广东广州市某校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

**基本信息** 高二年级下学期期中数学试卷，覆盖函数、数列、概率等核心模块，以杨辉三角（文化传承）、抽奖活动（现实情境）为载体，通过基础题（如等差数列计算）、能力题（如导数证明）梯度设计，考查数学眼光、思维与表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数图像分析（第6题）、等差数列（第3题）|结合杨辉三角考查组合数性质（第8题），体现文化传承| |多选题|3/18|概率计算（第11题抽奖）、数列单调性（第10题）|以选课问题（第9题）考查排列组合，情境真实| |填空题|3/15|等比数列（第12题）、条件概率（第13题）|开放型设计（第12题通项公式），培养创新意识| |解答题|5/77|导数极值与不等式（第17题）、等差等比综合（第18题）|导数证明（第19题）考查逻辑推理，体现数学思维|

2025—2026学年（下）期中考试题 高二年级 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，则(    ) A. B. C. D. 2.已知某质点的运动方程为，其中的单位是，的单位是，则该质点在末的瞬时速度为(    ) A. B. C. D. 3.已知等差数列的前项和为，若，，则(    ) A. B. C. D. 4.小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜概率是，小智连续两盘都获胜的概率是，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是(    ) A. B. C. D. 5.已知的展开式中奇数项的二项式系数之和是，则它的展开式的中间项为(    ) A. B. C. 和 D. 和 6.函数的图像大致是(    ) A. B. C. D. 7.下列命题正确的有    个 若数列为等比数列，为其前项和，则，，，成等比数列 若数列为等差数列，则为等比数列 数列满足：，则； 已知为数列的前项积，若，则数列的前项和； A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8.我国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法一书中展示 了二项式系数表．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．下列结论 不正确的是(    ) A. B. 第行的第个数和第个数相等 C. 在杨辉三角中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 D. 记杨辉三角中第行的第个数为，则 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法错误的是(    ) A. 若任意选择三门课程，则选法总数为 B. 若物理和化学至少选一门，则选法总数为 C. 若物理和历史不能同时选，则选法总数为 D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，则选法总数为 10.已知数列的前项和为，若，则下列说法正确的是(    ) A. 是递增数列 B. 数列是递增数列 C. 数列中的最小项为 D. 、、成等差数列 11.现有一个抽奖活动，主持人将奖品随机放在编号为，，的箱子中，甲从中选择了号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子 记表示第号箱子有奖品，表示主持人打开第号箱子 下列说法正确的是(    ) A. B. C. 若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖的概率增大 D. 若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖的概率不变 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.等比数列满足如下条件：；单调递增，试写出满足上述所有条件的数列的一个通项公式          ． 13.某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水则植物枯萎的概率为，浇水则植物枯萎的概率为 邻居记得浇水的概率为则该人回来植物没有枯萎的概率为______． 14.设定义在上的函数满足，则在定义域内是          填“增”或“减”函数；若，，则的最小值为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 某校高二年级某班的数学课外活动小组有名男生，名女生，从中选出人参加数学竞赛考试，用表示其中男生的人数， 请列出的分布列； 根据你所列的分布列求选出的人中至少有名男生的概率． 16.本小题分 现有大小相同的只球，其中只不同的红球，只不同的白球，只不同的黑球． 将这只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法？请用数字作答 将这只球分成三堆，三堆的球数分别为：，，，共有多少种分堆的方法？请用数字作答 现取只球，求各种颜色的球都必须取到的方法数．请用数字作答 17.本小题分 已知曲线在点处的切线的斜率为，且当时，函数取得极值． 求函数的极值； 若存在，使得不等式成立，求的取值范围． 18.本小题分 已知为等差数列，为等比数列，，， Ⅰ求和的通项公式； Ⅱ记的前项和为，求证：； Ⅲ对任意的正整数，设求数列的前项和． 19.本小题分 已知函数 讨论的单调性 若两个不相等的正实数，满足，求证： 若，求证： 2025—2026学年（下）期中考试题 高二年级 数学答案和解析 1.【答案】 【解】，，，化简得，解得． 2.【答案】【解】 ， 所以该质点在末的瞬时速度为  3.【答案】 【解】已知等差数列的前项和为，则，得，因为， 所以公差，所以．故选A． 4.【答案】 【解】设事件表示“小智第一盘获胜”，则，设事件表示“小智第二盘获胜”，则，所以小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是：． 5.【答案】 【解】由题可得，解得，的展开式共有项，中间项为第项与第项，，，故选C． 6.【答案】 【解】， 令，解得或令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以的两个极值点为，故排除选项A和选项D， 当时，，，所以恒为正，排除选项B．即只有选项C符合要求。 7.【答案】 【解】对于设等比数列的公比为，若，则， 可得，则，，故，，不是等比数列， 错误；对于，设等差数列公差为，则， 则是个常数，所以为等比数列，故正确； 对于，依题意，，它不满足，错误； 对于，，当时，，即，解得， 当时，，于是，即，数列是首项为，公差为的等差数列， 所以数列的前项和，正确．故选：． 8.【答案】 【解】对于，由组合数的性质可得 ，所以项正确； 对于，第行的第个数为，第个数为， 根据组合数的性质可得，所以项正确； 对于，根据 ， 可知是展开式中项的系数， 结合，展开式中项的系数为， 可知， 即第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字，故C项正确 对于，由二项式定理得 ， 可知不成立，故D不正确． 9.【答案】  【解答】解：对于，若任意选择三门课程，选法总数为种，故A错误； 对于，物理和化学至少选一门，分两类，第一类：若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的门中选门，有种选法，有种选法； 第二类：物理和化学都选有种方法，其余一门从剩余的门中选门，有种方法，故有种选法． 由分类加法计数原理知，总数为种选法，故B错误； 对于，若物理和历史不能同时选，选法总数为种，故C正确； 对于，有种情况：，只选物理且物理和历史不同时选，有种选法； ，选化学，不选物理，有种选法；，物理与化学都选，有种选法； 故总数为，而，故D错误．故选ABD． 10.【答案】  【解答】解：因为  ，  ，所以是以为首项，为公差的等差数列，即 对于，由已知    ，故数列为递增数列，A正确． 对于，  ，故数列是是递增数列，故B正确． 对于，，  且 是递增数列，故数列 中的最小项为 ，故C错误． 对于， 、、成等差数列，D错误．故选AB． 11.【答案】  【解析】对于，甲选择了号箱子，奖品在号箱子，则主持人打开号箱子的概率为， 即，A错误 对于，，，，， 则， 故，B正确 对于，，若甲继续选择号箱子，则中奖的概率为，若甲换号，则中奖的概率为， 故甲换号后中奖的概率增大，C正确，D错误故选BC． 12.【答案】且不唯一   【解答】解：等比数列满足如下条件：；数列单调递增， 满足上述所有条件的一个数列的通项公式可以是：且不唯一 ．故答案为：且不唯一 ． 13.【答案】  【解答】记为事件“植物没有枯萎”，为事件“邻居记得给植物浇水”， 则根据题意，知，，，， 因此．故答案为：． 14.【答案】增  【解答】解：令，则， 因为，即，所以，故在定义域内单调递增， 所以在定义域内是增函数 因为，所以， 因为， ， 所以不等式可化为 由在上单调递增， 可得解得， 即的最小值为． 故答案为：增；． 15.【答案】解：随机变量表示其中男生的人数，可能取的值为，，，，． ， ， 所以的分布列为： 由分布列可知至少选名男生，即．  16.【答案】解：根据题意，将只不同的红球看成一个整体，有种顺序， 只不同的白球，有种顺序，只不同的黑球，有种顺序， 三个整体之间进行排列，有种顺序， 则有种排法． 根据题意，将这只球分成，，的三堆，有种排法； 根据题意，从只球中任取个，有种取法， 其中三种颜色都有的情况有种。 17.【答案】解：由题得：， 结合题意可得 解得，经检验符合题意， 故， ． 令，解得或， 令，解得， 故在，上单调递增，在 上单调递减， 所以的极大值为，的极小值为； 由可知在上单调递增，在上单调递减， 又因为，，所以， 所以要使不等式能成立，则． 所以， 故取值范围是． 18.【答案】Ⅰ解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，，则，可得，， ，，，解得，； Ⅱ证明：由Ⅰ可得， ，， ， ； Ⅲ解：当为奇数时，， 当为偶数时，， 对任意的正整数，有， 和，， 由可得，， 得 ， ， 因此． 数列的前项和：．  19.【答案】解：因为，且函数的定义域为， 由得；由得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增． 证明：因为当时，，且， 所以由知：若两个不相等的正实数、满足，则可设， 因为要证，只要证，而， 且由知：函数在上单调递增，因此只要证， 即，令，， 则， 因为函数，在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为，且当时，， 所以存在唯一的，使得， 因此当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 又因为，函数在上单调递增，所以， 因此，而当时，，所以恒成立， 即对恒成立， 因此恒成立，所以； 证明：由知：． 因为，所以， 因此当时，由函数在上单调递增得：； 当时，由，取， 得时，有， 则，即， 因此由函数在上单调递增得： 综上所述，当时，成立．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $