8.5·空间直线、平面的平行【知识梳理+7个题型归纳】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【8.5·空间中直线与平面平面与平面的平行】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：空间中等角定理及其应用】 【练方法】 知识梳理 1等角定理内容：空间中如果两个角的两边分别对应平行那么这两个角相等或互补 2核心前提：两组对应边的方向同向/同向或反向/反向时两角相等同向/反向时两角互补 3推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行（公理4） 4应用场景：证明空间中两个角相等或互补为线线角的转化提供依据 解题方法 1直接判定：根据两边的平行关系与方向直接判断角的相等或互补 2方向分析：观察两边的方向确定两角是相等还是互补 3转化应用：将空间角的问题转化为平面角利用等角定理简化计算 （25-26高一下·全国·课前预习）若，且，则为________.经典例题1例题 【答案】或 【详解】根据空间中两个角的边分别平行时，两个角相等或互补即可得解. 根据空间中两个角的边分别平行时，两个角相等或互补，即与相等或互补 所以或. （2025高二·上海·专题练习）已知空间中的两个角和，若，则_____.经典例题2例题 【答案】 【分析】根据等角定理可得. 【详解】由等角定理可知与相等或互补， 所以或. 故答案为：或. （24-25高二上·上海崇明·期中）已知空间两个角与，若，，，则______.小试牛刀1 【答案】或 【分析】根据等角定理可求角的值. 【详解】因为，，故或， 故答案为：或 （24-25高一下·全国·单元测试）如图，在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中不正确的是（    ）小试牛刀2    A．M，N，P，Q四点共面 B． C． D．四边形MNPQ为梯形 【答案】D 【分析】由基本事实4即可判断A，由等角定理即可判断BC，由三角形的中位线即可判断D. 【详解】对于A选项，由条件可得，，所以，所以M，N，P，Q四点共面，故A正确； 对于B选项，根据等角定理，得，故B正确； 对于C选项，由等角定理，知，，所以，故C正确； 对于D选项，由三角形中位线的性质知，，，，所以，所以四边形MNPQ为平行四边形，故D不正确． 故选：D． （24-25高二上·上海黄浦·月考）已知，则_________．小试牛刀3 【答案】或 【分析】结合两直线平行相关的等角定理即可求解． 【详解】若两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，如图所示，    因为，所以或． 故答案为：或． 【题型2：线面平行的判定】 【练方法】 知识梳理 1线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行那么该直线与此平面平行 2符号表示： 3其他判定方法：两个平面平行则一个平面内的直线与另一个平面平行 解题方法 1线线平行法（核心）：在平面内找一条与已知直线平行的直线 中位线法：构造三角形或梯形的中位线证明与已知直线平行 平行四边形法：构造平行四边形证明对边平行 平行线传递法：通过第三条直线传递平行关系 2面面平行法：证明已知直线所在的平面与目标平面平行则线面平行 （25-26高一下·陕西·期中）如图，在四棱锥中，平面，．经典例题1例题 (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，设，连接，可证，再由线面平行的判定定理可证平面 （2）先求，再根据可求三棱锥的体积． 【详解】（1）如图，连接，设，连接， 因为，故，而，所以， 故，而平面，平面，故平面. （2）因为，故四边形为直角梯形， 故其面积为， 而平面，故为四棱锥的高， 故，而，故， 而，故的面积与直角梯形的面积之比为， 故，故. （25-26高一下·福建漳州·期中）如图，长方体中，，点P为的中点.经典例题2例题 (1)求三棱锥的体积. (2)求证：直线平面； 【详解】（1）. （2）设，连接， 因，且为长方体， 则四边形为正方形，故为线段中点， 因点P为的中点，则为的中位线，则， 又平面，平面，则平面. （25-26高一下·浙江丽水·期中）如图，在直三棱柱中，，点为的中点．小试牛刀1 (1)求证：平面； (2)若，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，设与的交点为，连接，结合中位线性质和线面平行的判定定理证明； （2）根据直三棱柱性质可知，三棱锥的高为，再利用，结合棱锥体积公式求解即可. 【详解】（1）连接，设，连接， 在直三棱柱中，四边形为平行四边形，则为的中点， 又因为为的中点，则， 又因为平面，平面， 所以平面． （2）由直三棱柱可知，三棱锥的高为，， 在中，，为的中点，由（1）知， 所以． 因此． （2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，．若是棱的中点，证明：平面；小试牛刀2 【答案】证明见解析 【分析】设与的交点为，连接，结合中位线定理，利用线面平行的判定定理证明即可. 【详解】设与的交点为，连接， 因为是菱形，所以是线段的中点， 又是棱的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱台中，上、下底面均为正方形，底面，，，，点为棱的中点.小试牛刀3    求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】要证明线面平行，需要通过证明线线平行得到线面平行，即证明. 【详解】证明：连接交于点，如图所示：    由是正方形得为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线， 于是，又因为平面，平面， 所以平面. 【题型3：线面平行的性质及有关计算】 【练方法】 知识梳理 1线面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行经过这条直线的平面和这个平面相交那么这条直线与交线平行 2符号表示： 3推论：若直线与平面平行则直线上各点到平面的距离相等 4应用：证明线线平行求点到平面的距离 解题方法 1性质应用：过直线作辅助平面与已知平面相交利用交线与原直线平行解决问题 2距离计算：线面平行时直线上任意一点到平面的距离即为线面距离可转化为点到平面的距离计算 3截面构造：过直线作平面与已知平面相交利用交线的平行关系进行计算或证明 （25-26高三·北京·二轮复习）已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，，，，是的中点.为的中点，为上一点，平面，证明：为中点.经典例题1例题 【答案】证明见解析 【详解】如图，取的中点为，由三点确定一个平面，交于点， 由平面，平面， 平面平面，可得， 又因为为的中点，所以，， 又因为，所以， 由平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以， 又因为，所以， 则四边形是平行四边形，故， 又因为， 是的中点.， 所以，结合， 可得是的中位线，即为中点. （25-26高三·全国·二轮复习）已知四棱锥的底面是平行四边形， 平面． 若平面与平面的交线为，证明：；经典例题2例题 【答案】证明见解析 【分析】由题意可得平面，再由线面平行的性质定义即可得证. 【详解】因为底面是平行四边形， 故平面，平面 可得平面， 又因为平面， 平面平面， 所以． （25-26高三·全国·二轮复习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，点E是棱上的一点，平面．求证：点E是棱的中点．小试牛刀1 【答案】证明见解析 【分析】由线面平行推出线线平行，再利用中点的性质证明结论． 【详解】连接，与交于点F，连接， 四边形为矩形，为的中点， 平面，平面PBD经过PB且与平面AEC交于EF， ， 又点F是的中点， 点E是棱的中点． （25-26高三·全国·二轮复习）如图，在直平行六面体中，点在棱上.若平面，证明：.小试牛刀2 【答案】证明见解析 【分析】连接交于点，连接，求证，即可. 【详解】 连接交于点，连接， 可知平面平面， 又因为平面平面，所以， 因为为直平行六面体， 所以为平行四边形， 所以为的中点， 所以为的中点， 即. （25-26高三上·北京·月考）如图，在四棱锥中，平面，，为棱PC上一点．平面ABE与棱PD交于点．小试牛刀3 (1)求证：为PD的中点； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)理由如下； (2). 【分析】（1）利用线面平行的判定及其性质即可证明四边形为平行四边形，再结合题干即可证明； （2）利用等体积转化法，求以为顶点的三棱锥的体积即可. 【详解】（1），又平面、平面，平面， 又平面，平面平面，， 又，四边形为平行四边形，， ，，，为的中位线，故为PD的中点. （2）平面，为PD的中点，则点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，即， 又、平面，平面，点到平面的距离为， 又，，又， 故三棱锥的体积为. 【题型4：面面平行的判定】 【练方法】 知识梳理 1面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行那么这两个平面平行 2符号表示： 3其他判定方法： 垂直于同一条直线的两个平面平行 平行于同一个平面的两个平面平行 解题方法 1相交线法（核心）：在一个平面内找两条相交直线分别证明它们与另一个平面平行 2线面垂直法：证明两个平面都垂直于同一条直线则两平面平行 3传递法：证明两个平面都平行于第三个平面则两平面平行 （25-26高一下·北京朝阳·月考）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且．经典例题1例题 (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）作辅助线，利用三角形相似得到比例关系，进而可得线线平行，结合判定定理可证结论. （2）作辅助线，根据题意可证平面，平面，进而可得面面垂直. 【详解】（1）连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）连接，因为点分别为棱的中点，则， 因为，，则， 可得，则， 且平面，平面，则平面， 取的中点，连接， 因为分别为的中点，则， 又因为分别为的中点，则，， 且，，则，， 可知为平行四边形，则，可得， 且平面，平面，则平面， 又因为，平面，所以平面平面. （25-26高三·北京·二轮复习）如图，正三角形和平行四边形在同一个平面内，AB，DE的中点分别为F，G.将沿直线AB翻折到，设CE的中点为H.求证：平面平面.经典例题2例题 【答案】证明见解析 【详解】因为四边形为平行四边形，F、G分别为的中点， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面， 又H、G分别为的中点，所以. 平面，平面，所以平面， 因为FD、平面，， 所以平面平面. （25-26高二上·上海·期中）如图，在正方体中，小试牛刀1 (1)若，求证：平面． (2)求证：平面平面． (3)试问：线段被两个平行平面与平面所截得的线段长是否相等？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)相等，理由见解析 【分析】(1) 过点作交于，过点作交于，进而根据相似比的关系证明四边形MNFE是平行四边形，即可根据判定定理证明结论； （2）根据正方体的性质证明平面，平面，进而结合判定定理即可证明； （3）作出点，根据面面平行性质定理，中位线等证明即可. 【详解】（1）证明：过点作交于，则① 过点作交于，则② 连接EF．，， ，即：， 四边形MNFE是平行四边形， 平面，平面 平面 （2）证明：正方形中，， ∴四边形是平行四边形， ∵平面，平面 平面 同理平面 ，平面，平面， 平面平面 （3）解：线段被两个平行平面与平面所截得的线段长相等． 理由如下： 如图，连接交于点，连接与交于点E. 又因为平面, 所以点E也在平面内, 所以点E就是与平面的交点; 连接交于点O，连接与交于点F, 则点F就是与平面的交点. 下面证明：: 因为平面平面,平面平面, 平面平面, 所以. 在中,是的中点, 所以E是的中点，即； 同理可证， 所以F是的中点，即, 所以. 所以，被两个平行平面与平面所截得的线段长相等. （25-26高二上·安徽亳州·期中）如图，在正方体中，M，N，E，F分别是棱，，，的中点．小试牛刀2 (1)求证：平面平面； (2)求平面AMN与平面DBEF把正方体分成三部分的体积之比． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）分别由线线平行证明平面，平面，再由面面平行的判定定理即可得证； （2）结合图形，依次求得三棱锥的体积和三棱台的体积，即得被夹在平面AMN与平面DBEF之间的几何体的体积，作比计算即得. 【详解】（1）连接,因为M，N，E，F分别是棱，，，的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面 连接AC，，交MN，EF，BD于G，H，O， 连接AG，OH如图． 易得四边形为矩形，所以，且， 所以四边形是平行四边形，故 又平面，平面，则平面． 又，AG，平面， 所以平面平面． （2）设正方体的棱长为a，则体积为． 三棱锥的体积为 三棱台的体积为 则夹在平面与平面之间的几何体的体积为． 故平面与平面把正方体分成的三部分的体积之比为：. （25-26高二上·河北邢台·月考）如图，几何体为正三棱台，且，点满足．小试牛刀3 (1)证明：平面． (2)若为的中点，证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据向量运算性质得为的中点，连接，先用向量法证得为平行四边形，然后利用平行四边形性质及线面平行的判定定理证明即可． （2）连接，利用线面平行的判定定理证得平面，再利用平行四边形性质及线面平行的判定定理证得平面，进而利用面面平行的判定定理证明即可． 【详解】（1）因为，所以为的中点． 连接．因为，所以， 则为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面． （2）连接．因为分别为的中点，所以， 又平面平面，所以平面． 因为为的中点，，所以， 所以为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面． 因为，所以平面平面． 【题型5：面面平行的性质及有关计算】 【练方法】 知识梳理 1面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交那么它们的交线平行 2符号表示： 3推论： 两个平面平行则一个平面内的直线与另一个平面平行 夹在两个平行平面间的平行线段长度相等 4应用：证明线线平行求两平面间的距离 解题方法 1交线平行法：用第三个平面截两个平行平面利用交线的平行关系解决问题 2距离计算：两平行平面间的距离等于其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离 3线段计算：利用夹在平行平面间的平行线段相等求线段长度 （25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，平面平面，，分别在，内，线段，，共点于，在平面和平面之间，若，，，，求的面积．经典例题1例题 【答案】 【分析】根据给定条件，利用面面平行的性质证得线线平行，进而证得三角形相似，再利用相似三角形性质求出面积. 【详解】由，则，所在平面与平面，平面的交线分别为，， 而平面平面，则有，， 同理，， 因此 ，它们的面积之比为， 又的面积为， 所以的面积为. （2026高一·全国·专题练习）在三棱柱中，为的中点，平面将三棱柱分成体积为，两部分，则______．经典例题2例题 【答案】 【分析】根据割补法及棱台、棱柱的体积公式即可求解． 【详解】在三棱柱中，∵平面平面， 平面平面，平面平面， ∴，∴． ∵为的中点，∴为的中点． 延长至点使，延长至点使， 延长至点使， 连接，，，得到三棱柱． 延长，．在三棱柱中，∵，分别为，的中点， ∴，相交于点，∴多面体为三棱台． 设三棱柱的高为，上下底面面积均为，体积为， 则． ∵，分别为，的中点，∴． 根据棱台的体积公式可知， ， ∴． （25-26高三下·北京·月考）在棱长为的正方体中，为棱中点，为侧面的中心，平面截该正方体所得到的多边形为，且交于，将正方体分成两部分，这两部分的体积之比为______．小试牛刀1 【答案】或 【分析】利用基本事实作出截面，并根据面面平行的性质定理得多边形为平行四边形，利用体积分割法求出的体积，结合正方体的体积求出另外一部分的体积，即可得解. 【详解】如图，连接并延长至与交于，连接，，， 由平面平面及平面与这两个平面分别交于，， 则，同理，可得，所以多边形为平行四边形， 过点作，垂足为，易得，则， 所以，则，， 设几何体的体积为， 则， 余下另一部分的体积， 则. 所以将正方体分成两部分，这两部分的体积之比为或. （25-26高一下·全国·课后作业）（多选）如图，在三棱台中，点在上，点是棱上的点，且有平面平面，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据面面平行的性质定理和棱台的结构特征判断. 【详解】∵平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，又因为，所以，AD正确； 同理根据面面平行的性质定理得,则B正确. （25-26高一下·全国·课后作业）如图，已知，分别交于，且，，，则与的关系为________，________.小试牛刀3 【答案】 平行 【详解】因为平面，平面，且，所以， 又，，所以. 【题型6：线面平行的存在性问题】 【练方法】 知识梳理 1问题形式：判断是否存在点或直线使得线面平行 2核心依据：线面平行的判定定理与性质定理 3常见载体：棱柱棱锥正方体中的动点问题 解题方法 1假设存在法：先假设存在满足条件的点或直线再利用线面平行的判定定理构造平面内的平行线 2几何构造法：利用中位线平行四边形等几何特征找到满足条件的点或直线 3验证：对找到的点或直线验证是否满足线面平行的条件 （24-25高一下·湖北·月考）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，分别是的中点．经典例题1例题 (1)求三棱锥的体积； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，. 【分析】（1）由条件求三棱锥的底面的面积和高，再由锥体体积公式求结论； （2）先证明，再根据线面平行判定定理证明结论； （3）提出猜测线段上存在点P，使得平面，且，再结合线面平行判定定理证明结论， 【详解】（1）因为四边形为菱形，， 所以，，又为的中点， 所以为等边三角形，，，， 所以， 又平面，， 所以三棱锥的体积， （2）连结， 因为，分别为的中点，所以，， 因为，， 所以四边形是平行四边形， 所以，，又是的中点，且， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面, 所以平面． （3）线段上存在点P，使得平面，且， 证明如下： 连接，其中AC交DE于点，连接 在菱形ABCD中，，且 所以，又， 所以， 所以四边形是平行四边形 平面，平面， 平面. （24-25高一下·湖北荆州·月考）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点．经典例题2例题 (1)求证：平面.； (2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，理由见解析 【分析】（1）取中点，连和，证明四边形为平行四边形，结合线面平行的判定，即可证得平面.； （2）取中点，连接，，利用面面平行的判定定理，证得平面平面，结合面面平行的性质，即可证得平面． 【详解】（1）证明：取中点，连和，可得且， 因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）解：取中点，连接和， 因为和分别为和的中点，所以， 又因为平面，且平面，所以平面， 又由（1）可得∥平面，且，平面， 所以平面平面， 因为是上的动点，且平面，所以平面， 所以，当为中点时，平面． （24-25高一下·北京朝阳·期中）如图所示，点P是平面外一点，平面，，.小试牛刀1 (1)求证：平面； (2)问：是否存在线段上的一点N，使得对线段上的任一动点M，均有平面成立？若存在，请指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点N为的靠近的三等分点，证明见解析 【分析】（1）取靠近的三等分点F，连接，只需证明即可； （2）取的靠近的三等分点N，连接，可以证明平面，由此即可得解. 【详解】（1）如图，在上取靠近的三等分点F，即，连接， ， ∴，. ∵平面，平面，平面平面， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）存在，点N为的靠近的三等分点.证明如下： 如图，在上取点使得，连接. ∵，. ∴. ∵平面，平面， ∴平面. 由（1）得，平面， ∵，平面，平面， ∴平面平面， ∵平面， ∴平面. （24-25高一下·广东·期中）如图所示正四棱锥，，P为侧棱SD上一动点.小试牛刀2 (1)正四棱锥的表面积； (2)若直线平面ACP，求证：P为棱SD的中点； (3)若，侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，，理由见解析 【分析】（1）利用正棱锥的性质及面积公式可求答案； （2）利用线面平行的性质得到线线平行，利用中位线可证结论； （3）利用面面平行的判定和性质得到平面，结合平行线段性质可得结论. 【详解】（1）因为，所以底面积为2，由正四棱锥的性质可得侧面为全等的等腰三角形， 因为，所以侧面积为， 所以正四棱锥的表面积为. （2）连接,交于，则为中点，连接； 因为直线平面，且平面平面， 所以， 因为为中点，所以P为棱SD的中点. （3）在侧棱SC上存在一点E，使得平面，满足. 理由如下:取SD的中点Q，连接BQ， 因为，所以，又为的中点， 在△中, ,又平面，平面，所以平面， 过Q作，交于，连接， 又平面，平面， 所以平面，又，平面， 所以平面平面，又平面, 所以平面，由，得, 由，Q为SD的中点，得， 所以，即侧棱SC上存在一点E，当满足时, 平面PAC. （23-24高二下·辽宁沈阳·月考）如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ）小试牛刀3 A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】在上取点，使得，在上取点，使得，则、，根据线面、面面平行的判定定理可证明平面 平面，则点M的轨迹为线段，结合余弦定理计算即可求解. 【详解】由题意知，，在上取点，使得， 则且，所以四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 所以平面. 在上取点，使得， 有，所以，则， 又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面 平面，则点M的轨迹为线段. 在中，，由余弦定理， 得， 即点M的轨迹长度为. 故选：B 【题型7：面面平行的存在性问题】 【练方法】 知识梳理 1问题形式：判断是否存在点或线使得两个平面平行 2核心依据：面面平行的判定定理 3常见载体：棱柱棱锥正方体中的截面问题 解题方法 1假设存在法：先假设存在满足条件的平面再在两个平面内找两组相交直线证明它们分别平行 2截面构造法：利用线面平行的判定构造满足条件的相交直线确定截面平面 3验证：对找到的平面验证是否满足面面平行的条件 （24-25高一下·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，．经典例题1例题 (1)求证：平面． (2)在线段上是否存在一点G，使平面平面？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，满足即可，理由见解析 【分析】（1）由平行线分线段成比例定理推得，利用三棱柱的性质易得，即可由线线平行证得线面平行； （2）线段上存在点，满足，即可由线线平行推得线面平行再证明面面平行即可. 【详解】（1）因，，则，故， 在三棱柱中，，则， 因平面，平面，则平面. （2） 如图，线段上存在点，满足，即可使平面平面，理由如下： 因，则，则，因平面， 平面，故平面， 由（1），因平面， 平面，故平面， 又平面，故平面平面. （24-25高一下·青海海南·期末）如图，在长方体中，分别是棱的中点.经典例题2例题 (1)证明：平面. (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）连接，根据题意，证得四边形是平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）连接，分别证得和，得到平面，由（1）知平面，证得平面平面，即可得到答案. 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 因为分别是棱的中点，所以， 由长方体的性质，可知，则且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）解：取棱的中点，连接，平面平面，此时 理由如下： 连接，因为分别为棱的中点，所以， 因为分别为棱的中点，所以，所以， 因为平面且平面，所以平面， 由（1）可知平面，且平面，平面，，所以平面平面， 故在棱上存在点，使得平面平面，此时. （24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，已知在正方体中，P，Q分别为对角线，上的点，.小试牛刀1 (1)求证：平面. (2)若R是上的点，当的值为多少时（用表示），能使平面平面?请给出证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)的值为，证明见解析 【分析】（1）连接并延长，与的延长线交于点，利用相似比证明，然后利用线面平行的判定定理和面面平行的性质定理证明即可. （2）结合平行线比例相等，利用线面平行的判定定理证得平面，由（1）平面，最后利用面面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）如图，连接并延长，与的延长线交于点， 则平面和平面的交线为. 因为四边形为正方形，所以， 故，所以. 又因为，所以，所以. 因为平面，平面，所以平面. 又平面平面，故平面. （2）当的值为时，能使平面平面. 证明：如图，因为，即， 又，所以. 因为平面，平面，所以平面， 又，平面，平面， 所以平面平面. （24-25高一下·福建厦门·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点分别为的中点．小试牛刀2    (1)证明：平面； (2)在棱BC上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【分析】（1）取PB的中点，连接，由题意可证得且，即证得四边形为平行四边形，再证得结论； （2）取BC的中点，连接，由题意可证得平面平面，由题意可证得重合，再求出的值． 【详解】（1）证明：取PB的中点，连接， 在四棱锥中，底面为正方形，E，F分别为AD，PC的中点， ，且， ，且， 四边形为平行四边形，， 而平面平面PBE， 平面； （2）存在满足条件的，且， 证明如下：取BC的中点，连接FQ，DQ，则， 由平面平面平面， 又平面平面， 又平面平面与重合， 即为BC的中点，．    （2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，D，E，F分别是AB，，的中点．小试牛刀3 (1)求证：平面平面； (2)求证：在上存在一点P，使得平面平面DCF． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接DE，由线面平行的判定定理分别证明平面，平面，再由面面平行的判定定理即可证明； （2）取的中点P，连接，，，由面面平行的判定定理，即可证明. 【详解】（1）连接DE，由题意知，，， 即四边形为平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面． 同理，四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 又，DC，平面， 所以平面平面． （2）如图，取的中点P，连接，，， 由（1）知，又分别是的中点，可得， 因为分别为的中点，所以，则， 又， 平面，平面， 所以平面平面DCF．故结论得证． 课后针对训练 一、系统分组_加入顺序 1．（24-25高一下·全国·课后作业）若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【详解】因为，，且，根据等角定理， 可得 或 ． 2．（25-26高一下·河北衡水·期中）如图，在正方体中为的中点，为棱的中点，为棱的中点． (1)求证：四点共面； (2)求证：平面； (3)求正方体的外接球的表面积和体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)； 【分析】（1）只需证明即可证明四点共面； （2）先由中位线定理得，再由线面平行的判定定理可得； （3）根据正方体的体对角线即为外接球的直径，进而可得外接球的表面积和体积. 【详解】（1）如图：连接. 因为分别是线段的中点，所以. 又因为在长方体中，且，所以四边形是平行四边形， 所以，因此，根据平面的性质，四点在同一个平面内， 所以四点共面. （2）连接，交于点，因为是正方形，对角线互相平分，所以是的中点. 又是的中点，因此在​中，是中位线，故. 因为平面，平面，且， 由线面平行判定定理得：平面. （3）因为正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线长， 正方体棱长，体对角线长，因此外接球半径. 所以外接球的表面积：， 外接球的体积： 3．（25-26高一下·云南昭通·期中）如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)在图中作出平面和底面ABCD的交线，并求平面将正方体分成两部分的体积之比. 【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析，7∶17 【分析】（1）由正方体的性质及线面平行的判定定理可得； （2）利用平面基本事实3，作出与的交点可得平面和底面ABCD的交线，求出正方体被平面分得的三棱台的体积，根据正方体的体积，求得另一部分的体积，即可得两部分体积比. 【详解】（1）在正方体中，且，且， 且，所以，四边形为平行四边形， 所以. 又平面，平面， 平面.     （2）在正方形中，直线与直线相交. 延长，交于点，连接， ，平面，则平面. ，平面，平面. 平面平面，则平面和底面ABCD的交线为， 设，则如图平面和底面ABCD的交线为， 连接，则为平面和平面的交线. 由为的中点，得为的中点，. 所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台. 解法一：设正方体的棱长为2. .     另一部分几何体的体积为. 两部分的体积比为7∶17.     解法二：设正方体的棱长为2，所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台， 所以. 另一部分几何体的体积为， 两部分的体积比为7∶17. 4．（25-26高一下·云南昭通·期中）如图，已知直三棱柱的各棱长均为2，D为BC上的一点，，连接OD且平面. (1)求证：为BC的中点； (2)求三棱锥的表面积及到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)表面积为，距离为 【分析】（1）利用线面平行的性质定理，结合直三棱柱中平行四边形的性质，通过中位线定理证明为的中点； （2）先利用勾股定理逆定理判断为直角三角形，计算三棱锥的表面积；再通过等体积法，转换顶点求解点到平面的距离. 【详解】（1）证明：如图，因为平面且平面， 又因平面平面， 所以.    又因在直三棱柱中，为平行四边形， 所以为的中点， 所以为的中位线. 所以为的中点. （2）因为三棱柱是直三棱柱且所有棱长均为2， 在中，由勾股定理可得，，. 因为，     所以，所以为直角三角形， 三棱锥的表面积为 .     设到平面的距离为，因为，所以 即，解得， 所以到平面的距离为. 5．（25-26高一下·江苏无锡·期中）在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，三棱锥与四棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用线面平行的性质定理可确定Q点位置，再利用等体积转换法，可知只需表示出即可得出比值. 【详解】如图所示，连接对角线交于点，连接. 因为正四棱锥的底面是正方形，所以是的中点. 因为平面，⊂平面，且平面平面，由线面平行的性质得. 因此是的中位线，故是的中点，即. 设正四棱锥的底面积为，高为h，则总体积， 因为 的面积是正方形面积的一半，即 ， 因为是中点，所以到底面的距离为. 所以，所以 . 6．（25-26高一下·福建龙岩·期中）如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点． (1)求证：D，B，F，E四点共面． (2)设平面平面，求证：． (3)棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）应用平行四边形得出，进而得出线线平行即可证明； （2）应用线面平行判定定理得出平面，再应用线面平行性质定理证明； （3）先证明四边形为平行四边形，得出，再应用线面平行判定定理证明； 【详解】（1）证明：连接． 因为，分别为棱，的中点， 所以，又在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以，，，四点共面． （2）证明：由（1）知，又平面，平面， 所以平面． 因为平面平面，平面，所以． （3）存在，且． 理由如下：取的中点，连接，． 因为，分别为，的中点， 所以，， 又，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以． 设为的中点，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 故存在所求的点，且． 7．（25-26高二下·湖南郴州·月考）（多选）如图，在四面体中，是的中点，是的中点，点在线段上，且．下列结论正确的是（   ） A． B．直线与异面 C．直线与异面 D．平面 【答案】BCD 【分析】根据线线垂直、异面直线的定义即可判断ABC，根据线面平行的判定定理即可判断D. 【详解】对于A，由题干条件不能确定垂直关系，A错误； 对于B：结合图形,由异面直线定义知直线与异面，B正确； 对于CD，取的中点，且是的中点，所以且， 取的四等分点，使，且， 所以，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，且平面，平面，与相交， 所以平面，直线与异面，故CD正确． 8．（25-26高三上·辽宁沈阳·期中）如图，在正方体中，点、、分别为、和边的中点 (1)画出过、、三点的截面（保留作图痕迹）； (2)若正方体的棱长为2，求截面的面积； (3)证明：直线平面 【答案】(1)作图见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）连接，过作直线平行于，交延长线于，交于，再根据平面的基本性质确定截面即可； （2）由（1）及已知截面是边长为的正六边形，进而求其面积； （3）由（1），应用线面平行的判定定理证明结论. 【详解】（1）连接，分别为、的中点，则， 过作直线平行于，交延长线于，交于， 连接，分别交于， 最后连接，所得截面即为所求； （2）由分别为、和边的中点， 所以分别为的中点，而正方体棱长为2， 所以，即截面为正六边形， 所以截面的面积； （3）由（1）中作图过程知，平面，平面， 所以平面. 9．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，是边长为4的等边三角形，且点分别为线段与的中点.将沿折叠后使点与点重合，得到四棱锥.设点为线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)求四棱锥与三棱锥的体积之比. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)连接交于点，连接.然后利用三角形相似的性质，得到，进而利用线面平行的判定定理证明； （2）利用棱锥的体积公式求比值. 【详解】（1）证明：如图，连接交于点，连接. 由题可知，且. 则易有与相似，且相似比为，也即. 又，则，故. 且平面，平面，故平面. （2）解：设四棱锥的体积为，高为，四边形的面积为. 三棱锥的体积为，高为，三角形的面积为，与之间的距离为. 由题有. 又，故，即， 则， 即四棱锥与三棱锥的体积之比为. 10．（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图，在长方体中，，，，，分别为棱，，的中点． (1)在线段上是否存在点，使得，，，四点共面？请说明理由； (2)证明：平面； (3)点在矩形内（包含边界）运动，且满足平面，求周长的最小值． 【答案】(1)当为中点时，，，，四点共面，利用平面性质判断 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）延长交于，连接交于，连接，由共面可得，进而得到为中点时，，，，四点共面； （2）通过证明平面平面，进而得到平面； （3）由（2）可知在线段上，再展开平面，利用余弦定理求边长即可． 【详解】（1）如图，延长交于，连接交于，连接， ，，分别为棱，，的中点， ，， 又，， 要使得，，，四点共面， ，又， 四边形为平行四边形， ，即为中点，， 易得，， 所以，存在，当为中点时，，，，四点共面； （2）连接， ，分别为棱，的中点， ，又平面，平面， 平面， 由（1）知，又平面，平面， 平面，又平面， 平面平面，又 平面， 平面； （3）由（2）知平面平面， 在线段上，又， 的周长最小，即最小， 将平面沿翻折到平面中，如图， ， ， ， ， ， 又，所以的最小值为， 即周长的最小值为． 11．（25-26高一下·浙江丽水·期中）四棱锥的底面为平行四边形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则________． 【答案】/0.5 【分析】连接BD，交AC于点O，连接OE，利用中位线性质和线面平行的判定证明平面ACE，结合平面ACE，则证明平面平面ACE，再利用面面平行的性质则有，即可得到答案. 【详解】如图，连接BD，交AC于点O，连接OE， 由四边形是平行四边形，得， 在线段PE上取点G，使得，由，得， 连接BG，FG，则，由平面，平面， 得平面，而平面，，平面， 因此平面平面，又平面平面，平面平面， 则，所以. 12．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在圆柱中，AC，分别为圆O，圆的直径，，，为圆柱的母线. (1)求证：平面平面； (2)若圆O的半径为2，，，点P为的中点，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据题意，分别证得平面和平面，结合面面平行的判定定理，即可证得平面平面； （2）由平面，得到三棱锥的体积等于三棱锥的体积，利用，结合锥体的体积公式，即可求解. 【详解】（1）证明：如图所示，连接，由四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，且平面，所以平面平面. （2）解：由平面及（1）知平面， 所以点P到平面的距离等于点到平面的距离， 所以三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 因为，因为为圆的直径，可得， 又因为，，所以，， 且，， 所以， 所以三棱锥的体积为. 13．（25-26高二上·四川达州·期中）如图，是两个全等的矩形，它们不在同一个平面内，G，H分别是BC，BE的中点. (1)证明：D，G，H，F四点共面. (2)证明：直线DG，AB，FH经过同一点. (3)证明：平面平面DAF. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用平行四边形证明，即可证明四点共面； （2）由梯形可知，再根据两平面的交线，证明过点即可； （3）根据平面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）连接CE，因为GH是的中位线，所以. 因为ABCD，ABEF是两个全等的矩形， 所以， 所以，则四边形CDEF为平行四边形，从而. 又因为，所以，故D，G，H，F四点共面. （2）由（1）的证明过程知DGHF为梯形，设， 因为平面平面ABEF，所以平面平面ABEF. 又因为，所以，即直线DG，AB，FH经过同一点. （3）因为ABCD是矩形，所以. 又不在平面DAF内，所以平面DAF. 同理可证平面DAF. 因为平面GBH， 所以平面平面DAF. 14．（25-26高三上·山东日照·期中）在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，动点是侧面内一点，若 平面，则点的轨迹长度为__________. 【答案】 【分析】分别取棱的中点，连接 ，证明平面平面，则点必在线段上，即可得出答案. 【详解】如下图所示，分别取棱的中点，连接 ， ∵ 分别为所在棱的中点，则 ∴，又不在平面， 平面， ∴平面． ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又不在平面，平面， ∴平面， 又，平面， ∴平面平面． ∵是侧面内一点，且平面， ∴点必在线段上． 所以点的轨迹长度为， 故答案为：. 15．（25-26高三上·山西太原·期中）如图，三棱柱中，为中点，为棱上一点，为侧面上一动点，且满足平面，则点的轨迹的长度为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】在上取点，使得，在上取点，则、，根据线面、面面平行的判定定理可证明平面 平面，则点P的轨迹为线段，结合余弦定理计算即可求解. 【详解】由题意知，，在上取点，使得， 则且，所以四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 所以平面. 在上取点，使得， 有，则， 又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面 平面，则点P的轨迹为线段. 在中，，由余弦定理， 得， 即点的轨迹长度为. 故选：A 16．（25-26高二上·广东广州·期中）如图，已知长方体， 分别是棱的中点，点为底面四边形内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为______. 【答案】 【分析】取的中点，连接，画出图形利用平行性质以及线、面的位置关系分析即可. 【详解】根据题意取的中点，连接， 如图所示： 因为分别为的中点， 所以在中，可得， 平面，平面，因此平面， 又，所以，且 所以四边形为平行四边形， 所以 ， 平面，平面，因此平面， 又，， 所以平面平面， 所以当点在线段上运动时，直线与平面无公共点， 因此线段就是点的轨迹，且 即点的轨迹长度为， 故答案为：. 17．（25-26高二上·重庆·期中）如图，长方体中，，，． (1)求证：平面平面． (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)答案见解析； (2)10 【分析】（1）由是长方体，得到，从而得到平面；由是长方体，得到，从而得到平面；根据平面与平面平行的判定定理得到平面平面 （2）转换三棱锥的顶点和底面，等体积法求解. 【详解】（1）是长方体，，，， ，，为平行四边形，， 又平面，平面，平面； ，，，， ，，为平行四边形，， 平面，平面，平面； ，平面，平面，平面平面. （2），， . 18．（2025·上海金山·三模）在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（   ） A．为 B．为的中点 C．的轨迹长度为 D．为的中点 【答案】D 【分析】取线段的中点，求证平面平面，即可逐一分析选项. 【详解】取线段的中点，连接，则， 因点分别是棱的中点，则，则， 因平面，平面，则平面， 因，，，，则，， 则四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面， 又平面，则平面平面， 故欲使在正方形（包括边界）内，且平面， 则点必在线段上； A选项：当为时，无法得出平面，故A错误； B选项：当为的中点，无法得出平面，故B错误； C选项：的轨迹长度为，无法说明点在线段上， 但若平面，则的轨迹长度为， 则的轨迹长度为是平面的必要不充分条件，故C错误； D选项：为的中点，即点重合时，必有平面， 但平面时，不一定为的中点， 故为的中点是平面的充分不必要条件，故D正确. 故选：D 19．（2024高一下·全国·专题练习）下列四个正方体中，为所在棱的中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】对于A，根据平面平行的定义，可得其正误；对于B，根据中位线定理可得线线平行，再根据面面平行的判定，可得其正误；对于C，利用反证法，结合面面平行的性质，可得其正误；对于D，利用反证法，根据面面平行的判定，可得其正误. 【详解】对于A选项，若平面平面，平面，则平面， 由图可知与平面相交，故平面与平面不平行，A不满足条件； 对于B选项，如图所示，连接，      因为、分别为、的中点， 则，在正方体中，且， 故四边形为平行四边形，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，因为， 因此，平面平面，B满足条件； 对于C选项，如图所示：    在正方体中，若平面平面，且平面平面， 平面与平面不重合，则平面平面，与平面与平面相交矛盾， 因此，平面与平面不平行，C不满足条件； 对于D选项，在正方体中，连接、、，如图所示：    因为且，则四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，因为，所以平面平面， 若平面平面，则平面平面，与平面与平面相交矛盾， 故平面与平面不平行，D不满足条件． 故选：B. 20．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，，线段上的点G满足平面，点在上，.    (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由线面平行的判定定理可证平面，结合题中条件及面面平行的判定定理即可证明； （2）由（1）知：平面平面，根据面面平行的性质定理即可证明； （3）由题可知点是的中点，结合可得点是的中点.根据题中条件，在平面内，利用平面向量基本定理和共线向量基本定理即可求解. 【详解】（1）∵， 平面，平面，∴平面. ∵平面，平面，， 平面， 平面， ∴平面平面. （2）由（1）知：平面平面. 又平面平面，平面平面， ∴. （3）∵，∴点是的中点. ∵，∴，∴点是的中点，. ∵，且三棱锥各棱长均为1，∴， ∴，，，. ∵点在上，∴，解得. ∵，∴. ∴， . 由（2）知：，∴，∴，使得， 即. 由平面向量基本定理可得，解得. 综上所述，的值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【8.5·空间中直线与平面平面与平面的平行】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：空间中等角定理及其应用】 【练方法】 知识梳理 1等角定理内容：空间中如果两个角的两边分别对应平行那么这两个角相等或互补 2核心前提：两组对应边的方向同向/同向或反向/反向时两角相等同向/反向时两角互补 3推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行（公理4） 4应用场景：证明空间中两个角相等或互补为线线角的转化提供依据 解题方法 1直接判定：根据两边的平行关系与方向直接判断角的相等或互补 2方向分析：观察两边的方向确定两角是相等还是互补 3转化应用：将空间角的问题转化为平面角利用等角定理简化计算 （25-26高一下·全国·课前预习）若，且，则为________.经典例题1例题 （2025高二·上海·专题练习）已知空间中的两个角和，若，则_____.经典例题2例题 （24-25高二上·上海崇明·期中）已知空间两个角与，若，，，则______.小试牛刀1 （24-25高一下·全国·单元测试）如图，在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中不正确的是（    ）小试牛刀2    A．M，N，P，Q四点共面 B． C． D．四边形MNPQ为梯形 （24-25高二上·上海黄浦·月考）已知，则_________．小试牛刀3 【题型2：线面平行的判定】 【练方法】 知识梳理 1线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行那么该直线与此平面平行 2符号表示： 3其他判定方法：两个平面平行则一个平面内的直线与另一个平面平行 解题方法 1线线平行法（核心）：在平面内找一条与已知直线平行的直线 中位线法：构造三角形或梯形的中位线证明与已知直线平行 平行四边形法：构造平行四边形证明对边平行 平行线传递法：通过第三条直线传递平行关系 2面面平行法：证明已知直线所在的平面与目标平面平行则线面平行 （25-26高一下·陕西·期中）如图，在四棱锥中，平面，．经典例题1例题 (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． （25-26高一下·福建漳州·期中）如图，长方体中，，点P为的中点.经典例题2例题 (1)求三棱锥的体积. (2)求证：直线平面； （25-26高一下·浙江丽水·期中）如图，在直三棱柱中，，点为的中点．小试牛刀1 (1)求证：平面； (2)若，求三棱锥的体积． （2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，．若是棱的中点，证明：平面；小试牛刀2 （2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱台中，上、下底面均为正方形，底面，，，，点为棱的中点.小试牛刀3    求证：平面； 【题型3：线面平行的性质及有关计算】 【练方法】 知识梳理 1线面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行经过这条直线的平面和这个平面相交那么这条直线与交线平行 2符号表示： 3推论：若直线与平面平行则直线上各点到平面的距离相等 4应用：证明线线平行求点到平面的距离 解题方法 1性质应用：过直线作辅助平面与已知平面相交利用交线与原直线平行解决问题 2距离计算：线面平行时直线上任意一点到平面的距离即为线面距离可转化为点到平面的距离计算 3截面构造：过直线作平面与已知平面相交利用交线的平行关系进行计算或证明 （25-26高三·北京·二轮复习）已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，，，，是的中点.为的中点，为上一点，平面，证明：为中点.经典例题1例题 （25-26高三·全国·二轮复习）已知四棱锥的底面是平行四边形， 平面． 若平面与平面的交线为，证明：；经典例题2例题 （25-26高三·全国·二轮复习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，点E是棱上的一点，平面．求证：点E是棱的中点．小试牛刀1 （25-26高三·全国·二轮复习）如图，在直平行六面体中，点在棱上.若平面，证明：.小试牛刀2 （25-26高三上·北京·月考）如图，在四棱锥中，平面，，为棱PC上一点．平面ABE与棱PD交于点．小试牛刀3 (1)求证：为PD的中点； (2)求三棱锥的体积． 【题型4：面面平行的判定】 【练方法】 知识梳理 1面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行那么这两个平面平行 2符号表示： 3其他判定方法： 垂直于同一条直线的两个平面平行 平行于同一个平面的两个平面平行 解题方法 1相交线法（核心）：在一个平面内找两条相交直线分别证明它们与另一个平面平行 2线面垂直法：证明两个平面都垂直于同一条直线则两平面平行 3传递法：证明两个平面都平行于第三个平面则两平面平行 （25-26高一下·北京朝阳·月考）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且．经典例题1例题 (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． （25-26高三·北京·二轮复习）如图，正三角形和平行四边形在同一个平面内，AB，DE的中点分别为F，G.将沿直线AB翻折到，设CE的中点为H.求证：平面平面.经典例题2例题 （25-26高二上·上海·期中）如图，在正方体中，小试牛刀1 (1)若，求证：平面． (2)求证：平面平面． (3)试问：线段被两个平行平面与平面所截得的线段长是否相等？请说明理由． （25-26高二上·安徽亳州·期中）如图，在正方体中，M，N，E，F分别是棱，，，的中点．小试牛刀2 (1)求证：平面平面； (2)求平面AMN与平面DBEF把正方体分成三部分的体积之比． （25-26高二上·河北邢台·月考）如图，几何体为正三棱台，且，点满足．小试牛刀3 (1)证明：平面． (2)若为的中点，证明：平面平面． 【题型5：面面平行的性质及有关计算】 【练方法】 知识梳理 1面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交那么它们的交线平行 2符号表示： 3推论： 两个平面平行则一个平面内的直线与另一个平面平行 夹在两个平行平面间的平行线段长度相等 4应用：证明线线平行求两平面间的距离 解题方法 1交线平行法：用第三个平面截两个平行平面利用交线的平行关系解决问题 2距离计算：两平行平面间的距离等于其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离 3线段计算：利用夹在平行平面间的平行线段相等求线段长度 （25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，平面平面，，分别在，内，线段，，共点于，在平面和平面之间，若，，，，求的面积．经典例题1例题 （2026高一·全国·专题练习）在三棱柱中，为的中点，平面将三棱柱分成体积为，两部分，则______．经典例题2例题 （25-26高三下·北京·月考）在棱长为的正方体中，为棱中点，为侧面的中心，平面截该正方体所得到的多边形为，且交于，将正方体分成两部分，这两部分的体积之比为______．小试牛刀1 （25-26高一下·全国·课后作业）（多选）如图，在三棱台中，点在上，点是棱上的点，且有平面平面，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高一下·全国·课后作业）如图，已知，分别交于，且，，，则与的关系为________，________.小试牛刀3 【题型6：线面平行的存在性问题】 【练方法】 知识梳理 1问题形式：判断是否存在点或直线使得线面平行 2核心依据：线面平行的判定定理与性质定理 3常见载体：棱柱棱锥正方体中的动点问题 解题方法 1假设存在法：先假设存在满足条件的点或直线再利用线面平行的判定定理构造平面内的平行线 2几何构造法：利用中位线平行四边形等几何特征找到满足条件的点或直线 3验证：对找到的点或直线验证是否满足线面平行的条件 （24-25高一下·湖北·月考）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，分别是的中点．经典例题1例题 (1)求三棱锥的体积； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． （24-25高一下·湖北荆州·月考）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点．经典例题2例题 (1)求证：平面.； (2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． （24-25高一下·北京朝阳·期中）如图所示，点P是平面外一点，平面，，.小试牛刀1 (1)求证：平面； (2)问：是否存在线段上的一点N，使得对线段上的任一动点M，均有平面成立？若存在，请指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. （24-25高一下·广东·期中）如图所示正四棱锥，，P为侧棱SD上一动点.小试牛刀2 (1)正四棱锥的表面积； (2)若直线平面ACP，求证：P为棱SD的中点； (3)若，侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. （23-24高二下·辽宁沈阳·月考）如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ）小试牛刀3 A．2 B． C． D．1 【题型7：面面平行的存在性问题】 【练方法】 知识梳理 1问题形式：判断是否存在点或线使得两个平面平行 2核心依据：面面平行的判定定理 3常见载体：棱柱棱锥正方体中的截面问题 解题方法 1假设存在法：先假设存在满足条件的平面再在两个平面内找两组相交直线证明它们分别平行 2截面构造法：利用线面平行的判定构造满足条件的相交直线确定截面平面 3验证：对找到的平面验证是否满足面面平行的条件 （24-25高一下·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，．经典例题1例题 (1)求证：平面． (2)在线段上是否存在一点G，使平面平面？请说明理由． （24-25高一下·青海海南·期末）如图，在长方体中，分别是棱的中点.经典例题2例题 (1)证明：平面. (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. （24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，已知在正方体中，P，Q分别为对角线，上的点，.小试牛刀1 (1)求证：平面. (2)若R是上的点，当的值为多少时（用表示），能使平面平面?请给出证明. （24-25高一下·福建厦门·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点分别为的中点．小试牛刀2    (1)证明：平面； (2)在棱BC上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． （2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，D，E，F分别是AB，，的中点．小试牛刀3 (1)求证：平面平面； (2)求证：在上存在一点P，使得平面平面DCF． 课后针对训练 一、系统分组_加入顺序 1．（24-25高一下·全国·课后作业）若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 2．（25-26高一下·河北衡水·期中）如图，在正方体中为的中点，为棱的中点，为棱的中点． (1)求证：四点共面； (2)求证：平面； (3)求正方体的外接球的表面积和体积． 3．（25-26高一下·云南昭通·期中）如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)在图中作出平面和底面ABCD的交线，并求平面将正方体分成两部分的体积之比. 4．（25-26高一下·云南昭通·期中）如图，已知直三棱柱的各棱长均为2，D为BC上的一点，，连接OD且平面. (1)求证：为BC的中点； (2)求三棱锥的表面积及到平面的距离. 5．（25-26高一下·江苏无锡·期中）在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，三棱锥与四棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·福建龙岩·期中）如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点． (1)求证：D，B，F，E四点共面． (2)设平面平面，求证：． (3)棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 7．（25-26高二下·湖南郴州·月考）（多选）如图，在四面体中，是的中点，是的中点，点在线段上，且．下列结论正确的是（   ） A． B．直线与异面 C．直线与异面 D．平面 8．（25-26高三上·辽宁沈阳·期中）如图，在正方体中，点、、分别为、和边的中点 (1)画出过、、三点的截面（保留作图痕迹）； (2)若正方体的棱长为2，求截面的面积； (3)证明：直线平面 9．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，是边长为4的等边三角形，且点分别为线段与的中点.将沿折叠后使点与点重合，得到四棱锥.设点为线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)求四棱锥与三棱锥的体积之比. 10．（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图，在长方体中，，，，，分别为棱，，的中点． (1)在线段上是否存在点，使得，，，四点共面？请说明理由； (2)证明：平面； (3)点在矩形内（包含边界）运动，且满足平面，求周长的最小值． 11．（25-26高一下·浙江丽水·期中）四棱锥的底面为平行四边形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则________． 12．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在圆柱中，AC，分别为圆O，圆的直径，，，为圆柱的母线. (1)求证：平面平面； (2)若圆O的半径为2，，，点P为的中点，求三棱锥的体积. 13．（25-26高二上·四川达州·期中）如图，是两个全等的矩形，它们不在同一个平面内，G，H分别是BC，BE的中点. (1)证明：D，G，H，F四点共面. (2)证明：直线DG，AB，FH经过同一点. (3)证明：平面平面DAF. 14．（25-26高三上·山东日照·期中）在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，动点是侧面内一点，若 平面，则点的轨迹长度为__________. 15．（25-26高三上·山西太原·期中）如图，三棱柱中，为中点，为棱上一点，为侧面上一动点，且满足平面，则点的轨迹的长度为（   ） A．1 B． C． D．2 16．（25-26高二上·广东广州·期中）如图，已知长方体， 分别是棱的中点，点为底面四边形内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为______. 17．（25-26高二上·重庆·期中）如图，长方体中，，，． (1)求证：平面平面． (2)求三棱锥的体积． 18．（2025·上海金山·三模）在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（   ） A．为 B．为的中点 C．的轨迹长度为 D．为的中点 19．（2024高一下·全国·专题练习）下列四个正方体中，为所在棱的中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（    ） A．   B．   C．   D．   20．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，，线段上的点G满足平面，点在上，.    (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $