精品解析：广东广州市越秀区2025-2026学年下学期期中考试八年级数学科试卷（问卷）

2025学年（下）期中考试八年级数学科试卷（问卷） 考试时长：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、是最简二次根式，故本选项符合题意； C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. 二次根式中x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0， ∴， 解得． 3. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 1，，2 B. 1，2，3 C. 4，6，8 D. 6，8，10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】解：A.，不能构成直角三角形，不符合题意； B.，不能构成三角形，不符合题意； C. ，不能构成直角三角形，不符合题意； D.，能构成直角三角形，符合题意； 故选：D． 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加减乘除，根据二次根式的加减乘除运算法则计算出各选项的结果再进行判断即可得到结果． 【详解】解：A. 与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； B. ，原选项计算错误，故此选项不符合题意； C. ，原选项计算错误，故此选项不符合题意； D. 计算正确，符合题意； 故选：D. 5. 如图，在菱形中对角线，交于点，要使该菱形成为正方形，则应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定，根据对角线相等的菱形是正方形，即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴菱形是正方形． 故选：A． 6. 已知－2＜m＜3，化简＋|m＋2|的结果是( 　) A. 5 B. 1 C. 2m－1 D. 2m－5 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和绝对值的性质化简即可. 【详解】解：∵-2＜m＜3， ∴m-3＜0，m+2＞0， ∴＋|m＋2|=3-m+m+2=5． 故选A 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，掌握算术平方根和绝对值的性质是解题的关键． 7. 《九章算术》“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程，求解即可得出答案． 【详解】解：设绳索长为x尺，可列方程为 ． 故选：D 8. 如图，在中，，分别以，，为边向外作半圆，并分别记它们的面积为，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，根据在中，，得到，结合，，求出，进而求出，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵，，即，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，在矩形中，点为边的中点，点为边上一点，且平分．若，，则的长为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线定义，延长交于G，由矩形的性质推出，，得到，由判定，得到，求出，得到，求出，而，得到，可得． 【详解】解：延长交于G， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 10. 如图，菱形的边长为4，且于点为上一点，且的周长最小，则的周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先确定出的周长的最小值就是的最小值，然后利用将军饮马问题的模型构造出的周长的最小值，再利用勾股定理求出，进而解决问题． 【详解】解：连接交于点，连接，， 四边形是菱形， 对角线所在直线是其一条对称轴，点，点关于直线对称，与是等边三角形， ， ， 是的中点， ， 的周长， 要求的周长的最小值可先求出的最小值即可， 而的最小值就是的长， 过点作，交的延长线于点， 四边形是菱形， ， ， 在中， ，， 在中， ，， ， 的周长的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称最短路线问题，菱形的性质，勾股定理，特殊值的三角函数，掌握相关图形的性质和构造出最短路线是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，为测量池塘岸边两点之间的距离，小亮在池塘的一侧选取一点，测得的中点，之间的距离是14米，则，两点之间的距离是___________． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，掌握“三角形的中位线平行且等于第三边的一半”是解题的关键． 【详解】解：，分别是，的中点， 是的中位线， （米）， 故答案为：米． 12. 如图，数轴上点，点分别表示1和3，，且，以点为圆心，以为半径作弧，弧与数轴的交点为，则点表示的数是 __ ． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握勾股定理和两点间的距离公式．根据已知条件求出和，再利用勾股定理求出，从而求出，然后设点表示的数为，根据两点间的距离公式列出关于的方程，解方程求出即可． 【详解】解：由题意可知：， ， ， 点，点分别表示1和3， ， 由勾股定理得：， ， 设点表示的数为， ， ， 或（不合题意舍去）， 点表示的数为， 故答案为：． 13. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，则菱形的面积为______． 【答案】24 【解析】 【分析】由题意先求出AO，根据勾股定理求得DO，再求出BD，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求出答案． 【详解】解：∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O ，AC＝6，AD＝5， ∴，，， ∴. 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查了菱形的面积，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，勾股定理解直角三角形，菱形面积计算公式是解题关键． 14. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质以及等边三角形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握正方形，等边三角形和等腰三角形的性质． 先根据正方形的性质求得，，再根据等边三角形得到，，最后根据等腰三角形和三角形内角和定理求出答案即可． 【详解】解：∵正方形中，，， ∵等边三角形， ∴， ∴，， ∴ 故答案为：． 15. 已知在中，，高．则的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查勾股定理的运用，根据勾股定理可分别求得与的长，从而求得的长，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解： 如图所示，共有两种情况， 当在点左侧时，在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ， 当在点右侧时，在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ． 故答案为：或． 16. 如图，在矩形中，把矩形绕点C旋转，得到矩形，且点E落在上，连接，，交于点H，连接，若平分，则下列结论正确的是______． ①；②；③；④． 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】过点作于点，由旋转的性质得：，证明和，根据全等三角形的性质逐一判定即可． 【详解】解：过点作于点， ， 在矩形中，， ， 由旋转的性质得：， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，③正确； ，①正确； 设，则， ， ，②错误； ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ，则④错误； 综上，结论正确的有①③． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，每个小正方形的边长都为1． （1）_________，_________，_________； （2）判断是直角吗？并说明理由． 【答案】（1），， （2）直角，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，熟记勾股定理是解本题的关键； （1）直接利用勾股定理计算即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明即可． 【小问1详解】 解：，，， 故答案为：，，； 【小问2详解】 是直角，理由如下： 连接， 由图可知：，，， ， ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式、平方差公式计算，二次根式的运算，掌握整式乘法运算法则是解题关键． 先按照整式乘法运算法则化简，然后将代入计算即可． 【详解】解： = = 将代入得 ． 20. 如图，在四边形中，点E、F分别是边、的中点，，，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质求出，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可． 【详解】解：连接， ∵点E、F分别是边、的中点，， ∴， ∴， 在中，， 则， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，熟记三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 21. 如图，在中，，是的中点．过点作，过点作，交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的判定和性质得到，即可证明结论成立； （2）根据勾股定理求出，再根据矩形的性质即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，是的中点． ∴， ∴， ∴四边形是矩形 【小问2详解】 ∵是的中点． ∴， ∴ ∵四边形是矩形 ∴ 22. 学校校内有一块如图所示的三角形空地，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为30元，学校修建这个花园需要投资多少元？ 【答案】学校修建这个花园需要投资元． 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用及三角形的面积公式，过点作于点， 设则再根据勾股定理求出的值，进而可得出的长，由三角形的面积公式即可得出结论，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 【详解】解：过点作于点， 设则如图： 在与中， ， 即 解得： ， (米)， ∴学校修建这个花园的费用(元)， 答：学校修建这个花园需要投资元． 23. 如图，已知四边形的对角线、交于点O，，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）E为上一点，连接BE，若，，，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点． （1）根据，得四边形是平行四边形，根据角之间的关系可得，即可得； （2）根据菱形的性质得，设，则，在中，根据勾股定理得出，在中，根据勾股定理得，进行就是即可得． 【小问1详解】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得， ， 在中，根据勾股定理得， 解得，， ∴， 即． 24. 如图，在正方形中，O是的中点，E是上一点，连接，交于点H，作于点F，于点G，连接． （1）求证：； （2）若正方形边长为1，当点F为中点时，求的长； （3）求证：． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，由“”可证，可得； （2）根据正方形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据平行线的性质得到，证明，得到，，进而得到，证明，即可得到； （3）根据正方形的性质得到，由“”可证，可得，，可证为等腰直角三角形，可得，由（1）可证得可得结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵正方形边长为1， ∴，， ∴，， ∵点F为中点，于点F， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 证明：连接， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 由（1）知， ∴， ∴， ∴ 25. 在矩形中，，点是射线上一个动点，连接并延长交射线于点，将沿直线翻折到，延长与直线交于点． （1）求证：； （2）当点是边的中点时，求的长； （3）当时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质和平行线的性质及等腰三角形的判定可得出答案； （2）利用矩形的性质证得，根据全等三角形的性质得到，设，则由（1）知，， ，在中利用勾股定理即可求解； （3）当时，设，应分两种情况：第一种情况，点在线段上，则，；第二种情况，点在线段的延长线上，则，在中，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， 由折叠可知：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵点E是边的中点， ∴， ∵四边形为矩形，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则由（1）知，，， 在中，， ∴， 解得， ∴的长为； 【小问3详解】 解：当时，设， 第一种情况，点在线段上，如图所示： 则， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴的长为； 第二种情况，点在线段的延长线上，如图所示： 则， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴的长为； 综上可知，当时，的长为或． 【点睛】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，三角形全等的判定和性质，画出图形，数形结合，应用分类讨论的思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年（下）期中考试八年级数学科试卷（问卷） 考试时长：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次根式中x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 1，，2 B. 1，2，3 C. 4，6，8 D. 6，8，10 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在菱形中对角线，交于点，要使该菱形成为正方形，则应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 已知－2＜m＜3，化简＋|m＋2|的结果是( 　) A. 5 B. 1 C. 2m－1 D. 2m－5 7. 《九章算术》“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，分别以，，为边向外作半圆，并分别记它们的面积为，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，点为边的中点，点为边上一点，且平分．若，，则的长为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 10. 如图，菱形的边长为4，且于点为上一点，且的周长最小，则的周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，为测量池塘岸边两点之间的距离，小亮在池塘的一侧选取一点，测得的中点，之间的距离是14米，则，两点之间的距离是___________． 12. 如图，数轴上点，点分别表示1和3，，且，以点为圆心，以为半径作弧，弧与数轴的交点为，则点表示的数是 __ ． 13. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，则菱形的面积为______． 14. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则______． 15. 已知在中，，高．则的长为___________． 16. 如图，在矩形中，把矩形绕点C旋转，得到矩形，且点E落在上，连接，，交于点H，连接，若平分，则下列结论正确的是______． ①；②；③；④． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，每个小正方形的边长都为1． （1）_________，_________，_________； （2）判断是直角吗？并说明理由． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在四边形中，点E、F分别是边、的中点，，，，，求的度数． 21. 如图，在中，，是的中点．过点作，过点作，交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 22. 学校校内有一块如图所示的三角形空地，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为30元，学校修建这个花园需要投资多少元？ 23. 如图，已知四边形的对角线、交于点O，，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）E为上一点，连接BE，若，，，求的长． 24. 如图，在正方形中，O是的中点，E是上一点，连接，交于点H，作于点F，于点G，连接． （1）求证：； （2）若正方形边长为1，当点F为中点时，求的长； （3）求证：． 25. 在矩形中，，点是射线上一个动点，连接并延长交射线于点，将沿直线翻折到，延长与直线交于点． （1）求证：； （2）当点是边的中点时，求的长； （3）当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $