湖北罗田县第一中学2025-2026学年下学期期中考试高二数学试卷

**基本信息** 聚焦高二数学核心知识，以导数、数列、圆锥曲线为主体，融入数学史情境（琴生不等式），通过基础到创新的梯度设计，考查抽象能力、推理能力与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|导数切线、数列前n项和、函数极值|基础巩固，突出数学眼光的抽象能力| |多项选择题|3/18|排列组合公式、等差数列性质|能力提升，考查推理意识的严谨性| |填空题|3/15|递推数列、波浪数计数、恒成立问题|情境创新，体现数学思维的灵活性| |解答题|5/77|排列组合应用、数列证明、函数极值、椭圆性质、琴生不等式证明|综合应用，如19题结合数学史考查凹凸性证明，培养创新意识；18题椭圆弦长范围探究，发展模型观念|

2026年春季罗田一中期中考试 高二数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 2.设数列的前n项和为，并且，则等于（  ） A．32 B．16 C．992 D． 3.若等差数列满足且，则数列的前12项和为（  ） A．48 B．64 C．80 D．112 4.已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（  ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．当时，有极值 D．当时， 5.函数，函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6.已知为双曲线的右焦点，圆上的动点到双曲线渐近线的距离最小值为，则双曲线的离心率为( ) A． B． C． D． 7.前项和为的数列满足，若，则的最小值为（ ） A．18 B．17 C．16 D．15 8.已知抛物线的焦点为，准线为，过上的一点作的垂线，垂足为，点，与相交于点．若，且的面积为，则的方程为( ) A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列有关排列数、组合数的等式中，，正确的是（　） A． B． C． D． 10.已知等差数列的前项和为，公差为，且，下列说法正确的是( ) A． B． C．当时，取得最小值 D．使成立的的最大值为62 11.已知椭圆C：.F为C的右焦点，点A、B在C上，且关于y轴对称，P.Q分别为线段AF、AB的中点，O为坐标原点，则（　 ） A. B.的最小值为 C. D.存在点A，使得∠QPF=90° 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知数列的首项，满足，则 . 13.由1,2,3,4,5构成的无重复数字的五位“波浪数”（即偶数位数字比各自相邻的奇数位数字大），且满足中间第3位为波谷（小于左右二侧数字）的“波浪数”有_______个． 14. 已知、为实数，，若对恒成立，则的最小值为 ______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（13分）现有甲、乙、丙、丁名公费师范生和三所重点中学. (1)甲、乙、丙、丁名公费师范生分配至三所重点中学任教，有多少种不同分法. (2)从甲、乙、丙、丁名公费师范生中选出人分配至三所重点中学任教，每所学校分配一人，甲必须当选，有多少种不同分法？ (3)将所学校的位校长排入已经站好的名学生队伍中拍照留念，这名学生已经排好，不改变学生原有顺序将三位校长再排入(可以不相邻)，有多少种不同的排法？ 16.（15分）为数列的前项和.已知，. （1）证明是等比数列，并求数列的通项公式； （2）数列满足，求数列的前项和. 17. （15分）己知函数. （1）若在时取得极值,求实数的值和的极小值； （2）若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围. 18.已知椭圆经过点，且椭圆的两个焦点坐标分别为、． （1）求出椭圆的标准方程； （2）是椭圆上异于的点,直线、及轴围成一个以为顶点的等腰三角形． ①求证：直线的斜率为定值； ②求弦长的取值范围． 19.（17分）丹麦数学家琴生是 19 世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立， 则称函数在上为“凸函数”．也可设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“凸函数”． 若为上任意个实数，满足 ，则称函数在上为“凹函数”，当且仅当时等号成立．也可设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“凹函数”．这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式. （1） 讨论函数的凹凸性； （2） 在中，求证：； （3） 若个正实数满足，求证：. 学科网（北京）股份有限公司 $