河南郑州市明德中学2025-2026学年下学期期中考试高一年级数学

2025一2026学年下期期中考试 高一年级数学 满分150分 考试时间120分钟 班级 姓名」 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.已知复数z=3+i),则，的虚部为( ) A.3 B.-3 C.3i D.-3i 2.在△ABC中，若点D满足BD=2DC,则AD=( A.4C+ 3 B.-号c c.号c西 D.子4c+号西 3.设i为虚数单位，若z1+V1)=2i,则=( A.1 B.√ C.2 D.2√2 4.将一个直角梯形绕其较短的底边所在的直线旋转一周得到一个几何体，该几何体是 ( A.一个圆台 B.一个圆柱 C.一个圆柱和一个圆锥的简单组合体D.一个圆柱被挖去一个圆锥后所剩的几何体 5.在AABC中，BA-BC-BA+BC=0,则AABC的形状是（) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 6.已知向量A巫=(5,1)，BC=(m,9),C而=(8,5).若A、C、D三点共线，则m=( B.-11 C.11 D.日 7.设AABC的内角4B,C的对边分别为a6,c,若b=2,B=界，a2+B2-c2=Vab,则4ABC的面积 试卷第11 为( A.5-1 B.3+1 C.1- D.1+ 3 8.圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极 具对称之美.某同学为了估算索菲亚教堂的高度，在教堂的正东方找到一座建筑物AB,高为 36m,在它们之间的地面上的点M（B,M,D三点共线)处测得楼顶A、教堂塔尖C的仰 角分别是45°和60°，在楼顶A处测得教堂塔尖C的仰角为15°，则该同学计算索菲亚教堂 的高度CD为( 15 口 口 6045° D M B A.52m B.54m C.56m D.58m 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9.已知向量a=(-1,4),b=(3,x),下列结论正确的是（ A.若x=子，则a16 B.若a/6,则x=12 C.若x=5,则6在ā上投影向量的模为√7D.若1a曰b1,则x=22 10.如图，向量0z,0z,对应的复数分别为云，z2,则下列选项正确的是（ -4 2 2 A.Z,Z2间的距离为210 B. 互为纯虚数 Z 共2页 C.2在复平面内对应的点位于第一象限D.2在复平面内对应的点位于第四象限 11.已知AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是( A.若sinA>sinB,则A>B B.若a2+b2>c2,则△ABC为锐角三角形 C.若acos A=bcosB,则△ABC为等腰三角形 D.若6=2,4=号，这样的三角形有两解，则a的取值范围为5,2 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知a,是夹角为60°的两个单位向量，若(2a-k而1a,则实数k= 13.如图所示，一个水平放置的三角形AB0的斜二测直观图是等腰直角三角形AB'0,若 OA=√2，那么原三角形AB0的周长是 B 14.平行四边形ABCD中，AB=4,AD=2,AB.AD=4,点P在边CD上（包括C和D点）， 则PA.PB的取值范围是 四、解答题（本题共5小题，共77分) 15.(本小题13分)已知向量夹角为60°的向量ā，6满足a=1,=2. (1)求(2ā-)6的值； (2)求向量2a-b与6的夹角6. 16.(本小题15分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c: (1)若b=8,c=3，A=5,求a (2)若c=2,b=√2，B=30°，解三角形ABC; 17.(本小题15分)已知复数z=m2+m-6+(m2+5m+6i（i为虚数单位)，求适合下列条件 试卷第： 的实数m的值： (1)z为实数： (2)z为虚数； (3)z为纯虚数. (4)若z在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围. 18.(本小题17分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足bcosC+ccosB=2 acosA. (1)求角A; (2)已知a=√万，b=2, (i)求AABC的周长； (ⅱ)点D在BC上，满足BD:DC=2:1,连接AD,作DE L AB于E,求线段DE的长度， 19.(本小题17分)如图，设0x、O是平面内相交成α(0<a<)的两条射线，，e,分别 为Ox、O同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为a-仿射坐标系，在α-仿射坐标系中， 若O妒=xe+ye,则记0丽=(x,y). 圆。蓝9年R查个 B (1)在一仿射坐标系中，若a=(2,,求向： ②如图所示，在雪-仿射坐标系中，。、C分别在镇、y轴正半轴上，B网1，O而号0元， E、F分别为BD、BC中点，求O正.OF的最大值. ，共2页2025一2026学年下期期中考试 高一年级数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 6 D A D C C D B ACD ABD 题号 11 答案 AD 1.B 【详解】因为=i(3+i)=3i+i2=-1+3i, 所以2=-1-3i,则的虚部为-3. 2.D 【分析】根据平面向量的线性运算可求出结果 【详解】由BD=2DC,得AD-AB=2(AC-AD), 得而=流+孤，得而-号c+} 31 故选：D. 3.A 【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可求得， 【详解】z= 2i 2i0-5团)=5+1与i. 1+5i(1+3团1-5团22 故选：A 4.D 【分析】根据旋转体的概念，结合空间想象能力，可得问题的答案 【详解】绕直角梯形较短的底边所在的直线旋转一周，得到的几何体是一个圆柱中挖去一个 圆锥 故选：D 5.c 【分析】由BA-BC=BA+BC,所以BABC=0,即BA⊥BC,判断ABC的形状. 答案第1页，共8页 【详解】因为BA-BC=BA+BC,所以(BA-BC)'=(BA+BC, 所以BA.BC=0,所以BA⊥BC,即BA⊥BC, 所以ABC的形状是直角三角形. 故选：C. 6.C 【分析】求出向量AC,由题意可得ACCD,利用平面向量共线的坐标表示可得出关于m 的等式，解之即可 【详解】因为向量AB=(5,1),BC=(m,9),CD=(8,5), 所以，AC=AB+BC=(m+5,10), 因为A、C、D三点共线，则AC/CD,所以，5(+5)=8×10，解得m=11 故选：C. 7.D 【分析】由余弦定理求得C,再由正弦定理及三角形面积公式即可求解. 【详解】因为a2+b2-c2=√2ab, 所以由余弦定理可得2 abcosC=V2ab,解得cosC=y5 2 因为C为三角形内角，所以C=元，4=兀-B-C=r 4 12 又b=2,B= 3 由正弦定理可得e:6smC2 2-2v6 sin B 33, 2 所以aABC的面积S=csin4=×2×26x√6+√2-1V5。 2 3 4 3 8.B 【分析】先求得AM,然后利用正弦定理求得CM,从而求得CD 【详解】在△ABM中，∠ABM=90°，∠AMB=45°， 故BM=-AB=36m,AM=AB $in4536V5, 在△ACM中，∠AMC=180°-60°-45°=75°，∠CAM=15°+45°=60°， ∠ACM=180°-75°-60°=45°， 答案第2页，共8页 由正弦定理得 CM AM ,CM=AM.sin60 =36√2. 2=365, sin60°sin45° sin45° v 2 所以CD=CMin60=36√5 2 2=54m 9.ACD 【分析】根据共线，垂直以及模长公式的坐标公式，即可结合选项逐一求解 【详解】对于A选项，当x=时，a6=-3+4x=-3+3=0,故A选项正确： 41 对于B选项，当a/乃时，x=-12,故B选项不正确： 对于C选项，若x=5,i在a上的投影向量为cosa,)日 于是6在上的按影向装的税为boa6引-日， a.b 器六，近 确； 对于D选项，若引曰1，则√9+x2=√7，所以x=2√2，所以D选项正确. 10.ABD 【分析】对A:数形结合求得二-名，再求模长即可；对B:根据复数的除法运算化简三 即可判断；对CD:根据复数乘法运算求得z2,再写出其对应的点，即可判断. 【详解】对A:由图可知，二1=-2+4i,52=-4-2i,因为ZZ,=0Z,-0Z, 所以ZZ-H2-6=2W10,故A正确： 对B:因为三-2+i-2?-)二-1，三为纯虚数，所以B正确 z2-4-2i2+i(2+i)(2-i)5 对CD:因为5·5，=(-2+4i1)(-4-21)=16-12i,所以3，在复平面内对应的点为(16，-12)， 其位于第四象限，故C不正确，D正确. 故选：ABD 11.AD 【分析】利用正弦定理判断A、D,利用余弦定理判断B,利用正弦定理将边化角，再由二 倍角公式判断C. 【详解】对于A,因为sinA>sinB,由正弦定理可得a>b,所以A>B,故A正确； 答案第3页，共8页 对于B,由余弦定理cosC=4+b-C2 >0,可知C为锐角， 2ab 但是无法判断角A和角B是否为锐角，所以无法判断®ABC是否为锐角三角形，故B错误； 对于C,因为acosA=bcosB,所以sin AcosA=sin Bcos B,即sin2A=sin2B, 又A,B∈(0，π)，所以2A,2B∈(0,2π)，所以2A=2B或2A+2B=π， 即A=B或A+B-分，即®4BC为等腰三角形或直角三角形，故C错误： 对于D,因为三角形有两解，所以bsinA<a<b,即2×y5=5<a<2,即a的取值范围为 (3,2),故D正确。 故选：AD, 12.4 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积定义求解即得. 【详解】由a,6是夹角为60的两个单位向量，得a.i-ai1cos60°= 由(2a-k柄⊥a,得(2a-k-a=2a-a-b=0,即2-k)=0,所以k=4 故答案为：4 13.4+2√2 【分析】根据斜二测画法，与x轴平行的线段在直观图中与x轴平行，长度不变；与y轴平 行的线段在直观图中与y轴平行，长度减半，分别求出OA,OB，,AB的长度，即可求出原 三角形的周长 【详解】在Rt△A'B'O中，OB=OA·sin45°=1， 根据直观图画出原图如下： OB 则OB=OB'=1,OA=20A'=25, 在Rt△ABO中，AB=√OA+OB2=3, 所以原三角形ABO的周长是OA+OB+AB=4+2√2， 答案第4页，共8页 14.[-1,8] 【分析】设DP=DC(0≤1≤1)，以AB,AD为基底表示出PA,PB,根据向量数量积的运算 律可将PAPB化为关于1的二次函数的形式，由二次函数值域求法可求得结果。 【详解】设Dp=2DC(0≤1≤1)， D ◇ C PA=DA-DP=-AD-ADC=-AD-AAB, PB=CB-CP=DA+PC=-AD+1-)DC=-AD1-)A正， :PA.PB=(-AD-a4B)(-aD+(1-)4B)=D+(21-1)4B.AD-a(1-a)aB =4+4(22-1)-162(1-元)=1622-8， 当A-时，(P丽)=-l,当=1时，（何丽）=8： :PAPB的取值范围为[-1,8] 故答案为：[「-1,8]. 15.(1)-2 ®} 【分析】(1)由数量积的定义及运算律即可求解： (2)由向量的夹角公式即可求解 【详解】(1)因为园=1，=2，(a,b=60, 所以(2a-b)-i=2a-6-2=2cos(a,b）-例 =2×1x2c0s60°-22=-2. (2)2a-=V2a-b)=4a'-4a.b+b2=4×1-4×1×2cos60+4=2 所以cos8 (2a-)62a.6-62-2=-1 2a-52x22x22 又0∈D,小，所以0= 答案第5页，共8页 16.(1)a=7 【分析】（1)利用余弦定理直接求解 (2)利用正弦定理直接求解， 《详解】()在e4BC中，b=8,c=3，A= 1 由余弦定理得，a2=b2+c2-2 bc cosA=64+9-2×8×3×1=49, 2 所以a=7. (2)见课本47页例8 17.(1)=-3或m=-2; (2)m≠-3且m≠-2： (3)m=2 (4)-2<m<2 【分析】(1)根据虚部为0得到方程，求解即可： (2)根据虚部不为0得到方程，解出即可： (3)根据实部为0，虚部不为0得到方程，求解即可： (4)根据复数与对应点关系得到不等式组，解出即可. 【详解】(1)当z为实数时，m2+5m+6=0,解得=-3或m=-2; (2)当z为虚数时，2+5m+6≠0，解得m≠-3且m≠-2： m2+m-6=0 (3)当z为纯虚数时， m+5m+6≠0'解得m=2. m2+m-6<0 (4)由题意得 2+5m+6>0'解得-2<m<2. 180A-写 (2)(i)atb+e-+()D2 3 【分析】(1)利用正弦定理边化角，再利用两角和公式化简即可求角： (2)()用余弦定理求边，即可求出周长，()再利用正弦定理求角，即可解直角三角 形求边： 【详解】(1)根据正弦定理，将bcosC+ccosB=2 a cosA边化角可得： sinBcosC+sinCcosB 2sinAcos4, 答案第6页，共8页 又因为sin(B+C)=2 sinAcos4, 又因为在eABC中，B+C=元-A,所以sin(B+C)=sinA, 即sinA=2 sinAcosA,又因为A∈(0，m),sinA≠0， cos4=分即4A=子 (2)因为a=V7,b=2,A= 3, 7=4+c2-4cx2 ，整理得c2-2x-3=0,解得c=3或c=-1(舍去)， 因此周长为a+b+c=√7+2+3=5+√7： 已知BD:DC=2:1,BC=a=V7,故BD=2BC=2 3 3 由正弦定理 sinB=bsinA 2.3 V3 a V7√万 因为DE LAB,BDE为直角三角形，故DE=BD:sinB, 可得DB=27.525 3√73 19.(1)N5 a 【分析】(1)由坐标系新定义和向量的数量积以及模长的计算求解即可： (2)由坐标系新定义和中点坐标公式以及向量的数量积求出OE.OF，再由余弦定理和正 弦定理边化角以及降幂公式，辅助角公式化简可得 【￥解】1)血题凉知.6-子G日=月s头5 42 :a=(2,l,a=√2e+e, -(2+e=2g+22g-e,+e=2+22Y5+1=5回=5. 2 B 答案第7页，共8页 (2)设Bm0,C(0,m(m%>0)且∠B0C=牙，BC-1, 7 5为C的中点，0O5+o0到加e+e .0i.0= (76 4 ge-1.5G问m 24 76 △0BC中，cos=+-11 32n2’m1=m2+n2-1, 代入上式符丽丽=n+云+号m+-)= 7 4 76 19 OB BC2 △OBC中，由正弦定理得sin∠OCB sin.∠OBC sin5, 3 84r-”mr(a升n001-e209 3321-cos28 33 3 2 3 2 2 共中0到且p=号0：8号20-誓-9 11 2 当0-9-t.@+5）号0亚0F-r+m号=g9号器 答案第8页，共8页