6.3.2二项式系数的性质同步练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

高中数学同步课时一课一练 第六章计数原理 课时8二项式系数的性质 相关知识点： 二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.C=C”m (2)增减性与最大值：先增后减，中间一项或两项最大（根据展开式项数判断） (3)各二项式系数的和：C0+C+C+…+C=2” C0+C2+C4+…=2-1C+C+C+…=2-1 注：研究展开式系数和常用赋值法 题型一二项式系数的增减性与最值 1.( 的二项展开式中二项系数最大的项是() -35x4y3 A. 8.35ry4 C. -35和35y D.35少和35 【答案】C 【解析】x- 的二项展开式中二项系数最大为C=C 所以二项展开式中二项系数最大的项是C(-y'x=-35y和 C(-y)4x3=35x3y 故选：C 题型二展开式的二项式系数和问题 1}" 1.若二项式 X+ 的展开式中二项式系数和为64，那么该展开式中的常 数项为() A.12 B.15 C.20 D.30 【答案】C 【解析】x+的展开式中二项式系数和为2，八2”=64，n=6, 设7为数项，则-C一-C=c 故6-2r=0,解得=3，则7，=C=20 故选：C 2.在1-2“的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则二项式系数 最大的项的系数为一· 【答案】1120 【解析】奇数项与偶数项的二项式系数之和相等，则1-2)的展开式中二 项式系数之和为256， 即2”=256，解得n=8,二项式系数最大的项为了=C(-2°x=1120x, 故二项式系数最大的项的系数为1120. 题型三展开式的系数和问题 2 1.已知r+ )(a>0)的展开式系数和为729，则a的值为() A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】C 、2）6 【解析】因为r+会的展开式系数和为729， 所以令x=1,则(a+2°=729，则a+2=±3，所以a=1或a=-5, 因为a>0,所以a=1. 故选：C 题型四展开式的奇（偶)项系数和问题 1.若2x-3)°=a,r+a,r+a,r+ax+a,则a+a+a,=() A.-313 B.-312 C.312 D.313 【答案】D 【解析】由(2r-3=ar+a,r+a,r+ax+a, 令1，得0+8+4+4+“1①，再令=-1，得4+a,-4+=625 ②. ①+②得，2刘a,+a,+a,)=1+625=626,所以4+a,+a,=313 故选：D. 2.(多选)若+2)05=a,+ar+a,2+…+ams ,则下列正确的是 ( A.a=1 B.a++a,++a04= 1-32025 2 C.a+4+a,+…+a2s 32025+1 2 D.4-24,+3a,-4a,++2025as=-2025 【答案】AC 【解析】对于A,令x=0,则a=1,故A正确； 对于BC,令1，则+a+a,++a=32 令x=-1,则0-4+a,-4++a44@s=(-35=-l 则0+a,+a,++a4= 2025-1 32025+1 2, a+a,+a,+…+as=2,故B错误，C 正确； 对于D,由 1+2x)2025=a+ax+a2r2+…+ao2sx2025 两边同时求导可得： 20251+2x)204×2=a1+2a2x+3a,r2++2025a20sx24 令x=-,则4050-1)m=4-24,+34-44++2025zs 所以4-24，+34，-4++20252s-405 ,故D错误。 故选：AC 3.（多选)已知+2x+y=a+a(x+++a,+”,则( A.a1=-1 B.0+a1+…+a10=1 C.4+a,+a+a,+a+a0=3”+1D.4+2a,+3a+10a0=19 【答案】ABD 【解析】对于A选项，(+2x+=(x+12(x+)-,所以4=C=- ,A选项正确： 对于B选项，令x=0,可得4*a++am=l,B选项正确： 对于C选项，令=-2，可得4，-a++a=3,与B选项分析中的式子相 39+1 加，可得2(a,+a,+a,+a,+a+ao=3+1,所以a,+a,+a+a。+a+ao 2 ,C选项错误； 对于D选项，设/)=(x+l2x+=a+a(r+)++a(x+) 则/)=(2x+19+18(x+12x+°=a+2a,(c+1)+…+10ax+1° 令=0，可得8+2a,…+10a0=19 ,D选项正确. 故选：ABD. 题型五展开式系数绝对值的和问题 1.已知2x-l”=a,+a+a,2+a,r2++axn (1)求8+a++a0 (2求a,HaHa+a (3)求+2a,+30++10a。 【解析】(1)令x=0,得a=1, 令x=1,得4，+a+a,+a++ao=(2-l)”=1, 所以8+a+a,+ao=0 (2)因为展开式的通项为7=C(2y-(0sks10且keN, 所以当k为奇数时，项的系数为负数. 所t以la网+la+la+-ad=a,-a+a-+ao 令x=-l,得4，-a+a-a+…+a=(-3)=30 ∴lal+la+la+…+ao=30 (3）对-2)°=a,+ax+4,2+a,2++a0 两边同时求导， 可得201-2w9=a+2a,x+3a,2++10an2 0亿=p001++死+叹+，制但‘1=r交高中数学同步课时一课一练 第六章 计数原理 课时8二项式系数的性质 相关知识点： 二项式系数的性质 (①)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。C=Cm (2)增减性与最大值：先增后减，中间一项或两项最大（根据展开式项数判断） (3)各二项式系数的和：C+C品+C品+·+C日=2 C9+C2+C4+…=21Ch+C+C+…=21 注：研究展开式系数和常用赋值法 题型一二项式系数的增减性与最值 1.(x-y)'的二项展开式中二项系数最大的项是() A.-35x4y2 B.35x3y4 C.-35xy3和35x3y4 D.35xy2和35x3y4 题型二展开式的二项式系数和问题 1.若二项式+ 的展开式中二项式系数和为64，那么该展开式中的常数 项为() A.12 B.15 C.20 D.30 2.在(1-2x)”的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则二项式系数 最大的项的系数为一 题型三展开式的系数和问题 1.已知+ (a>0)的展开式系数和为729，则a的值为() A.-1 B.0 C.1 D.2 题型四展开式的奇（偶）项系数和问题 1.若(2x-3)=a4x4+ax3+a2x2+ax+a,则a+a2+a4=（) A.-313 B.-312 C.312 D.313 2.(多选)若1+2x)2025=a,+a,x+a,x2+…+a202sx2025,则下列正确的是（) A.a=1 B.a+a2+a4+…+a2024= 1-32025 2 C.a1+a3+a5+…+a2025 32025+1 2 D.41-2a2+3a3-4a4+…+2025a2025=-2025 3.(多选)已知(x+1)(2x+1)°=a。+a,(x+1)+…+ao(x+1)°，则(） A.a1=-1 B.a0+41+…+a10=1 C.a+a2+a4+a6+ag+ao=39+1D.a1+2a2+3a3…+10a10=19 题型五展开式系数绝对值的和问题 1.已知(2x-1)°=a+ax+a,x2+ax2+…+aor0, (1)求a,+a2+…+a1o; (2)求a0000a9+…0a0: (3)求a,+2a2+3a3+…+10ao,