福建莆田第九中学2025-2026学年下学期八年级数学期中考试

**基本信息** 莆田九中八年级期中数学卷聚焦勾股定理、四边形性质等核心知识，以《算法统宗》“荡秋千”问题渗透文化传承，菱形与正方形变换题发展几何直观，规律探究题培养推理能力，体现数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/40|直角三角形判定、最简二次根式|基础概念辨析，如第6题结合正方形面积考勾股定理| |填空题|6/24|二次根式取值范围、菱形对角线|第16题通过图形变换考面积关系，发展空间观念| |解答题|7/86|综合计算、证明、应用题|第21题“荡秋千”问题建模，第25题正方形动态探究，提升推理与创新意识|

2025-2026学年下学期莆田第九中学八年级期中考试 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 5，6，7 2.下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4．已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 5. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 6. 如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（ ） A. 12 B. 13 C. 144 D. 194 7. 如图，在综合实践课上，小华用四根长度相同的木条制作成一个能够活动的菱形学具．他先将该学具活动成如图（1）所示的菱形，并测得∠B＝60°，AB＝1cm，接着又将该学具活动成如图（2）所示的正方形．从图（1）到图（2），关于点A、C之间的距离的说法正确的是（　　） A. 保持不变 B. 增加1cm C. 减少 D. 增加 8. 如图，在矩形中，点坐标是，则的长是（ ） A 3 B. C. D. 4 9. 如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF＝（ ） A. 45° B. 30° C. 60° D. 55° 10. 如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交，于E、F，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 18 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 二次根式中，x的取值范围是______． 12. 如图，O为数轴的原点，点C表示的数为2，于点C，，以O为圆心、为半径画弧交数轴于点A，则点A表示的数是________． 13. 菱形的边长为5，一条对角线长为8，另一条对角线长为_____． 14. 如图，某自动感应门正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，则______米． 15. 如图，的对角线、相交于点O，，若，则四边形的周长为_________． 16. 把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，如果图2和图3每个图形中间的正方形面积分别为7和1，则图1中菱形的面积为 ． 三、解答题（共86分） 17.(8分） 计算：； 18. (8分）如图1，园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，求这块草坪的面积. 19.（8分） 如图，在平行四边形中，E，F分别是，的中点，求证：． 20.(8分) 如图，在中，． （1）求作：的一条中位线，与交于D点，与交于E点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）： （2）若，连接，求的长度． 21.(8分） 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？ 22.（10分） 如图，矩形中，，点E、F分别在上，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）求线段EF的长． 23．（10分）观察下列等式： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：______ _____ ______；(3分） (2)利用以上规律计算：；（4分） (3)求的值．（3分） 24. (12分)如图,在中， , 点O为线段AD的中点, 延长BO交CD的延长线于点 E, 连接AE,BD, ∠BDC=90°. (1)求证: 四边形ABDE是矩形; (2)连接OC, 若AB=4, BD=2 , 求OC的长. 25.（14分）．在正方形中，对角线与BD 交于点，P是对角线BD上一动点，过点作，交射线于点．如图①，当点与点重合时，易证（不需证明）： (1)当点在线段上时，如图②； ①连接，求证：； ②求证：； (2)当点在线段BO上时，如图③，求证：． 2025-2026学年下学期莆田第九中学八年级期中考试 一．选择题 1．B．2．B．3．C．4．B．5．D．6．C．7．D．8．C．9．B．10．B． 二．填空题 11．x≥2．12．．13．6．14．1.5．15．8． 16．6 【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，根据勾股定理和正方形的面积列出方程组是解题的关键． 三．解答题（共7小题） 17．解：原式＝3﹣2+ ＝3﹣2+5 ＝+5； 18．解：连接AC，如图， ∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°， ∵AB＝3米，BC＝4米，∴AC＝5米， ∵CD＝12米，DA＝13米， ∴△ACD为直角三角形， ∴草坪的面积等于＝S△ABC+S△ACD ＝3×4÷2+5×12÷2＝6+30＝36米2． 19．证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵E，F分别是AB，CD的中点， ∴CF＝CD，AE＝BC， ∴CF＝AE，CF∥AE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AF＝CE． 20．解：（1）如图，分别以B、C为圆点，以大于线段AB一半的长度在AB线段上下方画弧线，连接弧线交点交AB于D，BC于E，则DE即为所求作图形， （2）如图，连接CD， ∵DE是△ABC的中位线， ∴D，E分别为AB，BC中点， ∴DE∥AC， ∵△ACB为直角三角形∠ACB＝90°， ∴， 又∵∠B＝30°，DE＝6， ∴BD＝2DE＝12， ∴CD＝BD＝12． 21．设OA的长为x尺， ∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺 ∴EA＝EC﹣AC＝5﹣1＝4尺 在Rt△OEB中，OE＝（x﹣4）尺，OB＝x尺，EB＝10尺， 由勾股定理得：102+（x﹣5+1）2＝x2， 解得：x＝14.5． 答：秋千绳索（OA或OB）的长度为14.5尺． 22.（1）证明：∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4， ∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝4，CD∥AB，∠D＝∠B＝90°， ∵BE＝DF＝3， ∴CF＝AE＝8﹣3＝5， ∴AF＝CE＝＝5， ∴AF＝CF＝CE＝AE＝5， ∴四边形AECF是菱形； （2）解：过F作FH⊥AB于H，如图所示： 则四边形AHFD是矩形， ∴AH＝DF＝3，FH＝AD＝4， ∴EH＝5﹣3＝2， ∴EF＝＝＝． 23．解：（1）a4＝＝＝﹣2； 故答案为：，，﹣2； （2）原式＝﹣1+﹣+2﹣+•••+﹣ ＝﹣1 ＝45﹣1 ＝44； （3）原式＝（++）×（+1） ＝×（+1） ＝ ＝3． 24．（1）证明：∵O为AD的中点， ∴AO＝DO， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BAO＝∠EDO， 又∵∠AOB＝∠DOE， ∴△AOB≌△DOE（ASA）， ∴AB＝DE， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∵∠BDC＝90°， ∴∠BDE＝90°， ∴平行四边形ABDE是矩形； （2）解：如图，过点O作OF⊥DE于点F， ∵四边形ABDE是矩形， ∴DE＝AB＝4，OD＝AD，OB＝OE＝BE，AD＝BE， ∴OD＝OE， ∵OF⊥DE， ∴DF＝EF＝DE＝2， ∴OF为△BDE的中位线， ∴OF＝BD＝， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝4， ∴CF＝CD+DF＝6， 在Rt△OCF中，由勾股定理得：OC＝＝＝， 即OC的长为． 25.证明：（1）①如图②，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点P作AB的平行线交AD于G，交BC于点H，过点P作AD的平行线交AB于S，交CD于点R，连接PC， ∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDP＝45°， 在△ADP和△CDP中， ， ∴△ADP≌△CDP（SAS）， ∴PA＝PC； ②在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O， ∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∠PBA＝∠PBC＝45°， ∵GH∥AB，SR∥AD， ∴∠ABC＝∠BAD＝∠PHB＝∠PSB＝90°， ∴∠PBA＝∠PBC＝∠SPB＝∠BPH＝45°， ∴△BPH和△BPS为等腰直角三角形， ∴四边形SPHB为正方形， ∴RC＝SP＝BH＝AG＝PH， 同理可证四边形GPRD为正方形， ∴PG＝PR， ∵PQ⊥AP， ∴∠APQ＝90°， ∴∠APG+∠QPH＝90°， ∵∠QPH+∠PQH＝90°， ∴∠APG＝∠PQH， 在△PGA和△QHP中， ， ∴△PGA≌△QHP（AAS）， ∴PA＝PQ， 由①得：PA＝PC， ∴PQ＝PC， 在Rt△DPR中，由勾股定理得：PR2+RD2＝PD2， ∴2PR2＝PD2， ∴， ∴； （2）如图③，过点P作AB的平行线交AD于G，交BC于点H，过点P作AD的平行线交AB于S，交CD于点R，连接PC， 根据（1）中的解法同理可得：，PH＝BH，PQ＝PC， ∴， 在Rt△BPH中，由勾股定理得：PH2+BH2＝BP2， ∴2BH2＝BP2， ∴， ∵QH﹣BH＝BQ， ∴， ∴． 【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，等腰三角形的性质及判定，勾股定理等知识点，合理添加辅助线是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $