ． 14.在中，，，为钝角，，是边上的两个动点，且，若的最小值为，则          ． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 若已知向量，，设函数． 若且，求角的大小； 已知，均为锐角，，，求的值． 16.本小题分 已知，函数是奇函数，． 求实数的值； 若，，使得，求实数的取值范围． 17.本小题分 在中，内角，，所对的边分别是，，，且，． 求角 若，求边上的角平分线长 求边上的中线的取值范围． 18.本小题分 如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道是直角顶点来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口是的中点，，分别落在线段，上．已知米，米，记． 试将污水净化管道的长度表示为的函数，并写出定义域； 若，求此时管道的长度； 当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度． 19.本小题分 如图，设，是平面内相交成的两条射线，，分别为，同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系在仿射坐标系中，若，则记． 在仿射坐标系中 若，求 若，，且与的夹角为，求 如图所示，在仿射坐标系中，，分别在轴，轴正半轴上，，，，分别为，中点，求的最大值． 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $