6.3.2二项式系数的性质 课后达标练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.3.2　二项式系数的性质 一．选择题 1.展开式中的中间两项为(　　) A.-x12,x12 B.x9,-x10 C.-x13,x9 D.x17,-x13 2.已知+2+22+…+2n=729,则的值等于(　　) A.64 B.32 C.63 D.31 3.已知(1+2x)8展开式的二项式系数的最大值为a,系数的最大值为b,则的值为(　　) A. B. C. D. 4.(多选题)在的展开式中,下列说法正确的有(　　) A.所有项的二项式系数和为128 B.所有项的系数和为0 C.系数最大的项为第4项和第5项 D.存在常数项 5.若(1+x)3(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,则a0+a2+a4+a6=(　　) A.8 B.6 C.5 D.4 6.487被7除的余数为a(0≤a<7),则的展开式中x-3的系数为(　　) A.4 320 B.-4 320 C.20 D.-20 7.关于(a-b)10的说法,正确的是(　　) A.展开式中的二项式系数之和为1 024 B.展开式中第6项的二项式系数最大 C.展开式中第5项和第7项的二项式系数最大 D.展开式中第6项的系数最小 二．填空题 8.设an(n≥2,n∈N*)是(3-)n的展开式中x的一次项系数,则+…+=　　　　　.  9.若(m∈R)的展开式中各项的二项式系数之和为32,且展开式中x5的系数是80,则实数m=　　　　　.  10.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是　　　　　.   11.在的二项式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于　　　　　. 12.(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=　　　　　.  三．解答题 13.设展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为N,M-N=240,求展开式中x的系数. 14.(1)已知(1+x)n的展开式中第5项和第9项的二项式系数相等,求n; (2)(x+2y)7的二项式系数的最大值是多少? 15.求证:32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除. 16.已知(1+2x-x2)7=a0+a1x+a2x2+…+a13x13+a14x14.求: (1)a0+a1+a2+…+a14; (2)a1+a3+a5+…+a13. 17.已知m,n是正整数,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中x的系数为7. (1)对于使f(x)的x2的系数为最小的m,n,求出此时x3的系数; (2)利用上述结果,求f(0.003)的近似值(精确到0.01). 6.3.2　二项式系数的性质 一．选择题 1.C 由二项式定理展开式的性质知中间两项为第6项和第7项.的通项为Tk+1=(x3)11-k·=(-1)kx33-4k,则T6=(-1)5x33-20=-x13,T7=(-1)6x33-24=x9. 2.B 由已知得(1+2)n=3n=729, 解得n=6, 则=32. 3.A 由已知,得a==70,设b=2r, 则 得5≤r≤6,即r=5或6, 所以b=26=26=7×28,所以. 4.AB 选项A,所有项的二项式系数和为27=128,故A正确; 选项B,令x=1,则=0,即所有项的系数的和为0,故B正确; 选项C,二项展开式的通项为Tk+1=x7-k·(-1)kx7-2k,第4项为T4=(-1)3x=-x,第5项为T5=(-1)4x-1=,显然第5项的系数最大,故C错误; 选项D,令7-2k=0,解得k=∉Z,故不存在常数项,故D错误.故选AB. 5.D ∵(1+x)3(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+…+a7x7, 令x=1,可得a0+a1+a2+…+a7=8,① 令x=-1,可得a0-a1+a2+…-a7=0,② 则①+②,并除以2,可得a0+a2+a4+a6=4. 6.B 因为487=(49-1)7=·497-·496+…+·49-1, 所以487被7除的余数为6,所以a=6. 所以的展开式的通项为Tk+1=·(-6)k·. 令6-3k=-3,得k=3,所以的展开式中x-3的系数为·(-6)3=-4 320. 7.ABD 由二项式系数的性质可知,二项式系数之和为210=1 024,故A正确;当n为偶数时,二项式系数最大的项是中间一项,故B正确,C错误;因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大,所以系数最小,故D正确. 二．填空题 8. 17 因为an(n≥2,n∈N*)是(3-)n的展开式中x的一次项系数,所以an=3n-2, 所以+…++…+=18×=17. 9. -2 若(m∈R)的展开式中各项的二项式系数之和为2n=32,则n=5. ∵Tk+1=·(-m)k·,令=5,可得k=3, ∴展开式中x5的系数是·(-m)3=80,则实数m=-2. 故答案为-2. 10. -121 由题意得展开式中含x3的项的系数为(-1)3+(-1)3+(-1)3+(-1)3=-121. 11. 112 依题意,得2n=256,解得n=8. 通项为(-2)k·, 令=0,得k=2. 故常数项为(-2)2=112. 12. 3 设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5. 令x=1,得(a+1)×24=a0+a1+a2+a3+a4+a5.① 令x=-1,得0=a0-a1+a2-a3+a4-a5.② ①-②,得16(a+1)=2(a1+a3+a5)=2×32,解得 a=3. 三．解答题 13.解由题意得M=4n,N=2n, 因为M-N=240,所以4n-2n=240. 解得2n=16或2n=-15(舍去),所以n=4. 的展开式的通项为Tr+1=·(5x)4-r·=(-1)r54-r, 令4-r=1,解得r=2. 故展开式中x的系数为(-1)254-2=150. 14.解:(1)二项式(1+x)n展开式的通项为Tk+1=xk(0≤k≤n,且k∈N),所以第5项的二项式系数为,第9项的二项式系数为,依题意可得,所以n=4+8=12. (2)二项式(x+2y)7展开式一共8项,则第4项和第5项二项式系数相等同时取得最大值,又(x+2y)7展开式的通项为Tk+1=x7-k(2y)k(0≤k≤7,且k∈N),所以第4项的二项式系数为=35,第5项二项式系数为=35,即(x+2y)7的二项式系数的最大值是35. 15.证明∵(32)n+1=(8+1)n+1=·8n+1+·8n+…+·82+·81+, ∴32n+2-8n-9=[(·8n-1+·8n-2+…+)82+·81+]-8n-9=82·(·8n-1+·8n-2+…+), 故32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除. 16. 解(1)令x=1,则a0+a1+a2+…+a14=27=128.① (2)令x=-1,则a0-a1+a2-a3+…-a13+a14=(-2)7=-128.② ①-②,得2(a1+a3+…+a13)=256, 故a1+a3+…+a13=128. 17. 解:(1)由题意得,=7,即m+n=7①, f(x)中的x2的系数为. 将①变形为n=7-m代入上式,得x2的系数为m2-7m+21=2+. 故当m=3或m=4时,x2的系数最小. 当m=3,n=4时,x3的系数为=5; 当m=4,n=3时,x3的系数为=5. (2)f(0.003)=(1+0.003)4+(1+0.003)3≈×0.003+×0.003≈2.02. 学科网（北京）股份有限公司 $