精品解析：湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷

2025年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考 高二数学试卷 命题学校：红安一中 命题教师：汪胜桥 审题学校：罗田一中 审题教师：张 晖 考试时间：2025年4月10日下午15：00-1700 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求. 1. 已知函数在处的导数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由导数的定义即可求解. 【详解】， 故选：D. 2. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列前项和的性质，易知，，成等差数列，即可求解. 【详解】因为为等差数列的前项和，所以，，成等差数列，所以，解得. 故选：B. 3. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数关系可判断AB选项；利用导数的运算法则可判断C选项；利用复合函数的求导法则结合导数的运算法则可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D错. 故选：C. 4. 当实数变化时，方程表示的曲线不可能是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意由圆锥曲线的定义逐一判断即可. 【详解】当，即时，方程表示的曲线为圆； 当，，，即时，方程表示的曲线为椭圆； 当，即时，方程表示的曲线为双曲线； 方程无论如何不会出现一次项，故不能表示抛物线. 故选：D. 5. 为了践行习近平总书记“绿水青山就是金山银山”的理念，3月12日这天高二年级1至6班共6个班级决定去3个不同林场植树，若要求每组2个班，且1班2班在同一组，则符合条件的不同方法数是（ ） A. 48 B. 36 C. 18 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】平均分成三组，再全排列即可求解. 【详解】由题意需将6个班级先平均分为3组，且1班2班在同一组，有， 再分配到3个林场，共种方法， 故选：C. 6. 若在上恒成立，则实数的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分参得到，进而求得的最大值，即可求解. 【详解】由得，所以在上恒成立， 构造， 求得可得：， 由可得：，由，可得， 所以在单调递增，在单调递减， 所以在处取得最大值为，所以， 故的最小值为， 故选：D. 7. 已知函数的导函数为偶函数，函数为偶函数，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性与对称性可判断函数周期，进而可得解. 【详解】由函数为偶函数知图象关于直线对称， 由为偶函数知，（为常数）为奇函数，由得， 即为奇函数，则图象关于点中心对称， 所以是函数的一个周期，又，， ，， 所以. 故选：A. 8. 已知元一次方程（，，，）的正整数解的个数为，则方程满足（）的整数解的个数为（ ） A. 35 B. 56 C. 84 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】令，得到，结合条件即可求解. 【详解】由得，， 令，. 则原问题等价于方程的正整数解的个数， 由题意知符合条件的个数为， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目距求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设数列，均为等比数列，则下列选项一定为等比数列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等比数列的定义，逐项判断即可. 【详解】设等比数列，的公比分别为，， 则对于A，当时，不合题意； 对于B，，数列一定是等比数列； 对于C，，数列一定是等比数列； 对于D，取，则，不合题意. 故选择：BC. 10. 已知椭圆的离心率为，焦点为，，左右顶点分别为，，为椭圆上的动点，则（ ） A. B. C. 当与，不重合时， D. 设在轴上的射影为，且，则点的轨迹方程是 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意确定椭圆方程，结合椭圆的性质及向量的坐标运算逐项判断即可. 【详解】由题意知：，由，可得， 所以椭圆的方程为，所以，A正确；，B错误； 设，，，则，C正确； 设，则， 由，可得：， 解得：， 则，所以，即，D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，，，则下列说法正确的有（ ） A. 函数可能无零点 B. 若，则函数可能存在最值 C. 若函数存在两个极值点，则且 D. 若是函数的极大值点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导，根据导数分情况讨论函数的单调性与极值情况，进而判断各选项. 【详解】函数的定义域为，. 当时，上无零点，A选项正确； 当时，在上恒成立， 所以在单调递增，函数无最值，B选项错误； 若函数存在两个极值点，则在上存在两个变号零点， 令，则需，，， 整理得且，C选项正确； 若是函数的极大值点，则由可得， 所以，所以，所以，D选项正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式展开式中的系数为______. 【答案】112 【解析】 【分析】应用二项式的通项公式计算求解即可. 【详解】通项公式，令得，， 所以展开式中的系数为112. 故答案为： 13. 若数列满足，，，设数列的前项和为，则当取最大值时，_____. 【答案】5或6 【解析】 【分析】利用等差中项可得数列为等差数列，进而求出公差、、，结合的函数特性可得或的正负性也可行. 【详解】因为，所以数列为等差数列，设公差为d 因，，则公差， 法一：所以， 因函数的对称轴为， 所以当取最大值时，或6 法二：， 则时，；时，；时， 所以当取最大值时，或6. 故答案为：5或6 14. 设为原点，双曲线的方程是（，），离心率 . 直线与双曲线的两条渐近线分别交于，与圆相切于点.若，，则直线的斜率为_____，双曲线的实轴长为_____. 【答案】 ①. ②. 14 【解析】 【分析】利用点差法，可求直线斜率，在中，利用勾股定理可求的值. 【详解】如图： 设点，，渐近线方程为， 则，，相减得， ，所以. 设与轴交于，，， 则，， ， 在直角中，，，， 所以，解得，实轴长为14. 故答案为：；14 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设等轴双曲线的焦点在轴上，焦距为，点（）在曲线上. （1）求双曲线的标准方程. （2）若，证明数列是等差数列. （3）在（2）的条件下，若数列为正项数列，求数列的前项和. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的定义及方程列式计算求出即可得出双曲线方程； （2）根据等差数列定义证明即可； （3）应用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 由题意可设双曲线的标准方程为（，）， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 因为点（）在曲线上，所以 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. 【小问3详解】 由（2）可知， 由于，所以 所以 所以 16. （1）某大型电影院在春节期间推出了《哪吒2》等6部备受瞩目的大片，某天3个家庭同时来观看电影，若每个家庭可以自由选择一部影片观看，共有多少种选法？ （2）某市2025年初科创展览会上，，，三家科技公司分别推出了2件，3件，3件机器人进行展览，工作人员需要把8台不同型号的机器人排成一排，要求公司的产品相邻，公司的产品不相邻，共有多少种排法？ （3）树人中学组织的诗歌朗诵比赛决赛阶段有五个班级参赛，赛前各班的学生代表甲、乙、丙、丁、戊分别参与抽签决定出场顺序.抽完签后，甲说：“我们班不是第一个出场”，乙说：“我们班不是最后一个出场”，丙说：“我们班也不是最后一个出场，且前面出场班级数不少于后面出场班级数”.请你根据这些信息推测所有可能的出场顺序数. 【答案】（1）216；（2）2880；（3）28 【解析】 【分析】（1）由分步乘法计数原理即可求解； （2）先将家公司的产品捆绑，再与公司的3件产品全排列，最后由插空法即可求解； （3）分甲所在班级第5个出场和甲所在班级不是第5个出场两种情况讨论即可. 【详解】（1）3个家庭依次选择，均有6种方法， 根据分步计数原理，所有不同的方法数为. （2）由题意知，先可以使用“捆绑法”将家公司的产品排在一起， 再与公司的3件产品一起组成4个不同的元素的全排列， 最后让公司产品插空.所以符合条件的排法数为. （3）若甲所在班级第5个出场，丙所在班级可以第3或第4个出场， 乙、丁、戊所在班级可以在其他场次出场，符合条件的出场顺序数为， 若甲所在班级不是第5个出场，则丁或戊所在班级第5个出场，丙所在班级可以第3或第4个出场， 甲在剩余的中间2场中选择一场，符合条件的出场顺序数为， 所以所有可能的出场顺序数为. 17. 已知函数，. （1）讨论的单调性. （2）证明：当时，. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，分，讨论导数符号，即可求解； （2）由（1）构造函数，求导，确定最值即可求解. 【小问1详解】 函数的定义域为， 当时，在上恒成立，在上单调递增； 当时，由得，由得 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 当时，由（1）知 要证， 只需证， 即证 令 即证， 因为，再令. 因为， 由，可得，，可得 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 所以， 所以当时，. 18. 已知平面上动点的坐标满足，，. （1）求点的轨迹方程. （2）设点为直线上的任意一点，过点作曲线的两条切线，. （ⅰ）证明：直线过定点. （ⅱ）设为原点，，的面积分别为，，令，当点在轴下方时，求的最大值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）方程联立，消去即可求解； （2）（ⅰ）设，，，通过求导，确定切线方程进而可求解；（ⅱ）由三角形面积公式得到进而可求解 【小问1详解】 因为，，所以，， 由得，，所以， 即点的轨迹方程为（） 【小问2详解】 （ⅰ）设，，，， 所以曲线在点处的切线方程为，整理得， 同理曲线在点处的切线方程为 由于是两切线的交点，所以 所以直线的方程为， 整理得，令得 所以直线过定点. （ⅱ）由（ⅰ）知直线的方程为， 当点在轴下方时，. 因为 因为，，所以 令（）， 则 当且仅当，即，时等号成立. 所以的最大值为. 19. “勤于思考，乐于探索，勇于创新”是学习数学的必备思维品质.某同学在学习了“杨辉三角”后发现杨辉三角与数列紧密相关，自主构造了下述数阵.数阵的第一行是（）个连续的自然数，从第二行起每一行的数字均等于它肩上的两个数字之和，最后一行仅有一个数字. 请仔细观察数阵，解决下列问题： （1）求数阵中数字为奇数的项数. （2）设数阵第行的第一个数字为，请直接写出与的等量关系，并求. （3）设数阵所有行第一个数字之和为，试判断与的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）； （2），； （3），理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据数阵特点，进行分类讨论，即可求解； （2）观察每一行的前两项的增量规律，猜测出它们的关系（才想验证即可，不要求证明，若需证明，可用数学归纳法证明），进而可得，通过构造即可求得； （3）通过错位相减法可求得，再结合组合数的性质运算，可求得，通过构造函数，可比较其大小关系. 【小问1详解】 观察数阵知，第一行的数奇偶性相间，第二行的数都为奇数，从第三行起所有数是偶数. 所以当为偶数时，， 当奇数时，， 所以； 【小问2详解】 由题意知，，即 变形得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以； 【小问3详解】 . 理由如下： 因为 相减得，， 所以 又因为 令，则， 又（）， 所以在上单调递增，所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考 高二数学试卷 命题学校：红安一中 命题教师：汪胜桥 审题学校：罗田一中 审题教师：张 晖 考试时间：2025年4月10日下午15：00-1700 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求. 1. 已知函数在处的导数为，则（ ） A. B. C. D. 2. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 25 3. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 当实数变化时，方程表示的曲线不可能是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 5. 为了践行习近平总书记“绿水青山就是金山银山”的理念，3月12日这天高二年级1至6班共6个班级决定去3个不同林场植树，若要求每组2个班，且1班2班在同一组，则符合条件的不同方法数是（ ） A. 48 B. 36 C. 18 D. 12 6. 若在上恒成立，则实数的最小值为（ ） A B. 1 C. D. 7. 已知函数的导函数为偶函数，函数为偶函数，，，则（ ） A B. C. D. 8. 已知元一次方程（，，，）的正整数解的个数为，则方程满足（）的整数解的个数为（ ） A. 35 B. 56 C. 84 D. 120 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目距求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设数列，均为等比数列，则下列选项一定为等比数列的是（ ） A B. C. D. 10. 已知椭圆的离心率为，焦点为，，左右顶点分别为，，为椭圆上的动点，则（ ） A. B. C. 当与，不重合时， D. 设在轴上的射影为，且，则点的轨迹方程是 11. 已知函数，，，则下列说法正确的有（ ） A. 函数可能无零点 B. 若，则函数可能存在最值 C. 若函数存两个极值点，则且 D. 若是函数的极大值点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式展开式中的系数为______. 13. 若数列满足，，，设数列的前项和为，则当取最大值时，_____. 14. 设为原点，双曲线的方程是（，），离心率 . 直线与双曲线的两条渐近线分别交于，与圆相切于点.若，，则直线的斜率为_____，双曲线的实轴长为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设等轴双曲线的焦点在轴上，焦距为，点（）在曲线上. （1）求双曲线的标准方程. （2）若，证明数列是等差数列. （3）在（2）的条件下，若数列为正项数列，求数列的前项和. 16. （1）某大型电影院在春节期间推出了《哪吒2》等6部备受瞩目的大片，某天3个家庭同时来观看电影，若每个家庭可以自由选择一部影片观看，共有多少种选法？ （2）某市2025年初科创展览会上，，，三家科技公司分别推出了2件，3件，3件机器人进行展览，工作人员需要把8台不同型号的机器人排成一排，要求公司的产品相邻，公司的产品不相邻，共有多少种排法？ （3）树人中学组织的诗歌朗诵比赛决赛阶段有五个班级参赛，赛前各班的学生代表甲、乙、丙、丁、戊分别参与抽签决定出场顺序.抽完签后，甲说：“我们班不是第一个出场”，乙说：“我们班不是最后一个出场”，丙说：“我们班也不是最后一个出场，且前面出场班级数不少于后面出场班级数”.请你根据这些信息推测所有可能的出场顺序数. 17 已知函数，. （1）讨论的单调性. （2）证明：当时，. 18. 已知平面上动点的坐标满足，，. （1）求点的轨迹方程. （2）设点为直线上的任意一点，过点作曲线的两条切线，. （ⅰ）证明：直线过定点. （ⅱ）设为原点，，的面积分别为，，令，当点在轴下方时，求的最大值. 19. “勤于思考，乐于探索，勇于创新”是学习数学的必备思维品质.某同学在学习了“杨辉三角”后发现杨辉三角与数列紧密相关，自主构造了下述数阵.数阵的第一行是（）个连续的自然数，从第二行起每一行的数字均等于它肩上的两个数字之和，最后一行仅有一个数字. 请仔细观察数阵，解决下列问题： （1）求数阵中数字为奇数的项数. （2）设数阵第行的第一个数字为，请直接写出与的等量关系，并求. （3）设数阵所有行第一个数字之和为，试判断与的大小关系，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$