第14讲 空间直线、平面的垂直（十大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高一数学春季讲义（人教A版必修第二册）

本讲义聚焦高中数学“空间直线、平面的垂直”核心知识点，系统梳理异面直线所成角、线面垂直（定义、判定与性质）、线面角、二面角、面面垂直（判定与性质）等内容，构建从线线垂直到线面垂直再到面面垂直的逻辑脉络，形成完整知识支架。 资料通过分层题型设计，例题与变式结合，如正四面体异面直线角计算、正方体线面垂直判定等实例，培养学生空间观念（数学眼光）和推理能力（数学思维），课中辅助教师系统授课，课后练习助力学生查漏补缺，提升应用意识。

第14讲 空间直线、平面的垂直 【人教A版】 模块一 空间直线、平面的垂直（一） 1．异面直线所成的角 (1)两条异面直线所成的角的定义 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'，b'所成的 角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)异面直线所成的角的范围 异面直线所成的角θ必须是锐角或直角，即θ的范围是. (3)两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记 作a⊥b. 2．直线与平面垂直 (1)定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫 做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足. (2)点到平面的距离 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的 长度叫做这个点到该平面的距离. 3．直线与平面垂直的判定定理 (1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． (2)图形语言：如图所示． (3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α. 该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”. 4．直线与平面所成的角 (1)定义 ①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的 斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足. ②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的 直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. ③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所 成的角. (2)直线与平面所成的角的范围 ①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°. ②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°. ③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是. ④直线与平面所成的角θ的取值范围是. 5．直线与平面垂直的性质定理 (1)直线与平面垂直的性质定理 ①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． ②图形语言：如图所示． ③符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (2)性质定理的作用 ①由线面垂直证明线线平行. ②构造平行线. 【题型1 异面直线所成的角】 【例1】（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，已知正四面体ABCD的棱长为1，M、N分别是BC与AD的中点，则异面直线AM和CN 所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高一下·吉林长春·期末）在正方体中，为棱的中点，异面直线与所成的角为（   ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）已知长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高一下·四川绵阳·期末）如图，在棱长为2的正四面体中，点D为边的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【题型2 线线垂直的判定】 【例2】（2025高二下·湖南株洲·学业考试）在正方体中，连接，，则直线，位置关系是（    ） A．异面且垂直 B．异面但不垂直 C．相交且垂直 D．平行 【变式2.1】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，如果菱形所在的平面，那么与的位置关系是（    ） A．平行 B．不垂直 C．垂直 D．相交 【变式2.2】（24-25高一下·全国·课后作业）在直三棱柱中，，求证：． 【变式2.3】（24-25高二上·云南昭通·期中）如图所示，在正方体中，.证明：    (1)； (2)与是异面直线. 【题型3 直线与平面垂直的判定】 【例3】（2025高二上·黑龙江·学业考试）如图，在正方体中，与平面垂直的直线是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高二上·山西·期末）如图，在三棱锥中，平面， ，，为的中点，则下列结论正确的有（    ） ①平面；②；③平面；④平面. A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3.2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知空间四边形的边，，作于点，作于点．求证：平面． 【变式3.3】（24-25高一下·重庆渝北·期中）如图，在三棱柱中，底面分别为的中点，求证： (1)平面； (2)平面. 【题型4 直线与平面所成的角】 【例4】（24-25高二上·北京·期中）我国古代数学名著《九章算术》商功中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.如图，在堑堵中，，，则直线与平面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高一下·湖南永州·期末）如图1，已知四边形PABC是直角梯形，，，，D是线段PC中点.将沿AD翻折，使，连接PB，PC，如图2所示，则PB与平面ABCD所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图.已知正方体. (1)求与底面所成的角； (2)设正方体的棱长为a，求与底面所成的角的余弦值. 【变式4.3】（24-25高一下·湖南衡阳·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是线段的中点，是线段的中点. (1)求证：平面； (2)求与面所成角的正弦值． 【题型5 线面垂直性质定理的应用】 【例5】（24-25高一下·云南红河·期中）若直线平面，直线平面，则与（    ） A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 【变式5.1】（24-25高一下·广东惠州·月考）已知正方体中，E，F分别为所在线段的中点，则满足的图形为（   ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）如图，在四面体中，是的中点，分别是的中点，.求证： (1)平面； (2). 【变式5.3】（24-25高一下·河北秦皇岛·期末）如图，已知点为所在平面外一点，平面，，于，于，求证：    (1)平面； (2). 模块二 空间直线、平面的垂直（二） 1．二面角 (1)二面角的定义 ①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面. ②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个 半平面叫做二面角的面. (2)二面角的表示 ①棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α-AB-β，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α -l-β，如图(1). ②若在α，β内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这 个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2). (3)二面角的平面角 ①自然语言 在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和 OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. ②图形语言 ③符号语言 ∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角. (4)二面角大小的度量 ①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面 角是直角的二面角叫做直二面角. ②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是0°；当二面角的两个半平面合成一个平面时， 规定二面角的大小是180°.所以二面角的平面角α的范围是. 2．面面垂直的定义及判定定理 (1)平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂 直，记作α⊥β. (2)两个平面互相垂直的画法 如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直. (3)平面与平面垂直的判定定理 ①自然语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”. 3．平面与平面垂直的性质定理 (1)平面与平面垂直的性质定理 ①自然语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. ②图形语言 ③符号语言 . (2)性质定理的作用 ①证明线面垂直、线线垂直； ②构造面的垂线. 4．直线、平面位置关系中的相关结论及其转化 (1)判定直线与直线垂直的方法 ①定义法：两条直线所成的角为，则这两条直线互相垂直. ②利用直线与平面垂直的性质来判定. ③若一条直线垂直于两平行直线中的一条，则该直线也垂直于另一条. (2)判定直线与平面垂直的方法 ①定义法：一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则该直线与这个平面垂直. ②利用直线与平面垂直的判定定理来判定. ③利用平面与平面垂直的性质定理来判定. ④如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，即a∥b，a⊥α⇒b⊥α. ⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面，即α∥β，a⊥α ⇒a⊥β. (3)平面与平面垂直的其他性质与结论 ①如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内. ②如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面. ③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内. ④如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面. ⑤三个两两垂直的平面的交线也两两垂直. (4)线、面垂直位置关系的相互转化 (5)平行关系与垂直关系的相互转化 【题型6 面面垂直的判定】 【例6】（25-26高一下·全国·课后作业）对于直线m、n和平面、，能得出的一个条件是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式6.1】（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图，在立体图形中，若，，是的中点，则下列命题中一定正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【变式6.2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在空间四边形中，，，，，分别是，，的中点．求证：平面平面． 【变式6.3】（24-25高一下·天津·月考）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，E是侧棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【题型7 面面垂直性质定理的应用】 【例7】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，，是直线，，是平面，， ，，，，则直线与的位置关系是（    ） A．异面 B．相交但不垂直 C．平行 D．相交且垂直 【变式7.1】（24-25高一下·全国·随堂练习）已知平面平面，点，则过点且垂直于平面的直线（    ） A．只有一条，不一定在平面内 B．有无数条，不一定在平面内 C．只有一条，一定在平面内 D．有无数条，一定在平面内 【变式7.2】（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是线段的中点，是线段的中点．求证：平面． 【变式7.3】（2025高一下·全国·专题练习）如图所示，四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，为边的中点.求证： (1)平面； (2). 【题型8 二面角】 【例8】（25-26高三上·山西晋中·月考）如图，已知四棱锥，平面平面，是边长为4的等边三角形，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式8.1】（25-26高三上·河北·月考）如图，在三棱锥，平面平面是边长为2的等边三角形，，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【变式8.2】（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，在三棱锥中，平面，． (1)求证：平面平面； (2)若，求二面角的正弦值． 【变式8.3】（25-26高一下·浙江·开学考试）如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.过点作于，作于，连. (1)证明：； (2)求平面与底面所成角的余弦值. 【题型9 点、线、面的距离问题】 【例9】（24-25高一下·福建福州·期末）如图，各棱长均为2的直三棱柱中，D为的中点，点到平面的距离为（    ） A． B．2 C． D． 【变式9.1】（24-25高三上·河北·期末）已知四棱锥中，底面为边长为2的正方形，，，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式9.2】（24-25高一下·吉林·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【变式9.3】（2025·河南·二模）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为.    (1)证明：平面 平面； (2)求平面与平面间的距离. 【题型10 立体几何中的探索性问题】 【例10】（2026高一下·全国·专题练习）矩形中，，P为线段的中点，将沿折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，求解以下问题： (1)在上是否存在点使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由； (2)求二面角的余弦值． 【变式10.1】（24-25高一下·广东茂名·月考）如图，在四棱锥中，平面底面，底面是直角梯形，，，，，是的中点.    (1)证明：平面； (2)底边上是否存在异于端点的一点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式10.2】（24-25高一下·云南大理·月考）如图1，在等腰梯形ABCD中，，将沿边AC翻折，使点翻折到点，连接PB，得到三棱锥，如图2，其中． (1)证明：平面PAC． (2)若，求三棱锥的体积． (3)若，试问在侧棱PC上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出CE的长度；若不存在，请说明理由． 【变式10.3】（24-25高一下·福建福州·期末）如图，在三棱台中，平面平面，且. (1)证明：； (2)求直线与平面所成的角的大小； (3)线段上是否存在点，使得二面角的平面角正切值为？若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·单元测试）已知平面平面，直线，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一下·浙江衢州·期末）已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 3．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，直三棱柱，，平面平面，直三棱柱的体积为，则与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·广西北海·期末）已知，，是不重合的三条直线，，，是不重合的三个平面，则下列说法中错误的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 5．（24-25高一下·湖北恩施·期末）正方体中，是AB的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·陕西汉中·期末）已知为正方体，、分别为、的中点，则二面角的大小为（   ）    A．30° B．45° C．60° D．90° 7．（24-25高一下·天津·期末）如图，在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，则以下命题正确的个数为（   ） ①直线平面， ②平面与平面的夹角大小为 ③三棱锥的体积为定值 ④异面直线AP与所成角的取值范围是 ⑤三棱锥外接球表面积是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2026高一下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列判断正确的个数（  ） ①平面平面 ②直线与平面所成角是 ③平面平面 ④二面角余弦值为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、多选题 9．（24-25高一下·河南漯河·期末）设为菱形所在平面外一点，与交于为上（异于）的一点，则（    ） A． B．与异面 C．若为的中点，则平面 D．若，则平面 10．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）正八面体是一种正多面体，由8个正三角形面组成，对角面为正方形．如图，正八面体的棱长为5，为棱上一点，且，则（   ） A．平面平面 B．该正八面体外接球的表面积为 C．二面角的余弦值为 D．异面直线与所成角的余弦值为 11．（24-25高一下·安徽宣城·期末）如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是的，中点，G是的中点，现在沿，及把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，下列结论正确的是（    ） A． B．三棱锥的外接球的体积为 C．点H到平面的距离为 D．二面角的余弦值为 三、填空题 12．（24-25高一下·河南安阳·期末）已知等边的边长为1，平面，且，则点到平面的距离为_________． 13．（24-25高一下·广西南宁·期末）如图，在四面体中，底面为边长为2的正三角形，平面，是的中点，若，则异面直线和所成角的余弦值为_________.    14．（24-25高一下·内蒙古乌兰察布·期末）图，在正方体中，是的中点，二面角的正切值为___________. 四、解答题 15．（24-25高一下·江苏无锡·期末）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． (1)求证：平面． (2)求直线与面所成的角的正弦值． 16．（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，分别是的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 17．（24-25高一下·甘肃天水·期末）一副三角板如图所示的方式拼接，将折起，使得二面角为直二面角，. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 18．（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 19．（24-25高一下·广西柳州·期末）如图1，在矩形ABCD中，，，将△BCD沿BD翻折至△BC1D，且，如图2所示.    (1)求证：平面ABC1⊥平面AC1D； (2)求点C1到平面ABD的距离d； (3)求二面角的余弦值. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 空间直线、平面的垂直 【人教A版】 模块一 空间直线、平面的垂直（一） 1．异面直线所成的角 (1)两条异面直线所成的角的定义 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'，b'所成的 角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)异面直线所成的角的范围 异面直线所成的角θ必须是锐角或直角，即θ的范围是. (3)两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记 作a⊥b. 2．直线与平面垂直 (1)定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫 做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足. (2)点到平面的距离 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的 长度叫做这个点到该平面的距离. 3．直线与平面垂直的判定定理 (1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． (2)图形语言：如图所示． (3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α. 该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”. 4．直线与平面所成的角 (1)定义 ①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的 斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足. ②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的 直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. ③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所 成的角. (2)直线与平面所成的角的范围 ①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°. ②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°. ③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是. ④直线与平面所成的角θ的取值范围是. 5．直线与平面垂直的性质定理 (1)直线与平面垂直的性质定理 ①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． ②图形语言：如图所示． ③符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (2)性质定理的作用 ①由线面垂直证明线线平行. ②构造平行线. 【题型1 异面直线所成的角】 【例1】（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，已知正四面体ABCD的棱长为1，M、N分别是BC与AD的中点，则异面直线AM和CN 所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】连接，取的中点为，连接，则得，即异面直线AM和CN 所成角或其补角，求出相关边长，借助于，利用余弦定理即可求得. 【解答过程】 如图，连接，取的中点为，连接，因M、N分别是BC与AD的中点，故， 则即异面直线AM和CN 所成角或其补角，又因正四面体，则， 则，易知，则， 在中，由余弦定理，. 故选：A. 【变式1.1】（24-25高一下·吉林长春·期末）在正方体中，为棱的中点，异面直线与所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据异面直线的定义找到对应的平面角，应用余弦定理求其大小即可. 【解答过程】由题设且，即四边形为平行四边形，故， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成的角或其补角， 设正方体棱长为2，则，故， 结合异面直线夹角的范围知，异面直线与所成角为. 故选：B. 【变式1.2】（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）已知长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】连接，根据可知或其补角即为所求，然后利用余弦定理求解即可. 【解答过程】如图所示：连接，根据长方体的性质易知， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成角，则或其补角即为所求， 不妨， 在中，， 所以由余弦定理得. 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 【变式1.3】（24-25高一下·四川绵阳·期末）如图，在棱长为2的正四面体中，点D为边的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，过作的平行直线，利用几何法求出异面直线夹角的余弦. 【解答过程】在正四面体中，取中点，连接， 由是的中点，得，则是异面直线与所成的角或其补角， ，则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 【题型2 线线垂直的判定】 【例2】（2025高二下·湖南株洲·学业考试）在正方体中，连接，，则直线，位置关系是（    ） A．异面且垂直 B．异面但不垂直 C．相交且垂直 D．平行 【答案】A 【解题思路】易知与互为异面直线，根据线面垂直的判定定理与性质即可证明. 【解答过程】如图，易知与互为异面直线. 连接，则， 又面，面， 所以，又面， 所以面，又面， 所以. 故选：A. 【变式2.1】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，如果菱形所在的平面，那么与的位置关系是（    ） A．平行 B．不垂直 C．垂直 D．相交 【答案】C 【解题思路】连接，易知，由线面垂直的性质有，再根据线面垂直的判定证面，最后由线面垂直的性质确定与的位置关系. 【解答过程】 连接，因为是菱形，所以， 又菱形所在的平面，面，所以， 又，面，所以面，面， 所以 . 故选：C. 【变式2.2】（24-25高一下·全国·课后作业）在直三棱柱中，，求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】找到异面直线的夹角，利用直三棱柱的性质求出夹角度数，再证明线线垂直即可. 【解答过程】如图，连接，设，，， 由直三棱柱性质得，， 因为，所以由勾股定理得， 因为三棱柱是直三棱柱，所以， 由勾股定理得，， 故，则，即． 由直三棱柱性质得，故就是直线与所成的角， 所以得证． 【变式2.3】（24-25高二上·云南昭通·期中）如图所示，在正方体中，.证明：    (1)； (2)与是异面直线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据当两直线所成的角是直角时，两直线垂直即可证明 （2）根据异面直线的定义可得 【解答过程】（1）如图所示，连接，    为正方体， ， 平面为平行四边形， . 为正方形， ， . （2）由面，面，且面面， 又与不平行，与是异面直线. 【题型3 直线与平面垂直的判定】 【例3】（2025高二上·黑龙江·学业考试）如图，在正方体中，与平面垂直的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】连接，，即可证明平面，从而得到，同理可证，即可得到平面. 【解答过程】连接，，由正方体的性质可知，平面， 又平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 同理可证平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面，故D正确； 显然与不垂直，平面，所以不垂直平面，故A错误； 显然与不垂直，平面，所以不垂直平面，故B错误； 显然与不垂直，平面，所以不垂直平面，故C错误； 故选：D. 【变式3.1】（24-25高二上·山西·期末）如图，在三棱锥中，平面， ，，为的中点，则下列结论正确的有（    ） ①平面；②；③平面；④平面. A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【解题思路】由线面垂直定义和判定定理进行辨析即可. 【解答过程】对于①，∵平面，平面，∴， 又∵ ，，平面，平面， ∴平面，故①正确； 对于②，③，由①，∵平面，平面，∴， 又∵，为的中点，∴， 又∵，平面，平面，∴平面， 又∵平面，∴，故②，③正确； 对于④，假设平面，则∵平面，∴， 又∵为的中点，∴， ∵平面，平面，∴，∴中，， 又∵ ，∴中，，∴，， ∴假设不成立，故④错误. ∴正确的有①②③，共个. 故选：D. 【变式3.2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知空间四边形的边，，作于点，作于点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【解题思路】通过证明，，可得平面，进而可得，又，所以平面，所以，又因为，所以平面． 【解答过程】连接，取的中点，连接，，如图所示， 因为，为的中点，所以， 同理，，为的中点，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，且，平面平面， 所以平面． 【变式3.3】（24-25高一下·重庆渝北·期中）如图，在三棱柱中，底面分别为的中点，求证： (1)平面； (2)平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）连接交于，连，可证得四边形为平行四边形，则，从而利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）由已知可得平面，则，再证得，从而利用线面垂直的判定定理可证得结论. 【解答过程】（1）证明：连接交于，连， 在三棱柱中，矩形中，，则， 因为分别为的中点，所以且， 因为为中点，所以且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面， 所以平面. （2）证明：因为底面，平面，所以， 因为∥，所以 因为，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面， 因为平面，所以， 因为在矩形中，为的中点， 所以， 因为底面，平面，所以， 所以均为等腰直角三角形， 所以，所以， 所以， 因为平面， 所以平面. 【题型4 直线与平面所成的角】 【例4】（24-25高二上·北京·期中）我国古代数学名著《九章算术》商功中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.如图，在堑堵中，，，则直线与平面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据线面角定义找到直线与平面所成角的平面角，结合已知求其大小. 【解答过程】由题设知，直三棱柱底面为等腰直角三角形，且，， 若是中点，连接，则，且， 由面面，面，面面， 所以面，则直线与平面所成角为锐角， 且面，则 ， 由题意，在中，则，故. 故选：A. 【变式4.1】（24-25高一下·湖南永州·期末）如图1，已知四边形PABC是直角梯形，，，，D是线段PC中点.将沿AD翻折，使，连接PB，PC，如图2所示，则PB与平面ABCD所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据定义找出直线与平面所成的角，然后在直角三角形中计算. 【解答过程】由已知，，又平面， 所以平面，所以是PB与平面ABCD所成角， 平面ABCD，则， 由题意，，所以， 所以， 故选：D. 【变式4.2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图.已知正方体. (1)求与底面所成的角； (2)设正方体的棱长为a，求与底面所成的角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由底面结合线面角定义即可求解； （2）由底面得到是与底面所成的角即可计算求解. 【解答过程】（1）因为底面，所以是与底面所成的角. 因为侧面是正方形，所以. 即与底面所成的角为. （2）如图，连接，则. 因为底面， 所以是与底面所成的角，同时. 在中，，，， 所以，即与底面所成角余弦值为. 【变式4.3】（24-25高一下·湖南衡阳·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是线段的中点，是线段的中点. (1)求证：平面； (2)求与面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）利用面面垂直的性质定理得平面，再根据，即可证明答案； （2）利用等体积法求出到面的距离，进而得到与面所成角的正弦值. 【解答过程】（1）因为底面为正方形， 所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面， 又因为是线段的中点，是线段的中点， 所以， 所以平面. （2） 取中点为，连接， 因为为正三角形， 所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面， 又因为平面， 所以， 设，，， 所以在中，， 由（1）得平面， 又因为，所以平面， 又因为平面， 所以， 所以，， 设到面的距离为，因为， 所以 ， 所以， 设与面所成角为， 则， 所以与面所成角的正弦值为. 【题型5 线面垂直性质定理的应用】 【例5】（24-25高一下·云南红河·期中）若直线平面，直线平面，则与（    ） A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用线面垂直的性质推理即得. 【解答过程】由直线平面，直线平面，得直线直线. 故选：D. 【变式5.1】（24-25高一下·广东惠州·月考）已知正方体中，E，F分别为所在线段的中点，则满足的图形为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，根据正方体的结构特征，应用线面垂直的性质及判定、反证思想判定各项的正误. 【解答过程】正方体中，设，E，F分别为所在线段的中点， 对于A，因为底面ABCD，又平面ABCD，所以， 若，又且都在平面内，则平面， 又平面，所以，显然不成立， 因而不成立，故A错误； 对于B，同A分析，若，得，所以，显然不成立， 因而不成立，故B错误； 对于C，连接AF，EF，如下图所示： 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 若，因为且都在平面AEF内，所以平面AEF， 由平面AEF，所以，则，显然不成立， 因而不成立，故C错误； 对于D，取BC的中点G，连接AG，EG，如下图所示： 因为平面，平面，所以， 又因为，可得，又因为， 所以且都在平面内，所以平面， 由平面，所以，故D正确． 故选：D. 【变式5.2】（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）如图，在四面体中，是的中点，分别是的中点，.求证： (1)平面； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）连接，利用中位线性质得，进而利用线面平行的判定定理证明即可； （2）利用等腰三角形的中线即高线得，，然后利用线面垂直的判定定理得平面，最后利用线面垂直的性质证明即可. 【解答过程】（1）连接，因为分别是的中点，所以， 又平面，平面，所以平面； （2）因为，且是的中点，所以，， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以. 【变式5.3】（24-25高一下·河北秦皇岛·期末）如图，已知点为所在平面外一点，平面，，于，于，求证：    (1)平面； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）由平面，得，结合利用线面垂直的判定定理可证得结论； （2）由（1）可得，结合可证得平面，则，再结合可证得平面，进而可证得. 【解答过程】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为，所以， 因为，平面， 所以平面； （2）证明：由（1）得平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以. 模块二 空间直线、平面的垂直（二） 1．二面角 (1)二面角的定义 ①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面. ②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个 半平面叫做二面角的面. (2)二面角的表示 ①棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α-AB-β，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α -l-β，如图(1). ②若在α，β内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这 个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2). (3)二面角的平面角 ①自然语言 在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和 OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. ②图形语言 ③符号语言 ∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角. (4)二面角大小的度量 ①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面 角是直角的二面角叫做直二面角. ②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是0°；当二面角的两个半平面合成一个平面时， 规定二面角的大小是180°.所以二面角的平面角α的范围是. 2．面面垂直的定义及判定定理 (1)平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂 直，记作α⊥β. (2)两个平面互相垂直的画法 如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直. (3)平面与平面垂直的判定定理 ①自然语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”. 3．平面与平面垂直的性质定理 (1)平面与平面垂直的性质定理 ①自然语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. ②图形语言 ③符号语言 . (2)性质定理的作用 ①证明线面垂直、线线垂直； ②构造面的垂线. 4．直线、平面位置关系中的相关结论及其转化 (1)判定直线与直线垂直的方法 ①定义法：两条直线所成的角为，则这两条直线互相垂直. ②利用直线与平面垂直的性质来判定. ③若一条直线垂直于两平行直线中的一条，则该直线也垂直于另一条. (2)判定直线与平面垂直的方法 ①定义法：一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则该直线与这个平面垂直. ②利用直线与平面垂直的判定定理来判定. ③利用平面与平面垂直的性质定理来判定. ④如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，即a∥b，a⊥α⇒b⊥α. ⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面，即α∥β，a⊥α ⇒a⊥β. (3)平面与平面垂直的其他性质与结论 ①如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内. ②如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面. ③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内. ④如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面. ⑤三个两两垂直的平面的交线也两两垂直. (4)线、面垂直位置关系的相互转化 (5)平行关系与垂直关系的相互转化 【题型6 面面垂直的判定】 【例6】（25-26高一下·全国·课后作业）对于直线m、n和平面、，能得出的一个条件是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【解题思路】利用平面垂直判定定理，逐一分析各选项中直线与平面的关系是否可以推导出. 【解答过程】对于A，当垂直相交且同时平行于时，可能有的情况，所以A错误； 对于B，如下图，当，，，不一定得到，所以B错误； 对于C，过直线作平面与平面交于直线，如下图， ∵，，，∴， ∵，，∴，∴， 又，从而得到，故C正确； 对于D，由，可得，而，故可得，即D错误. 故选：C. 【变式6.1】（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图，在立体图形中，若，，是的中点，则下列命题中一定正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】C 【解题思路】利用垂直关系，结合面面垂直的判断定理，即可判断选项. 【解答过程】因为，且是的中点，所以BE⊥AC， 因为，且是的中点，所以DE⊥AC， 因为，平面， 所以平面，由于平面， 所以平面平面，C正确； 在平面内取点，作，，垂足分别为，，如图， 因为平面，由于平面， 所以平面平面，平面平面，平面，， 则平面，平面，所以， 若平面平面，同理可得，而，平面， 于是得平面，显然与平面不一定垂直，A不正确； 过A作边上的高，连，由得，是边上的高， 则是二面角的平面角，而不一定是直角，即平面与平面不一定垂直，B不正确； 因平面，则是二面角的平面角，不一定是直角， 平面与平面不一定垂直，D不正确. 故选：C. 【变式6.2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在空间四边形中，，，，，分别是，，的中点．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【解题思路】连接，．由题意可证四边形为菱形，进而可得，又可得，进而可得平面，可证结论. 【解答过程】连接，．，，分别是，，的中点，且， ，且， ∴四边形为菱形，， 又，，， 又，．又，，平面， 平面，又平面， ∴平面平面． 【变式6.3】（24-25高一下·天津·月考）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，E是侧棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）连接交于，连接，利用中位线定理可得，进而可证结论； （2）由面面垂直的判定定理可得平面底面，进而利用面面垂直的性质可得平面，进而可证结论. 【解答过程】（1）连接交于，连接， 因为四边形是正方形，所以是的中点， 又E是侧棱的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面；    （2）因为侧棱底面，平面，所以平面底面， 又因为底面，，平面底面， 所以平面，又平面，所以平面平面. 【题型7 面面垂直性质定理的应用】 【例7】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，，是直线，，是平面，， ，，，，则直线与的位置关系是（    ） A．异面 B．相交但不垂直 C．平行 D．相交且垂直 【答案】C 【解题思路】利用面面垂直与线面垂直的性质定理即可求解. 【解答过程】因为，，，，所以， 又，所以． 故选：C. 【变式7.1】（24-25高一下·全国·随堂练习）已知平面平面，点，则过点且垂直于平面的直线（    ） A．只有一条，不一定在平面内 B．有无数条，不一定在平面内 C．只有一条，一定在平面内 D．有无数条，一定在平面内 【答案】C 【解题思路】利用面面垂直的性质可得对应的结论. 【解答过程】根据面面垂线的性质定理可知，当平面垂直平面时， 过平面上一点且垂直于平面的直线，在平面内只有一条. 故选：C. 【变式7.2】（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是线段的中点，是线段的中点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【解题思路】利用面面垂直的性质定理得平面，再根据，即可证明答案． 【解答过程】因为底面为正方形， 所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面， 又因为是线段的中点，是线段的中点， 所以， 所以平面． 【变式7.3】（2025高一下·全国·专题练习）如图所示，四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，为边的中点.求证： (1)平面； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）由面面垂直的性质定理证明即可； （2）由线面垂直判定定理和性质定理证明即可. 【解答过程】（1）因为四边形是菱形且， 所以是正三角形，因为G为的中点，所以， 又平面⊥平面，且平面∩平面，平面， 所以平面； （2）因为侧面为正三角形，为边的中点， 所以，又由（1）可知， 又，BG，平面， 所以平面，又平面， 所以. 【题型8 二面角】 【例8】（25-26高三上·山西晋中·月考）如图，已知四棱锥，平面平面，是边长为4的等边三角形，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设的中点为，连接，，根据等腰三角形性质，可证，根据面面垂直的性质定理，可证平面，根据线面垂直的性质定理，可证，作于点，连接，可得是二面角的平面角，求得各个长度，根据余弦函数的定义，即可得答案. 【解答过程】如图，设的中点为，连接，， 在中，，，则， 且， ，为的中点，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面，， 作于点，连接， ，平面，，平面， 平面，， 是二面角的平面角， 在中，，有，即， ， 在中，， 在中，， . 故选：B. 【变式8.1】（25-26高三上·河北·月考）如图，在三棱锥，平面平面是边长为2的等边三角形，，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】取中点，连接，作于点，证明是二面角的平面角，然后在直角三角形中计算其正切值. 【解答过程】取中点，连接，由题意得，作于点，连接， 因为平面平面，平面， 所以平面， 而平面，所以，同理， 又，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以是二面角的平面角， 由已知得，，， 所以， 故选：B. 【变式8.2】（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，在三棱锥中，平面，． (1)求证：平面平面； (2)若，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【解题思路】（1）先由线面垂直的性质得，结合已知及线面垂直判定定理证得平面，再由面面垂直的判定定理推出平面平面； （2）先确定为二面角的平面角，再在中结合用勾股定理求出，最后利用正弦的定义求得二面角的正弦值. 【解答过程】（1）证明：平面，平面， ，又且． 平面．又平面平面平面． （2）由（1）知为二面角的平面角． 在Rt中，，，． 即二面角的正弦值为． 【变式8.3】（25-26高一下·浙江·开学考试）如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.过点作于，作于，连. (1)证明：； (2)求平面与底面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）根据线线垂直证明线面垂直，进而利用线面垂直得线线垂直，即可求证平面，即可得证； （2）根据三角形的边角关系求解长度，进而分别求解,即可根据面积之比求解. 【解答过程】（1）已知底面，底面，所以， 又，平面， 故平面. 又平面，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，则， 又，平面, 平面， 又平面，， （2）如图，设点在底面的投影分别是， 由题意知分别在上， 由（1）知平面，平面，则， 由于，故是的中点，则是的中点， 在中，，， ， ， 故， 由于，， 则，故， 在中，，， ， 记平面与底面所成角为，. 【题型9 点、线、面的距离问题】 【例9】（24-25高一下·福建福州·期末）如图，各棱长均为2的直三棱柱中，D为的中点，点到平面的距离为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解题思路】利用，可求点到平面的距离. 【解答过程】由题意可得，平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 又平面，平面，所以， 又直三棱柱各棱长均为2，所以， ， 所以，， 设点到平面的距离为， 由，得，所以， 解得. 故选：A. 【变式9.1】（24-25高三上·河北·期末）已知四棱锥中，底面为边长为2的正方形，，，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】取的中点M，的中点N，连接，由已知，可得平面平面，平面，则直线到平面的距离为点N到平面的距离，则利用余弦定理求得，进而得，则直线到平面的距离为，可得答案. 【解答过程】 根据题意，如图， 因为，，则，， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面， 因为底面为边长为2的正方形， 则，平面，平面， 所以平面， 则直线到平面的距离为点N到平面的距离， 即点N到直线的距离， 又， ，， 在中，， 则， 所以点N到直线的距离为. 故选：A． 【变式9.2】（24-25高一下·吉林·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）利用等体积法即可求解. 【解答过程】（1）底面，平面，， 又，，平面， 平面； （2）底面，平面，， ，， 设点到平面的距离为，则， 由（1）可知，平面，平面，， ， ，， ，， 点到平面的距离为． 【变式9.3】（2025·河南·二模）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为.    (1)证明：平面 平面； (2)求平面与平面间的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）利用面面平行的判定定理证明; （2）将面面距转化为点面距，再由等体积法求出距离即可. 【解答过程】（1）在正六棱柱中， 因为底面为正六边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 因为，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，所以平面平面. （2）平面与平面间的距离等价于点到平面的距离，设为. 连接，则四面体的体积. 因为， ，， 所以，从而， 所以， 所以，即平面与平面间的距离为.    【题型10 立体几何中的探索性问题】 【例10】（2026高一下·全国·专题练习）矩形中，，P为线段的中点，将沿折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，求解以下问题： (1)在上是否存在点使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)存在，E是线段上靠近点C的三等分点． (2)． 【解题思路】（1）设交于点F，可证，因此只要，就有，进而可得平面； （2）先证，平面，得，计算，从而证明，得出为二面角的平面角，然后由余弦定理计算． 【解答过程】（1）存在．如图所示： 连接，，设交于点F， ，且， ． 取的三等分点，使，连接，，，则． 又平面，平面， 平面． 故存在满足条件的点，且是线段上靠近点的三等分点． （2）在矩形中，，， ，． 又平面平面，平面，平面平面 平面， 平面，， ． 在中，，， 又，平面，平面，平面平面， 为二面角的平面角， 在中，， ∴二面角的余弦值为． 【变式10.1】（24-25高一下·广东茂名·月考）如图，在四棱锥中，平面底面，底面是直角梯形，，，，，是的中点.    (1)证明：平面； (2)底边上是否存在异于端点的一点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【解题思路】（1）根据面面垂直的性质可知平面，即可得，由题意可得，结合线面垂直的判定定理分析证明； （2）做辅助线，分析可知，由垂直关系可得，设，利用等体积法运算求解. 【解答过程】（1）因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面. 由平面，可得， 又因为是的中点，，则， 且，、平面，所以平面. （2）假设在上存在异于端点的点，使得直线与平面所成的角大小为. 过点作平面，垂足为，连结、、，    则，， 设，，则， 由（1）可知：平面，， 可知平面， 由平面，可得， 在中， ， 在中，， 因为底面是直角梯形，，，， 则， ， 可得，， 由得， ， 即，解得， 故存在点，使得直线与平面所成的角大小为，此时. 【变式10.2】（24-25高一下·云南大理·月考）如图1，在等腰梯形ABCD中，，将沿边AC翻折，使点翻折到点，连接PB，得到三棱锥，如图2，其中． (1)证明：平面PAC． (2)若，求三棱锥的体积． (3)若，试问在侧棱PC上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出CE的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不存在，理由见解析 【解题思路】（1）求证以及，再利用线面垂直的判定定理即可； （2）利用棱锥的体积公式计算即可； （3）作出二面角的平面角，再结合三角函数值求出的长度即可判断. 【解答过程】（1）如图1，在梯形ABCD中，取边AB的中点，连接CF． 因为，所以， 所以四边形AFCD是平行四边形，所以， 因为，所以，所以， 因为，且，所以， 所以， 因为平面平面PAC，且，所以平面 （2）如图2，取棱AC的中点，连接PG， 由（1）可知平面PAC，且平面ABC，则平面平面ABC， 因为，且为线段AC的中点，所以， 因为平面平面，平面，所以平面， 则为三棱锥的高， 因为，所以，则 故三棱锥的体积． （3）假设存在满足条件的点． 如图2，作，垂足为，作，垂足为． 由（2）可知平面平面ABC，又，且平面平面， 所以EH平面ABC， 因为平面ABC，所以， 因为，且平面，，所以平面EHK． 因为平面EHK，所以，则为二面角的平面角． 设，则． 因为，且，所以，则． 易证，则，故． 由题意可得，则． 因为平面ABC，且平面ABC，所以， 所以， 则，解得，故． 因为在棱PC上，所以，所以假设不成立，即不存在点，使得二面角的余弦值为． 【变式10.3】（24-25高一下·福建福州·期末）如图，在三棱台中，平面平面，且. (1)证明：； (2)求直线与平面所成的角的大小； (3)线段上是否存在点，使得二面角的平面角正切值为？若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【解题思路】（1）根据余弦定理求得，要证明线线垂直，则需证明线面垂直，即证明平面. （2）先证明平面， 然后确定直线与平面所成的角，进而确定其角的大小即可. （3）先确定为二面角的平面角，然后求其正切值，看是否存在. 【解答过程】（1）证明：在三棱台中，， 在等腰梯形中， ，则, 由余弦定理得， 则， 即， 而平面平面，平面平面 平面，则平面， 又平面，所以. （2）过作，垂足为， 因为，又平面， 所以平面， 平面，则 ， 又平面，则平面， 则为与平面所成的角， 则， 又平面平面，所以与平面所成的角为. （3）三棱台侧棱延长线交于点， 由（1）得为正三角形， 由平面平面，则平面平面， 取中点，连接，则，且， 而平面平面平面，则平面， 过作交于，则平面， 而平面，则， 过作于，连接，则为在平面内的射影， 又平面，则平面， 又平面，则， 则为二面角的平面角， 若存在使得二面角的平面角正切值为 ，即 ， 设，则 因为，则， 即，解得 ， ， 所以 ，即 ，， 所以线段上存在满足题意的点，且. 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·单元测试）已知平面平面，直线，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】根据面面垂直的性质定理及线面垂直的定义可得. 【解答过程】若，则根据面面垂直的性质定理，可得； 若，则由，可得. 故“”是“”的充要条件. 故选：C． 2．（24-25高一下·浙江衢州·期末）已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 【答案】C 【解题思路】根据线面平行和垂直、面面平行和垂直的判定定理和性质定理判断各选项. 【解答过程】对于A：若，，当不在内时，，但也可能，A错误； 对于B：设，若，且，则，B错误； 对于C：因为，则存在，若，则， 因为，所以，所以，C正确； 对于D：若，则当与相交时才有，条件中未给出两直线相交，所以得不出，D错误； 故选：C. 3．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，直三棱柱，，平面平面，直三棱柱的体积为，则与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】过点作，垂足为，由平面平面可得平面，进而得到，结合直三棱柱的特征可得，进而得到平面，可得为直线与平面所成的角，进而求解即可. 【解答过程】过点作，垂足为， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 在直三棱柱中，平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面，而平面， 则为直线与平面所成的角，且， 因为，且直三棱柱的体积为， 所以，解得， 而，则，即， 则与平面所成的角为. 故选：C. 4．（24-25高一下·广西北海·期末）已知，，是不重合的三条直线，，，是不重合的三个平面，则下列说法中错误的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】B 【解题思路】利用线面平行的性质与线面垂直的性质可判断A；可作出，，的图形判断B；利用两平面平行的定义可判断C；利用反证法证明可判断D. 【解答过程】对于A，作平面，使且，因为，所以， 又因为，，所以，所以，故A正确； 对于B，如图所示，，，，满足，，， 但不满足，故B错误； 对于C，若，，则，故C正确； 对于D，因为，所以，，取点，则，， 假设直线与平面不垂直，又， 则过点在平面内可作一条直线与平面垂直，记为， 同理，在平面内过点可作直线，因为过点有且仅有一条直线垂直于平面， 所以直线与直线重合，所以，，所以，又， 与平面与平面有且仅有一条交线矛盾，故假设不成立，所以D正确. 故选：B. 5．（24-25高一下·湖北恩施·期末）正方体中，是AB的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据等体积法，利用棱锥的体积公式可求出点到平面的距离. 【解答过程】因为， 所以， 所以 ， 从而， 故选：C． 6．（24-25高一下·陕西汉中·期末）已知为正方体，、分别为、的中点，则二面角的大小为（   ）    A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【解题思路】作出二面角的平面角，再利用平面几何知识计算即可. 【解答过程】如图，设正方体的棱长为，取中点，连结，则， 又因为，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，所以， 故为所求二面角的平面角， 因为，所以. 故选：B.    7．（24-25高一下·天津·期末）如图，在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，则以下命题正确的个数为（   ） ①直线平面， ②平面与平面的夹角大小为 ③三棱锥的体积为定值 ④异面直线AP与所成角的取值范围是 ⑤三棱锥外接球表面积是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解题思路】由线面垂直的性质定理与判定定理证明直线平面判断①，找出平面角后可判断②，由线面平行的性质可判断③，由异面直线所成的角的定义判断④；利用三棱锥的外接球即为正方体的外接球，求解可判断⑤即可． 【解答过程】如图，连接，正方形中，， 因为正方体的棱平面，平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又平面，所以，同理． 又，平面， 所以平面，故①正确； 因为平面，平面，所以， 又平面平面，，平面，平面， 则是平面与平面的夹角，显然三角形为等腰直角三角形， 则该角大小为，故②错误； 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，因此有， 又平面，平面，所以平面， 又，因此到平面的距离为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故③正确； 由于，因此异面直线AP与所成角就是与所成的角， 即图中或，设正方体棱长为1，所以， 当点为中点时，此时， 因为是等边三角形，在线段上， 因此或中较小的角的范围是，④错误； 三棱锥的外接球即为正方体的外接球， 又正方体的外接球的直径为正方体的体对角线， 即，所以， 所以三棱锥外接球表面积是，故⑤正确． 故选：C． 8．（2026高一下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列判断正确的个数（  ） ①平面平面 ②直线与平面所成角是 ③平面平面 ④二面角余弦值为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解题思路】根据面面垂直的性质及线面垂直的性质定理，可证平面，结合图象，分析证明，即可判断①的正误；根据平面结合线面角的定义，分析求解，即可判断②的正误；根据面面垂直的判定定理，可判断③的正误；分析可得为二面角的平面角，设，求出各个长度，结合三角函数定义，即可判断④的正误. 【解答过程】对于①：因为，，所以， 又，，所以， 则，即， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 若平面平面，则平面或平面， 由图象得平面于点C，则平面不垂直平面，故①错误； 对于②：在四边形中，由①得平面， 则为直线与平面所成角，且为，故②正确； 对于③：因为平面，平面， 所以， 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，故③正确； 对于④：由③得，平面，则为二面角的平面角， 设，则， 因为，所以，所以，故④正确. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高一下·河南漯河·期末）设为菱形所在平面外一点，与交于为上（异于）的一点，则（    ） A． B．与异面 C．若为的中点，则平面 D．若，则平面 【答案】BCD 【解题思路】利用异面直线的判定定理判断AB；利用线面平行的判定推理判断C；利用线面垂直的判定推理判断D. 【解答过程】对于AB，在菱形中，是的中点，平面，平面， ，而平面，因此与与都是异面直线，A错误，B正确； 对于C，在菱形中，是的中点，为的中点，则， 而平面，平面，因此平面，C正确； 对于D，由，是的中点，得，而，， 平面，因此平面，D正确. 故选：BCD. 10．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）正八面体是一种正多面体，由8个正三角形面组成，对角面为正方形．如图，正八面体的棱长为5，为棱上一点，且，则（   ） A．平面平面 B．该正八面体外接球的表面积为 C．二面角的余弦值为 D．异面直线与所成角的余弦值为 【答案】ABC 【解题思路】由线面平行结合面面平行判定定理判断A，再根据正八面体的性质结合外接球表面积公式计算判断B，运用二面角定义得到即二面角的平面角，再结合余弦定理求解判断C，根据线线平行得出异面直线所成角为，利用余弦定理计算即可判断D. 【解答过程】对于A，由正八面体的性质，，平面，平面，所以平面， 又因，平面，平面，故平面， 又平面，故平面平面，故A正确；    对于B，连接，，设，则即该正八面体的外接球的半径， 因，则该正八面体的外接球的表面积为：，故B正确；    对于C，取中点，连接易得，则即二面角的平面角， 因正八面体的棱长为5，则， 由余弦定理，可得，故C正确； 对于D，因，故为异面直线与所成的角， 又因 ， 由余弦定理，， 则，故D错误. 故选：ABC. 11．（24-25高一下·安徽宣城·期末）如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是的，中点，G是的中点，现在沿，及把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，下列结论正确的是（    ） A． B．三棱锥的外接球的体积为 C．点H到平面的距离为 D．二面角的余弦值为 【答案】ACD 【解题思路】对A，由线面垂直的判定定理证明平面，即可得证；对B，由两两互相垂直，可得三棱锥的外接球即所在长方体的外接球，运算得解；对C，由三棱锥等体积，运算得解；对D，由题可得就是二面角的平面角，在中，运算得解. 【解答过程】对于A，，，，平面， 平面，又平面，，故A正确； 对于B，因为两两互相垂直，，， 所以三棱锥的外接球即所在长方体的外接球，如图， 所以外接球直径，则， 所以三棱锥的外接球的体积为，故B错误； 对于C，因为分别是的中点，可得，， 且，，，，， 设点到平面的距离为，则， ，解得，即点到平面的距离为，故C正确； 对于D，由，所以就是二面角的平面角， 在中，由，， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高一下·河南安阳·期末）已知等边的边长为1，平面，且，则点到平面的距离为_________． 【答案】 【解题思路】利用等体积法即可求点到平面的距离. 【解答过程】如图，因为平面，所以为三棱锥的高， 则， 由平面，平面，得， 在直角中，，同理， 则等腰的底边上的高为， 则， 设点到平面的距离为，则， 得． 故答案为：. 13．（24-25高一下·广西南宁·期末）如图，在四面体中，底面为边长为2的正三角形，平面，是的中点，若，则异面直线和所成角的余弦值为_________.    【答案】 【解题思路】取的中点，利用三角形中位线得出，将异面直线所成的角转化为共面直线的夹角；再借助线面垂直的性质及解三角形的知识即可求解. 【解答过程】    取的中点，连接. 因为是的中点， 所以由三角形中位线可得：， 则或其补角为异面直线和所成角. 因为平面，，平面， 所以，. 又因为三角形为边长为2的正三角形， 所以， ， ， 显然， 所以为直角三角形， 则 即异面直线和所成角的余弦值为. 故答案为：. 14．（24-25高一下·内蒙古乌兰察布·期末）图，在正方体中，是的中点，二面角的正切值为___________. 【答案】 【解题思路】由二面角的平面角定义作出所求角，解三角形，即可求得答案. 【解答过程】在正方形中，连接交于O点，连接， 则，即，又平面，平面， 故，而平面， 故平面，平面，则， 即得为二面角的平面角， 设正方体的棱长为2， 则， 故， 即二面角的正切值为， 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一下·江苏无锡·期末）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． (1)求证：平面． (2)求直线与面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）取的中点，连接、，即可证明，从而得到平面； （2）求出三棱锥的体积，再由等体积法求出点到平面的距离，最后利用锐角三角函数计算可得. 【解答过程】（1）取的中点，连接、，则，且. 因为，，所以且. 所以四边形为平行四边形. 所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）因为底面为梯形，，，， 所以，， ， 又垂直于面，为棱的中点， 所以到平面的距离为，所以， 因为垂直于面，平面，所以，， 所以，， 所以， 所以， 设点到平面的距离为，则，即，所以， 设直线与面所成的角为，则， 直线与面所成的角的正弦值为. 16．（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，分别是的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）取中点，连接，，利用中位线的性质，结合平行四边形的判定与性质，得出一组线线平行，最后根据线面平行的判定定理即可得证. （2）利用线面平行的性质和正方形的性质，得出另一组线面平行，根据面面平行的判定定理即可得证. 【解答过程】（1）取中点，连接，， 因为为中点，所以是中位线， 所以，， 因为是中点，在正方形中，所以，， 所以，， 所以四边形是平行四边形，， 因为平面，平面， 所以平面.    （2）因为平面，平面， 所以， 因为正方形，所以， 因为，平面 所以平面，又平面， 所以平面平面. 17．（24-25高一下·甘肃天水·期末）一副三角板如图所示的方式拼接，将折起，使得二面角为直二面角，. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）首先根据二面角为直二面角，得到平面平面，然后根据面面垂直的性质定理证明结论即可. （2）取的中点为，连接，先证明平面，然后利用等体积法求解点到平面的距离 【解答过程】（1）因为二面角是直二面角，所以平面平面， 平面平面，又因为在中，， 又平面，所以平面. （2） 记点到平面的距离为，取的中点为，连接， 因为，所以.同（1）可得平面， 由（1）平面，平面得，，即为直角三角形. 又因为和是直角三角形，， ，则，，. 所以 而， 又，解得. 18．（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）由线面垂直的性质得到，再由勾股定理逆定理得到，即可得证； （2）取的中点，连接，即可得到平面，从而得到为直线与平面所成的角，再由锐角三角函数计算可得. 【解答过程】（1）因为平面，平面，所以， 又四边形为直角梯形，且，， 则，所以， 因为，所以，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，即， 因为，，平面，所以平面. （2）取的中点，连接， 因为为的中点，所以，由（1）知平面，则平面， 所以为直线与平面所成的角. 又平面，所以， 因为，， 又， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19．（24-25高一下·广西柳州·期末）如图1，在矩形ABCD中，，，将△BCD沿BD翻折至△BC1D，且，如图2所示.    (1)求证：平面ABC1⊥平面AC1D； (2)求点C1到平面ABD的距离d； (3)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明详见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）根据勾股定理可证，再结合线面垂直的判定定理可证平面，然后根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）根据等体积法，利用三棱锥的体积求点到平面的距离即可； （3）根据二面角的定义做出二面角的平面角，然后利用直角三角形的性质求解即可. 【解答过程】（1）由题得，在△中，，所以. 又因为矩形，所以. 因为，平面，平面， 所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）在△中，，所以，所以. 在直角△中，. 由（1）知平面，所以点到平面的距离为. 设点C1到平面ABD的距离为d， 由，得， 所以. （3）如图，在平面内作于点，在平面内作于点，连接.    由（2）知，，又， 平面，所以平面， 因为平面，故. 因为，，平面，所以平面. 又平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 又平面，所以，又， 所以为二面角的平面角. 因为，所以，解得， 因为平面，又平面，故， 所以． 由题意知直角三角形中，，， 故，又，则， 所以， 故二面角的余弦值为． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $