广西南宁沛鸿民族中学2025-2026学年下学期期中考试高二数学试卷

南宁沛鸿民族中学2026年春季学期期中考试 高二数学试卷 命题人：高二数学备课组 审题人：高二数学备课组 2026.4 考生注意： 1.本试卷分第I卷和第II卷两部分。满分150分，考试时间150分钟。 2.考生作答时，请将答策答在答题卡上。第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑；第I卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各 题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1.已知空间向量ā，，c为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（) A.a+bb+ac+a B.a-B18-cc-a C.a,b,a+b+c D.a,b+ctta 2.中国古墨可分为松烟墨、油烟墨、药墨等种类现有4名学生，每人从松烟墨、油烟墨、 药墨中选购1种，则不同的选购方式有() A.34种 B.3×2×1种 C.43种 D.4×3×2种 3.等比数列{an}中，a,+34=7,a2a=2a3,a7=（) A.2 B.4 C.9 D.8 4.曲线y=x2+nx1在点(1,0)处的切线方程为（) A.y=3x-3 B.y=-3x+3 C.y=2x-2 D.y=-2x+2 5.已知随机变量X的分布如下：若E(X)=0,则D(2X+5)=（) X -2 0 1 2 尔 1-6 1-3 A.3 B.7 c号 D.22 6.对于事件B,P因=号P(=,P(4u)1.P(间=() A. B. C. D. 高二数学试愿·第1页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 7。已知R,R是双曲线C:等若-Q>06>0)的左、右焦点，若直线yx与双曲线C交于 P、Q两点，且P耳⊥2R,则双曲线的离心率为（) A.5+1 B.5-1 C.√5+1 D.5-1 2 2 8。若f=+an(c+3)在[-2+o)上是减函数，则实数a的取值范围是（) A.（。9)B.（。到c.(m,2）D.[w 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.在()”的展开式中，下列结论正确的是() A.展开式共20项 B.含x6的项的系数为760 C.只有第11项的二项式系数最大D.展开式的各项系数的和为1 10.已知编号分别为1,2的两个盒子中，1号盒内装有两个1号球、一个2号球；2号盒内 装有一个1号球、两个2号球若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放ノ与 球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是() A.若将6个相同的小球放入这两个盒子内，允许有空盒子，则不同的放法有7种 B.在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为； C.两次都取到2号球的概率要比两次都取到1号球的概率更小 D.第二次抽到2号球的概率为日 11.已知函数f(x)=x+bx2+cx+2,则() A.存在实数b,使得f(x)的图象关于点(0,2)对称 B.当b=0,c<0时，f(x)的极值之和为4 C.存在实数b,c,使得f()有三个零点 D.当b2≤3c时，f(x)有两个零点 高二数学试题·第2页（共4页) CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知向量a=(1,3,m向量五=(4，m,1),若a1i,则m= 13.一场三月三晚会有歌曲、舞蹈、小品、朗诵、魔术、戏曲6个节目，各表演一次排成节 目单。若要求歌曲和舞蹈之间最多间隔1个节目，则不同的节目单排法总数有（用数 字作答) 14.已知直线mx-y-2m+1=0与圆C:(x-1)2+(y-2)2=6相交于M,N两点，则.MC的最小 值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤！ 15（本题13分).已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a=S,a,=2a2-2. (1)求数列{a}的通项公式； 1 (2)设bn= 3,+2’求其前n项和为x. 16（本题15分).树人中学积极践行“健康第一理念，为引导学生养成良好的锻炼习惯和健 康生活方式，学校举办趣味体育竞赛活动，活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮 己知甲、乙、丙三人通过第一轮的概率分别为亏行 224 ,在通过第一轮的条件下，他们通过第二 轮的概率均为子，假设他们之间通过与香相互独立 (1)求从甲、乙、丙三人中随机选出一人且进入第二轮的概率； (②)记甲、乙、丙三人中通过第二轮的人数为X,求X的分布列及期望 高二数学试愿·第3页（共4页) CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 17（本题15分).如图，在三棱柱ABC-ABC,中，AA⊥平面ABC,AB LAC, AB=AC=2AA=4,E,F分别为棱AB,BC的中点. (I)证明：BE⊥平面AEF. (2)求平面AEF与平面BCC8的夹角的大小 18（本题17分).已知函数f(x)=e-ax. (I)讨论f(x)的单调性； (2)当x>0时，fx)2x2-x+1恒成立，求a的取值范围. 19(本愿17分.已知椭圆C导+长=06>0的右顶点为460，上顶点为，左.右焦点 分别为耳，O为原点，且O8=V5O,过点A作斜率为k(k≠0)的直线1与椭圆c交于另一点 D,交y轴于点E. (1)求椭圆c的方程； (2)设P为AD的中点，在x轴上是否存在定点2(m,O),对于任意的k(k≠0)都有OP⊥E0?若存 在，求出定点2的坐标；若不存在，请说明理由， 高二数学试题·第4页（共4页) CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP (南宁沛鸿民族中学2026年春季学期期中考试)参考答案 题号 1 2 6 9 10 11 答案 0 A C D C B BCD AC ABC 6.D PB)=PAP(BA=5×=G 211 .P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)= 1-+@- 2,16-4+131 P(B)=1-5+G= =6=2 .P(B)=1-P(E)=克 1 7.C设P(:,片)，Q(x2,y2),结合直角三角形满足的定理可知，P2=20F,将P2直线方程，代入双曲线方程， 得到： (62-3a2)x2-a2b=0,P0=Vx-x}+3(s-x)2=2Wx+x'-4x +名=0，五a0结合=子+，e巴代入Pg中，得到心=8e-4,解得e=5+1,即可击 8.B:函数倒=2+an(c+)的定义域为(-3，o,区间[-2，+w)在定义域内， 对f四)求导得：f)=-x+a:)在[-2，)上是减函数，.f)s0对任意x-2o)恒成立， x+31 即-x+x350恒成立.：之-2，·x4321>0,不等式变形为a≤(+)恒成立设 g倒=+3到=+3x,2回，8树为开口向上的=次函数，对格轴为x=-2+o),当 =-号时，80取得最小值，8宁-(+3x(侵-？名名Qs?即实数的家值范限是 2 (m 20 20 9.BCD【详解】由题意得 的展开式共21项，A错： 2 x- 展开式的通项为 工=Co(-y图-(y2rC,reN,rs20,由20-2ra16,得r=2,则含5的项的系 数为22C。=760,B正确：展开式的第r+1项(r=0,1,2,20)对应的二项式系数为C2。,当n为偶数时， 只有中间那一项的二项式系数最大，因为n=20,因此二项式系数最大为C。,对应r=10,即二项式系数 最大的项是第r+1=11项，C正确：令x=1,得展开式的各项系数的和为(1-2)°=1，D正确， 10.AC【详解】若将6个相同的小球放入这两个盒子内，允许有空盒子，则不同的放法有C,=7种，故A 正确： 答案第1页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为？，故B错误： 周次部取到1号球的概率为号号号两次都取到2号球的照率为行-号>号 所以两次都取到1号球的概率要比两次都取到2号球的概率更大，故C正确： 第=次箱到2号球的餐率为号行号-品+品放D错误放速：AC 11.AC【详解】∫(x)+f(-x)=x2+bx2+cx+2+(-x)'+b(-x)°+c(-x)+2=2x2+4, 当b=0时，则f(x)+f(-x)=4,故存在实数b=0,使得f()的图象关于点(0,2)对称，A正确， 当6=0e<0时r闪=32+c,当x<-写或x>号时，了闪>0， 当-厂写<x<「问<0，放5=一厂-写分别是f的极大值点和极小值点，故问的极 之和为V周周月+写2+写+胃 2=4,故B正确， 由于y=(x+1)(x-1)(x-2)=(x2-)(x-2)=x2-2x2-x+2, 故令b=-2,c=-1,此时 f(x)=x-2x2-x+2=(x+1)(x-)(x-2)有三个零点-11,2，故C正确， ∫'(x)=3x2+2bx+c,当b2≤3c时，此时△=4b-12c≤0，此时f'(x)20, 故f(x)单调递增，此时∫(x)至多只有一个零点，故D错误，故选：ABC 12 m=2 歌曲与舞蹈最多间隔1个节目，包含两种慎 形：相邻、恰好间隔1个节目。 13.432 相邻时，将歌曲、餐蹈捆绑，内部排列八， 再与其余4个节目全排列3： 9·A号=2×120=240 恰好间隔1个节目时，先从剩余4个节目中任 选1个夹在中间，再对歌曲、舞蹈换位排列， 整体连同剩余3个节目全排列： C·A3A=4×2×24=192 综上，总排法： 20+192=432 14.8由直线方程mr-y-2m+1=0可化为m(x-2)-（y-1)=0,知直线恒过定点P(2,): 圆C:(x-1)°+0-2)2=6的圆心为C(,2),半径r=6；由于CP=V(2-1)2+1-2y2=V2<r, 故点P在圆内，直线与圆恒相交于两点M,N设弦MN的中点为H,则CH⊥MN,从而M伍⊥HC, m.Mc=(Mm+)(+c到=2（丽+HC,=2M+2丽.c=2m-号，过圆 内定点P的弦中，当弦与CP垂直时弦长M最短，此时圆心到直线的距离d=CP=√2，最短弦长为 =2P-dF=26-2=4.故m.Mc最小值为×4=8。 答案第2页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 3x2d a+7d=3a+2d,解得 a=4 15.(1)设等差数列{an}的通项公式为：a,=a,+(n-1)d,由题意： a+3d=2a+2d-2 d=2 所以：0n=4+(n-1)×2=2n+2. 2)由0可得：8-+2n+2）=na+9,所以：6mt32a+o+习本n*2: 1 1 11 2 故五=a++地村时点点方 n n+1n+22n+22(n+2) 16.1)记随机选择甲、乙，丙的事件分别为A4,4,4,进入第二轮的事件记为M, 则2M=4M+4M+4M,由题意得P(4)=P(6)=P(4)=子P(MA)-子P(M4)-子P(M4)-手， 所以P(M）=P(4M+P(AM)+P(AM) =P(4)P(M1A)+P(4)P(M14)+P(4)P(M14)=3x2+x2+x4=32 33333545 (2)记甲、乙、丙通过第二轮的事件分别为A,B,C,则 P4-号P(国1-P④P-号}-P回1-P(-号 Po--P阿=1-PO- 由题意得X的所有可能取值为Q123则PX=0小=P网-兮号-司 P0--叫c+P(a网+P网-2号号号 P(X=2)=P(ABC)+P(ABC)+P(4BC)=1x1x3+xx31x1x2-8-2 225"2252^252051 Px=Puec-2号品 ZA 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 1 7 2 3 10 2 20 5 20 所以X的数学翔塑为☒=0X6中×0+2×2+3x3328 5 ×20205 17.1)因为AA⊥平面ABC,EFc平面ABC,所以AA⊥EF, 因为E,F分别为棱AB,BC的中点，所以EF∥AC,且AB⊥AC,所以EF⊥AB, 又A4∩AB=A,4,ABC平面ABB,A,所以EF⊥平面ABBA, 又B,Ec平面ABB,A,则EF⊥BE,又AB=AC=2AM=4,易得4E=RE=V2+2=22,AB=4, 则AB=AE2+B,E2，所以AE⊥B,E,又AE∩EF=E,AE,EFc平面AEF,所以BE⊥平面AEF 答案第3页，共4页 C⑤扫描全能王 3亿人都在用的扫描App (2)以A为坐标原点，AB,AC,4所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为AB=AC=2A4=4,则4(0,0,2)，E(2,0,0),F(2,2,0)B(4,0,0),B(4,0,2),C(0,4,0), 则BE=（-2,0,-2),由(1)知平面4EF的-个法向量为m=,E=（-2,0,-2), 又BB,=(0,0,2),BC=(-4,4,0),设平面BCCB的法向量为n=(x,y,z), 万·BB=2z=0 则 取i=(1,10),设平面AEF与平而BCC,B的夹角为0，则 7.BC=-4x+4y=0 cos0=cos(m,训= 所以0- 则平面4EF与平面BCCB,的夹角的大小汇 18.(1)由题知：f'(x)=c-a若a≤0，f()20,f(x)在(-o,+o)上单调递增 若a>0,令f'(x)=0解得：x=lna当x∈(-o,na)时，f'(x)<0,f(x)单调递减； 当xena,o)时，f"(x)>0,(x)单调递增， 综上，当a≤0，f(x)的递增区间是(-o,+∞)，没有单调递减区间， 若a>0,f(x)的递增区间是(na,+o),递减区间是(-o,ha): (2)依题意，x>0时，c-m≥-x+1恒成立，即a≤e-×+x-在0，+切)上恒成立， 令8)=5-+(e>0.则g=-2x+--+-- xe2-e2-x2+1_（x-l0e-x- r2 x2 令h(x)=e-x-l(x>0),由(1)知函数y=e-x在(0，+∞)上单调递增，所以函数h(x)在(0，+o)上单调 递增，则有h(x)>h(0)=0,即e-x-1>0(x>0),即当x>1时，则g()>0,当0<x<1时，则g(x)<0, 即g(x)在(0,1)上单调递减，在(L,+∞)上单调递增，所以函数g(x)在x=1处取最小值g(①)=e-1,于是得 a≤e-1, 所以a的取值范围为(-o,e-1] 19.(1)由题意得a=26=5c,又：G=+e,六0=46=3椭圆C的方程为二+兰=1 43 y=k(x-2) (2)设直线D的方程为：y=k(✉-2*0)令x=0得y=-2,即E0,-2),联立三+上-1，得 43 +4x216x+162=0,所以x+3为16脉B ,则P 8K2 6k 3+4k2 3+4k2?3+4k 0P= 8k2 。6k 3+4k2, E2=(m,2k),若在x轴上存在定点2(m,0),对于任意的kk≠0)都有OP⊥E2, 3+4k2 8k2 6k 则0p.E②=0，即 3+4k23+4k2 (m,2k)=0,解得m=三，所以存在定点 0 答案第4页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP