校本作业31 平面与平面平行的性质-福建省厦门外国语学校2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2024级厦外高一（下）数学校本作业31——平面与平面平行的性质 作业目标： 1.掌握平面与平面平行的性质定理；2.能综合运用判定定理和性质定理证明一些空间位置关系的简单命题. 基础巩固： 一、单选题： 1.给出下列说法: ①若一条直线与两个平行平面中的一个平面相交,则必与另外一个平面相交; ②若一个平面平行于两个平行平面中的一个平面,则必平行于另一个平面; ③夹在两个平行平面间的平行线段长度相等. 其中正确说法的个数为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.0 2.平面α∥平面β,直线a⊂α,直线b⊂β,那么直线a与直线b的位置关系一定是 (　　) A.平行 B.异面 C.相交 D.不相交 3.已知α,β,γ为三个不重合的平面,a,b,c为三条不同的直线,则下列说法中不正确的是 (　　) ①若a∥c,b∥c,则a∥b;②若a∥γ,b∥γ,则a∥b;③若c∥α,c∥β,则α∥β;④若α∥γ,β∥γ,则α∥β;⑤若c∥α,c∥a,则a∥α;⑥若α∥γ,a∥γ,则a∥α. A.④⑥ B.②③⑥ C.②③⑤⑥ D.②③ 4.在如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE,则DE与AB的位置关系是 (　　) A.异面 B.平行 C.相交 D.以上均有可能 5.如图,在多面体ABC-DEFG中,平面ABC∥平面DEFG,EF∥DG,AB=DE,DG=2EF,则 (　　) A.BF∥平面ACGD B.CF∥平面ABED C.BC∥FG D.平面ABED∥平面CGF 6.已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是平行四边形,过此四棱柱的任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有 (　　) A.4条 B.6条 C.10条 D.12条 7.如图,已知P为△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,且α分别交PA,PB,PC于点A',B',C',若PA'∶AA'=2∶3,则S△A'B'C'∶S△ABC= (　　) A.2∶3 B.2∶5 C.4∶9 D.4∶25 8.已知长方体中，，点在线段上，，平面过线段的中点以及点，若平面截长方体所得截面为平行四边形，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 二、多选题： 9.下列命题中正确的是（    ） A．若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内 B．如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交 C．若直线与平面平行，则与平面内的直线平行或异面 D．若平面平面，直线，直线，则 10.在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，分别是的中点，是的中点.给出下列结论正确的是（    ） A．若是上的动点，则与异面 B．平面 C．若该三棱柱有内切球，则 D．平面平面 【答题卡】 班级： 姓名： 座号： 1、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项 三、填空题： 11.如图所示,在三棱锥A-BCD中,截面EFG平行于底面BCD,且AE∶EB=1∶2,若△EFG的周长是9,则△BCD的周长为　　　　.  12.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱DD1上的点.当平面AB1C∥平面A1EC1时,点E的位置是　　　　.  13.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M,N分别是棱A1B1,B1C1的中点,P是棱AD上一点,AP=,过点P,M,N的平面交上底面于PQ,点Q在CD上,则PQ=　　　　.  14.如图，在长方体中，点是（靠近点）的一个三等分点，点是的中点，为直线与平面的交点，则________. 第11题图 第13题图 第14题图 1 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题： 15.如图,在正四棱锥P-ABCD中,点F在棱PA上,且PF=2FA,E为棱PD的中点,求证:CE∥平面BDF. 16.如图,在四面体ABCD中,过棱AB上一点E作平行于AD和BC的平面,分别交四面体的棱BD,DC,CA于点F,G,H. (1)求证:四边形EFGH为平行四边形; (2)若点P,Q分别在BD,AC上，,且点P,F不重合,证明:PQ∥平面EFGH. 17.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,P,Q分别是棱AA1,BB1,AB,B1C1的中点. (1)在图中画出过M,N,Q三点的截面,并说出截面的形状(不必说明画法与理由); (2)求证:PC1∥平面MNQ. 五、思维探索： 18.如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（     ） A． B． C． D． 19.如图，在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分别是CC1、C1D1、DD1、CD、BC的中点，M在四边形EFGH边上及其内部运动，若MN∥面A1BD，则点M轨迹的长度是（　　） A．a B．a C． D． 作业31参考答案：1.C　[解析] 易知①②③正确,故选C. 2.D　[解析] 因为平面α∥平面 β,直线a⊂α,直线b⊂β,所以直线a与直线b平行或异面,即两直线一定不相交.故选D. 3.C　[解析] 由基本事实4及平行平面的传递性知①④中说法正确.对于②,若a∥γ,b∥γ,则a,b可能平行、相交或异面,故②中说法错误;对于③,若c∥α,c∥β,则α,β可能平行或相交,故③中说法错误;对于⑤,若c∥α,c∥a,则a∥α或a在α内,故⑤中说法错误;对于⑥,若α∥γ,a∥γ,则a∥α或a在α内.故⑥中说法错误.故选C. 4.B　[解析] ∵在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,平面A1B1 C1∥平面ABC,平面ABC∩平面A1B1ED=DE,平面A1B1C1∩平面A1B1ED=A1B1,∴DE∥A1B1,∴DE∥AB. 5.A　[解析] 如图所示,取DG的中点M,连接AM,FM,则由已知条件易证得四边形DEFM是平行四边形,∴DE∥FM且DE=FM.∵平面ABC∥平面DEFG,平面ABC∩平面ADEB=AB,平面DEFG∩平面ADEB=DE,∴AB∥DE,∴AB∥FM.又AB=DE,∴AB=FM,∴四边形ABFM是平行四边形,∴BF∥AM.∵BF⊄平面ACGD,AM⊂平面ACGD,∴BF∥平面ACGD,故A正确.∵无法判断点C的位置,∴CF不一定平行于平面ABED,BC不一定平行于FG,B,C错误.易知平面ABED与平面CGF相交,D错误.故选A. 6.D　[解析] 如图,设AD,AB,A1B1,A1D1的中点分别为E,F,G,H,连接EF,FG,GH,HE,EG,FH,易知E,F,G,H四点共面.因为H,G分别为A1D1,A1B1的中点,所以HG∥B1D1.又HG⊄平面DBB1D1,B1D1⊂平面DBB1D1,所以HG∥平面DBB1D1.同理EH∥平面DBB1D1.因为HG∩EH=H,所以平面EFGH∥平面DBB1D1,所以在平面EFGH内,符合题意的直线有EF,FG,GH,HE,EG,FH,共6条.同理,在平面DBB1D1的另一侧也有6条符合题意的直线,故共有12条符合题意的直线.故选D. 7. D　[解析] ∵平面α∥平面ABC,平面α∩平面PAB=A'B',平面ABC∩平面PAB=AB,∴A'B'∥AB.同理B'C'∥BC,A'C'∥AC.结合题意知∠A'B'C'=∠ABC,∠C'A'B'=∠CAB,∴△A'B'C'∽△ABC.∵PA'∶AA'=2∶3,即PA'∶PA=2∶5,∴A'B'∶AB=2∶5,∴S△A'B'C'∶S△ABC=4∶25.故选D. 8.【答案】D 【详解】 解：设，则，设线段的中点为M，平面与交于点G，连接GE， 若平面截长方体所得截面为平行四边形，即四边形是平行四边形，所以， 随着点E从C向移动，则点G沿着向下运动，当点G仍在线段上时，面截长方体所得截面始终是平行四边形，则点G从的中点开始运动，此时点E与重合，直到点G运动到点D为止，此时点E为的中点，所以临界状态为点E为的中点，此时，所以，故选：D. 9.AC 【详解】解：对于A：由公理1可知，若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内，故A正确； 对于B：如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线与该平面平行或相交或在平面内，故B错误； 对于C：若直线与平面平行，则与平面内的直线平行或异面，故C正确； 对于D： 若平面平面，直线，则平面，又直线，则直线或与异面，故D错误． 故选：AC 10.BC 【详解】 A.如图，若是的中点，则,所以，则与不异面，所以该选项错误； B. 如图，连接,则平面,不在平面内，所以平面.所以该选项正确； C. 设内切圆的半径为，则,所以该选项正确； D. 前面已经证明平面. 假设平面平面，则平面,但是实际上不在平面内，所以该选项错误. 故选：BC 11.27　[解析] 由已知得EF∥BD,EG∥BC,FG∥DC,∴△EFG∽△BDC,∴=.又∵==,∴=,∴△BCD的周长=9×3=27. 12.与D重合　[解析] 连接B1D1,BD,设B1D1∩A1C1=M,BD∩AC=O,连接ME,MD,B1O.∵平面AB1C∥平面A1EC1,平面AB1C∩平面BDD1B1=B1O,平面 A1EC1∩平面BDD1B1=ME,∴B1O∥ME.易知四边形B1MDO为平行四边形,∴B1O∥MD,∴点E与点D重合. 13.a　[解析] 连接AC,A1C1.∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1,MN⊂平面A1B1C1D1,∴MN∥平面ABCD.又PQ=平面PMN∩平面ABCD,∴MN∥PQ.∵M,N分别是A1B1,B1C1的中点,∴MN∥A1C1∥AC,∴PQ∥AC.又AP=,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,∴CQ=,从而DP=DQ=,∴PQ===a. 14. 【详解】 连接，，令平面与平面的交线交分别于点P，N，Q，如图，在长方体中，四边形、四边形是正方形， 平面平面，平面平面，平面平面， 则，而，且与都是锐角，即， 则，又点是(靠近点)的一个三等分点，即， 点是的中点，而，则，，即， 在正方形中，，则， 连MN，则有平面平面，而直线，必有平面，又平面， 因此，直线，即直线与交于点O，又长方体的对角面是矩形， 即，且，于是得， 所以.故答案为： 15.证明:取PF的中点M,连接ME,MC. 因为PF=2FA,所以F为MA的中点. 连接AC,交BD于点O,连接OF. 因为四边形ABCD是正方形,所以O为AC的中点. 又F为MA的中点,所以OF∥MC. 因为OF⊂平面BDF,MC⊄平面BDF,所以MC∥平面BDF. 因为M,E分别为PF,PD的中点,所以ME∥FD, 又ME⊄平面BDF,FD⊂平面BDF,所以ME∥平面BDF. 因为MC∩ME=M,所以平面BDF∥平面MCE. 因为CE⊂平面MCE,所以CE∥平面BDF. 16.证明:(1)∵AD∥平面EFGH,平面ADB∩平面EFGH=EF,AD⊂平面ABD,∴AD∥EF. ∵AD∥平面EFGH,平面ADC∩平面EFGH=GH,AD⊂平面ADC,∴AD∥GH. 由基本事实4可得EF∥GH. 同理可得EH∥FG,∴四边形EFGH为平行四边形. (2)如图所示,在CD上取点M,使==,连接MQ,PM, 则PM∥BC∥FG,==,则QM∥AD∥HG. ∵PM,QM⊄平面EFGH,FG,HG⊂平面EFGH, ∴PM∥平面EFGH,QM∥平面EFGH. ∵PM∩QM=M,∴平面PMQ∥平面EFGH. ∵PQ⊂平面PMQ,∴PQ∥平面EFGH. 17.解:(1)取A1C1的中点H,连接HQ, QN, NM,MH,则梯形MHQN是过M,N,Q三点的截面,如图所示. (2)证明:连接BC1,AC1. ∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴四边形ABB1A1是矩形. ∵M,N分别是AA1,BB1的中点,∴MN∥AB. ∵MN⊄平面ABC1,AB⊂平面ABC1,∴MN∥平面ABC1. 在△B1C1B中,∵Q,N分别是B1C1,BB1的中点,∴NQ∥BC1. ∵QN⊄平面ABC1,BC1⊂平面ABC1,∴QN∥平面ABC1. 又MN∩QN=N,∴平面MNQ∥平面ABC1. ∵P是AB的中点,∴PC1⊂平面ABC1,∴PC1∥平面MNQ. 18.【答案】B 【详解】 如图，取中点G，中点H，连接GH，，，则∥AE，又平面AEF，平面AEF，所以∥平面AEF，同理∥EF，平面AEF，平面AEF，所以∥平面AEF，因为，所以平面∥平面AEF，因为是侧面内一点，当P点在线段GH上时，能够满足平面，因为正方体棱长为2，由勾股定理得：，，故点P落在GH中点时，长度最小，此时，当点P与G或H重合时，长度最大，此时，综上：线段长度的取值范围是. 故选：B 19.【答案】D 【详解】 解：连接GH、HN、GN，∵在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是CC1、C1D1、DD1、CD的中点，N是BC的中点， 则GH∥BA1，HN∥BD，又面A1BD，BA1面A1BD，所以面A1BD，同理可证得面A1BD， 又，∴面A1BD∥面GHN， 又∵点M在四边形EFGH上及其内部运动，MN∥面A1BD， 则点M须在线段GH上运动，即满足条件，GH=a，则点M轨迹的长度是a. 故选：D. $