宁夏回族自治区银川一中2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 银川一中高一期中数学试卷聚焦向量、复数、立体几何与解三角形，通过斜拉桥工程情境（第8题）和布洛卡点数学文化（第19题），考查数学眼光观察、思维推理与语言表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量共线、复数虚部、立体几何体积|基础巩固，如向量投影计算（第3题）| |多选题|3/18|线面关系、复数性质、三角形边角关系|辨析能力，如线面平行判定（第9题）| |填空题|3/15|向量分解、梯形向量最值、线段长度最值|能力提升，如动点最值问题（第13题）| |解答题|5/77|解三角形、立体几何证明、布洛卡点应用|创新应用，如布洛卡点探究（第19题）|

银川一中2025/2026学年度(下)高一期中考试 数 学 试 卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，若，则 A． B． C．4 D．6 2．已知复数，则z的虚部为 A．2 B．2i C．4 D．4i 3．已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则 A． B． C． D． 4．在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对 应的复数为 A． B． C． D． 5．在正四棱柱中，，且四棱锥的体积为6，则 A．1 B．2 C．3 D．4 6．在中，内角的对边分别为，若，则的 面积为 A．1 B． C．2 D． 7．直三棱柱中，，,，则三棱柱 外接球的表面积为 A． B． C． D． 8．斜拉桥（如图1）是我国常见的桥型之一，是由许多斜拉索直接连接到主塔吊起桥面形成的一种桥梁.已知主塔AB垂直于桥面，斜拉索AD，AC与桥面所成角（如图2），主塔AB的高度为h，则间的距离为 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．下列叙述正确的是 A．已知直线和平面，若点，点且，，则 B．若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面 C．如果直线，则平行于经过的任何平面 D．已知，，，则在内过点存在唯一一条与平行的直线 10．已知复数，其中，是虚数单位，则 A．当时，为纯虚数 B．当时， C．当时， D．当时，=25 11．在中，角的对边分别为，且，则 A． B．当时，为直角三角形 C．当时，面积的最大值为1 D．当为锐角三角形时，的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在中，已知是边上一点，且，设，则用表示___________． 13．如图，在梯形中，，，， ，点在线段上，则的最小值 为______. 14．如图所示，若，点与分别在直线 两侧，且，则长度的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．(本小题13分) 记的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若，的面积为，求的周长. 16．(本小题15分) 如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，平面平面，是的中点. (1)求证：； (2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点， 使平面？说明理由. 17．(本小题15分) 如图，正方体分别是的中点.G H (1)求异面直线与所成角的大小； (2)直线A1C分别交平面AB1D1于点G，交平面BC1D于 点H，求证：A1G=GH=HC. 18．(本小题17分) 如图，在中，是的中点，是线段上的动点，；过点的直线与边，分别相交于点P，Q.设，. (1)若，.求x，y的值； (2)若，求的最小值； (3)若是边长为2的等边三角形，的面积为， 求实数的取值范围. 19．(本小题17分) 布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为，其对边分别为a,b,c,的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下问题： （1） 若，求的大小及 的值. （2）已知的条件下，解决下面两个问题： （i）若，求的值， （ii）若，求S. 试卷第1页，共3页 高一期中数学试卷 第1页(共2页) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一下学期期中数学试卷 一、单选题 1．【答案】A 【详解】因为 ，，且 ， 所以，即 所以. 2．【答案】C 【详解】，所以z的虚部为4． 3．【答案】C 【详解】因为向量，且向量在向量上的投影向量为， 所以，所以 所以 4．【答案】C 【分析】结合向量的线性运算，利用复数的线性运算求解即可. 【详解】因为向量对应的复数为，向量对应的复数为， 所以， 所以向量对应的复数为． 5．【答案】C 【分析】连接，相交于，可证平面，利用四棱锥的体积公式即可求解. 【详解】连接，相交于，则， 由正棱柱的性质可知平面，平面， 所以，又，平面， 则平面，且， 所以四棱锥的高为，其体积为， 解得． 6．【答案】A 【详解】由余弦定理得，则， 故的面积为. 7．【答案】B 8．【答案】A 【分析】先用三角函数表示出，进而得出，再根据同角三角函数的商数关系及两角差的正弦公式化简即可． 【详解】在中，， 在中，， 所以 ， 故选：A． 二、多选题 9．【答案】AD 【分析】对于A，由空间图形的公理判断；对于B，举例判断即可；对于C，由线面平行的判定定理判断；对于D，由面面平行的性质判断 【详解】解：对于A，已知直线和平面，若点，点且，，则，所以A正确； 对于B，当三条直线交于同一点时，则这条直线有可能不在同一个平面，则不能确定一个平面，所以B错误， 对于C，当直线，若过的平面也经过了直线，则不平行于经过的平面，所以C错误， 对于D，由题意可知经过点和直线确定一个平面，且此平面与有唯一的交线，而，所以这条交线与直线平行，所以D正确， 故选：AD 10．【答案】BC 【详解】对A：当时，，故A错误； 对B：当时，，故B正确； 对C：当时，，此时，故C正确； 对D：当时，，所以，故D错误 11．【答案】ABD 【分析】对于选项A，通过正弦定理将角化为边的关系，结合余弦定理即可；对于选项B，将代入余弦定理可得，再次通过余弦定理即可求出；对于选项C，利用三角形面积公式结合基本不等式即可；对于选项D，通过正弦定理将表示为关于的三角函数，结合三角函数的性质即可求解； 【详解】对于A选项，由正弦定理，，是的外接圆的半径， 代入条件得，由余弦定理，， 又，故，故A正确； 对于B选项，将代入，得， 由余弦定理，，故，B正确； 对于C选项，若，由基本不等式可得 的面积， 当且仅当时取等号，故面积的最大值为，C错误； 对于D选项，由， 得， 由，得，又为锐角三角形，所以， 所以，所以，故.D正确. 三、填空题 12．【答案】 【详解】由题意得. 13．【答案】/ 【分析】求直线方程，设点后利用坐标运算可得. 【详解】由题意可得，，，， 设构成的一次函数为，代入，可得 ，解得， 所以， 因为点在线段上，设，， 则，， 所以， 所以，即点是线段中点时，有最小值. 14．【答案】/ 【分析】设，利用余弦定理及三角恒等变换将表示为的函数，再利用正弦函数的性质求出最大值. 【详解】在中，，设，则，， 在中，，则， 由余弦定理得 ， 因，则， 故当，即时，， 所以的最大值为. 四、解答题 15．【答案】(1) (2) 【分析】（1）辅助角公式结合角的范围即可求解； （2）由三角形的面积公式结合余弦定理即可求解. 【详解】（1）由， 有，即， ，， ，； （2）由（1）的结论有， 又，， 由三角形面积公式有 ，， 在中，由余弦定理有 ，， 的周长. 16．【答案】(1)证明见解析 (2)存在，理由见解析 【分析】（1）在梯形中，，可得面，从而证明线面平行； （2）取中点，连接，，证明平面，从而证明面面平行，得到结论. 【详解】（1）在梯形中，，又面，面， 面，面，面面，， ，. （2）取中点，连接，， ，分别为，的中点， ，平面，平面， 平面， 取的中点，连接，则，则，且， 所以四边形为平行四边形，则， 因为平面平面， 所以平面，，、平面， 平面平面， 是上的动点，平面，平面， 当为中点时，平面. 17．【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）作出异面直线所成的角，利用三角形的边角关系求角. （2）根据面面平行的判定定理证明面面平行. 【详解】（1）如图： 因为，分别为，的中点，所以， 又为正方体，所以， 所以. 所以即为异面直线与所成的角. 又为等边三角形，所以. 即异面直线与所成角为. （2） G H 如图，连接, 所以. 下面证明 所以，O 所以 18．【答案】(1)， (2) (3 【详解】（1）因为点是的中点，所以， 因为，所以， 所以，. （2）因为，， 所以， 又O，P，Q三点共线，所以，， 所以， 当且仅当时取等号，可得，时取等号. （3）， 又O，P，Q三点共线，所以，即； 因为是边长为2的等边三角形，所以AP=2m,AQ=2n, 所以，所以,所以， 又因为，所以 所以. 19．【答案】（1） （2）①12；② 【解析】 【分析】（1）根据角的关系求得，在、中，分别由正弦定理可得，，由商数关系求的值； （2）由，可得，对于①在、、中由余弦定理结合代数运算可得，再根据面积可求的值；②由面积公式结合余弦定理可得，结合①可得，平方展开 运算得解. 【小问1详解】 在中，， 所以，而为锐角，故，所以， 所以，而，故. 又，故， 在中，由正弦定理有，所以， 在中，由正弦定理有，所以， 所以，故. 【小问2详解】 因为，所以，即， ①，所以 在中，， 在中，， 在中，， 三式相加得 ， 整理得：. ②又 又由①知， 所以， 故， 整理得：， 即， 所以，即， 所以. 试卷第1页，共3页 高一期中考试数学试卷答案 第5页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $