精品解析：四川省达州市大竹县文星中学2024-2025学年九年级下学期期中数学试题

四川省达州市大竹县文星中学2024-2025学年九年级 下学期期中数学试题 （总分150分，时间120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025年四川省参加初二和初三中考的总人数约为万，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法． 确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故选：B． 2. 为丰富校园文化生活，提高学生艺术素养，某校成立校园民乐乐团．下表是乐团成员的年龄分布： 年龄/岁 12 13 14 15 频数 6 11 10 3 若该乐团又增加两名成员，下列统计量一定不会发生改变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键． 由频数分布表可知总人数，结合平均数、中位数、众数及方差的定义依次判断即可． 【详解】解：由表可知，总人数为：， 中位数为第15、16名成员的年龄，即岁， 增加两名成员后，中位数为第16、17名成员的年龄， ∵， ∴第16、17名成员的年龄均为13岁， 故中位数不变，其他选项均会发生变化， 故选：B． 3. 如图所示，表示互为相反数的点是（ ） A. 点A和点D B. 点B和点C C. 点A和点C D. 点B和点D 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了互为相反数的意义．根据互为相反数的定义即可求解． 【详解】解：根据互为相反数的定义，知：点A和点C表示的两个数只有符号不同，两个点关于原点对称，则互为相反数． 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据完全平方公式，幂的乘方，同底数幂的除法，二次根式的加减计算即可． 【详解】解：A. 不是同类二次根式，无法计算，错误，不符合题意； B. ，正确，符合题意； C. ，错误，不符合题意； D. ，错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方公式，幂的乘方，同底数幂的除法，二次根式的加减，熟练掌握公式是解题的关键． 5. 如图，在中，，垂足为，点是上一点，连接．下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，根据等等腰三角形的三线合一得，，进而得，再根据直角三角形的性质得，即可得出结论． 【详解】解：∵在中，， ∴，，A、B正确，不符合题意； ∴是线段的垂直平分线， ∴，D正确，不符合题意； 在，是斜边，是直角边，， ∴C错误，符合题意． 故选：C． 6. 如图，在《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面b上，镜面的调节角（）的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板a的夹角，则反射光束与天花板所形成的角（）不可能取到的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了光的反射定律的应用．理解和掌握光的反射定律是解题的关键． 当调节角为时，，所以当调节角在时，射到F点的左侧上，根据角的关系确定的范围；当调节角在时，射到F点的右侧上，根据角的关系确定的范围，最后根据的范围确定不可能取到的度数． 【详解】解：因为镜面的调节角（）的调节范围为，当调节角为时，， 所以当调节角在时，射到F点的左侧上，且， 则，那么； 当调节角在时，射到F点的右侧上，且， 则，那么； 当调节角为时，点E和F重合； 综上可得：或． 故选C． 7. 如图，的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，，且．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质以及平行线分线段成比例的知识，解题关键是正确作出辅助线，本题可以先设出A点坐标，再利用面积为8求解． 【详解】解：如图，分别过点A、点B作轴，轴，轴，轴，垂足分别为E、G、F、H， 所以与平行，所以与平行， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 故选：A ． 8. 如图，点在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理．根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半进行解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 9. 如图（1），中，，，动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动到点．图（2）是点运动时，的面积随时间变化的图像，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，，则，利用勾股定理求出，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：由图可知，，， 则， 由，可得是直角三角形， 由勾股定理可得 ， 即， 解得，即， 所以， 所以． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了动点函数的图像以及勾股定理等知识，解决本题的关键是读懂函数图像，获得所需信息． 10. 如图，在矩形中，，连接，将线段绕着点A顺时针旋转得到，则线段的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，过点A作，截取，连接，通过证明，得，再利用勾股定理求出的长．最后在中，利用三边关系即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，过点A作，截取，连接， ∵将线段绕着点A顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴在中，． ∵， ∴． ∵，且当点G，P，E三点共线时取等号， ∴的最小值为． 故选D． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系的应用等知识．正确作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 湖南省拥有诸多著名景点，小明做旅游攻略选中了“南岳衡山”、“岳阳楼”、“凤凰古镇”、“毛泽东故居”这四个景点．他想先选择两个景点去游玩，若选择每个景点的可能性相同，则他同时选中“岳阳楼”和“毛泽东故居”这两个景点的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的运算，熟练掌握列表法是解题的关键． 利用列表法求出概率即可． 【详解】解：将“南岳衡山”、“岳阳楼”、“凤凰古镇”、“毛泽东故居”这四个景点分别记为：，，，，在这四个景点中选择两个景点去游玩，列表如下： A B C D A B C D 共有种等可能结果，其中他同时选中“岳阳楼”和“毛泽东故居”这两个景点的结果有：，两种结果， ∴， 故答案为：． 12. 设，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，分式的求值，根据，结合完全平方公式，求出的值，整体代入法求值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 13. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点A的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质、勾股定理、坐标与图形的变化—旋转规律性问题，首先确定点的坐标，得出每次一个循环，计算出，由此即可得出答案． 【详解】解：连接， ∵边长为2的正六边形的中心与原点O重合， ∴，，与关于轴对称， ∴是等边三角形，， ∴， ， ∴点的坐标为， 第1次旋转结束时，轴于，则，，， ∴， ∴， ∴， ∵每次旋转，则4次一个循环，， ∴第2025次旋转结束时，点A的坐标为为， 故答案为：． 14. 抛物线与轴交于点．过点作轴的垂线，若抛物线与直线有两个交点，设其中靠近轴的交点的横坐标为，且，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由抛物线的对称轴为直线，设抛物线与直线交点（靠近轴）为，由，则时，然后找出临界值当时，抛物线经过点时，开口向上，此时值最小，当时，抛物线经过点时，开口向下，此时值最大，即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由抛物线的对称轴为直线， 设抛物线与直线交点（靠近轴）为， ∵， ∴时， 当时，抛物线经过点时，开口向上，此时值最小， 将点代入得， 解得 ， ∴ 故答案为：． 15. 如图，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，，垂足是G，交BC于点H．下列结论中：①；②；③若，，则；④，正确的是______． 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】先证明 再证明若 可得平分 与题干信息不符，可判断①不符合题意；再证明 可得 而 可判断②符合题意；如图，连接EH，求解 设 再建立方程组 可判断③符合题意；证明 可得 若，则 与题干信息不符，可判断④不符合题意；从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ∵等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE， ∴ ∴ ∵ ∴ 若 ∴ ∴平分 与题干信息不符，故①不符合题意； ∵ ∴ ∴ ∴ 而 ∴，故②符合题意； 如图，连接EH， 由 ∴ ∵ ∴ 设 解得： 即BD=3，故③符合题意； ∵ 若，则 与题干信息不符，故④不符合题意； 故答案为：②③ 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出适当的辅助线，构建直角三角形是解本题的关键． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查实数的混合运算，零次幂及负整数指数幂的运算，特殊角的三角函数的运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据题意，先化简绝对值，计算零次幂及负整数指数幂、特殊角的三角函数，然后计算加减法即可． 【详解】解： ． 17. 已知，是方程的两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据方程有实数根得到，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； （2）由题得，，得到，推出当时，有最小值，最小值为，即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意得方程的， ， ， 实数的取值范围是； 【小问2详解】 解：，是方程的两个实数根， ，， ， ，， 当时，有最小值，最小值为， 的最小值为． 18. 如图，与关于对称，且满足． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点A作于点E，交 于点F，若，求的长及四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵与关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）；面积为80 【解析】 【分析】题目主要考查菱形的判定和性质，轴对称图形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据轴对称图形的性质得出，再由平行线的性质及等角对等边得出，利用菱形的判定即可证明； （2）连接，根据题意得出，由勾股定理得出，设，根据勾股定理确定，再由菱形的性质求面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，如图所示： ∵与关于对称， ∴， ∵，， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴四边形的面积为：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，的顶点分别在双曲线和直线上，且轴． （1）求和的值； （2）当点在第一象限且在点左侧时，求面积的最大值． 【答案】（1）， （2）面积的最大值为 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数的综合运用，掌握待定系数法，二次函数最值的计算方法是关键． （1）把点代入一次函数，反比例函数解析式，运用待定系数法即可求解； （2）设，则，所以点到的距离为，，则，结合二次函数最值的计算即可求解． 【小问1详解】 解：直线与双曲线交于点， ∴，， 解得，，； 【小问2详解】 解：由（1）可知，一次函数解析式为，反比例函数解析为， ∵点在第一象限且在点左侧，且轴， ∴设，则点的横坐标为， ∴，即， ∴点到的距离为，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴面积的最大值为． 20. 某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养．在课外活动中开设了四个兴趣小组：A．插花组：B．跳绳组；C．话剧组；D．书法组．为了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图． 请结合图中信息解答下列问题： （1）本次共调查了___________名学生，并将条形统计图补充完整； （2）话剧组所对应扇形的圆心角为___________度； （3）书法组成绩最好的4名学生由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率． 【答案】（1）40； 补全图形如下： （2）72 （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，及用列表法或树状图法求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由A组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去A、B、D人数求出C组人数即可补全图形； （2）用360度乘以C组人数所占比例即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次调查总人数为（名）， C组人数为（名）， 故答案为：40； 【小问2详解】 解：， 故答案为：72； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果共有6种， ∴刚好抽到1名男生与1名女生的概率为． 21. 2025年4月20日，达州市半程马拉松赛正式开跑．如图，无人机在组委会指挥车A 正上方的B处测得停在正前方的保障车C的俯角为，无人机沿水平方向飞行200米至保障车C正上方D处，测得水平路面上正前方引导车E处的俯角为（无人机及车辆均看作一点，且所有点均在同一平面内）． （1）求无人机的飞行高度（结果保留根号）； （2）求指挥车A与引导车E之间的距离． 【答案】（1）米 （2）800米 【解析】 【分析】本题考查解直接三角形的应用． （1）连接，在中，解直角三角形求得（米），由题意得到四边形是矩形，即可得到米． （2）由矩形得到米．在中，解直角三角形得到（米），根据即可求解． 【小问1详解】 解：连接， 由题意得，，，米， ∴在中，（米） ∵， ∴四边形是矩形， ∴米． 答：无人机的飞行高度为米． 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴米． 由题意得，， ∴ ∵， ∴， ∴在中，（米）， ∴（米）． 答：指挥车A与引导车E之间的距离为800米． 22. 为了让学生充分了解古蜀文明的发展过程，增加民族自豪感，某校九年级全体师生去往三星堆博物馆研学．三星堆博物馆设计了A，B两种冰箱贴，已知A种冰箱贴的单价比B种冰箱贴的单价贵3元，用180元全部购买B种冰箱贴的数量与用225元全部购买A种冰箱贴的数量相同． （1）求A，B两种冰箱贴的单价分别是多少元？ （2）该校计划购买A，B两种冰箱贴共120个来作为三星堆知识问答挑战的奖品，现要求A种冰箱贴的数量不少于B种冰箱贴数量的两倍，且购买A种冰箱贴的费用不超过1275元的情况下，有几种购买方案？如何购买总费用最少？ 【答案】（1）种冰箱贴的单价为元，种冰箱贴的单价为元 （2）有种购买方案，购买种冰箱贴个，种冰箱贴个时总费用最少 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式组，利用一次函数的性质解答． （1）设种冰箱贴的单价为元，根据“A种冰箱贴的单价比B种冰箱贴的单价贵3元，用180元全部购买B种冰箱贴的数量与用225元全部购买A种冰箱贴的数量相同”列分式方程解题即可； （2）根据题意，可以写出相应的不等式组，求出种冰箱贴的数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得如何购买总费用最少． 【小问1详解】 解：设种冰箱贴的单价为元，则种冰箱贴的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：种冰箱贴的单价为元，种冰箱贴的单价为元； 【小问2详解】 设购买种冰箱贴个，则购买种冰箱贴个，总费用为元， 由题意得：， ∵， 解得：， ∴有种购买方案，其中． ∵中，， ∴随的增大而增大， ∴当时，最小，此时， 答：有种购买方案，购买种冰箱贴个，种冰箱贴个时总费用最少． 23. 如图，以为直径的上有两点、，，过点作直线交的延长线于点，交的延长线于点，过作平分交于点，交于点． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）如果是的中点，且，求的长． 【答案】（1）证明：如图所示， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴是的切线； （2）证明：如图所示， ∵平分 ∴ 又∵， 则， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得出，根据，得出，则可得，根据已知，得出，即可得证； （2）根据角平分线的定义得出，又，根据三角形内角和定理得出，由是的直径，即可得证； （3）取的中点，连接，证明，由是的中点，是的中点，得出，进而得出，设，则，勾股定理得出，,证明得出，根据角平分线的性质得出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，取的中点，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴ 设，则， ∴ ∵ ∴ ∴，, ∵，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴到的距离相等，设为，在，设点到的距离为， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合问题，相似三角形的性质与判定，切线的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 24. 抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第四象限内抛物线上的一点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，过作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为，当时，求的值； （3）如图点，连接并延长交直线于点，点是轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，轴上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或或或 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值，进而得出抛物线的解析式； （2）令，可得，令，可得，则，利用待定系数法可求得的解析式为，根据题意可知点的坐标为，，把分别代入抛物线和直线的解析式，可得，，进而可得，，由轴可得轴，据此可证得，于是可得，即，则，由已知条件可得，由此可建立关于m的方程，解之即可； （3）由C、F的坐标可求得直线的解析式为，进而可得，当时，，解方程即可求得点的坐标为或，然后分情况讨论：当时，；当时，；分别求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：把点代入，得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得：，， 点的坐标为， 当时，， 点的坐标为， ，， ， 根据题意得，点的坐标为，则， 把代入，得： ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， 点的坐标为， ， ， 又轴， ∴轴， ， ， ， ， 又， ， 解得：，（不合题意，故舍去）， ∴的值为； 【小问3详解】 解：存在，点的坐标为或或或， 理由如下： 设直线的解析式为， 把，代入，得： ， 解得：， 的解析式为：， 当时，， 点的坐标为， 又点是轴上方抛物线上的一点， 当时，， 解得：，， 点的坐标为或， 分情况讨论： 当点的坐标为时， ， 点的坐标为或； 当点的坐标为时， ， 点的坐标为或； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，求二次函数与坐标轴的交点坐标，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，因式分解法解一元二次方程，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 25. 综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片． （1）【操作判断】将四边形纸片与等腰直角三角尺按如图放置，三角尺的边，分别与四边形的边，交于，两点，经测量得，．小明将绕点顺时针旋转，此时点与点重合，点的对应点为，通过推理小明得出了． 根据以上信息，请填空： ①； ②线段，，之间的数量关系为__________； （2）【迁移探究】小明将四边形纸片换成了图中的形状，若，，，，分别在，上，且，线段，，之间的数量关系是否仍成立，若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明； （3）【拓展应用】如图3，已知，，，小明以点为旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺，其中射线，分别交射线于点，，当点恰好为线段的三等分点时，请直接写出的长． 【答案】（1）①；② （2） 仍然成立． 证明：∵， ∴如图所示，将绕点旋转顺时针得，与重合， ∴，，，， 又∵， ∴，即，，三点共线， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； （3）或 【解析】 【分析】（1）①根据旋转的性质得到，由等腰直角三角形的性质，继而得到，即可得解； ②根据旋转的性质得到，根据全等三角形的性质得到，然后根据线段的和差求解即可； （2）将绕点旋转顺时针得，与重合，根据题意证明出，得到，进而求解即可； （3）根据题意分两种情况讨论：和，首先根据旋转的性质构造全等三角形，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：①∵绕点顺时针旋转得到，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②绕点顺时针旋转得到，， ∴，，， ∴，即，，三点共线， ∵，， ∴， 在和中， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，当时， ∵，， ∴，， ∴，， 将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 如图所示，当时， 将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，则， 由（1）得， ∴， ∴设，则， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是旋转变换综合题，考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市大竹县文星中学2024-2025学年九年级 下学期期中数学试题 （总分150分，时间120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025年四川省参加初二和初三中考的总人数约为万，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 2. 为丰富校园文化生活，提高学生艺术素养，某校成立校园民乐乐团．下表是乐团成员的年龄分布： 年龄/岁 12 13 14 15 频数 6 11 10 3 若该乐团又增加两名成员，下列统计量一定不会发生改变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 3. 如图所示，表示互为相反数的点是（ ） A. 点A和点D B. 点B和点C C. 点A和点C D. 点B和点D 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，垂足为，点是上一点，连接．下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面b上，镜面的调节角（）的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板a的夹角，则反射光束与天花板所形成的角（）不可能取到的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，，且．则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图（1），中，，，动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动到点．图（2）是点运动时，的面积随时间变化的图像，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，连接，将线段绕着点A顺时针旋转得到，则线段的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 湖南省拥有诸多著名景点，小明做旅游攻略选中了“南岳衡山”、“岳阳楼”、“凤凰古镇”、“毛泽东故居”这四个景点．他想先选择两个景点去游玩，若选择每个景点的可能性相同，则他同时选中“岳阳楼”和“毛泽东故居”这两个景点的概率为___________． 12. 设，，则______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点A的坐标为______． 14. 抛物线与轴交于点．过点作轴的垂线，若抛物线与直线有两个交点，设其中靠近轴的交点的横坐标为，且，则的取值范围是______． 15. 如图，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，，垂足是G，交BC于点H．下列结论中：①；②；③若，，则；④，正确的是______． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 17. 已知，是方程的两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）求的最小值． 18. 如图，与关于对称，且满足． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点A作于点E，交 于点F，若，求的长及四边形的面积． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，的顶点分别在双曲线和直线上，且轴． （1）求和的值； （2）当点在第一象限且在点左侧时，求面积的最大值． 20. 某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养．在课外活动中开设了四个兴趣小组：A．插花组：B．跳绳组；C．话剧组；D．书法组．为了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图． 请结合图中信息解答下列问题： （1）本次共调查了___________名学生，并将条形统计图补充完整； （2）话剧组所对应扇形的圆心角为___________度； （3）书法组成绩最好的4名学生由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率． 21. 2025年4月20日，达州市半程马拉松赛正式开跑．如图，无人机在组委会指挥车A 正上方的B处测得停在正前方的保障车C的俯角为，无人机沿水平方向飞行200米至保障车C正上方D处，测得水平路面上正前方引导车E处的俯角为（无人机及车辆均看作一点，且所有点均在同一平面内）． （1）求无人机的飞行高度（结果保留根号）； （2）求指挥车A与引导车E之间的距离． 22. 为了让学生充分了解古蜀文明的发展过程，增加民族自豪感，某校九年级全体师生去往三星堆博物馆研学．三星堆博物馆设计了A，B两种冰箱贴，已知A种冰箱贴的单价比B种冰箱贴的单价贵3元，用180元全部购买B种冰箱贴的数量与用225元全部购买A种冰箱贴的数量相同． （1）求A，B两种冰箱贴的单价分别是多少元？ （2）该校计划购买A，B两种冰箱贴共120个来作为三星堆知识问答挑战的奖品，现要求A种冰箱贴的数量不少于B种冰箱贴数量的两倍，且购买A种冰箱贴的费用不超过1275元的情况下，有几种购买方案？如何购买总费用最少？ 23. 如图，以为直径的上有两点、，，过点作直线交的延长线于点，交的延长线于点，过作平分交于点，交于点． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）如果是的中点，且，求的长． 24. 抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第四象限内抛物线上的一点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，过作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为，当时，求的值； （3）如图点，连接并延长交直线于点，点是轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，轴上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片． （1）【操作判断】将四边形纸片与等腰直角三角尺按如图放置，三角尺的边，分别与四边形的边，交于，两点，经测量得，．小明将绕点顺时针旋转，此时点与点重合，点的对应点为，通过推理小明得出了． 根据以上信息，请填空： ①； ②线段，，之间的数量关系为__________； （2）【迁移探究】小明将四边形纸片换成了图中的形状，若，，，，分别在，上，且，线段，，之间的数量关系是否仍成立，若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明； （3）【拓展应用】如图3，已知，，，小明以点为旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺，其中射线，分别交射线于点，，当点恰好为线段的三等分点时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $