18.2.2菱形的判定 教学设计-2025-2026学年 华东师大版数学八年级下册

第十八章 矩形、菱形与正方形 华东师大版(2024) 18.2.2 菱形的判定（课时1） 一、教学目标 1.体会菱形与平行四边形、一般四边形的区别与联系，理解“特殊与一般”的辩证关系，掌握菱形判定的逻辑起点. 2.经历从菱形性质逆向猜想判定方法、通过尺规作图验证并演绎证明的探究过程，体会类比与转化思想，掌握几何图形判定的一般研究思路. 3.掌握菱形的定义判定与判定定理1，能准确表述定理内容，会运用定理进行简单的几何证明. 二、教学重点及难点 重点：菱形的定义判定；菱形判定定理 1 的内容、证明及应用；运用定理进行简单的菱形判定与证明. 难点：由菱形性质逆向推导判定定理的思路；区分“四边形”与“平行四边形”两种前提条件下的判定差异，灵活选择判定方法解决问题. 三、教学过程 【知识回顾】 教师提问：菱形的定义是什么？它的性质有哪些？ 我们可以用定义判定菱形吗？除此之外，还能找到其他判定方法吗？ 【师生活动】学生集体回答：菱形的定义是“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可以直接作为判定方法； 菱形的性质有“四条边都相等”“对角线互相垂直”． 教师顺势引导：研究平行四边形、矩形的判定时，我们都是从性质逆向推导新的判定方法，今天我们也用这种思路，探究菱形的其他判定方法． 【探究新知】 探究：菱形的判定. 教师讲解根据定义判断菱形： 我们可以根据菱形的定义加以判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 符号表示： 在▱ABCD中， ∵AB=BC， ∴▱ABCD 是菱形. 教师提问：除此之外，还能找到其他的判定方法吗？ 教师提问：菱形是特殊的平行四边形，具有如下性质： 1.四条边都相等；2.两条对角线互相垂直． 这些性质，对我们寻找判定菱形的方法有什么启示呢？ 【学生活动】学生与同伴进行交流，回答：逆向思考，互换条件与结论，写出它的逆命题：如果一个四边形的四条边都相等，那么它肯定是一个菱形． 教师：试着画一画，与周围的同学讨论，猜一猜结论是否成立． 学生猜想：这个命题是真命题． 学生按照教材步骤，作一个四条边都相等的四边形． 如图． 作法： （1）作两条相等的线段 AB、AD； （2）分别以点 B 和点 D 为圆心、AB 长为半径作弧，两弧相交于点 C； （3）连结 BC、CD． 四边形 ABCD 即为所要求作的平行四边形． 教师提问：观察你所画的图形，它是菱形吗？ 学生观察、比较，发现所作的四边形都是菱形，初步验证猜想． 教师讲解菱形的判定定理 1： 四条边都相等的四边形是菱形． 符号表示：判定定理1 在四边形ABCD中， ∵AB=BC=CD=AD， ∴四边形ABCD是菱形. 教师：下面我们用演绎推理来证明这个结论． 已知：如图，在四边形 中，． 求证：四边形 是菱形． 【师生活动】教师引导分析证明思路：先证四边形是平行四边形，再用菱形的定义判定．学生独立书写证明过程． 答案预设： 教师强调：此定理的前提是“任意四边形”，无需先证明是平行四边形，这是它与定义判定的区别． 设计意图：引导学生完成从直观猜想到严格证明的跨越，训练学生“先平行四边形、再菱形”的转化推理，落实几何证明规范，同时强化对判定定理前提条件的理解． 教师提问：这里的条件能否再减少一些呢？有三条边相等的四边形是菱形吗？试着画一画． 【师生活动】 学生按要求尝试画出三条边相等的四边形，观察图形并交流讨论． 教师引导学生发现：存在三条边相等但不是菱形的四边形，如图，因此“三条边相等”无法判定一个四边形是菱形，条件不能减少． 【典型例题】 例4. 如图，在矩形 中，点 分别是四条边的中点．试问：四边形 是什么图形？并说明理由． 教师点拨：四边形 EFGH 的四条边分别属于矩形四个角上的三角形，如果能够证明这四个三角形全等，那么就可以利用菱形的判定定理 1，得出四边形 EFGH 是菱形． 试着写出完整的证明过程． 设计意图：通过典型例题，训练学生“看条件、选方法”的解题策略，让学生体会矩形性质与菱形判定的综合应用，提升几何证明的熟练度与简洁性． 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.根据定义判断菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 2.判定定理 1：四条边都相等的四边形是菱形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十八章 矩形、菱形与正方形 华东师大版(2024) 18.2.2 菱形的判定（课时2） 一、教学目标 1.能从菱形对角线的性质逆向推导判定思路，经历“猜想—验证—证明”的探究过程，体会类比与转化思想. 2.掌握菱形判定定理 2的内容，能准确表述定理内容，规范完成定理的证明. 3.会综合运用菱形的定义、判定定理 1 和判定定理 2 进行几何证明，能根据题目条件灵活选择判定方法，提升几何推理与综合应用能力. 二、教学重点及难点 重点：菱形判定定理 2 的内容、证明及应用；综合运用菱形的性质与判定进行几何证明. 难点：由菱形对角线的性质逆向推导判定定理 2 的思路；根据题目条件灵活选择判定方法，区分不同前提条件下的判定差异. 三、教学过程 【知识回顾】 教师提问：我们已经学习了哪几种判定菱形的方法？它们的前提条件分别是什么？ 菱形的对角线有什么特殊性质？从对角线的角度，我们还能得到判定菱形的新方法吗？ 【师生活动】学生回顾并回答：菱形的判定方法有定义法（一组邻边相等的平行四边形是菱形）和判定定理 1（四条边都相等的四边形是菱形）； 菱形的对角线互相垂直． 教师顺势引导：今天我们就从对角线的性质出发，探究菱形的另一种判定方法． 【探究新知】 探究：菱形的判定定理2. 教师提问： 思考：“对角线互相垂直”是菱形所特有的性质．那么从对角线的角度，你可以得到关于菱形判定的什么猜想？和你的同伴交流一下，看看你们的想法是否一致、可行． 学生1：菱形对角线垂直，逆向思考：对角线互相垂直的四边形是菱形． 学生2辨析：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形． 【师生活动】学生思考后与同伴进行交流，考虑加上“平行四边形”这个前提， 猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 教师：如图，取两根长度不等的细木棒，让这两个细木棒的中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个端点的连线．我们知道，这样得到的四边形是平行四边形．转动其中一根木棒，重复上面的做法，当两根木棒之间的夹角等于 90°时，得到的是什么图形呢？ 和周围的同学交流彼此的结论． 【师生活动】学生按要求操作，发现木棒中点重合时，得到的是平行四边形． 转动木棒使夹角为 90°后，学生小组观察并交流，得出此时得到的是菱形． 教师引导学生通过作图验证猜想： 学生按课本步骤作图，作一个两条对角线互相垂直的平行四边形． 如图． 作法： （1）作两条互相垂直的直线 m、n，记交点为 O； （2）以点 O 为圆心、适当长为半径作弧，在直线 m 上截取相等的两条线段 OA、OC； （3）以点 O 为圆心、另一适当长为半径作弧，在直线 n 上截取相等的两条线段 OB、OD； （4）顺次连结所得的四个点． 教师：显然，四边形 ABCD 是一个对角线互相垂直且平分的四边形，即为所要求作的两条对角线互相垂直的平行四边形． 和你的同伴交流一下，看看它是否也是一个菱形． 学生观察、比较，发现所作的四边形都是菱形，初步验证猜想． 教师讲解菱形的判定定理 2： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 符号表示：判定定理2 在▱ABCD中， ∵AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形. 教师：下面我们用演绎推理来证明这个结论． 已知：如图，四边形 是平行四边形，对角线 与 相交于点 ． 求证： 是菱形． 教师点拨：结论的证明很简单．如图，在 ▱ABCD 中，对角线 AC、BD 互相垂直，只需证明有一组邻边相等，即可证得 ▱ABCD 是菱形． 答案预设： 证明 四边形 是平行四边形， 又 ， 所在直线是线段 的垂直平分线． 平行四边形 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 设计意图：通过尺规作图，让学生直观验证猜想，增强几何直观能力；引导学生完成从直观猜想到严格证明的跨越，训练学生的演绎推理能力和规范书写能力，同时加深对判定定理 2 的理解． 【典型例题】 例5. 如图，已知矩形 的对角线 的垂直平分线与边 、 分别相交于点 ．求证：四边形 是菱形． 证明： 四边形 是矩形， 在 和 中， 又 ， 四边形 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 设计意图：通过例题，让学生学会运用判定定理 2 解决问题，体会矩形性质与菱形判定的综合应用，培养学生分析问题和解决问题的能力． 【课堂互动】 教师提问：判定菱形的三种方法，它们的前提条件分别是什么？如何根据题目给出的条件选择合适的判定方法？ 【师生活动】学生独立完成练习，举手回答并说明所用的判定方法．教师针对易错点进行讲解和强调： 定义法：前提是平行四边形，再证一组邻边相等； 判定定理 1：前提是任意四边形，再证四条边都相等； 判定定理 2：前提是平行四边形，再证对角线互相垂直． 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 学科网（北京）股份有限公司 $