四川达州市达川区达州中学联考2025-2026学年九年级下学期4月期中数学试题

**基本信息** 该试卷梯度设计合理，融合生活情境（如新能源车费用比较）与几何综合（如二次函数动态问题），培养数学眼光、思维与表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|实数（倒数、科学记数法）、几何（正方体截面、平行四边形）、代数（整式运算、二次函数性质）|基础概念辨析，如第5题真假命题判断，考查推理意识| |填空题|5题/15分|因式分解、三角函数、概率、一元二次方程根的判别式、一次函数综合|第13题列表法求概率，培养数据意识| |解答题|11题/75分|分式化简、统计图表、解直角三角形应用、几何证明（菱形）、函数综合（反比例与一次函数）、动态几何|第21题新能源车费用比较，体现模型意识；第25题二次函数与几何综合，考查创新意识|

《四川省达州中学初中部2026年4月大练习九年级数学习题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C D C A C A D C 1．C 【分析】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 利用倒数的定义求解即可． 【详解】解：的倒数是． 故选：C． 2．B 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：将用科学记数法表示为：． 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 3．C 【分析】利用正方体、圆柱、三棱柱、圆锥、球体的结构特征解答即可． 【详解】解：用一个平面去截正方体、圆柱、三棱柱，都可以得到截面是矩形， 用一个平面去截圆锥、球体，不可以得到截面是矩形， 所以用一平面去截如图所示几何体，能得到截面是矩形的几何体共有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了截一个几何体，熟练掌握正方体、圆柱、三棱柱、圆锥、球体的结构特是解题的关键． 4．D 【分析】根据合并同类项的法则，完全平方公式，同底数幂乘法的运算法则以及幂的乘方与积的乘方的运算法则分析判断即可． 【详解】解：A、，故A计算错误，不符合题意； B、，故B计算错误，不符合题意； C、，故C计算错误，不符合题意； D、，故D计算正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项的法则，完全平方公式，同底数幂乘法的运算法则以及幂的乘方与积的乘方的运算法则，熟记相关的运算法则是解题的关键． 5．C 【分析】根据平行四边形的性质及菱形的判定、垂直平分线的性质、三角形内角和定理依次判断即可． 【详解】解：A、平行四边形是中心对称图形，选项是假命题，不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，选项是假命题，不符合题意； C、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，是真命题，符合题意； D、设， ∵三角形内角和为， ∴， ∴ ∴，则为锐角三角形， ∴该选项为假命题，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；解决此题的关键是掌握平行四边形的性质及菱形的判定、垂直平分线的性质、三角形内角和定理． 6．A 【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【详解】解：∵甲的平均分最高，方差最小，最稳定， ∴应选甲． 【点睛】本题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键． 7．C 【分析】设关于对称的点为，如图，过作轴，交于点，连接，然后根据对称轴的性质求解点坐标即可． 【详解】解：设关于对称的点为，如图，过作轴，交于点，连接， 由题意知，轴，且， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查坐标与图形变化—对称，解题的关键在于掌握对称轴的性质． 8．A 【分析】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题的关键． 根据特殊角三角函数值，可得答案． 【详解】解：，，，， ∵， ∴， 故选：A． 9．D 【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综合．先由作图得到为的角平分，利用平行线证明，从而得到，再利用平行四边形的性质得到，再证明，分别求出，，则各选项可以判定． 【详解】解：由作图可知，为的角平分， ∴，故A正确； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，故D错误； ∵， ∴，故C正确， 故选：D． 10．C 【分析】由开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点位置可判断结论①；把代入抛物线对称轴公式可判断结论②；由抛物线的对称性的值可判断结论③；由时，函数y取得最大值可判断结论④． 【详解】解：∵抛物线开口向下、对称轴在y轴右侧、抛物线与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴，故①错误； ∵对称轴为直线， ∴，即，故②正确； ∵对称轴为直线，抛物线与x轴的交点在点右侧， ∴抛物线与x轴的另一个交点在左侧， ∴当时，， ∴，故③正确； ∵当时，，当时，， ∵当时，函数值最大， ∴， ∴，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数的开口方向，对称轴，图象与y轴交点，函数增减性并会综合运用是解决本题的关键． 11． 【分析】本题考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法分解因式是解题的关键．先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 12． 【详解】试题分析：根据题意作出Rt△ABC，然后根据sinA=，设一条直角边BC为5x，斜边AB为13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC=12x，然后根据三角函数的定义可求出tan∠B==． 故答案为. 考点：互余两角三角函数的关系． 13． 【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，列表如下： ， ， ， ， ， ， 共有6种等可能的结果，其中能让两盏灯泡同时发光的结果有2种， ∴． 14．且m≠2 【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义得到且，求出的取值范围即可． 【详解】解：关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根， 且， 且， 且． 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查了根的判别式以及一元二次方程的意义的知识，解答本题的关键是熟练掌握方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，此题难度不大． 15． 【分析】将代入得，可得，，，，在中，由勾股定理得，如图，延长，过作于，证明，则，即，，，根据，，可得，即，令，则，，根据，求值，进而可求的值以及点坐标，然后根据待定系数法求直线的表达式即可． 【详解】解：将代入得， ∴，即，， ∴， 在中，由勾股定理得， 如图，延长，过作于， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 令，则，， ∴， 解得， ∴，， ∴， 设直线的表达式为， 将，代入得，， 解得， ∴直线的表达式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 16． 【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键． 17．2x﹣3，-5 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】原式=[+]÷ =（+）•x =x﹣1+x﹣2 =2x﹣3 由于x为满足﹣3＜x＜2的整数，x≠0且x≠1且x≠﹣2， 所以x=﹣1， 原式=﹣2﹣3=﹣5 【点睛】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 18．(1)，图见解析 (2)人 (3) 【分析】（1）用喜爱足球的人数除以其所占的百分比可得参加问卷调查的同学的人数；用参加问卷调查的同学的人数分别减去喜爱篮球、足球、射击的人数，求出喜爱柔道的人数，补全条形统计图即可． （2）根据用样本估计总体，用1500乘以参加问卷调查的同学中喜爱篮球运动的人数的百分比，即可得出答案． （3）画树状图得出所有等可能的结果数和恰好选中甲、乙两名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：参加问卷调查的同学的人数为（名）． 故答案为：60． 喜爱柔道的人数为（名）． 补全条形统计图如图所示． （2）（人）． ∴该校1500名同学中喜爱篮球活动的人数大约450人． （3）画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种， ∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 19．米 【分析】在两个直角三角形中，知道已知角和其邻边，只需根据正切值求出对边后相加即可． 【详解】解：延长过点的水平线交于点，则有，四边形是矩形， ∴米， ∴在中，（米）， ∴米， ∴在中，（米）， ∴米， 答：楼的高是米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，特殊角的三角函数值，矩形的性质，熟知以上知识是解答此题的关键． 20．(1)证明见解析 (2)四边形的面积为36 【分析】本题考查平行四边形/菱形判定、直角三角形斜边中线性质、勾股定理、面积计算．证全等得平行四边形，结合直角三角形性质证菱形；用勾股定理求线段，算菱形面积再求和．解题关键为用斜边中线证邻边相等；借菱形对角线算面积．易错点：漏用斜边中线性质；混淆面积组成． (1) 由、O是中点，由证，得，定平行四边形；用斜边中线性质，得，平行四边形邻边相等，定菱形． (2) 由菱形得，用勾股定理得，；算菱形面积；加面积，得总面积36． 【详解】（1）由，得； 又O是中点， ，且； ， ； ， 故四边形是平行四边形． 在中，C是中点， ； ， 故四边形为菱形． （2）由菱形得， 在中，，O是中点，故； 由勾股定理得，故． ； ， 故； ． 21．(1)元 (2)①新能源车的每千米行驶费用为元，燃油车的每千米行驶费用为元；②每年行驶里程大于4000千米时，买新能源车的年费用更低 【分析】（1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用； （2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验； ②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可． 本题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． 【详解】（1）解：根据表格数据可得，新能源车的每千米行驶费用为：（元）． 故答案为：； （2）解：①根据题意可得： ． 解得：． 经检验：是原方程的解． ，． 答：新能源车的每千米行驶费用为0.06元，燃油车的每千米行驶费用为0.6元． ②设每年行驶里程为千米时，买新能源车的年费用更低， 根据题意得：， 解得：． 答：每年行驶里程大于4000千米时，买新能源车的年费用更低． 22．(1)厘米 (2)厘米 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，理解题意，结合题意证明三角形相似是解题关键． （1）可证明得到，据此代值计算即可； （2）过点作交于点E，证明四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，得到．．证明，推出．证明，推出，则厘米． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， 又∵经过点O， ∴，即， ∴厘米； （2）解：过点作交于点E，如图， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 同理可得四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴厘米． 答：凸透镜焦距的长为厘米． 23．(1) (2)6 (3)点的坐标为：或或或 【分析】（1）把点代入得到，把代入，求得，即可得到答案； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）解方程组得到，根据勾股定理得到 ，①当时，②当时，③当时，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：∵点在上， ∴， ∴， ∵在上， ∴， ∴反比例函数的解析式为： （2）∵交轴于点， ∴， ∵与交于点， ∴， ∴； （3）∵， ∴， 当时，或， 当时，如图1，过作于， ∵， ∴， ∴， 时，如图2，过作于， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 综上所述：点的坐标为：或或或 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，等腰三角形的判定，勾股定理，正确的理解题意，分类讨论是解题的关键． 24．(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了切线的性质和判定定理、解直角三角形、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质定理得到，，由推出，进而得出，，再利用切线的判定定理即可证明； （2）在中利用余弦的定义求出的长，利用勾股定理求出的长，通过证明得到，设的半径为r，代入数据解出r的值即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 与相切， ，， ， ， ， ， ， ， ， 半径于点C， 为的切线． （2）解：由（1）知， 在中，， ， ， ，， ， ， 设的半径为r，则有， 解得：， 的半径为3． 25．(1) (2) (3)点D其横坐标为：或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）①当，即时，证明，得到，进而求解；②当，即时，同理可解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴、， 设抛物线的表达式为：， 则， 即， 解得：， ∴； （2）过点D作轴于点E，交于点F． ∵，， 设直线的表达式为：， 则， 解得：， 则直线的表达式为：， 设，则， 则， 则， ∴当时，面积的最大值为9； （3）过点A作垂线交延长线于点Q，过点Q作轴于点M． ①当，即时， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴，   设直线的函数表达式为：， 把 代入得： ，解得：， ∴直线的表达式， 联立得： ， 解得：或， ∴； ②当，即时， 由①可知， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设直线的函数表达式为：， 把 代入得： ，解得：， ∴直线的表达式， 联立得： ， 解得：或， ∴， 综上，存在，点D其横坐标为：或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，运用待定系数法求函数解析式，二次函数最值应用，相似三角形的判定和性质，三角函数定义应用等知识点，解题关键是熟练应用待定系数法求函数解析式，应用解方程或方程组求点的坐标，应用二次函数最值求线段最大长度． 26．(1)见解析 (2)结论仍然成立，理由见解析 (3) 【分析】（1）由四边形为矩形，，可得，，结合，即可求解， （2）由已知可得，进而得到，由，可得，通过等量代换，即可求解， （3）过点 C 作 于 点H，通过证明，然后根据相似三角形的性质进行推理计算． 【详解】（1）解：四边形为矩形，， ， ， ， ， ， ， ， ， （2）解：仍然成立，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， （3）解：过点 C 作 于 点H ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ， ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了，矩形的性质、平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练应用相似三角形的性质进行求解． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $