精品解析：广西南宁市马山县六校联盟2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题

2025年春季学期六校联盟高二期中联考 数学试卷 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教A版必修第一册､第二册，选择性必修第一册､第二册､第三册第六章~第七章7.2. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有（ ） A. 1种 B. 2种 C 3种 D. 4种 2. 学校组织社团活动，要求每名同学必须且只能参加一个社团，现仅剩的3个社团供4名同学选择，则不同的选择方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 3. 已知，则（ ） A. 28 B. 30 C. 56 D. 72 4. 正项等比数列中，是方程两根，则的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 若，则的个位数字是（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 6. 某人外出出差，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为0.8；若浇水，盆栽枯萎的概率为0.1.若邻居浇水的概率为，该人回来盆栽没有枯萎的概率为0.83，则实数的值为（ ） A. 0.9 B. 0.85 C. 0.8 D. 0.75 7. 某校五位同学准备前往3个村寨调研，已知每个村至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须选同一个村，则不同的选法种数是（ ） A. 18 B. 36 C. 54 D. 72 8. 已知，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 某校开展羽毛球比赛，甲组有选手6名，其中3名男生，3名女生；乙组有选手5名，其中3名男生，2名女生．现从甲组随机抽取一人加入乙组，再从乙组随机抽取一人，A表示事件“从甲组随机抽取的一人是女生”，表示事件“从乙组随机抽取的一人是男生”，则（ ） A. B. C. D. 11. 若曲线与存在公共切线，则实数a的可能取值是（ ） A. －1 B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机变量X服从两点分布，若，则______． 13. 某城市新修建一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有________种． 14. 已知函数.若为偶函数，图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列.将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到函数的图象，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和满足，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16. 如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 今年6月14日是端午节，吃粽子是我国端午节的传统习俗.现有一盘子，装有10个粽子，其中红豆粽2个，肉粽3个，蛋黄粽5个，假设这三种粽子除馅料外完全相同.从中任意选取3个. （1）求选取的三个粽子中恰有1个肉粽的概率； （2）设ξ表示取到红豆粽个数，求ξ的分布列.并求“所选3个粽子中红豆粽不少于1个”的概率． 18. 已知双曲线：的一条渐近线为l：，且右焦点到直线的距离为2． （1）求双曲线的方程； （2）已知是的右顶点，、是上与不重合的两点，且，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调区间； （2）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春季学期六校联盟高二期中联考 数学试卷 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教A版必修第一册､第二册，选择性必修第一册､第二册､第三册第六章~第七章7.2. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】C 【解析】 分析】分买1本或买2本书两种情况可求. 【详解】解析：分两类：买1本或买2本书，各类购买方式依次有2种、1种， 故购买方式共有2＋1＝3(种)． 故选：C. 2. 学校组织社团活动，要求每名同学必须且只能参加一个社团，现仅剩的3个社团供4名同学选择，则不同的选择方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】由分步计数乘法原理即可求解 【详解】由题意可得，每名同学共有3种选择，故不同的选择方法有种 故选：D 3. 已知，则（ ） A. 28 B. 30 C. 56 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】由组合数性质求出，再用排列数公式求值. 【详解】因为， 所以由组合数性质得，， 所以. 故选：C. 4. 正项等比数列中，是方程的两根，则的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】应用韦达定理结合 等比数列项的性质，最后应用对数运算求解. 【详解】由题意知，等比数列为正项等比数列， 则. 故选：C. 5. 若，则的个位数字是（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】分析出，从开始一直到的个位数字都是0，从而求出答案. 【详解】，从开始一直到的个位数字都是0. 所以要求的个位数字，则只需将前面四个数加起来， 即. 所以的个位数字就是3. 故选：B. 6. 某人外出出差，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为0.8；若浇水，盆栽枯萎的概率为0.1.若邻居浇水的概率为，该人回来盆栽没有枯萎的概率为0.83，则实数的值为（ ） A. 0.9 B. 0.85 C. 0.8 D. 0.75 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，由全概率公式列式，求解计算即可求出结果. 【详解】记为事件“盆栽没有枯萎”，为事件“邻居给盆栽浇水”，由题意可得，，由对立事件的概率公式可得. 由全概率公式可得 ，解得. 故选：A 7. 某校五位同学准备前往3个村寨调研，已知每个村至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须选同一个村，则不同的选法种数是（ ） A. 18 B. 36 C. 54 D. 72 【答案】B 【解析】 【分析】将甲乙看成一个整体，分五位同学最终选择为3，1，1或2，2，1两种情况分别求解即可. 【详解】若五位同学最终选择为3，1，1，先选择一位同学与学生甲和学生乙组成3人小组， 剩余两人各去一个村，进行全排列，此时有种选择， 若五位同学最终选择为2，2，1，将除了甲乙外的三位同学分为两组，再进行全排列， 此时有种选择， 综上，共有种选择． 故选：B 8. 已知，则大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于，所以构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，再利用单调性比较大小即可 【详解】， ， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 因为， 所以，， 因为， 所以， 所以 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用赋值法，结合二项展开式的结构特征，逐项分析即可得解. 【详解】对于A，， 令，可得，故A正确； 对于B，，可得，故B错误； 对于C，令，可得，故C正确； 对于D，上述两式相加， 故，故D错误， 故选：AC 10. 某校开展羽毛球比赛，甲组有选手6名，其中3名男生，3名女生；乙组有选手5名，其中3名男生，2名女生．现从甲组随机抽取一人加入乙组，再从乙组随机抽取一人，A表示事件“从甲组随机抽取一人是女生”，表示事件“从乙组随机抽取的一人是男生”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】AB选项，在A发生情况下，结合古典概型求概率公式计算出答案；CD选项，在发生的情况下，结合古典概型求概率公式计算出答案. 【详解】A选项，在A发生时，从乙组随机抽取一人，有6种可能情况，其中抽取的一人是男生有3种可能情况，所以，A正确； B选项，在A发生时，从乙组随机抽取一人，其中抽取的一人是女生有3种可能情况，所以错误； C选项，在发生时，从乙组随机抽取一人，有6种可能情况，其中抽取的一人是男生有4种可能情况，所以，C正确； D选项，在发生时，从乙组随机抽取一人，有6种可能情况，其中抽取的一人是女生有2种可能情况，所以，D错误. 故选：AC． 11. 若曲线与存在公共切线，则实数a的可能取值是（ ） A. －1 B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】先分别设出切点，表示出两条切线，利用两条切线重合建立关系得到，构造函数， 求导确定值域，即可求出实数a的取值范围. 【详解】设曲线在点A（，）处的切线与在B（，）处的切线是公共切线， 曲线，，则， 所以切线方程为，即， ，，则，所以切线方程为，即， ∴，可得， 令，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ∴，又时，，时，，又， ∴，解得. 故选：ABC． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机变量X服从两点分布，若，则______． 【答案】0.6 【解析】 【分析】根据两点分布的性质即可求出答案. 【详解】随机变量X服从两点分布，则，又，联立解得． 故答案为：0.6. 13. 某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有________种． 【答案】35 【解析】 【分析】利用插空法将4盏熄灭的路灯插入7个符合题意的空隙中，计算即可得出结论. 【详解】根据题意可先将8盏没有熄灭的路灯排成一排， 因为两端的灯不能熄灭，所以有7个符合题意的空隙， 在7个空隙中选择4个插入4盏熄灭的路灯， 即共有种. 故答案为：35 14. 已知函数.若为偶函数，的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列.将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到函数的图象，则__________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据题意得到函数的最小正周期和对称轴，求出，，得到，利用伸缩变换和平移变换得到，代入求解即可. 【详解】由的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列， 可以得到函数的最小正周期. 由为偶函数，可得的图象关于直线对称， 所以，解得， 因为，所以，则， 将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的，得到， 再向左平移个单位得到函数， 所以. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和满足，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，直接建立与的关系，求出和，即可求解； （2）由（1）可得，再利用错位相减法，即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题知，， 所以由，解得， 所以． 【小问2详解】 因为，∴， ∴，① ∴，② 得， ∴． 16. 如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】(1)取PC中点，构造平行四边形，根据线面平行的判定定理证明即可. (2)根据题意建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值. 【小问1详解】 取中点为，连接， ∵，分别为，的中点， ∴，. 又四边形为正方形，∴，， 又∵为的中点，∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又平面，平面， ∴平面. 【小问2详解】 以点坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系. 设，则，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则即 令，则， 设直线与平面所成角为，则. 17. 今年6月14日是端午节，吃粽子是我国端午节的传统习俗.现有一盘子，装有10个粽子，其中红豆粽2个，肉粽3个，蛋黄粽5个，假设这三种粽子除馅料外完全相同.从中任意选取3个. （1）求选取的三个粽子中恰有1个肉粽的概率； （2）设ξ表示取到的红豆粽个数，求ξ的分布列.并求“所选3个粽子中红豆粽不少于1个”的概率． 【答案】（1）；（2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率公式求选取的三个粽子中恰有1个肉粽的概率； （2）由题意知ξ可能取的值为0，1，2，再由古典概型的概率公式求各可能值的概率，写出分布列，进而求“所选3个粽子中红豆粽不少于1个”的概率． 【详解】（1）令表示事件“三个粽子中有1个肉粽”， ∴由古典概型的概率计算公式有. （2）题意知，ξ可能取的值为0，1，2．则 ∴，，， 故ξ的分布列为 0 1 2 由ξ的分布列知，“所选3个粽子中红豆粽不少于1个”即，故概率为：P()＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝． 18. 已知双曲线：的一条渐近线为l：，且右焦点到直线的距离为2． （1）求双曲线的方程； （2）已知是的右顶点，、是上与不重合的两点，且，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据点到直线的距离可求，再根据的关系及可求的值，得双曲线标准方程. （2）先讨论直线无斜率时，求出直线过点，当直线有斜率时，设直线：，与双曲线方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理可得，，，再根据，可求的关系，进而可得直线经过的定点，排除不合题意的即可得问题答案. 【小问1详解】 双曲线的右焦点，到直线的距离为2， 所以，又. 所以双曲线：. 【小问2详解】 如图： 易知. 当直线的斜率不存在时，设直线：. 不防取，， 由，所以. 所以或（舍去）. 所以直线过点. 当直线的斜率存在时，设直线：. 由，消去得：（）. 由. 设，， 则，， 所以, 由，所以， 即， 所以， 所以或. 由得，所以直线过定点，舍去； 由得，所以直线过定点. 综上可得：直线过定点. 【点睛】方法点睛：处理定点问题的思路： （1）确定题目中的核心变量（此处设为）； （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式； （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“（为常数）”的形式，让括号中式子等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数. 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调区间； （2）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数b的取值范围． 【答案】（1）当时， 在上单调递增； 当时， 在上单调递增，在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）两种情况讨论的符号，可得在其定义域内的单调性； （2） 函数在处取得极值，求出，不等式恒成立问题通过分离参数法化为求函数的最值. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 当时，在上恒成立，在上单调递增； 当时，解得，解得，此时在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 若函数在处取得极值，∴，解得， ∴，经检验满足题意. 对，恒成立，等价于 在上恒成立， 设 ，解得，解得， ∴在上单调递增，在上单调递减. ，∴， 实数b的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$