云南昭通一中教研联盟2025-2026学年下学期高二年级期中考试数学（A卷）试卷

昭通一中教研联盟2026年春季学期高二年级期中考试 数学(A卷) 本试卷分第I卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分.第I卷第1页至第3页， 第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试 用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分) 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答 题卡上填写清楚 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合A={x|-2<x<3,x∈Z},B={x|y=ln(x-1)},则An(CRB)= A.{-2,-1,0,1,2} B.{-1,0,1} C.{-2,-1,0,1} D.{-2,-1,0 2.已知{an}是等比数列，a3=2,a1=18,则a,= A.10 B.-10 C.6 D.-6 3(- 的展开式中x3的系数为 R月 c D、5 4 4.设随机变量X服从成功概率为p(0<p<1)的二项分布，若E(X)=3,D(X)=2,则p= A B月 2 D. 5.现有7张卡片，分别写上数字2,3,3,4,5,6,7.从这7张卡片中随机抽取3张， 记所抽取卡片上数字的最小值为专，则P(=3)= A号 B号 8 0.35 高二数学A卷ZT·第1页（共6页） 6.对于变量X,Y,经过随机抽样获得成对数据(x,y:)(=1,2,3,…,10),且∑x:三 40，利用最小二乘法得到Y关于X的线性回归方程为Y=0.5+bX,且X与Y的相关系 数r>0,则下列结论正确的是 A.r越大，X与Y的线性相关性越弱 B.若b=1,则r=1 10 C.若6=2，则=80.5 D.若样本点(x:,y:)(i=1,2,3,…,10)都在回归直线上，则r=1 7.已刻4，B是随机事作，若PA+8)=}P(s1团=子则( 2 17 C. 20 8.已知函数f(x)=x2(x-m),则“m>1”是“x=0是函数f(x)的极大值点”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知数列a,的前n项和为S,=2.令6。=2，则下列选项正确的是 aantl A.a2=5 B.a =2n+1 C.数列16.的前2026项和为4052 4053 D.数列{b,的前n项和的最大值为1 10.下列选项正确的是 A.C+2A2=61 B.若样本数据3x1+2,3x2+2,…,3x20+2的样本方差为3，则数据4x1-1,4x2-1, …,4x20-1的方差为4 C.已知随机变量~N(0,σ2)，若P(-3≤≤3)=0.8，则P(>3)=0.1 D.某班要从12名候选人中选4名组成学生会，已知有4名候选人是男生，假设每名 候选人都有相同的机会被选到，用X表示候选人是男生的人数，则恰有2名男生 被选到的概率为P(X=2)=56 165 高二数学A卷ZT·第2页（共6页） 11.已知函数f(x)=xe,记方程f(x)=1的根为u,下列有关u的结论正确的是 A.u∈(0.5,1) 1 B.ln一=u C.u=a,其中a=1 D函数x。的最小值不可能为H( 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分) l2.已知曲线y=x2-3lnx的一条切线方程为y=5x+m,则实数m= 13.由6位同学组成的数学兴趣学习小组站成一排拍照留念，已知学生甲和乙不相邻，则 不同的站法有 种 14.如图所示，一张长方形光滑桌上，左侧有X个小球，右侧有Y个小球(X,Y∈N), 它们排成一条直线相向滚动.滚动规则如下： Y000000000Y 规则1：如果两个小球迎面碰撞，会立刻调头反向滚动； 规则2：当小球滚到桌面边缘时，会从桌面掉落 当桌面上所有小球都掉落之后，记所有小球碰撞的总次数为f(X,Y),则f(1,2)= 若(X,Y)=12,写出满足条件的一组(X,Y)为 ,（小球相同，忽略其它影 响小球滚动因素) 高二数学A卷ZT·第3页（共6页) 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 为探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校从高一，高二，高三三个年 级采用按比例分层抽样的方式得到400名学生的测验成绩，得到如下列联表： 成绩优秀 成绩不优秀 总计 不认真完成作业 100 80 认真完成作业 150 70 220 总计 250 t 400 (1)求s,t; (2)记不认真完成作业的成绩不优秀的概率为p,给出p的估计值； (3)能否有99%的把握认真完成作业对成绩优秀有效？ n(ad-be)2 附：X2= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 Xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 高二数学A卷ZT·第4页（共6页） 16.(本小题满分15分) 2026年全国青少年科技创新大赛采用两轮晋级制，参赛选手需顺利通过第一轮考核， 方可获得第二轮参赛资格，两轮考核全部通过者，将正式取得代表学校参与更高层次 竞赛的宝贵资格，已知小明、小华，小方3位同学通过第一轮的概率均为子，在通过 第一轮的条件下，他们通过第三轮的概率依次为：、气、)，假设他们之间通过与否 相互独立. (1)求这3人中至多有2人通过第一轮的概率； (2)从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率 17.(本小题满分15分) 已知数列an}满足a1=2,且an+1=2an+21(n∈N*). (1)求数列 的前n项和Tn; (2)记数列{an}的前n项和为Sn.若Sn≥入an+2对任意n∈N*恒成立，求实数入的 取值范围. 高二数学A卷ZT·第5页（共6页） 18.(本小题满分17分) 高阶智驾技术是汽车研发领域的一个重要方向.某学校创新社团爱好者研发了一个感 知路况障碍的小汽车模型.该模型通过三个探测元件共同判断路段是否有路障.在对 该模型进行测试中，该社团同学寻找了100个不同的路段作为测试样本，数据如下 表：（假设三个探测元件对路况的判断相互独立） 探测元件1 探测元件2 探测元件3 测试结果 真实路况 有障 无障 无法 有障 无障 无法 有障 无障 无法 碍 碍 识别 碍 碍 识别 碍 碍 识别 无障碍 4 25 1 25 4 15 15 0 有障碍 50 10 10 55 5 10 55 10 5 (1)从这100个路段中随机抽取一个路段，求探测元件2对该路况判断正确的概率； (2)从这100个路段中随机抽取一个无障碍的路段进行测试，设X为探测元件1和探 测元件3对无障碍的路段判断正确的探测元件数，求X的分布列和数学期望； (3)现有一辆小汽车同时装载了以上3种探测元件，在通过某路段时，只要3个探测 元件中一个判断有障碍或无法识别，则小汽车减速.请问可以通过提高哪一个探测元 件的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于2（直接写出探测 元件1、2、3其中一个，结论不要求证明) 19.(本小题满分17分) 已知函数x)=c-n(+1)r(mER)小 (1)当m=时，求f代x)的单调递增区间： (2)当m<0时，求f(x)的最小值； (3)证明：当m>0时，f(x)有唯一零点. 高二数学A卷ZT·第6页（共6页）昭通一中教研联盟2026年春季学期高二年级期中考试 数学(A卷)答题卡 班级 姓 名 考场号 座位号 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名、准 填 正确填涂 准考证号 考证号、考场号、座位号填写清楚。 ■ 2.选择题使用2B船笔填涂，非选择题 使用黑色碳素笔书写，超出答题区域 范 错误填涂 购 3.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 0000000]000 ■ 母中 和和和 田和和和和和 ① 2幻 2刀 202021202 2刃2I 2四 3 333 333 3 31 ④ 555555555 5 ■ 贴条形码区 6660676 666 6 6 刀刀刀刀7刀 I刀刀[ (正面朝上，请贴在虚线框内) 8I818I818I8I8I888 99I9]919I9]9]9199 缺考 标记 口婆簧婆程考整喜麦美贵陕名躲 1 [A][B][C][D] 5 [A][B C]D 9[A][B]C][D] 2 A B C网DI 6 A B C]D 10IBI网D可 3IBC☒D 7四BCD 11A四BIcD 4A]B]C]D] 8A▣BCD ■ 三、填空题（本大题共3小题， 每小题5分，共15分) 12. 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 四、解答题（共77分) 15.(本小题满分13分) 解：（1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 （3) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 16.(本小题满分15分) 解：（1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 A卷ZT 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 17.(本小题满分15分) 解：（1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 18.（本小题满分17分) 解：（1) (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 19.(本小题满分17分) 解：（1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效★ 秘密 ★ 因涉及考试内容，请老师妥善保管，避免泄漏 昭通一中教研联盟2026年春季学期高二年级期中考试 数学（A 卷）·双向细目表 题号 题型 分值 试题内容 难易程度 备注 1 单选 5 集合运算 易 2 单选 5 等比数列性质 易 3 单选 5 二项式定理 易 4 单选 5 两点分布列的性质 易 5 单选 5 超几何分布列的概率 易 6 单选 5 线性回归方程的性质 中 7 单选 5 条件概率 中 8 单选 5 导数及充分必要条件的性质综合 中 9 多选 6 数列综合应用 易 10 多选 6 概率统计综合应用 中 11 多选 6 导数的应用 难 12 填空 5 导数的几何意义 易 13 填空 5 排列组合应用 易 14 填空 5 新情景应用 中 15 解答 13 独立性检验 易 16 解答 15 概率计算综合应用 易 17 解答 15 数列综合应用 中 18 解答 17 离散型随机变量的概率分布列相关问题 中 19 解答 17 函数与导数综合 难 命题 思想 达成目标 优秀率 及格率 平均分 15% 65% 100±5 学科网（北京）股份有限公司 $昭通一中教研联盟2026年春季学期高二年级期中考试 数学(A卷)参考答案 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 5 6 个 8 答案 8 0 O A 【解析】 1.由题意，得A={-1,0,l2},B={x>},所以CB={xx≤1}，所以A∩(CB)={-10,1, 故选B 2.因为{an}是等比数列，所以a=a·a1=36,又因为a,=a·q>0,所以a,=6,故选C 3.根据二项式展开的通项公式，第r+1项为T+1=Cx 令x的指数5-r=3,解得 =2,甲的系数为c》 42 ,故选B. 4.因为X服从成功概率为(0<p<)的二项分布，且E(X)=3,D(X)=2，,所以 np=3 m1-p=2解得：p=,故选C 5.从写有数字2,3,3,4,5,6,7的7张卡片中任取3张共有C种取法，其中所抽取的卡 片上的数字的最小值为3的取法有C;+C,C:种，所以P(G=3)=C+CC=16 故选A 35 10 6.由于∑=40可得 x 4 则=0.5+bi=0.5+4b,对于A,r的绝对值越接近1， 10 由于r>0,故T的值越大，X与Y的线性相关性越强，故A错误；对于C,当b=2时， 丁=05+4h=85,则2y=105=85,故C错误：对于D,若样本点k,y)(i-1,23,…, 10)都在回归直线上，且r>0,则r=1,D正确；对于B,当b=1时，无法确定r的值， B错误，故选D. 高二数学A卷ZT参考答案·第1页（共9页） 7.由条件概率公式得P(BA)= P(AB) P(A) 因此P(AB)=P(BIAP(a)=-P(A),将PiB) 代入A+8=W+Pri得子P(+0-P4,解将Pa)=品×号 ,故选D. 4 8.由已知f)=2-m2,f)=3x2-2m=3xx-2m 令f'()=0,得x=0或x=3 2m 3 由题意x=0是极大值点，则0，若<0，则<x<0时，f0<0,w单调 3 递减，x>0时，()>0，f()单调递增，则x=0是函数的极小值点，不合题意：若2”>0， 3 时，)<0，f田单调递减，x<0时，f"()>0,f(9单週 是函数的极大值点，综上， 2m≥0，即m>0,故选A. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 AC ACD ABD 【解析】 9.当n=1时，a=1,当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=21-1,当n=1时，4=1也符 合0，=2n-1,所以a,=2m-L,A对B错；可得2，=2 2 1 1 anan1(2n-1)(2n+1）2n-12n+1, 1+6=-》3店》+（)1 C对D错，故选AC 10.对于A,C9=76x7=21,4=5!=4×5=20,2=2×20=40,因此 52!1×2 3！ C+2A=21+40=61,A正确；对于B,设样本数据x,x2,,x20的方差为D,则9D=3, 解得D-写数据4钱-146-上4化1的方范为16D-,B错误：对于C,随机变 量5N0.g),由P(-3≤5≤3)=0.8，得P5>3)=1-08=01,C正确：对于D,恰有 2 2名男生装蓝到的率为PW-)--供需，D正简，放在ACD C 高二数学A卷ZT参考答案·第2页（共9页） 山.选项A:由-1得e-0,设8()心-因8)单调递增，则业为8()的唯一 零点，因为g(0.5)·g()=(NE-2)(c-)<0,故u∈(0.5,1)，A正确：选项B:由题意 e=l,所以c=>0,故ne=n,即n=u,故B正确：选项C:若u=a, 其中a君，则u-(,故h ,由选项B可知n=业，因 显然不成立，故C错误：选项D:由H(y=e+血x,(:>0)得 x+1 四-山，设树=e1n+1.则阳e+20,数 (x+1)2 在(0，+)上单调递增，因ue=1,ln=,即nu=-u,故h()=2>0,故，>0， 且<u使得h(x)在(x,四)上有(x)>0,此时H'(x)>0,H(x)在(，)上单调递增， 故H()不是H(x)的最小值，故D正确，故选ABD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分) 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 -6-3n3 480 ①2；②(1,12) 【解析】 3 12.设切点为(，%)，因为切线y=5x+m,所以yLl6=2x。- 三-山，解得3=行 (舍去)，代入曲线y=x2-3lnx得y=9-3ln3,所以切点为(3,9-3ln3),代入切线方程 解得m=6-3ln3. 13.先除去甲乙，另外4位同学排成一排，站法共有A4=4×3×2×1=24种，4位同学排成一 排后形成5个空，将甲乙插入这五个空中，共有A=5×4=20种，由分步乘法计数原理 得A1A?=480种，即不同的站法有480种. 高二数学A卷ZT参考答案·第3页（共9页） 14.当左侧有1个小球，右侧有2个小球，则左侧和右侧最前面的小球碰撞一次后，左侧小球 调头爬到桌面边缘掉落，而右侧碰撞的小球调头后与后面的小球再一次碰撞，然后两只小 球调头都爬到桌面边缘掉落，这样一共就是碰撞2次，所以f(1,2)=2;当左侧有1个小 球，右侧有12个球，依次编号为1,2,3…12，则左侧和1号碰撞一次后，左侧小球调头爬 到桌面边缘掉落，累计碰撞1次，1号调头与2号碰撞一次后，1号再调头爬到桌面边缘掉 落，累计碰撞2次，2号调头与3号碰撞一次后，2号再调头爬到桌面边缘掉落，累计碰 撞3次，3号调头与4号碰撞一次后，3号再调头爬到桌面边缘掉落，累计碰撞4次，…11 号调头与12号碰头一次后，11号和12号都调头爬到桌面边缘掉落，累计碰撞12次，所以 此时有fL,12)=12,故满足条件的一组为1,12)，即f(X,Y)=XY=12,任意一组正整数 解都符合要求，例如(X,Y)=(3,4)(也可填(2,6)，1,12)，(4,3)等都正确). 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 解：(1)由列联表知s=100+80=180,… …(1分) t=80+70=150 …(2分) (2)由列联表知，不认真完成作业的有180人，不认真完成作业且成绩不优秀的有80人， 所以不认真完成作业且成绩不优秀的频率为80_4 1809 ……………………(4分） 所以不认真完成作业且成绩不优秀的概率的估计值为P= 9 …(6分)》 (3)由列联表得到x2= 400×100×70-150×80)2 180×220×250×150 ……(8分) 2000 (10分) 297 ≈6.734>6.635， …(12分） 所以有99%的把握认为认真完成作业对成绩优秀有效， …(13分) 高二数学A卷ZT参考答案·第4页（共9页） 16.(本小题满分15分) 解：(1)记3人中通过第一轮的人数为刀， 由题意可知)~ …(4分) 记“3人中至多有2人通过第一轮”为事件M, 则P(M)=1-P(=3)=1-C 61 ……………(7分)》 (2)记随机选择小明、小华、小方的事件分别为N、R、T,通过第二轮的事件记为D, 则由题意可如P心)=P(R)=P)号 …(8分) n-手 (9分) Pm网-含号 …（10分) Pa)分号 …（11分） P(D)=P(ND)+P(RD)+P(TD)=P(N)P(DI N)+P(R)P(DI R)+P(T)P(DI T), …(13分) 所uro=g品子器 …(15分) 17.(本小题满分15分) 解：(1)由an+1=2an+2+1,则 20n+21 2+1 2n+1 m+1, …(3分) 则-=1，又号-1， … (4分) 22 故数列 a 2" 是以1为首项，1为公差的等差数列，且马=n, (6分) 故Tn=1+2+3+…+n=n0+) …（7分) 2 高二数学A卷ZT参考答案·第5页（共9页） (2)由(1)知an=n…2”,… (8分) Sn=a1+a2+…+an=1×2+2×22+3×23+…+n×2", …（9分) 则2Sn=1×22+2×23+3×24+…+n×2H …（10分) 则Sn-2Sn=-Sn=2+22+23+…+2”-n×2 …(11分) =20-22-nx2=21-2-n×2=0-m小21-2， 1-2 …(12分） 则Sn=(n-1).2+2, …(13分） S.=m-)-2+2≥2+2，≤22meN), …(14分) .≤0 …(15分） 18.(本小题满分17分) 解：(1)由题设表格中的数据，这100个路段中，探测元件2判断正确的路段有55+25=80 个，设“探测元件2对该路况判断正确”为事件A,则P(A)=80-4 1005 …(3分) (2)这100个路段中无障碍的路段共有30个， 在这30个无障碍的路段中，探测元件1判断正确的有25个，错误的有5个， 探测元件3判断正确的有15个，错误的有15个， 所以探测元件1判断正确的概率P==,错误的概率为1-R=, 306 …………………（5分） 1 1 探测元件3判断正确的概率B=2错误的概率为1-B=2 ……(7分) 由题意得，随机变量X的所有可能取值为0,1,2， …(8分) 可得P(X=0)=(1-R)1-B)=x-1 …(9分) 6212 高二数学A卷ZT参考答案·第6页（共9页） PX==R0-A)+0-P明=名名 …(10分） X=2)-P照=后*行2 51_5 …(11分） 所以随机变量X的分布列为： X 0 2 5 12 1-2 12 …(13分) 所以期型为(W)=0位+12音台-手 12123 …(15分） (3)可以通过提高探测元件3的判断准确率， 1 使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小 2 …(17分) 理由如下：共有30个无障碍的路段， 探测元件1判断无障碍的有25个，由频率估计概率，所以无障碍路段上，估计探测元件 255 1判断无障碍的概率P= 306 探测元件2判断无障碍的有25个，由频率估计概率，所以无障碍路段上，估计探测元件 2判断无障碍的概率P= 255 306 设探测元件3无障碍判断正确的概率为P, 小汽车在无障碍的道路上减速的概率为P,P=1-×之xB=1 25 , 66 361 2,可得1-25 若P< <宁解得R> 36 25 又原探测元件3无障碍判断正确的概率为 15118、1 02'252’ 所以可以通过提高探测元件3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小 高二数学A卷ZT参考答案·第7页（共9页） 19.(本小题满分17分) 解：(1)由f'(x)=e+xe-m(x+l)=(x+)(e-m), (1分) 当m=时=e-对 …（2分) 当1时，e>尽则有四=+e月0， …（3分) 当x<-1时，e则有fw=ee月0， (4分) 所以对任意的x∈R,都有f'(x)≥0，即f(x)在R上单调递增，故增区间为R. …(5分） (2)当m<0时，有e-m>0, …(6分） 所以当x>-1时，则f'(x)=(x+1)(e-m)>0,即f(x)在(-1，+o)上递增； …（7分) 当x<-1时，则f'(x)=(x+1)(e-m)<0,即f(x)在(-n,-1)上递减， ………………(8分) 即fwm=f(←1)=-1 …(9分) (3)当m>0时， 分类讨论： 当0<m<时，由f'w=x+1D(e-m)可知： 所以当x<1nm或x>-1时，则'(x)=(x+1)(e-m)>0,即f(x)在(-o,lnm)和(-1，+o) 上递增； …(10分) 当nm<x<-1时，则f'(x)=(x+)(e-m)<0,即f(x)在(nm,-)上递减； …（11分)》 即f)在=1时有极小值f)=日，在=m时有极大值， fm）=mlam-之a+lnm°=之n1+(am]<0, 由于o时，=e-x+→o, 高二数学A卷ZT参考答案·第8页（共9页） (这里运用指数爆炸增长，它的增长速度一定会大于二次函数的增长速度) 所以由上可得f(x)有且仅有一个零点；…(12分) 当m>-时，由f'(x)=(x+)(e-m)可知： 所以当x<-1或x>lnm时，则f'(x)=(x+1)(e-m)>0,即f(x)在(-m,-1)和(nm,+o) 上递增； ……(13分) 当-1<x<nm时，则f'"(x)=(x+)(e*-m)<0,即f(x)在(-l,lnm)上递减： ……(14分) 即f()在x=-1时有极大值f(-)=-】,在x=nm时有极小值， f(nm)mm-m+(]0. 由于x→to时，f()=e*-2mx+l→+0， 所以f(x)有且仅有一个零点： ……(15分) 当m=时，由()得：f()在R上单调递增，由f()=-<0, 由于x→o时，f冈=e-2mr+1→+o0, 所以由上可得f(x)有且仅有一个零点. …(17分) 高二数学A卷ZT参考答案·第9页（共9页）