8.5空间直线、平面的平行（知识清单+题型突破）讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.5　空间直线、平面的平行 1．会判断空间两直线的位置关系．能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题． 2．掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题． 3．掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行． 4．理解并掌握平面与平面平行的判定定理．理解并掌握平面与平面平行的性质定理． 基本事实4 文字语言 平行于同一条直线的两条直 线平行 图形语言 符号语言 直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒ a∥c 作用 证明两条直线平行 说明 基本事实4表述的性质通常叫做平行线的 传递性 证明空间中两条直线平行的方法 (1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明． (2)利用基本事实4即找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由基本事实4得到a∥b． 空间等角定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 相等或互补 符号语言 OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180° 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 【注意】如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等． 直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与 此平面内的一条直线平行 ，那么该直线与此平面平行 符号语言 a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α 图形语言 【注意】用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件： (1)直线a在平面α外，即a⊄α． (2)直线b在平面α内，即b⊂α． (3)两直线a，b平行，即a∥b． 直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面 平行 ，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与 交线平行 符号语言 a∥α，a⊂β，α∩β＝b ⇒a∥b 图形语言 平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的 两条相交直线 与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α 图形语言 【注意】判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件： (1)平面β内两条相交直线a，b，即a⊂β，b⊂β，a∩b＝P． (2)两条相交直线a，b都与α平行，即a∥α，b∥α． 平面与平面平行的判定方法 (1)定义法：两个平面没有公共点． (2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面． (3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β． (4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ． 平面与平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交 线平行 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒ a∥b 图形语言 题型一 等角定理的辨析与应用 1．（24-25高二上·上海崇明·期中）已知空间两个角与，若，，，则______. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知直线，为异面直线，为直线上三点，，，为直线上三点，分别为，，，，的中点.若，则______. 4．（25-26高二上·上海·月考）空间中，与的两边分别平行，若，则_________． 5．（2025高二·上海·专题练习）已知空间中的两个角和，若，则_____. 题型二 线面平行的判定定理 6．（25-26高一下·重庆·月考）如图，在正方体中，．、、分别为、、中点． (1)求三棱锥的表面积； (2)求证：平面． 7．（2026高三·北京·专题练习）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，G，F分别是线段，的中点.求证：平面. 8．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，已知正方体，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动.请补充一个恰当条件，当点满足___________时，有平面. 9．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，分别为CD，PA的中点.证明：平面PBC； 10．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，，，分别是对角线，上异于端点的动点，且.求证：直线平面； 11．（2026高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，底面是正三角形，中心为，，．证明：平面； 题型三 线面平行的性质定理 12．（2026高三·北京·专题练习）已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，，，，是的中点.为的中点，为上一点，平面，证明：为中点. 13．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，为平面外一点，分别是的中点．记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明． 14．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，，是的另一侧的点，，线段分别交于，若，则________，________． 15．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知正三棱柱（底面是正三角形，侧面是矩形的棱柱）中，是上的点，是的中点，且平面．试判断点在上的位置，并给出证明． 16．（25-26高二上·上海浦东新·月考）如图，已知点在平行四边形所在平面外，为线段上靠近的三等分点，为线段上一点，当平面时，___________． 17．（2026高三·全国·专题练习）已知四棱锥的底面是平行四边形，平面． 若平面与平面的交线为，证明：； 18．（2026高三·上海·专题练习）如图，在直三棱柱中，是边的中点，过，，作截面交于点D.求证：. 题型四 面面平行的判定定理 19．（2026高三·北京·专题练习）如图，正三角形和平行四边形在同一个平面内，AB，DE的中点分别为F，G.将沿直线AB翻折到，设CE的中点为H.求证：平面平面. 20．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，，，分别是棱，，的中点．求证：平面平面． 21．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，已知长方体，求证：平面平面． 22．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，已知，分别交于，且，，，则与的关系为________，________. 23．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，已知多面体的底面是正方形，底面，，.证明：平面. 题型五 面面平行的性质定理 24．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，，设分别为棱的中点，证明：平面． 25．（25-26高一下·全国·单元测试）（多选）在正方体中，，分别是线段，上与端点不重合的动点，，有下面四个结论，其中正确的是（   ） A． B． C．与异面 D．平面 26．（2026高三·全国·专题练习）如图，等腰梯形中，，，，垂足为，将沿翻折，得到四棱锥.在四棱锥中，点，分别在线段，上，且.求证：平面. 27．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知P为△所在平面外一点，平面平面，且交线段于点，若，则:（ ） A． B． C． D． 1．（24-25高一下·全国·课后作业）若，且，与方向相同，则下列结论正确的是（    ） A．且方向相同 B．，方向可能不同 C．与不平行 D．与不一定平行 2．（2026·湖北黄石·一模）已知平面，两条不重合的直线，则“存在直线，使”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2026·陕西咸阳·二模）已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，是所在平面外一点，平面平面，线段分别交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）在长方体中，下列结论正确的是（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 7．（25-26高一下·全国·课堂例题）（多选）如果直线平面，那么直线a与平面内的（   ） A．唯一一条直线不相交 B．任意一条直线平行 C．无数条直线平行 D．任意一条直线不相交 8．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形为正方形，点，，，分别为，，，的中点，则在原四棱锥中（   ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 9．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）在正方体中，点，，分别是棱，的中点，则（   ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 10．（25-26高一下·全国·课前预习）若，且，则为________. 11．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，分别为正方体对应棱的中点，则平面与平面的位置关系是________. 12．（2026高三·北京·专题练习）如图，在多面体中，四边形，均为矩形，点为线段上一点，且平面.若平面，求证：点是的中点. 13．（25-26高一下·全国·课后作业）在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，，，，，是线段的中点，求证：平面. 14．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在正方体中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，问：当点在什么位置时，平面//平面？并说明理由． 15．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，其中，且．，四边形是菱形，为的中点．求证：平面． 16．（25-26高一下·全国·课堂例题）在矩形中，，.点，分别在，上，且，.沿将四边形翻折至四边形，点平面.求证：平面. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.5　空间直线、平面的平行 1．会判断空间两直线的位置关系．能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题． 2．掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题． 3．掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行． 4．理解并掌握平面与平面平行的判定定理．理解并掌握平面与平面平行的性质定理． 基本事实4 文字语言 平行于同一条直线的两条直 线平行 图形语言 符号语言 直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒ a∥c 作用 证明两条直线平行 说明 基本事实4表述的性质通常叫做平行线的 传递性 证明空间中两条直线平行的方法 (1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明． (2)利用基本事实4即找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由基本事实4得到a∥b． 空间等角定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 相等或互补 符号语言 OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180° 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 【注意】如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等． 直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与 此平面内的一条直线平行 ，那么该直线与此平面平行 符号语言 a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α 图形语言 【注意】用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件： (1)直线a在平面α外，即a⊄α． (2)直线b在平面α内，即b⊂α． (3)两直线a，b平行，即a∥b． 直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面 平行 ，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与 交线平行 符号语言 a∥α，a⊂β，α∩β＝b ⇒a∥b 图形语言 平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的 两条相交直线 与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α 图形语言 【注意】判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件： (1)平面β内两条相交直线a，b，即a⊂β，b⊂β，a∩b＝P． (2)两条相交直线a，b都与α平行，即a∥α，b∥α． 平面与平面平行的判定方法 (1)定义法：两个平面没有公共点． (2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面． (3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β． (4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ． 平面与平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交 线平行 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒ a∥b 图形语言 题型一 等角定理的辨析与应用 1．（24-25高二上·上海崇明·期中）已知空间两个角与，若，，，则______. 【答案】或 【分析】根据等角定理可求角的值. 【详解】因为，，故或， 故答案为：或 2．（24-25高一下·全国·课后作业）若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【详解】因为，，且，根据等角定理， 可得或． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知直线，为异面直线，为直线上三点，，，为直线上三点，分别为，，，，的中点.若，则______. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用三角形中位线的性质、平行公理及等角定理求解. 【详解】由分别是，的中点，得，同理， 则，，又的两边和的两边的方向分别相同， 因此，所以. 4．（25-26高二上·上海·月考）空间中，与的两边分别平行，若，则_________． 【答案】或 【分析】由空间等角定理即可求解. 【详解】由空间等角定理可知或， 故答案为：或 5．（2025高二·上海·专题练习）已知空间中的两个角和，若，则_____. 【答案】 【分析】根据等角定理可得. 【详解】由等角定理可知与相等或互补， 所以或. 故答案为：或. 题型二 线面平行的判定定理 6．（25-26高一下·重庆·月考）如图，在正方体中，．、、分别为、、中点． (1)求三棱锥的表面积； (2)求证：平面． 【答案】(1)4 (2)证明见解析 【分析】（1）借助正方体的结构特征求出三棱锥的表面积. （2）利用线面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）在正方体中，，、、两两垂直， 因为、、分别为、、中点，所以， 则，. 等腰底边上的高. 所以三棱锥的表面积为： . （2） 连接，，设与的交点为，连接. 因为、是正方体中对边、的中点， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以为中点. 又为中点，所以. 又平面，平面， 所以平面. 7．（2026高三·北京·专题练习）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，G，F分别是线段，的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】连接，因为四边形为正方形，G是线段的中点， 所以G是线段的中点. 又因为F是线段的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 8．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，已知正方体，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动.请补充一个恰当条件，当点满足___________时，有平面. 【答案】在中点与中点连线上 【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解. 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点，所以， 同理可得， 因为，，所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证明，， 所以，，，，，共面， 因为，平面，平面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在平面与面的交线上， 所以点在线段上，即点在中点与中点连线上， 9．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，分别为CD，PA的中点.证明：平面PBC； 【答案】证明见解析 【分析】利用线面平行的判定定理，结合三角形中位线的性质及平行四边形的性质推理得证. 【详解】取PB中点，连接，由分别为的中点， 得且，且， 则，且，因此四边形为平行四边形， 则，而平面平面， 所以平面. 10．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，，，分别是对角线，上异于端点的动点，且.求证：直线平面； 【答案】证明见解析 【分析】利用线面平行的判定定理即可证得. 【详解】过作与交于点， 过作与交于点，连接. 由已知条件，可知矩形与矩形全等. 因为，且， 所以， 所以，又， 则四边形为平行四边形，所以， 因为不在平面内，平面，所以平面. 11．（2026高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，底面是正三角形，中心为，，．证明：平面； 【答案】证明见解析 【分析】根据比例关系证明线线平行，即可根据线面平行的判定求证. 【详解】延长交于点，则为的中点，连接，如下图所示： 因为为正的中心，所以， 又因为，即，所以，故， 因为平面，平面，故平面． 题型三 线面平行的性质定理 12．（2026高三·北京·专题练习）已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，，，，是的中点.为的中点，为上一点，平面，证明：为中点. 【答案】证明见解析 【详解】如图，取的中点为，由三点确定一个平面，交于点， 由平面，平面， 平面平面，可得， 又因为为的中点，所以，， 又因为，所以， 由平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以， 又因为，所以， 则四边形是平行四边形，故， 又因为， 是的中点.， 所以，结合， 可得是的中位线，即为中点. 13．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，为平面外一点，分别是的中点．记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明． 【答案】直线//平面，证明见解析 【分析】利用线面平行的判定、性质推理判断并证明. 【详解】直线平面，证明如下： 分别是的中点，得， 又平面，且平面，则平面， 而平面，且平面平面，因此， 又平面，平面，所以平面. 14．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，，是的另一侧的点，，线段分别交于，若，则________，________． 【答案】 9 【分析】根据点的位置关系求出线段 AC 的长度；利用线面平行的性质定理得到，利用对应边成比例即可求出 EG 的长度. 【详解】在平面的下方，是与平面的交点，在直线上，因此线段， 因,，故三点可确定平面 ，平面 ,且，平面与平面,故. 则有，即有 ，代入，解得 . 15．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知正三棱柱（底面是正三角形，侧面是矩形的棱柱）中，是上的点，是的中点，且平面．试判断点在上的位置，并给出证明． 【答案】为的中点，证明见解析 【分析】取的中点，连接，，设与交于点，结合图形，根据线面平行的性质定理得出，从而可证得是的中点，继而判断点在上的位置. 【详解】为的中点，证明如下： 取的中点，连接，， 设与交于点，易证且． 易知，，，共面， 因为平面，平面，且平面平面． 所以． 在平行四边形中，因为，且，所以是的中点， 所以点为的中点． 16．（25-26高二上·上海浦东新·月考）如图，已知点在平行四边形所在平面外，为线段上靠近的三等分点，为线段上一点，当平面时，___________． 【答案】 【分析】连接，连接，利用平行线分线段成比例定理及线面平行的性质列式求解. 【详解】连接，连接，由，为线段上靠近的三等分点， 得，，由平面，平面平面， 平面，得，所以. 故答案为： 17．（2026高三·全国·专题练习）已知四棱锥的底面是平行四边形，平面． 若平面与平面的交线为，证明：； 【答案】证明见解析 【分析】由题意可得平面，再由线面平行的性质定义即可得证. 【详解】因为底面是平行四边形， 故平面，平面 可得平面， 又因为平面， 平面平面， 所以． 18．（2026高三·上海·专题练习）如图，在直三棱柱中，是边的中点，过，，作截面交于点D.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件，证明平面，再利用线面平行的性质推理作答. 【详解】在直三棱柱中，因为，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以. 题型四 面面平行的判定定理 19．（2026高三·北京·专题练习）如图，正三角形和平行四边形在同一个平面内，AB，DE的中点分别为F，G.将沿直线AB翻折到，设CE的中点为H.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【详解】因为四边形为平行四边形，F、G分别为的中点， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面， 又H、G分别为的中点，所以. 平面，平面，所以平面， 因为FD、平面，， 所以平面平面. 20．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，，，分别是棱，，的中点．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】利用面面平行的判定定理可得答案. 【详解】，分别是棱，的中点， 是的中位线，． 平面，平面， 平面． 同理可得平面． 又，平面，平面， ∴平面平面． 21．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，已知长方体，求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】根据面面平行的判定定理，先证明线线平行，再证明线面平行，最后证明面面平行． 【详解】证明：在长方体中，易证． 因为平面，平面， 所以平面．同理可证平面． 又平面，平面，， 所以平面平面． 22．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，已知，分别交于，且，，，则与的关系为________，________. 【答案】 平行 【详解】因为平面，平面，且，所以， 又，，所以. 23．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，已知多面体的底面是正方形，底面，，.证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】利用线面平行的判定定理证明平面，平面，然后利用面面平行的判定定理证得平面平面，进而得到平面. 【详解】因为底面是正方形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面， 且与相交于点， 所以平面平面， 又平面，所以平面. 题型五 面面平行的性质定理 24．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，，设分别为棱的中点，证明：平面． 【答案】证明见解析 【分析】利用平行四边形来证明线线平行或利用A字形来证明线线平行，从而可证明线面平行；也可以利用面面平行来证明线面平行. 【详解】解法一：构造平行四边形 取的中点N，连接则，且， 又因为，且，所以，， 即四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面． 解法二：构造面面平行 取的中点，连接因为分别为棱的中点， 所以 又因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 又因为平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面． 解法三：构造A字形相似 延长相交于点，连接，由，分别为棱的中点， 所以，又因为，所以， 又因为，所以， 又平面，平面，所以平面． 25．（25-26高一下·全国·单元测试）（多选）在正方体中，，分别是线段，上与端点不重合的动点，，有下面四个结论，其中正确的是（   ） A． B． C．与异面 D．平面 【答案】AD 【分析】由线面垂直的定义可知A正确；由平行直线和异面直线的定义可判断B，C；由面面平行的性质定理可判断D. 【详解】如图: 由于平面，平面，则，所以A正确； 当，分别是线段，的中点时，. 又，所以四边形为平行四边形，所以，则，所以C不正确； 当，不是线段，的中点时，与异面，所以B不正确； 由于平面平面，平面，所以平面，所以D正确． 故选：AD. 26．（2026高三·全国·专题练习）如图，等腰梯形中，，，，垂足为，将沿翻折，得到四棱锥.在四棱锥中，点，分别在线段，上，且.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】若分别是上的点，且，得到，通过平面，平面，进而可求证. 【详解】若分别是上的点，且， 连接，又， 所以，即四点共面， 由平面，平面，则平面， 同理可证平面，又，且都在平面内， 所以平面平面，平面， 故平面. 27．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知P为△所在平面外一点，平面平面，且交线段于点，若，则:（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行平面的性质得出线线平行，再由面积比等于相似比的平方计算. 【详解】∵平面平面，平面平面，平面平面， ，同理可得， ， ∴，又， ∴，则. 1．（24-25高一下·全国·课后作业）若，且，与方向相同，则下列结论正确的是（    ） A．且方向相同 B．，方向可能不同 C．与不平行 D．与不一定平行 【答案】D 【分析】依题意画出图形，即可判断. 【详解】如图， ，，与的方向相同， 但是与不平行， 如图，，，与的方向相同， 此时且方向相同， 故与不一定平行，故D正确. 故选：D 2．（2026·湖北黄石·一模）已知平面，两条不重合的直线，则“存在直线，使”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】如果，此时也能找到且，但并不平行于，而是在内，所以充分性不成立； 根据线面平行的性质定理：如果直线平行于平面，那么过作一个平面与相交，交线就满足，且，所以必要性成立. 即“存在直线，使”是“”的必要不充分条件. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据线面平行判定定理判定①，③，④，应用线面平行判断线线平行判定②. 【详解】①中可能在内，①错误； ②中与可能相交或平行或异面，②错误； ③中也可在内，③错误； ④中与也可能异面，④错误． 故选：A. 4．（2026·陕西咸阳·二模）已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据面面平行的判定定理和性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】由，，若，由面面平行的性质知：， 所以“”是“”的充分条件； 由，，若，则或与相交， 所以“”是“”的不必要条件． 则“”是“”的充分不必要条件. 5．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，是所在平面外一点，平面平面，线段分别交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由面面平行得到，再由相似三角形得到面积比为相似比的平方，即可得到相似比，求解即可． 【详解】由题意可知：平面，得，. 又由等角定理得，故， 根据相似三角形得到面积比为相似比的平方可得： ，即. 故选：D. 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）在长方体中，下列结论正确的是（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】D 【详解】对于A，平面平面，故A错误； 对于B，平面平面，故B错误； 对于C，平面平面，故C错误； 对于D，在长方体，对面所在平面平行， 即平面平面，故D正确. 7．（25-26高一下·全国·课堂例题）（多选）如果直线平面，那么直线a与平面内的（   ） A．唯一一条直线不相交 B．任意一条直线平行 C．无数条直线平行 D．任意一条直线不相交 【答案】CD 【分析】根据线面平行的性质直接判断即可. 【详解】由线面平行定义知直线与平面无交点，即直线平行于平面时，在平面内存在无数条与它平行的直线， 直线与平面内的任意一条直线不相交， 故选：CD. 8．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形为正方形，点，，，分别为，，，的中点，则在原四棱锥中（   ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】ABC 【分析】先把平面展开图还原为四棱锥，由面面平行的判定可判断A；易知四个侧面两两相交，据此可判断D；再根据线面平行的判定判断BC即可． 【详解】把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则， 又平面，平面， 所以平面． 同理可证平面， 又，，平面， 所以平面平面，故选项A正确； 平面，平面，平面，平面是四棱锥的四个侧面， 则它们两两相交，故选项D错误； ，平面，平面， 平面，同理平面，故选项B，C正确． 故选：ABC． 9．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）在正方体中，点，，分别是棱，的中点，则（   ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】AC 【分析】在正方体中，易得，，结合线面平行的判定即可判断AC；由直线与平面的位置关系可得与平面相交，据此可判断BD． 【详解】在正方体中，点，，分别是棱，，的中点，． ，， 又平面，平面， 平面，故选项A正确； ，与平面相交， 与平面相交，故选项B错误； ，平面，平面， 平面，故选项C正确； 与平面相交， 平面与平面相交，故选项D错误． 故选：AC． 10．（25-26高一下·全国·课前预习）若，且，则为________. 【答案】或 【详解】根据空间中两个角的边分别平行时，两个角相等或互补即可得解. 根据空间中两个角的边分别平行时，两个角相等或互补，即与相等或互补 所以或. 11．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，分别为正方体对应棱的中点，则平面与平面的位置关系是________. 【答案】平行 【分析】根据面面平行的判定定理判断即可. 【详解】如图，分别取，，的中点，，，连接. 在正方体中，易知，. 因为，为中点，所以，，同理，， 所以，. 同理，，，，， 则平面与平面为同一平面. 因为，，且与相交，平面，与相交，，平面， 所以平面平面，即平面平面. 12．（2026高三·北京·专题练习）如图，在多面体中，四边形，均为矩形，点为线段上一点，且平面.若平面，求证：点是的中点. 【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件，利用线面平行的性质推理得证. 【详解】连接，交于点，连接， 由平面，平面，平面平面，得， 在矩形中，点为线段的中点，所以点是的中点. 13．（25-26高一下·全国·课后作业）在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，，，，，是线段的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据线面平行的判定定理判断即可. 【详解】证明：因为，，，，所以，. 又，所以. 如图，连接. 在中，是线段的中点，所以，. 又，， 所以且，所以四边形为平行四边形，因此. 又因为平面，平面，所以平面. 14．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在正方体中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，问：当点在什么位置时，平面//平面？并说明理由． 【答案】当为的中点时，平面//平面．理由见解析 【详解】当为的中点时，平面平面．理由如下： 为的中点，为的中点，连接， 易证四边形是平行四边形，则． 平面，平面． 平面． 分别为的中点， ，同理可得平面，又， ∴平面平面． 反之，当不为的中点时，设为中点，则平面平面， 而平面与平面相交，即平面与平面相交，矛盾. 综上，为的中点时，平面平面. 15．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，其中，且．，四边形是菱形，为的中点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】要证明线面平行，可通过证明面面平行得到线面平行，即证明平面平面． 【详解】如图，取的中点，连接，． 在中，，，所以． 因为平面，平面， 所以平面， 在直角梯形中，，且， 所以四边形是平行四边形，所以． 因为平面，平面， 所以平面， 因为，平面， 所以平面平面． 又平面，所以平面． 16．（25-26高一下·全国·课堂例题）在矩形中，，.点，分别在，上，且，.沿将四边形翻折至四边形，点平面.求证：平面. 【答案】由条件根据线面平行判定定理证明平面，平面，再根据面面平行判定定理证明平面平面，结合面面平行性质证明结论. 【详解】证明：因为，平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 因为，故平面平面， 而平面，故平面. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $