精品解析：宁夏回族自治区银川一中2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

银川一中2024／2025学年度（下）高一期中考试 数学试卷 一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，，则（ ） A. B. C. 2 D. 5 2 若向量，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 两两相交且不共点三条直线确定一个平面 C. 圆的一条直径与圆上一点可确定一个平面 D. 四边形可确定一个平面 4. 已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正方体中，M，N分别为和的中点，则异面直线AM与BN所成角的正弦值为（ ） A B. C. D. 6. 如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得米，在点处测得塔顶的仰角分别为，则塔高（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 已知长方体中，分别为所在线段的中点，则满足的图形为（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在中，，，分别是内角，，所对的边，，且，，则以下说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则是等边三角形 D. 若的面积是，则该三角形外接圆半径为4 10. 已知圆锥的底面半径，母线长，，是两条母线，是的中点，则（ ） A. 圆锥的体积为 B. 圆锥的侧面展开图的圆心角为 C. 当为轴截面时，圆锥表面上点到点的最短距离为 D. 面积的最大值为2 11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是，的中点，是线段上的动点，则（ ） A. 不存在点，使四点共面 B. 存在点，使平面 C. 三棱锥体积是定值 D. 经过四点的球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，，与平面，，，给出下列命题： ①，；②，； ③，；④，. 其中正确的命题是__________填序号 13. 如图，这是一件古代的青铜器，其盛酒部分可近似地视为一个圆台，该圆台的上底面、下底面的半径分别为，高为，则该青铜器的容积约为______． 14. 在棱长为2的正方体中，为棱的中点，过点的平面与直线垂直，则截正方体所得截得的面积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15 已知，，．求： （1）与的夹角． （2）． 16. 如图，在正方体中，为的中点． （1）求证：‖平面； （2）上是否存在一点，使得平面‖平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． 17. 如图，如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，且底面． （1）证明：平面； （2）求到平面的距离． 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． 求A和B的大小； 若M，N是边AB上的点，，求的面积的最小值． 19. 如图，在四棱台中，平面，底面为平行四边形，，且分别为线段的中点. （1）证明：. （2）证明：平面平面. （3）若，当与平面所成的角最大时，求四棱台的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 银川一中2024／2025学年度（下）高一期中考试 数学试卷 一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，，则（ ） A. B. C. 2 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的减法运算和复数的几何意义即可求解. 【详解】因为，， 所以． 故选：B 2. 若向量，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行向量的坐标表示求解即可. 【详解】因为，所以，解得． 故选：A. 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 C. 圆的一条直径与圆上一点可确定一个平面 D. 四边形可确定一个平面 【答案】B 【解析】 【分析】根据确定平面的依据，判断选项. 【详解】A.由确定平面的依据可知，不共线的三点确定一个平面，故错误； B.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故正确； C.根据确定平面的依据，直线和直线外一点确定一个平面，所以应改为圆的一条直径和圆上除直径端点外的一点，可确定一个平面，故错误； D.空间四边形，四点不在同一个平面，故错误； 故选：B 4. 已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法的公式，画出复原图即可求解. 【详解】因为，，取的中点为坐标原点，以为建立坐标系如左图， 因斜二测直观图为矩形，，, 则， 可得原图中（右图），, , 四边形的面积为. 故选：D. 5. 如图，在正方体中，M，N分别为和的中点，则异面直线AM与BN所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取AB的中点，的中点，则或其补角为AM与BN所成的角，利用余弦定理解三角形即可. 【详解】取AB的中点，的中点，连接， 又M，N分别为和的中点， 正方体中，，，四边形为平行四边形，有， 同理有，则或其补角为AM与BN所成角， 连接EF，设正方体的边长为，则， ，， 所以， 因此，即异面直线AM与BN所成角的正弦值为. 故选：B． 6. 如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得米，在点处测得塔顶的仰角分别为，则塔高（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】设该塔的高度为米，由题意，根据同角的商关系可得，结合余弦定理计算即可求解. 【详解】设该塔的高度为米， 则． 在中，， 即，由，解得， 即塔高为30米. 故选：A 7. 已知长方体中，分别为所在线段的中点，则满足的图形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理，证明线面垂直，进而可得线线垂直.对于不正确选项，将异面直线平移，平移到同一平面内，利用勾股定理逆定理说明线段不垂直即可. 【详解】长方体中，分别为所在线段的中点，设，则. 对于A，由直线与平面位置关系可知,因而为异面直线但是不垂直； 对于B，取中点，连接，如下图所示： 则，不满足勾股定理逆定理，因而不成立. 在选项C中，连接，如下图所示： 因为，则， 故， 故； 而，故平面，故， 而，则平面，则， 对于D，取中点，中点,.连接，如下图所示： ，不满足勾股定理，所以与不垂直 因为,所与不垂直. 综上可知，满足与不垂直的只有C 故选：C. 【点睛】本题考查了直线与平面位置关系，直线与平面垂直的判定，直线与直线的位置关系应用，属于基础题. 8. 在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由外接球球心在正棱锥的高上，求得外接球的半径后可得表面积． 【详解】由已知是正三棱锥，设是正棱锥的高，由外接球球心在上，如图，设外接球半径为， 又，则， 由得，解得， 所以表面积为． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题考查求三棱锥外接球　表面积，解题关键是打到外接球球心，求出球半径．三棱锥的外接球球心在过各面外心与该面垂直的直线上．本题中如果求得是负数，说明点位置在相反方向，不是说不存在． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在中，，，分别是内角，，所对的边，，且，，则以下说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则是等边三角形 D. 若的面积是，则该三角形外接圆半径为4 【答案】AC 【解析】 【分析】对于，利用正弦定理可将条件转化得到，即可求出； 对于，利用正弦定理可求得，进而可得； 对于，利用正弦定理条件可转化为，结合原题干条件可得，进而求得； 对于，根据三角形面积公式求得，利用余弦定理求得，进而由正弦定理求得． 【详解】解：由正弦定理可将条件转化为， 因为，故， 因为，则，故正确； 若，则由正弦定理可知，则， 因为，则，故错误； 若，根据正弦定理可得， 又因为，即，即有，所以， 因为，则，故， 整理得，即， 解得，故，则， 即，所以是等边三角形，故正确； 若的面积是，即，解得， 由余弦定理可得，即 设三角形的外接圆半径是， 由正弦定理可得，则该三角形外接圆半径为2，故D错误， 故选：AC． 【点睛】本题考查正余弦定理的应用及同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角公式，转化思想，计算能力，属于中档题． 10. 已知圆锥的底面半径，母线长，，是两条母线，是的中点，则（ ） A. 圆锥的体积为 B. 圆锥的侧面展开图的圆心角为 C. 当为轴截面时，圆锥表面上点到点的最短距离为 D. 面积的最大值为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积，从而判断A，再由弧长公式判断B，利用余弦定理判断C，根据面积公式判断D. 【详解】对于A：因为，，所以圆锥的高， 所以圆锥的体积，故A错误； 对于B：设圆锥的侧面展开图的圆心角为，则，即， 解得，即圆锥的侧面展开图的圆心角为，故B正确； 对于C：当为轴截面时，将圆锥侧面展开可知，点到点的最小距离为，如图， 在中，， 由余弦定理得，故C正确； 对于D：当为轴截面时，在中，，因为， 所以此时为钝角，又， 当时，的面积最大，且最大值为，故D正确； 故选：BCD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是，的中点，是线段上的动点，则（ ） A. 不存在点，使四点共面 B. 存在点，使平面 C. 三棱锥的体积是定值 D. 经过四点的球的表面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】当与重合时，说明，即可判断A；当为的中点时，证明平面，判断B；结合三棱锥体积公式判断C；利用割补法求得经过四点的球的半径，即可求得球的表面积，判断D. 【详解】对A选项，当与重合时，连接，由于, 则四边形为平行四边形，故，又，故， 从而可得四点共面，A选项错误； 对B选项，当为的中点时，，而四边形为平行四边形， 故，知，平面，平面， 得平面，B选项正确； 对C选项，点到面的距离为2，而，所以是定值，C选项正确； 对D选项，设分别为的中点，则为长宽高分别为2，2，1的长方体， 根据分割补形法知：经过四点的球即为长方体的外接球， 所求球的直径满足：， 经过四点的球的表面积为，D选项错误． 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，，与平面，，，给出下列命题： ①，；②，； ③，；④，. 其中正确的命题是__________填序号 【答案】①② 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】①，，由平行公理得出，故①正确； ②，，由面面平行的性质得出，故②正确； ③，或，故③错误； ④，或，故④错误． 故答案为：． 13. 如图，这是一件古代的青铜器，其盛酒部分可近似地视为一个圆台，该圆台的上底面、下底面的半径分别为，高为，则该青铜器的容积约为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆台体积公式代入计算即可. 【详解】该青铜器的容积约为． 故答案为： 14. 在棱长为2的正方体中，为棱的中点，过点的平面与直线垂直，则截正方体所得截得的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据线线垂直可证明平面，平面，平面，进而可得平面为平面，利用正方体中的边角关系求解长度，根据面积公式求解即可. 【详解】如图，设分别为棱，的中点，连接，，，，，，， ∴，又，∴， ∴A，，四点共面． 又∵平面，平面，∴， 又∵，故， 因此, ∴， 又∵，，平面， ∴平面， 又∵平面，∴． 又∵平面，平面，∴， 又∵和分别为棱和的中点，,∴， 又∵，，平面，∴平面， 又∵平面，∴． 又∵，，平面， ∴平面，即平面为平面， 由，得，∴，， 得等腰梯形的高为， ∴截面面积． 故选：B． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，，．求： （1）与的夹角． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把展开，代入已知数据，结合数量积的公式求出夹角的余弦公式，即可得夹角； （2）由，利用向量数量积计算. 【小问1详解】 ，，， ，即， ． 又的取值范围为， ． 【小问2详解】 可得． 16. 如图，在正方体中，为的中点． （1）求证：‖平面； （2）上是否存在一点，使得平面‖平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，点为的中点 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，则由三角形的中位线定理得‖，再由线面平行的判定理可证得结论； （2）当点为的中点时，即满足平面‖平面，连接，，可证得‖平面，由（1）知‖平面，再利用面面平行的判定定理可证得结论. 【小问1详解】 证明：如图，连接交于，连接． 正方体，底面为正方形，， 为的中点，又为的中点， 是的中位线，‖， 又平面，平面， ‖平面． 【小问2详解】 当点为的中点时，即满足平面‖平面，理由如下： 连接，， 为的中点，为的中点，‖，， 四边形为平行四边形，‖， 又平面，平面， ‖平面． 由（1）知‖平面， 又，，平面， 平面‖平面． 17. 如图，如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，且底面． （1）证明：平面； （2）求到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理逆定理证得，再利用线面垂直的判定推理作答. （2）将到平面的距离转化为到平面的距离，再利用等体积法计算作答. 【小问1详解】 在四棱锥中，底面，平面，则， 在中，，而，即有， 则有，因，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）可得，，因，则， ，，令到平面的距离为h， 由，即得：，解得， 因，平面，平面，于是得平面， 所以到平面的距离等于到平面的距离. 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． 求A和B的大小； 若M，N是边AB上的点，，求的面积的最小值． 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】利用正余弦定理化简即求解A和B的大小． 利用正弦定理把CN、CM表示出来，结合三角函数的性质，即可求解的面积的最小值． 【详解】解：， 由正弦定理得：， ，， 可得，即; , 由． 由余弦定理可得：， ， ． 如图所示: 设，, 在中由正弦定理,得, 由可知,, 所以:, 同理, 由于, 故，此时． 故的面积的最小值为． 【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，三角函数的有界限求解最值范围，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19. 如图，在四棱台中，平面，底面为平行四边形，，且分别为线段的中点. （1）证明：. （2）证明：平面平面. （3）若，当与平面所成的角最大时，求四棱台的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明线面垂直，利用垂直条件及题意即可证明； （2）证明出平面中的两条相交直线均平行于平面即可； （3）结合题意先求出，再求出的体积即可. 【小问1详解】 证明：如图，连接，与交于点， 因为平面平面，所以， 又因为， 所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形是平行四边形，所以四边形是菱形，则， 因为平面，所以， 所以，即. 【小问2详解】 证明：延长交于点，连接， 由中位线性质可得，因为，所以， 因为平面平面， 所以平面， 所以为的中点，则， 因为平面平面，所以平面， 因为，所以平面平面. 【小问3详解】 设.因为，所以，则，. 设点到平面的距离为与平面所成的角为， 则， 因为， ， 所以，得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，此时与平面所成的角最大， 的体积 【点睛】关键点点睛：利用基本不等式求最值，解出相等情况进而解出值，即解出的值，进而求出的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$