精品解析：江苏省无锡市锡山区2025-2026学年九年级第二学期二模数学

**基本信息** 以江苏文旅数据、物理折射实验等真实情境为载体，通过动态几何（菱形中点最值、等边三角形动点）、跨学科实践（物理折射）及二次函数定点探究等设计，考查抽象能力、推理意识与模型观念，适配初三二模综合评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数、二次根式、统计等|第10题多结论判断考查推理意识| |填空题|8/24|科学记数法、函数图像、动态几何|第18题等边三角形动点体现空间观念| |解答题|10/96|几何证明、统计分析、二次函数综合|26题物理折射实验考查模型意识，28题定点探究培养创新意识|

2025—2026学年春学期学科素养调研（建议卷） 初三数学 （时长：120分钟 总分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上相应的答案涂黑．） 1. 下列四个数中，绝对值最大的是（ ） A. 2 B. 0 C. D. 2. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一组数据：5，4，3，4，6，8，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 4，4 B. 5，4 C. 4， D. 4，5 5. 已知一个多边形的内角和是，则这个多边形是（）． A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 6. 如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将 绕点 旋转得到，使边恰好经过点 ，若，则的度数为（） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形 中， ，分别是边， 上的动点，连接 ，， ，分别为 ，的中点，连接 ．若， 的最小值为，则 长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点 、 分别在 轴、 轴上，点 是的中点，将沿 的垂直平分线翻折，得到，反比例函数的图像经过点，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，，记为线段 的长度，．下列结论： ①若点 与点 关于 轴对称，则； ②若，则点 与点 关于 轴对称； ③若动点满足，则点的运动路径所围成的图形面积为2； ④若，则． 其中正确的为（ ） A. ①③ B. ①④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置．） 11. 2026年春节假期，江苏文旅消费迎来“开门红”．经综合测算，全省春节期间共接待游客约7580万人次，实现旅游总花费609.63亿元．将“7580”用科学记数法表示为_____． 12. 分解因式：_____． 13. 计算：______． 14. 请写出一个函数的表达式，使其图像分别与 轴的负半轴、 轴的负半轴相交：________． 15. 如图，点均在 上，若，则的度数为___________． 16. 小美骑车从学校回家，中途在文具店买文具，然后继续骑车回家．若小美骑车的速度始终不变．从出发开始计时，小美离家的路程 （单位：）与时间 （单位：）的对应关系如图所示，则从文具店到小美家的路程是______． 17. 如图，已知点 是矩形 的对角线 上的一动点，正方形的顶点 、都在边上，若，，则_____． 18. 如图，等边 边长为1，D为 上一动点（D不与A、C重合），过D作，垂足为E，M为线段 上一点，且，过M作交于N．设，． （1）当时， ______； （2）在点D运动的过程中，y关于x的函数表达式为______． 三、解答题（本大题共10小题，共计96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算、解方程： （1）； （2）． 20. 化简、解不等式组： （1） （2） 21. 如图，在 中，为 边上一点， 为 的中点，连接 并延长至点，使得，连接 ． （1）求证：； （2）若，且 平分，求的度数． 22. 炎炎夏日，要清凉更要安全．某校开展了防溺水“六不两会”安全知识竞赛，将成绩划分为四个等级（ ．合格， ．良好， ．优秀，．非常优秀），随机抽查了部分竞赛成绩的数据进行了整理，并绘制成如下不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题： （1）填空：　　，　　； （2）请你补全条形统计图； （3）求“优秀”对应扇形的圆心角度数； （4）若全校有2000名学生参加活动，请你估计其中竞赛成绩等级为“优秀”和“非常优秀”的学生共有多少人？ 23. 在不透明的盒子里装有红，黄，蓝三种颜色的卡片，这些卡片除颜色外其余都相同，其中红色卡片2张，黄色卡片1张，蓝色卡片1张． （1）从中任意抽取一张卡片，求抽到蓝色卡片的概率； （2）第一次随机抽取一张卡片（不放回），第二次再随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求两次抽到的都是红色卡片的概率． 24. 如图，已知 内接于⊙，且 是⊙的直径． （1）实践与操作： 尺规作图：作出 的内心；（不写作法，保留作图痕迹） （2）推理与计算： 连接并延长，与⊙交于另一点．若，，则的长为________，的长为________． 25. 如图，是 的高，以 为直径作 交的延长线于点 ，连接 ，． （1）求证： 是 的切线； （2）若，，求 的面积． 26. 【综合与实践】 在物理实验中，光线从空气中射入液体中会发生折射现象．某学习小组设计了如图所示的实验装置：水槽横截面为矩形，，为水槽水面 的中点，水深．如图1，小明同学从高出水面的 处发出一束激光，射到水槽水面上的处，光在水中的路径为， 为水槽底部 的中点，测得． （1）【问题初探】 图1中， ，分别为入射角、折射角，则________； （2）【深入探究】 小组成员探究如何才能使折射光线经过点 ． ①小刚同学设计了如图2所示的实验，在保持入射角、折射角不变的条件下，通过把光线的出发点从点 降至点，也能使得折射光线经过点 ．请直接写出下降高度为________； ②小张同学设计了如图3所示的实验，在保持光线出发点 、入射角、折射角不变的条件下，通过增加水面高度，使得折射光线经过点 ，求增加的水面高度； （3）【问题拓展】 小组讨论后认为：在保持入射角、折射角不变的条件下，将光线出发点的高度降低，同时增加水面高度，也能使得折射光线经过点 ．请求出 与 之间的函数关系． 27. 如图，在四边形纸片 中，，，，，． （1）求的长； （2）若为 边上一动点（点不与点 ， 重合），过点作直线，沿直线折叠该纸片，设，折叠后纸片重叠部分的面积为，求关于 的函数表达式． 28. 已知二次函数的图像与x轴交于点，两点，与y轴交于点C． （1）直接写出这个二次函数的表达式； （2）如图1，连接 ，点P是直线 上的一个动点，过点P的直线l与 平行，则在直线l上是否存在点Q，使点B与点P关于直线对称？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点G，H为x轴上方的抛物线上两点（点G在点H的右边），直线、与y轴分别交于S，T两点，若，试探究直线 是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年春学期学科素养调研（建议卷） 初三数学 （时长：120分钟 总分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上相应的答案涂黑．） 1. 下列四个数中，绝对值最大的是（ ） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值的定义计算出每个数的绝对值，再比较绝对值的大小，即可得到结果． 【详解】解：，，，， 又 ∵ ， ∴ 绝对值最大的数是． 2. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0．根据二次根式有意义的条件计算即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项，积的乘方，同底数幂除法，完全平方公式逐一判断选项正误． 【详解】解：对于选项A，与不是同类项，不能合并，A计算错误． 对于选项B，，B计算正确． 对于选项C，，C计算错误． 对于选项D，，D计算错误． 4. 已知一组数据：5，4，3，4，6，8，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 4，4 B. 5，4 C. 4， D. 4，5 【答案】C 【解析】 【分析】先确定出现次数最多的数得到众数，再将数据排序后计算中间位置的中位数即可． 【详解】解：∵这组数据为5，4，3，4，6，8，其中4出现的次数最多，为2次，其余数各出现1次， ∴这组数据的众数为4， 将这组数据从小到大排列为：3，4，4，5，6，8，共6个数据，最中间的两个数为4和5， ∴中位数为 . ∴这组数据的众数和中位数分别是4，． 5. 已知一个多边形的内角和是，则这个多边形是（）． A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 【答案】B 【解析】 【详解】根据多边形内角和定理，n边形的内角和公式为，因此， 由 得n=5． 故选B． 6. 如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积．先根据直径求出圆的周长，再根据母线长求圆锥的侧面积，圆锥的侧面展开图是扇形，运用扇形面积公式计算，圆锥的侧面积 底面周长母线长． 【详解】解：由图知，底面直径为，母线长为， 则底面周长为， 所以蛋筒圆锥部分包装纸的面积是． 故选：B． 7. 如图，将 绕点 旋转得到，使边恰好经过点 ，若，则的度数为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质可知，从而得到对应边、对应角相等．利用得出为等腰三角形，结合，求出等腰三角形的顶角．由旋转角相等，，从而得到答案． 【详解】解：∵将 绕点 旋转得到， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 8. 如图，在菱形中， ，分别是边， 上的动点，连接 ， ，， 分别为 ， 的中点，连接．若，的最小值为，则 长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据中位线的性质可得，即最小时，最小，当时，最小，此时，根据含30度的直角三角形性质结合勾股定理求出 ，根据菱形的性质即可得解． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是菱形， ， 分别为的中点， 是的中位线， ， 当时，最小，则的最小值为，此时， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得， ． 9. 如图，点 、分别在 轴、 轴上，点 是的中点，将沿的垂直平分线翻折，得到，反比例函数的图像经过点 ，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设 的垂直平分线交 轴于点 ，令 ，由点 是 的中点，得 ；由轴对称的性质，得 ，从而 ；由 ，得 ，设 ，则 ；由四边形 是矩形，得 ；由 ，得 ，代入  即可求出 ． 【详解】解：如图，设 的垂直平分线交 轴于点， 设，则， 点 是 的中点， ， 将沿 的垂直平分线翻折得到， 由轴对称的性质，得， ， ， 轴，轴， ， ， ， 设，则， ， 四边形是矩形， ， 点 的坐标为， ,且， ， ， ， 反比例函数的图像经过点， ， ． 10. 在平面直角坐标系中， 为坐标原点，已知点，，记为线段 的长度，．下列结论： ①若点 与点关于 轴对称，则； ②若，则点 与点关于 轴对称； ③若动点满足，则点的运动路径所围成的图形面积为2； ④若，则． 其中正确的为（ ） A. ①③ B. ①④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点间距离公式和新定义，逐个验证四个结论，即可得到答案. 【详解】解：由定义得 ，. ①∵ 点 与点关于 轴对称， ∴ ，， ∴ ， ， ∴，①正确； ②取，，此时 ，，满足，但不关于 轴对称． ②错误； ③设，由 得， 该图形是以为顶点的菱形，两条对角线长分别为和， ∴ 图形面积 ，③正确； ④取， ， 则 ， ，满足， ， ，， ④错误. 综上，①③正确． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置．） 11. 2026年春节假期，江苏文旅消费迎来“开门红”．经综合测算，全省春节期间共接待游客约7580万人次，实现旅游总花费609.63亿元．将“7580”用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：7580用科学记数法表示为． 12. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可. 【详解】， 故填 【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式. 13. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【详解】解：原式= 14. 请写出一个函数的表达式，使其图像分别与 轴的负半轴、 轴的负半轴相交：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】设一次函数的解析式为，由其图像分别与 轴的负半轴、 轴的负半轴相交可得，写出符合此条件的函数解析式即可． 【详解】解：设一次函数的解析式为， 一个函数的表达式，使其图像分别与 轴的负半轴、 轴的负半轴相交， ， 符合条件的函数解析式可以为：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一次函数的知识，解题的关键是熟练掌握一次函数图象的性质． 15. 如图，点均在 上，若，则的度数为___________． 【答案】##34度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理得到，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 16. 小美骑车从学校回家，中途在文具店买文具，然后继续骑车回家．若小美骑车的速度始终不变．从出发开始计时，小美离家的路程 （单位：）与时间 （单位：）的对应关系如图所示，则从文具店到小美家的路程是______． 【答案】500 【解析】 【分析】由图可知：学校离家的距离是米，骑车用时3分钟到达文具店，买文具用时2分钟，再用了5分钟到家，总用时10分钟，骑车8分钟．先求出骑车的速度，即可计算从文具店到小美家的路程． 【详解】解：根据图示可得，小美行驶的速度为， ∴从文具店到小美家的路程是． 17. 如图，已知点 是矩形的对角线上的一动点，正方形的顶点、 都在边 上，若，，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】由矩形性质得 ，则，在中，，由此得，设，由正方形性质得，在中，由，得，由此得，在中，由勾股定理得，继而得，然后根据得，由此可得的值． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ， ∴， 是直角三角形， 在中，，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，设， ∵顶点都在边 上， ∴和都是直角三角形，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 18. 如图，等边 边长为1，D为上一动点（D不与A、C重合），过D作，垂足为E，M为线段 上一点，且，过M作交于N．设，． （1）当时，______； （2）在点D运动的过程中，y关于x的函数表达式为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，得到，结合等边三角形的性质，直角三角形的性质，得到，代入解答即可；延长交 于点G，利用相似三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理解答即可． 【详解】解：（1）设， ∵等边 的边长为1， ∴，， ∵，且， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （2）如图，延长交 于点G， ∵等边 的边长为1， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 三、解答题（本大题共10小题，共计96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算、解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2）， 【解析】 【分析】（1）先计算绝对值，负整数指数幂，算术平方根，再把各项相加减即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， 或， ∴，． 20. 化简、解不等式组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 所以原不等式组的解集为． 21. 如图，在 中， 为 边上一点， 为的中点，连接并延长至点，使得，连接 ． （1）求证：； （2）若，且平分，求的度数． 【答案】（1） 证明：在和中 ； （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质、平行线的判定与性质，解题的关键是利用SAS证明三角形全等，再结合角的关系进行推理． （1）通过证明，得到，进而证明； （2）利用，得到，，从而得到，利用角平分线的定义得到，求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， ， ， 平分， ， ． 22. 炎炎夏日，要清凉更要安全．某校开展了防溺水“六不两会”安全知识竞赛，将成绩划分为四个等级（ ．合格，．良好， ．优秀， ．非常优秀），随机抽查了部分竞赛成绩的数据进行了整理，并绘制成如下不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题： （1）填空：　　，　　； （2）请你补全条形统计图； （3）求“优秀”对应扇形的圆心角度数； （4）若全校有2000名学生参加活动，请你估计其中竞赛成绩等级为“优秀”和“非常优秀”的学生共有多少人？ 【答案】（1）12；36 （2） 补全统计图如下： ； （3） （4）1320人 【解析】 【分析】（1）先根据成绩良好的人数和所占的比例求出被抽查的总人数，再根据合格的人数除以总人数即可求得 的值，从而可求得 的值； （2）先根据总人数乘以百分比即可得到优秀所占的人数，即可补全条形统计图； （3）根据优秀所占的百分比乘以即可得到答案； （4）先得到优秀和非常优秀所占的百分比，再乘以2000即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意可得： 被抽查的总人数为：（人）， ， ， 故答案为：12，36； 【小问2详解】 解：根据题意可得： “优秀”的人数为（人）， 图略； 【小问3详解】 解：根据题意可得： “优秀”对应扇形的圆心角度数为； 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计其中竞赛成绩等级为“优秀”和“非常优秀”的学生共有大约1320人． 【点睛】本题主要考查了求样本容量、求扇形圆心角度数、补全条形统计图、由样本估计总体，熟练运用条形统计图和扇形统计图的数据是解题的关键． 23. 在不透明的盒子里装有红，黄，蓝三种颜色的卡片，这些卡片除颜色外其余都相同，其中红色卡片2张，黄色卡片1张，蓝色卡片1张． （1）从中任意抽取一张卡片，求抽到蓝色卡片的概率； （2）第一次随机抽取一张卡片（不放回），第二次再随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求两次抽到的都是红色卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是概率公式与列表法求概率， （1）直接由概率公式求解即可； （2）根据列表法求概率即可求解． 【小问1详解】 解：共有4个张卡片，从中任意抽取一张卡片，求抽到蓝色卡片的概率； 故答案为：． 【小问2详解】 解：画树状图如图， 红1 红2 黄 蓝 红1 红1，红2 红1，黄 红1，蓝 红2 红2，红1 红2，黄 红2，蓝 黄 黄，红1 黄，红2 黄，蓝 蓝 蓝，红1 蓝，红2 蓝，黄 共有12种等可能结果，其中两次抽到的都是红色卡片，有2种， ∴两次抽到的都是红色卡片． 24. 如图，已知 内接于⊙ ，且 是⊙ 的直径． （1）实践与操作： 尺规作图：作出 的内心；（不写作法，保留作图痕迹） （2）推理与计算： 连接并延长，与⊙ 交于另一点 ．若，，则的长为________，的长为________． 【答案】（1） 如图1，点I为所求， （2）， 【解析】 【分析】（1）因为 的内心I是角平分线的交点，所以作出任意两个角的平分线即可； （2）根据 是 的直径，，，得，然后根据勾股定理求出，作于点 ，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据角的等量代换得，即可求的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，连接 ，，， ∵ 是 的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 作于点 ，则为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∵，，，， ∴， ∴． 25. 如图，是 的高，以 为直径作 交的延长线于点 ，连接，． （1）求证：是 的切线； （2）若，，求 的面积． 【答案】（1） 证明：连接． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵是 的高， ∴． ∴． ∴． ∴，即， 又∵是 的半径， ∴是 的切线； （2）12 【解析】 【分析】（1）连接．证明，由题意知，推出，即，即可证明； （2）由题意知：，，设，则，由（1）知，利用勾股定理半径，推出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意知：，， 设，则， 由（1）知， ∴在中，， 即， 解得． ∴． ∴ 的面积． 26. 【综合与实践】 在物理实验中，光线从空气中射入液体中会发生折射现象．某学习小组设计了如图所示的实验装置：水槽横截面为矩形，， 为水槽水面的中点，水深．如图1，小明同学从高出水面的 处发出一束激光，射到水槽水面上的 处，光在水中的路径为， 为水槽底部的中点，测得． （1）【问题初探】 图1中， ，分别为入射角、折射角，则________； （2）【深入探究】 小组成员探究如何才能使折射光线经过点 ． ①小刚同学设计了如图2所示的实验，在保持入射角、折射角不变的条件下，通过把光线的出发点从点 降至点，也能使得折射光线经过点 ．请直接写出下降高度为________； ②小张同学设计了如图3所示的实验，在保持光线出发点 、入射角、折射角不变的条件下，通过增加水面高度，使得折射光线经过点 ，求增加的水面高度； （3）【问题拓展】 小组讨论后认为：在保持入射角、折射角不变的条件下，将光线出发点的高度降低，同时增加水面高度，也能使得折射光线经过点 ．请求出 与 之间的函数关系． 【答案】（1） （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，再根据正切的定义求解即可； （2）①过点T作，垂足为，推导出，，得到，，设为，则，得到，得到，即可解答； ②过点H作，垂足为，则，，设，则，，推导出，，再根据，列出方程求解即可； （3）设下降后的光线为，水面上升至，延长交延长线于点，推导出，，得到， 解得，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意，得， ∴； 【小问2详解】 解：①过点T作，垂足为，如图 则，，， 由题意，得，． ∴， ∴， 设为，则， ∴， 解得， ∴； ②过点H作，垂足为，如图 则：，， 设，则，， ∴， 由（1）知：，， ∴，， ∵， ∴，解得， 答：为； 【小问3详解】 解：如图，设下降后的光线为，水面上升至，延长交延长线于点， 由题意得：，，，， 则：， ， ∴， ∴， ∴， 解得． 27. 如图，在四边形纸片中，，，，，． （1）求的长； （2）若为 边上一动点（点不与点 ，重合），过点作直线，沿直线折叠该纸片，设，折叠后纸片重叠部分的面积为，求关于 的函数表达式． 【答案】（1）6 （2）当时，；当时，；当时， 【解析】 【分析】（1）过点C作于点R，根据题意得，证四边形为矩形，再根据求解即可； （2）结合运动轨迹分三种情况讨论即可解答． 【小问1详解】 解：过点C作于点R， ∵，， ∴，， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得，设直线与的交点为Q，点A，点D关于直线的对称点分别为，， 当点Q与点D重合时， ∵直线，，， ∴，， ∴，， ∴， 当时，重叠部分面积为， 此时，， ∴重叠部分面积为； 连接， ∵，， ∴， ∴, 当点与点C重合时，由折叠的性质得，， ∵直线，， ∴ ∴为等边三角形， ∴， 当时，重叠部分面积为，交于点E，延长交于点F，则， 此时，，，， 由折叠性质得，， ∵直线，， ∴ ∴， 为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴重叠部分面积为； 当时，即点在四边形外部时，作于点T，重叠部分面积为， 此时，， ∴， 同理得为等边三角形，则 ∴， ∴， ∴； 综上，当时，；当时，；当时，． 28. 已知二次函数的图像与x轴交于点，两点，与y轴交于点C． （1）直接写出这个二次函数的表达式； （2）如图1，连接 ，点P是直线上的一个动点，过点P的直线l与 平行，则在直线l上是否存在点Q，使点B与点P关于直线对称？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点G，H为x轴上方的抛物线上两点（点G在点H的右边），直线、与y轴分别交于S，T两点，若，试探究直线是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）直线经过定点 【解析】 【分析】（1）将点A和点B坐标代入二次函数解析式即可得解； （2）分两种情形：当点P在线段上时，连接 ，交于R，设，根据求得t的值，可推出四边形是平行四边形，进而求得Q点坐标；当点P在的延长线上时，同样方法得出结果； （3）设，，则可求出直线解析为，再求出直线和解析式可得和，再根据可得，再代入解析式即可得解． 【小问1详解】 解：将点，代入， 得， 解得， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图， 当点P在线段上时，连接 ，交于R， ∵点B和点Q关于对称， ∴， 设， 由得，， ∴，（舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴； 如图， 当点P在的延长线上时，由上可知：， 同理可得：， 综上所述：或； 【小问3详解】 解：设，， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， 同理可得直线解析式为， 直线解析式为， 令，得，， ∴，， ∵， ∴， 整理得， 代入直线解析式为， 当时，， ∴直线经过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $