精品解析：山东德州市第十中学等校2025-2026学年第二学期期中考试八年级数学试题

2025-2026学年第二学期期中考试 八年级数学试题 一、选择题（每小题4分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义解题即可．理解最简二次根式的定义是解题的关键．满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A：，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C正确； 选项D：与不是同类二次根式，不能直接合并，，故D错误． 3. 四边形中，，对角线、交于点，增加下列条件不能使四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形全等的判定与性质．根据平行四边的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、由，，能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、由，可知，四边形的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形，故本选项符合题意； C、由，，能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D、∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； 故选：B． 4. 如图，一根长的儿童牙刷置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，儿童牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，先根据勾股定理求出，再得出h的范围即可． 【详解】解：当牙刷垂直放置时，； 当牙刷如图所示放置时，，且， 在中， ， ∴， ∴h的取值范围为：， 故选：D． 5. 如果最简二次根式与可以进行合并，则的值为（ ） A. 7 B. 16 C. 25 D. 81 【答案】D 【解析】 【分析】同类二次根式的定义：化简为最简二次根式后，被开方数是相同的， 由此得到，求解即可．本题考查了乘方，同类二次根式的定义，正确理解题意，得到是解题的关键． 【详解】解：最简二次根式与可以合并， ， 解得：， ∴ 故选：D． 6. 如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，利用数形结合的思想是解题关键．先求出圆的半径，结合点A在表示1的数的左侧，即得出点A处所表示的数． 【详解】解：根据勾股定理可得圆的半径为， ∴点A处所表示的数为． 故选：B． 7. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【答案】B 【解析】 【分析】根据各四边形的性质对各个选项进行分析从而得出最后答案． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确； B、错误，对角线相等的四边形不一定是矩形，对角线相等的平行四边形才是矩形； C、对角线互相垂直的矩形是正方形，正确； D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形、平行四边形、菱形的判定方法．解决此题的关键是熟练掌握运用这些判定． 8. 如图，点，，，分别是四边形的各边中点，顺次连接、、、，当（ ）时，四边形是菱形． A. B. C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理，将四边形的边长与原四边形的对角线和的长度建立联系，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可解答． 【详解】解：如图，连接，， 点，，，分别是四边形的各边中点， ，， ， 同理可得，， 四边形是平行四边形， 当时，平行四边形是菱形， ，即， 故选：． 9. 我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了“赵爽弦图”，它是由个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图，直角三角形的直角边长为，，斜边长为，若，每个直角三角形的面积为，则小正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，完全平方公式，熟记勾股定理是解题的关键．根据三角形的面积公式可得的值，结合已知的的值，利用完全平方公式可求得， 根据勾股定理求得，最后根据小正方形的面积大正方形的面积（即）个直角三角形的面积之和，计算即可得解． 【详解】解：直角三角形的直角边长为，，每个直角三角形的面积为， ，， ， ， ， 小正方形的面积为． 故选：A ． 10. 如图，在正方形中，点，分别在，上，，与相交于点．下列结论：①垂直平分；②；③当时，为等边三角形；④当时，．其中正确的结论是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】①通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF， ②设BC=x，CE=y，由勾股定理就可以得出EF与x、y的关系，表示出BE与EF，即可判断BE+DF与EF关系不确定； ③当∠DAF=15°时，可计算出∠EAF=60°，即可判断△EAF为等边三角形， ④当∠EAF=60°时，可证明△AEF是等边三角形，从而可得∠AEF=60°，而△CEF是等腰直角三角形，得∠CEF=45°，从而可求出∠AEB=75°，进而可得结论． 【详解】解：①四边形ABCD是正方形， ∴AB═AD，∠B=∠D=90°． 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE=DF ∵BC=CD， ∴BC-BE=CD-DF，即CE=CF， ∵AE=AF， ∴AC垂直平分EF．（故①正确）． ②设BC=a，CE=y， ∴BE+DF=2（a-y） EF=y， ∴BE+DF与EF关系不确定，只有当y=（2−）a时成立，（故②错误）． ③当∠DAF=15°时， ∵Rt△ABE≌Rt△ADF， ∴∠DAF=∠BAE=15°， ∴∠EAF=90°-2×15°=60°， 又∵AE=AF ∴△AEF为等边三角形．（故③正确）． ④当∠EAF=60°时，由①知AE=AF， ∴△AEF是等边三角形， ∴∠AEF=60°, 又△CEF为等腰直角三角形， ∴∠CEF=45° ∴∠AEB=180°-∠AEF-∠CEF=75°, ∴∠AEB≠∠AEF，故④错误． 综上所述，正确的有①③， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键． 二、填空题（每小题4分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 故答案为：． 12. 如图，在中，，，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理、圆面积公式等知识．根据勾股定理求出长，两个小半圆面积和直角三角形的面积之和减去大半圆面积即可求出答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴图中阴影部分的面积为 故答案为：6 13. 如图，已知长方体的长，宽，高，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到点，最短路程是___________cm． 【答案】5 【解析】 【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：根据题意，如图所示，最短路径有以下三种情况： （1）沿，，，，，剪开，得图1： 则； （2）沿，，，，，剪开，得图2： 则； （3）沿，，，，，剪开，得图3： 则； 综上所述，最短路径应为（1）所示，所以，即， 故答案为：5． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用最短路径问题，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解． 14. 如图，在平行四边形中，过对角线上一点作，，且，，则__． 【答案】 【解析】 【分析】由条件可证明四边形、为平行四边形，可证明，再利用面积的和差可得出四边形和四边形的面积相等，由已知条件即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴四边形、、、为平行四边形， ∴， 同理可得，， ∴， 即． ，， ； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行四边形为平行四边形，②两组对边分别相等四边形为平行四边形，③一组对边平行且相等四边形为平行四边形，④两组对角分别相等四边形为平行四边形，⑤对角线互相平分四边形为平行四边形． 15. 如图，在中，，，，、分别是边、上的动点，、分别是、的中点，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，勾股定理捏定理，垂线段最短，掌握三角形中位线定理是解题关键．连接，根据三角形中位线的性质定理得出，由勾股定理逆定理求出，再根据三角形等面积法求出，即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， 当最小时，最小， 当时，最小， 在中，∵，，，， ∴， ∴， 当时， ， ∴， 解得：， ∴的最小值为， 故答案为：． 16. 如图，平行四边形中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点Q也停止）．在运动以后，当_________时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质，首先设经过t秒，根据平行四边形的判定可得当时，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形， ∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形， ∴， 分为以下情况：①点Q的运动路线是，方程为， 此时方程，此时不符合题意； ②点Q的运动路线是，方程为， 解得：； ③点Q的运动路线是，方程为， 解得：； ④点Q的运动路线是，方程为， 解得：； 综上所述，或或时、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形， 故答案为：或或． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）3； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式除法和化简二次根式，再计算加减法即可得到答案； （2）先根据乘法公式去括号，然后计算加减法即可得到答案． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，E，F分别是，的中点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ，， 、F分别是、的中点， ，， ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 首先由平行四边形得到，，然后结合中点性质得到，即可判定四边形是平行四边形． 【详解】略 19. 如图，一架梯子AC长2.5米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙0.7米． (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了0.4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【答案】（1）这个梯子的顶端距地面有2.4米；（2）梯子的底端在水平方向滑动了0.8米． 【解析】 【详解】试题分析：(1)、根据Rt△ABC的勾股定理求出AB的长度，从而得出答案；(2)、根据题意得出A`C`和A`B的长度，然后根据勾股定理求出BC`的长度，从而得出答案． 试题解析：(1)、根据题意可得：AC=2.5米，BC=0.7米，∠ABC=90°， ∴AB=米，即梯子的顶端距地面有2.4米； (2)、根据题意可得：A`C`=2.5米，A`B=2.4-0.4=2米， ∴BC`=米，则CC`=1.5-0.7=0.8米，即梯子的底端在水平方向滑动0.8米． 点睛：本题主要考查的就是直角三角形勾股定理的应用问题，属于简单题型．在解决这个问题的时候首先要明白直角三角形中有哪些线段，然后找出已知的线段和未知的线段，从而利用勾股定理得出线段的长度． 20. 如图，矩形中，，，点、分别在、上，且 （1）求证：四边形是菱形； （2）求线段的长． 【答案】 （1）证明：∵在矩形中，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得到，，，，求得，根据勾股定理得到，于是得到结论； （2）过作于，得到四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：过作于， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 21. 如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）已知，平分，若，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∵， ∴且 ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再结合证明为矩形； （2）根据含30度角的直角三角形的性质求出，再用勾股定理求出，结合矩形的性质可得，，再解求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形 ∴，， ∵是的平分线，， ∴，且， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，综合应用上述知识是解题的关键． 22. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AFBC交BE的延长线于点F． （1）求证：四边形ADCF是菱形； （2）若AC＝5，AB＝12，求菱形ADCF的面积． 【答案】 （1）证明：∵E是AD的中点 ∴AE＝DE ∵AF∥BC ∴∠AFE＝∠DBE 在△AEF和△DEB中 ， ∴△AEF≌△DEB（AAS） ∴AF＝DB ∵D是BC的中点 ∴BD=CD=AF 又∵AF∥BC ∴四边形ADCF是平行四边形 ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点 ∴平行四边形ADCF是菱形； （2）30 【解析】 【分析】（1）可先证得，可求得，可证得四边形为平行四边形，再利用直角三角形的性质可求得，可证得结论； （2）根据条件可证得，结合条件可求得答案． 【详解】（1）略 （2）解： ∵D是BC的中点 ∴S菱形ADCF＝2 S△ADC＝S△ABC＝AB•AC＝． 【点睛】本题主要考查菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键． 23. 小芳在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的： ， ∴， ∴，，∴， ∴． 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： （1）计算：． （2）若． ①化简，求的值； ②求的值． 【答案】（1）9 （2）①，的值是3；②0 【解析】 【分析】（1）根据平方差公式可以求出所求式子的值； （2）①根据平方差公式可以化简，然后即将变形，即可得到的值，再整体代入化简后的式子计算即可； ②根据①中的值，将所求式子变形，再整体代入计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：①， ， ， ， ， ； ②由①知， ． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是明确题意，利用完全平方公式和平方差公式解答． 24. 四边形为正方形，为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接． （1）如图①，求证：矩形是正方形； （2）若，，求的长度； （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数． 【答案】（1） 证明：如图，作于点，于点， 四边形是正方形， ， ，，， ， ， 在和中， ， ， 矩形是正方形； （2） （3）的度数为或 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质． （1）作于点，于点，证明，得到，即可证明矩形是正方形； （2）先计算正方形对角线长度，根据可得，结合矩形是正方形可得，点与点重合，此时是等腰直角三角形，从而求出的长度； （3）分类讨论线段与正方形的边的夹角：①当与的夹角为时，点在边上，；②当与的夹角为时，点在的延长线上，． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如下图，在中，， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， 点与点重合，此时是等腰直角三角形，如下图， ， 即， 解得； 【小问3详解】 ①当与的夹角为时，点在边上，， 则， 在四边形中，由四边形内角和定理， 得， ②当与的夹角为时，点在的延长线上，，如下图所示， ，， ， 综上所述，的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期中考试 八年级数学试题 一、选择题（每小题4分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 四边形中，，对角线、交于点，增加下列条件不能使四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一根长的儿童牙刷置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，儿童牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如果最简二次根式与可以进行合并，则的值为（ ） A. 7 B. 16 C. 25 D. 81 6. 如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 8. 如图，点，，，分别是四边形的各边中点，顺次连接、、、，当（ ）时，四边形是菱形． A. B. C. D. 且 9. 我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了“赵爽弦图”，它是由个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图，直角三角形的直角边长为，，斜边长为，若，每个直角三角形的面积为，则小正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，点，分别在，上，，与相交于点．下列结论：①垂直平分；②；③当时，为等边三角形；④当时，．其中正确的结论是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（每小题4分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围为________． 12. 如图，在中，，，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为________． 13. 如图，已知长方体的长，宽，高，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到点，最短路程是___________cm． 14. 如图，在平行四边形中，过对角线上一点作，，且，，则__． 15. 如图，在中，，，，、分别是边、上的动点，、分别是、的中点，则的最小值是______． 16. 如图，平行四边形中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点Q也停止）．在运动以后，当_________时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，E，F分别是，的中点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 19. 如图，一架梯子AC长2.5米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙0.7米． (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了0.4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 20. 如图，矩形中，，，点、分别在、上，且 （1）求证：四边形是菱形； （2）求线段的长． 21. 如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）已知，平分，若，求的长度． 22. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AFBC交BE的延长线于点F． （1）求证：四边形ADCF是菱形； （2）若AC＝5，AB＝12，求菱形ADCF的面积． 23. 小芳在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的： ， ∴， ∴，，∴， ∴． 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： （1）计算：． （2）若． ①化简，求的值； ②求的值． 24. 四边形为正方形，为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接． （1）如图①，求证：矩形是正方形； （2）若，，求的长度； （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $