福建省莆田第一中学2025-2026学年高一下学期数学五一假期作业（周练）

2025-2026学年莆田一中高一数学五一假期作业 一、单选题 1.已知圆锥的底面半径为√2，母线长为4√2，则其侧面展开图扇形的圆心角为（) A号 B.牙 C. D.元 2.若复数z=m(m-2)+(2-4)i为纯虚数，则实数m的值为() A.2 B.0 C.-2 D.0或2 3.如图，矩形A'B'C'D'是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画法画出 的直观图，其中，AB'=1,B'C=2,则原四边形ABCD的面积为() A.2 B.4√2 C.10 D.12 6B1 4.为了测量河对岸一古树高度AB（如图)，某同学选取与树底B在同一水平面内的两个观 测点C与D,得∠BCD=15°，∠BDC=30°，在点C处测得树顶A的仰角为60°，树 高AB约为48√5米，则CD=(). A.100.8米 B.33.6米 C.482米 D.48√5米 5.粒子A,B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为54=(4,3)， =(-2,6),则3在54上的投影向量为() 6.如图，在正方体ABCD-AB,CD中，O是BD的中点，M是BC的中 点，N是AD的中点，直线DM与平面BDC相交于点P,则下列结论 不正确的是（) A.CP,O三点共线 B.CDP,N四点共面 C.M,N,P,C四点共面 D.O,P,D,D四点共面 B 7.在△MBC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,面积为.若a=1,B=名，且 4S=cosC+ccosA,sinC=( A. B.3 2 C. D.vi5 4 8.已知三棱锥P-ABC的体积为9V3,∠BAC=90°，AB=AC=3N2,PB=PC=6.若该三 试卷第1页，共4页 棱锥的四个项点都在球O的球面上，则球O的表面积为() A.24元 B.48元 C.96π D.108元 二、多选题 9.己知1，n,n是空间内三条不同的直线，：，B是空间内两个不同的平面，下列说法 不正确的是() A.若m⊥n,m⊥a,则n/1a B.若m上a,nl1B,a1IB,则m⊥n C.若a∩B=m,n/la,则m/1m D.若mCa,nCa,则“I⊥a"是“1⊥m,且l⊥n”的充分不必要条件 10.己知复数名，22，且3是非零复数，名，22分别是z,22的共轭复数，则下列结论正 确的是() A.若名+22=0，则云=云 B.ZZ∈R C.若欢=22，则名=22 D(a+=3+z 11.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：)的正方体容器（容器壁厚度忽略不 计)内的有() A.直径为0.99m的球体 B.所有棱长均为1.4m的四面体 C.底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体 D.底面直径为1.2m,高为0.01m的圆柱体 三、填空题 12.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsinC+csinB=4 asinBsinC, b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为 13.若1a曰b日c=2,且满足ā.b=0,a·c=2,b·c=1,则2=_ 14.如图，在长方体ABCD-AB,CD,中，AB=3,AD=AA=2,M为AD的中点，过点B 作平面a与平面AB,M平行，则平面a与底面AB,C,D,的交线1的长度为；若P 为1上的动点，则动直线AP与CC的夹角的正切值的取值范围是 D A 试卷第2页，共4页 四、解答题 15.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+√3co9A=2. (1)求A. (2)若a=2,2 bsin C=csin2B,求△ABC的周长. 16.如图，一个圆锥的顶点是P,O是底面的圆心，AB是底面的一条直径，AB=2. (1)若PA和圆锥底面所成角大小是号，求该圆维的表面积： 2)若Q是PA中点，C、D是底面圆上两点，劣弧AC的长为C,CDAB, 3 求证：平面QCOW平面PBD. =>B 17.如图，四棱柱ABCD-AB,C,D,中，底面四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，LA=AC=2, AB=AD=2N2,点E在线段AD上. A (1)证明：AA⊥平面ABCD: B E (2)当5为何值时，4B1/平面AC,并求出此时三棱锥E-ACD的体 积。 固 山 18.如图，设Ox,Oy是平面内夹角为a(0<a<)的两条数轴；g,g,分别是与x轴，y轴 正方向同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为α一仿射坐标系.在-仿射坐标系中，若 向量OP=x+y巴，则把(：，)叫做向量OP在平面坐标系xOy中的坐标，记OP=x,y). (在牙-仿射坐标系中，若向量a=L2625,a16,求5的坐标： (②在写仿射坐标系中，向量a=0,2),向量=(6,4).求a在方向上的投影狗量： (3)在a-仿射坐标系中，设OA=(1,4),OB=(1,1),若OA-tOB2√5对任意实数t恒成立， 求cosa的取值范围， 19.若在直三棱柱ABC-AB,C中，AB⊥BC，AB=2,BC=AA=2N5,点M是平面ABC 上的动点 (I)若点M在线段BC上（不包括端点），设a为异面直线AC与B,M所成角，求sina的取值 范围； 2若点M在线段AC上，求4M+MC的最小值： (3)若点M在线段BA上，作MN平行AC交BC于点N,2是BB,上一点，且满足 MB+BO=2.设MB=x,记三棱锥2-MBN的体积为v(x).求v(x)的最小值. (答案)2025-2026学年莆田一中高一数学五一假期作业 1 2 3 5 6 7 9 10 11 B B B Q A 0 Q B AC BC ABD 12.25 13.5/5 3100 14.10; 10,2 15.(1)方法一：常规方法（辅助角公式） 由血5o4=2可0如4：9s4=1,即445=1 2 3 由于AeQ对→A+导e写月，故4+号受解得4： 3 6 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由sinA+V3cosA=2,又sin2A+cos2A=1,消去sinA得到： 4c0s24-43c0sA+3=0台(2cosA-V}=0,解得c0sA= 2 又4e0,网，故4=君 (2)由题设条件和正弦定理 2bsin C=csin2B2 sin B sin C=2sin Csin B cos B, 又风.Ce@,网，则血s血C+0,进而cosB=号，得到8-号 2 于是C=元-A-B=7匹 12’ sin C=sin(-4-B)=sin(B)=sin icos B+sin Bcos 4 c 由正弦定理可得， s咖1 sinBsinC,即、 i simsin, 6 4 12 解得b=2√2，c=√6+√2，故△ABC的周长为2+√6+3√2 16.(1)连接0P,由题可得∠PA0=60°，因为4B=2, 所以PA=PB=2, 所以圆维的表面积为π×1×2+元=3元. (2)因为O,2分别为AP,AB的中点，所以O2/1PB, 又因为O2c平面2C0,PBa平面QC0, 所以PB/平面2CO, 试卷第1页，共4页 劣弧4C的长为号，则40C=号，则∠0cD=号， 因为CD/AB,所以△OCD为等边三角形，所以CD=OB=1, 所以四边形OCDB为平行四边形，所以OC/BD, 又因为OCc平面2CO,BD:平面2C0, 所以BD1/平面CO, 又因为PBOBD=B,PB,BDC平面PBD, 所以平面PBD/I平面QCO. 17.(1),底面ABCD是菱形，∠ABC=60°， ..AB=AD=AC=2. AA=2,AB=22,AB=2,..A42+AB2=4B2, AA⊥AB.同理，M⊥AD. 又：ABC平面ABCD,ADC平面ABCD,ABOAD=A, .AA⊥平面ABCD. (2)连接BD交AC于点O,则O是BD的中点. A D 连接OE,则平面ABD∩平面EAC=OE, B 因为AB/I平面EMAC,ABC平面ABD, 所以OE11AB. 所以点E为4D的中点，所以二=1， ED 即当5=1时，4B11平面E4C. ED 证明：当铝=1时，点E为40的中点 连接BD交AC于点O,则O是BD的中点. 连接OE,则OE11AB. 又OEc平面EAC,AB丈平面EAC, 所以AB/1平面EAC. 又由(1)知A4⊥平面ABCD, 所似三校维4-1C0的体积”m-号8m4-*2x2x马2-2 2 3 所以三橙锥8-40D的体积@m 3 18.(1)由a=8+v2g,a1i,设6=a=(g+V2g) 由此1=6+5-+2+2运-1+2x号+2]-5， 即22=4，可得元=2，故i=(2,2W2)或6=（-2，-22). (2)因为鸡=-1xas号-克 所以āc=(8+2)38-48)=3g+2gg-86-4, 1P=(38-48)2=9g2-24g+16g2=13 故：在：方有上的设影病量（低网滑-2。音8-(9） (3)因为0A=(1,4),0B=(1,10),所以0A=8+48,0丽=g+8, O-G+4e -v+8g+16e =17+8cosa, o丽=V(g+9=v8+2g9+日=V2+20sa, 0A0丽=(g+4g)(g+8)=g+5g·g+462=5+5cosa, 由1可A-OB2V5,得O-2t0A.0B+2OB2≥5' 所以17+8cosa-2t(5+5cosa)+(2+2cosa)r2≥5， 即(2+2cosa)r2-2(5+5cosa)t+12+8cosa20对任意实数t恒成立， 又因为1+cosa>0,所以△=[101+cosa)2-4(2+2cosa)12+8cosa)≤0， 解得-1coa5-分 19.(1)在直三棱柱ABC-AB,C中，AB⊥BC,作MG∥AC交AB于G,连接BG, 则∠B,MG(或其补角)为异面直线AC与B,M所成的角. 设BM=x,0<x<2W5,则BM=√X+12, 由awga8C,得方-9-9，则0=疗o后 试卷第3页，共4页 则△B,MG中，cos∠B,MG= +12+-写+1四 3x 2x+12·方 2 2Wx2+12’ 所以sin2a=sin2∠BMG=1-cos2∠B,MG=1- 3x2 x2+48 4(x2+12)4(x2+12)’ 令1=+2e0220,所以ma5-0+9e,所以血a四. (2)由AB⊥BC,AB=2,BC=25,得∠ACB=30°，∠BAC=60°， 将底面ABC翻折使得其与侧面ACCA在同一平面上，且使矩形ACC,A与△ABC在AC两侧， 过点A作AE'⊥BC于E',交AC于M',则ME=MC, 对任意点M作ME⊥BC于E,连接AE,则ME=二MC, 2 则4M+号MC=4M+ME≥4B≥4E'=4M+ME"=4M+号MC, 当且仅当M与M'重合时取等号， C 显然AM'‖AB, 设M=a,M℃=AC-a=4-a,M究=MC=2- 20, 从而4E=4M+ME=2a+e-o)=2+号asC= ii (4-a）, 2 2 B 在Rta4EC中，4E2+EC2=4C,即(2+2}+24-a}=28, 3 2 化简得3a2=12,所以a=2,即4E=5,所以4M+MC的最小值为5. (3)由△BN~△BAC,得-=原，所以S=9:, S.BAC 又因为B2⊥平面BMN,B2=2-x, B 所以0写92-0-90-0sxs2, 32 因为当0<x<2时，x2>0,2-x>0, 所以09rQ-对=号0-刘>0， 而当x=0时，(0)=0，当x=2时，v(2)=0,所以v(x)在0≤x≤2上的最小值为0.