数学（上海卷01）学易金卷：2026年中考考前最后一卷

**基本信息** 2026年中考数学考前卷以新能源汽车充电测试、“唐风宋韵”诗词大赛等真实情境为载体，通过几何作图、函数应用、旋转综合等问题设计，覆盖实数、函数、几何、统计等核心知识，梯度呈现基础巩固与创新应用，培养抽象能力、推理意识和模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/24|实数运算、科学记数法、函数性质、概率|第5题结合几何作图考查空间观念| |填空题|12/48|新运算、二次函数交点、统计图表、菱形与扇形面积、重心向量|第14题以矩形动态问题考查几何直观| |解答题|7/78|反比例函数综合、新能源充电函数应用、几何证明、二次函数与矩形最值、旋转综合|22题用充电测试情境构建函数模型，25题分三层次探究旋转几何问题，体现推理能力与创新意识|

11 2026年中考考前最后一卷【上海卷】 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题4分，共24分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷2、 填空题（每小题4分，共48分） 7._________________ 8. _________________ 9. _________________ 10. _________________ 11. _________________ 12. _________________ 13．_________________ 14．_________________ 15. _________________ 16. _________________ 17. _________________ 18. _________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（10分） 20.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21. （10分） 22.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共6题，每题4分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键；因此此题可根据二次根式的性质“”进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选C． 2．铁路钢轨温度每变化，每一米钢轨就伸缩米．将这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法．将用科学记数法表示，即写成的形式，其中，为整数，即可作答． 【详解】解：将这个数用科学记数法表示为， 故选：B． 3．下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据所学不同函数的性质逐一判断即可得到结果． 【详解】解：选项A，是正比例函数， ∵比例系数， ∴随的增大而增大，符合题意； 选项B，是二次函数，开口向上，对称轴为轴， 当时，随增大而减小，不符合题意； 选项C，是一次函数， ∵一次项系数， ∴随的增大而减小，不符合题意； 选项D，是反比例函数， ∵， ∴在每个象限内随的增大而减小，且定义域不连续，不符合题意． 4．在一个不透明的盒子里装有5个红球，8个黄球，这些球除了颜色外没有其他任何区别．现在向盒子里放入形状大小一样的个红球，摇匀后从中随机抽取一个，若抽到红球的概率为，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 根据概率公式，抽到红球的概率等于红球数量与总球数之比，列出方程求解． 【详解】解：∵ 放入个红球后，红球总数为，总球数为， ∴抽到红球的概率为，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 故选：B． 5．如图，在中，，．按以下步骤作图：①以点A为圆心，长为半径画弧，与边相交于点D；②分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧（弧所在圆的半径相等），两弧在的内部相交于点E，作射线；③分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧（弧所在圆的半径相等），两弧相交于点M，N；④作直线，与边相交于点F，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内角和定理可得，由作图可得平分，垂直平分，即可得出，，再由等边对等角得出，即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图可得：平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴． 6．在中，，，，点是的中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点，如图为直角三角形，那么的长是（   ） A．1 B．3 C． D．2或 【答案】D 【分析】分两种情况画出图形，①如图1，当时，由相似三角形的性质及直角三角形的性质可求出答案；②如图2，当时，由相似三角形的性质及直角三角形的性质可求出答案． 【详解】解：①如图1，当时． 在中，，， ， 是的中点， ， ，， ， 又， ， ，即， 解得：， 设，则， ， ， ， ， 解得． ； ②如图2中，当时，连接，作交的延长线于． ，， ， ， 将沿直线翻折， ， ，， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得， ． 综上，的长为2或． 故选：D． 【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题． 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共12题，每题4分，共48分) 7．已知与互为相反数，那么_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟知互为相反数的两个数的和为零是解题的关键．根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 化简得：，即， 解得：． 故答案为： 8．现规定一种新运算“”：，例如，则________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算． 根据新定义，先计算括号内的，再计算即可． 【详解】解：， 则． 故答案为：． 9．方程组的解是______． 【答案】或． 【分析】本题考查了解二元二次方程，由①得③，将③代入②求出的值，即可求解；掌握解法是解题的关键． 【详解】 解：由①得： ③， 将③代入②得， ， 解得：，， 当时， ， 当时， ， 原方程组的解为或． 故答案为：或． 10．若，是一元二次方程的两根，则________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可直接求出两根之和．对于一元二次方程，两根之和满足． 【详解】，是一元二次方程的两根， ． 11．已知二次函数的图象与坐标轴有且只有2个公共点，则的值为__________． 【答案】0或4/4或0 【分析】根据判别式判断二次函数图象与轴的交点个数，分两种情况讨论图象与坐标轴共有个公共点的情况，分别求解的值． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当二次函数图象与轴只有个交点，与轴交于另一点时，此时共有个公共点， 由， 将代入，得， 化简得，解得． ②当二次函数图象与轴有个交点，且其中一个交点为原点，即原点是二次函数与轴、轴的公共交点，此时共有个公共点， 将代入得： ，即． 此时二次函数解析式为，与坐标轴交点为和，符合条件． 综上，的值为或． 12．在某中学组织举办的“唐风宋韵”诗词大赛中，九年级参赛的名同学的成绩情况如统计图所示，这些成绩（分）的中位数是________． 【答案】 【分析】本题考查了条形统计图，中位数，根据中位数的定义解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵共有名同学参赛， ∴成绩由高到低排列，中位数为第名同学的成绩， ∴中位数是， 故答案为：． 13．小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色（每人只能选择一种颜色），并绘制了扇形统计图和条形统计图，已知条形统计图中代表丙的小长方形的高度比代表乙的小长方形的高度高，由于不小心，小明弄脏了条形统计图中的一部分，若甲、乙、丙、丁代表扇形统计图中的某一种颜色，则乙代表的颜色是______色． 【答案】红 【分析】本题考查扇形统计图，条形统计图，从扇形统计图可知同学最喜欢的颜色最少的是蓝色，即可求出总同学人数为50人，继而可求得喜欢红色的人数14人，从而可求出喜欢粉色和黄色的人数为16人和15人，即可求解． 【详解】解：同学最喜欢的颜色最少的是蓝色，有5人，占， ∴总人数为：（人）， ∴喜欢红色人数为：（人）， 选择乙和丙的人数为（人）， 在条形统计图中，甲丙乙丁，且代表丙的小长方形的高度比代表乙的小长方形的高度高， 所以，乙代表的颜色是红色， 故答案为：红． 14．如图，在矩形中，E是边上一点，P为对角线上一动点，于点F，于点G．若，，且，则_________． 【答案】4 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，三角形的面积，综合运用相关知识是解题的关键． 设，则，在中根据勾股定理构造方程，求解得到．连接，根据即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 设，则， ∵在中，， ∴，解得， ∴， ∴． 连接， ∵，， ∴， 即， ∴． 故答案为：4． 15．如图，已知菱形ABCD的边长为3，B、C两点在扇形AEF的上，，则图中阴影部分图形的面积之和为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了求阴影部分的面积，根据题意可知是等边三角形，进而可得，根据扇形面积公式即可得到阴影部分的面积，可得答案； 【详解】解：由题意可知：是等边三角形，, ∴， ∵， ∴， 故答案为： 16．如图，已知点是的重心，如果，，那么______．（结果含、的式子表示） 【答案】 【分析】延长交于点D，先求出，再利用三角形法则求出，然后利用三角形重心的性质求解即可． 【详解】解：延长交于点D， ∵点是的重心，， ∴是的中线， ∴， 又， ∴， ∵点G是的重心， ∴， ∴， 17．如图，在中，，，D是边上的中点，交于点E，O是的中点，连接并延长交于点．若，则的长为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，解直角三角形及平行线分线段成比例定理，作交于点H，先得出，得出，证明，求出，根据平行线分线段成比例定理求出结论即可得到结论． 【详解】解：作交于点H， ， ， 是的中点， ， ∵D是边上的中点，， ∴， ， ∵，， ∴， ， ， ， ∵， ∴，即， ， 故答案为：． 18．已知抛物线和，它们的顶点分别为和，我们称和互为“反顶点抛物线”．如果抛物线和互为“反顶点抛物线”，且的顶点在上，那么的值是______． 【答案】或 【分析】利用二次函数顶点解析式以及待定系数法进行求解． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， 根据题意得，， 将代入解析式得， 解得或． 三、解答题:(本大题共7题，共78分，19-22题每题10分，23-24每题12分，25题14分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．化简求值：，其中． 【答案】； 【分析】先计算除法，再算减法，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： 当时，原式． 20．解不等式组． 【答案】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式：， 去括号得， 移项，合并同类项得； 解不等式：， 去分母得， 移项，合并同类项得， 系数化为得， 原不等式组的解集为． 21．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与直线交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，且为线段的中点． (1)求反比例函数的解析式． (2)如图，连接，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，求反比例函数的解析式，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是构建直角三角形． （1）先求出一次函数与坐标轴的交点得出，，设，根据中点坐标的公式，即可列出方程组，求出点的坐标，代入求出反比例函数的解析式； （2）过点作轴，垂足为，过点作，垂足为，根据三角函数的定义得出，，结合勾股定理求出，结合勾股定理求出，依据三角函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，； 当时，，解得：； ∴，． 设． ∵为线段的中点， ∴， 解得， 即． 又点在函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：如图，过点作轴，垂足为，过点作，垂足为． ∵点， ∴． 在中，． ∵，，， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴． 22． 背景 我国新能源汽车产销量连续10年全球第一，2025年出口261.5万辆，纯电动汽车占比超六成．凭借环保节能的优势，电动车越来越受到青睐，预计到2035年，纯电动汽车将占据市场绝对主导地位． 素材1 工程师对某品牌的款电动车进行充电测试，用快速充电桩和慢速充电桩分别对剩余电量为的两台款电动车同时充电，充电时，各自的电量与充电时间（小时）的函数图象分别为图中的线段和． 素材2 暑假里，小明一家驾驶某品牌的款电动车从家出发去外地旅游，途中发现电量不足，便驶入服务区充电．此时，车辆剩余电量为，但服务区内的快速充电桩已满，只能先使用慢速充电桩充电．小明一家在慢速充电40分钟后，恰好有快速充电桩空出，立即改为快速充电（切换时间忽略不计）．由于行程安排，他们在服务区最多能停留1.5小时． 问题解决 (1)任务一：根据素材1，试分别对快速充电和慢速充电两种情况，写出关于的函数解析式，并分别指出自变量的取值范围． (2)任务二：当他们离开服务区时，车辆的电量能否充至？请说明理由． 【答案】(1)快速充电的函数解析式为； 慢速充电的函数解析式为； (2)当他们离开服务区时，车辆的电量不能充至，理由见解析 【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）求出车辆的电量能充至所需时间，再与进行比较即可得到结论． 【详解】（1）解：设快速充电的函数解析式为， 把代入得，解得， 快速充电的函数解析式为； 设慢速充电的函数解析式为， 把，代入得，解得， 慢速充电的函数解析式为； （2）解：小时， 把代入得， 把代入得， 解得， 若充到，还需要（小时），， 车辆的电量不能充至， 当他们离开服务区时，车辆的电量不能充至. 23．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，联结AD，以AD为一边作△ADE，满足AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，联结EC． （1）求证：CA平分∠DCE； （2）如果AB2＝BD•BC，求证：四边形ABDE是平行四边形．    【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB，证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠ACE，根据角平分线的定义证明结论； （2）根据相似三角形的判定定理得到△ABD∽△CBA，得到∠BAD＝∠ACB，分别证明AE∥BD，AB∥DE，根据平行四边形的判定定理证明． 【详解】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE， ∴∠ACB＝∠ACE， ∴CA平分∠DCE； （2）证明：∵AB2＝BD•BC， ∴＝， 又∠B＝∠B， ∴△ABD∽△CBA， ∴∠BAD＝∠ACB， ∵△ABD≌△ACE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴∠CAE＝∠ACB， ∴AE∥BD， ∵AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC， ∴∠ACB＝∠ADE， ∴∠BAD＝∠ADE， ∴AB∥DE， ∵AE∥BD，AB∥DE， ∴四边形ABDE是平行四边形． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定，掌握等腰三角形的性质、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 24．如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)如图2，保持时的矩形位置不动，平移抛物线使之经过点，得到抛物线，过点的直线交抛物线和于点（点均不与点重合），设点的横坐标为，设点的横坐标为，请求出的值． 【答案】(1) (2)，29 (3)10 【分析】（1）易得抛物线过点，待定系数法求出函数解析式即可； （2）用含的代数式表示的长，对称性求出的长，根据矩形的周长公式，列出二次函数求最值即可； （3）求出点坐标，待定系数法求出平移后的解析式，设经过点的直线解析式为，分别联立直线和两个抛物线的解析式，求出，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， 当时，， ∵， ∴， 又∵抛物线过点，和， ∴，解得， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴点关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴矩形的周长为， ∴当时，矩形的周长最大为29； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴平移后的抛物线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴， 设经过点的直线解析式为， 联立，解得或； ∴， 联立，解得或； ∴， ∴． 25．解答下列问题： (1)【问题发现】：如图1，在和中，，，，绕点逆时针旋转，为的中点，当点与点重合时，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)【问题证明】：在绕点逆时针旋转的过程中，当经过点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由； (3)【拓展应用】：在绕点逆时针旋转的过程中，当时，请直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）解直角三角形求出，即可判断． （2）延长到使得，连接，证明即可解决问题； （3）分两种情形：①当在的下方时，延长交于；②当在的上方时，结合相似三角形的判定和性质即可解决问题． 【详解】（1）解：在中，，， ， 在中，，， ， ， ， ， ． 在中，点是的中点， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ； （2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： 延长到使得，连接，如图2， ，，， ， ，， ， ∵， ∴，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：如图，当在的下方时，延长交于，设交于点P， ， ， 由题意得：，，，， ， ∴， ， ∴， ， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴的面积； 如图，当在的上方时，设交于，的延长线交于点P，       同理，， ， ， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴的面积； 综上所述，的面积为或． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $耐学科网·学易金卷 www.zxxk com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考考前最后一卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 的，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C B A B B D 二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分） 7.3 1 8.64 (x-3 x=-3或 9. 3· y=-3 y=-4 10.2 11.0或4/4或0 12.96 13.红 14.4 5 6+5 座丽 17.6/6 18.k=3或k=2 三、解答题：（本大题共7题，共78分，19-22题每题10分，23-24每题12分，25题14分，解答应写出文 字说明，证明过程或演算步骤) 1/12 @学科网·学易金卷 www.zxxk com 做好卷，就用学易金卷 19. 【答案】-4,45 x-2 5 【详解】解：1- 2x.2x2-4x +2x2+4x+4 1、 2x,(x+22 x+22xx-2) 1+2 x-2 =x-2-x-2 x-2 4 x-2 4 44V5 当x=5+2时，原式5+2-25-5. 20. 【答案】-1<x≤2 [2x-4≥3(x-2)① 【详解】解： 解不等式①， 2x-4≥3x-2) 去括号得2x-4≥3x-6, 移项，合并同类项得x≤2： 解不等式②：4x>,7 2 去分母得8x>x-7, 移项，合并同类项得7x>-7, 系数化为1得x>-1, ∴原不等式组的解集为-1<x≤2」 21. 2/12 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【答案】@=>0 √10 (2)10 y=x-1 y 【详解】(1)解：：直线与轴交于点1，与轴交于点C, 当x=0时，y=0-1=-1: 当y=0时，0=x-1,解得：x=1: 40,-C1,0 设8(m,) :C为线段AB的中点， [m+0=2 .n-1=0, [m=2 解得n=1, 即B2,1) 又点2在函数-x>0)的图象上 ∴.k=2×1=2, 反比例函数的解析式为y=x>0。 (2)解：如图，过点B作BH⊥x轴，垂足为H,过点C作CD⊥OB,垂足为D. D 3/12 耐学科网·学易金卷 www.zxxk com 做好卷，就用学易金卷 点2) tan∠BoC= BH 1 OH2· 在RtAOCD中，tan∠DoC=CD-{ 0D2 0C2=CD2+0D20C=10D=2CD 1=CD2+4CD2 :CD 5. CH=1,BH=1,∠BHC=90°， BC=2BH=2 √5 六sin∠OBC= CD510 BC-√210 22. 【答案】(1)快速充电的函数解析式为乃=0.8x+0.2(0≤x≤， 慢速充电的函数解析式为乃=0.1r+0.20≤x≤8)， (2)当他们离开服务区时，车辆的电量不能充至100%，理由见解析 y=kx+b 【详解】(1)解：设快速充电的函数解析式为 「b=0.2 k=0.8 把(0,02)，1,1代入得1=k+b,解得b=0.2, 快速充电的函数解析式为少=0.8x+0.2(0≤x≤)」 设慢速充电的函数解析式为上=mx+刀， 4/12 耐学科网·学易金卷 www.zxxk com 做好卷，就用学易金卷 n=0.2 m=0.1 把(0,0.2)，(8，)代入得1=8m+n,解得n=0.2, 慢速充电的函数解析式为片=0.1x+0,20≤x≤8)」 2)解：40÷60=3小时， 2 12,14 把x= 代入=0.1x+0.2得=10×3+515 441 把y=5代入y=0.8x+0.2得55+5 1 解得x=12, 若充到106·还需要1立日（小时)，1位子吕 11,21919、3 ∴车辆的电量不能充至100%， ∴当他们离开服务区时，车辆的电量不能充至100% 23. 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【详解】(1)证明：，AB=AC, .LB=∠ACB, ∠DAE=∠BAC, ∴LBAC·LDAC=∠DAE·∠DAC,即∠BAD=∠CAE, 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE ·△ABD=△ACE(SAS), ∴LB=∠ACE, LACB=∠ACE, .CA平分∠DCE: (2)证明：，AB2=BDBC, 5/12 耐学科网·学易金卷 www.zxxk com 做好卷，就用学易金卷 AB BD BC AB' 又∠B=∠B, '△ABD-△CBA, ,LBAD=∠ACB, ,△ABD≡△ACE, LBAD=∠CAE, .LCAE=∠ACB, .AEBD, 'AB=AC,AD=AE,∠DAE=∠BAC, .LACB=∠ADE, LBAD=∠ADE, ..ABDE, .AEBD,ABDE, 四边形ABDE是平行四边形 【点晴】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定，掌握等 腰三角形的性质、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键， 24. 【答案】(1)y= x2-5x (2)t=3,29 (3)10 【详解】(1)解：：矩形ABCD, .BC⊥OE, 当4=2时， B(2,0 ∵BC=8, C2-8 又：抛物线过点 0,0),E10,0)和C2-8) 6/12 耐学科网·学易金卷 www.zxxk com 做好卷，就用学易金卷 c=0 c=0 1 a= 100a+10b=0,解得2， 4a+2b=-8 b=-5 y=25x; (2)解：由(1)知：y=。x2-5x, 2 -5 X=- =5 抛物线的对称轴为直线 2×2 1 .B(t,0) d-s) :矩形ABCD, CD∥AB, C,D 点关于对称轴对称， 0-- 8c=50,c0=10-11=10-24, 矩形ABCD的周长为2(BC+CD)=-2+61+20=-t-3)2+29 当t=3时，矩形ABCD的周长最大为29： (3)解：t=2, C2,-8),D(8,-8) y=,x2-5) 1 .a2 7/12 耐学科网·学易金卷 www.zxxk com 做好卷，就用学易金卷 平移后的抛物线的解析式为C,为=2产++40， 把D8,-8)代入，得2×64+8d+40=-8,解得d=-10 2=1 -10r+0, 设经过点D的直线解析式为'=k(x-8-8=-8k-8 y=-8k-8 「x=8「x=2k+2 联立p=方-5，解科8或2-8 m=2k+2, [y=x-8k-8 联立=-10+0，解用或2-8： x=8x=2k+12 .n=2k+12, m-m=2k+2-2k-12=10 25. 【答案】1)1E=25BH,BH⊥AE (2)(1)中的结论仍然成立，理由见解析 B4+2W5或4-25 【详解】(1)解：在Rt△ABC中，BC=2,∠A=30°， ∴.AE=2BC=4, 在Rt△CDB中，∠DCB=30°，BC=BE=2, :.CD=BC43 c0s30°3， .CH =DH, 8/12 耐学科网·学易金卷 www.zxxk com 做好卷，就用学易金卷 ∴BH=cD=2 3, AE 4 BH 23 =2V5 3 ∴.AE-2√3BH 在Rt△CDB中，点H是CD的中点， .BH CH DH, ∴，∠DHB=2∠DEB, ∠DEB=30°， .∴∠DHB=60° ∴△BDH是等边三角形， .∠DBH=60°， .∠ABH+∠A=90°， .BH⊥AE: (2)解：(1)中的结论仍然成立，理由如下： 延长BH到F使得HF=BH,连接CF,如图2， B E 图2 CH=DHBH=HF∠CHF=∠BHD .∴△CHF≌△DHB(SAS) ∴.BD=CF,∠F=∠DBH, .CF∥BD, ∠BAC=∠DEB=30°， 9/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 BC AB= BC=3BC tan∠BACV3 BD BD BE= 3 =3BD' tan∠BED tan30° .BE=3CF AB_BE=3, .BC CF ,CF∥BD. .∠BCF+∠CBD=180°， :∠ABC+∠DBE=∠ABD+∠CBD+∠CBD+∠CBE=∠CBD+∠ABE=I8O°， .∠BCF=∠ABE, ∴△ABE△BCF, ABAB=3. .∠CBF=∠BAE'BF-BC .AE =3BF =23BH .:∠CBF+∠ABF=90° ∴.∠BAE+∠ABF=90°， ∴.∠AHB=90°， BH⊥AE: (3)解：如图，当DE在BC的下方时，延长MB交DE于F,设 CE.AF 交于点P, B H EDE∥BC ∴.∠ABC=∠BFD=90°， 10/12 耐学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 由题意得：BC=BE=2,AB=2V5, BD=2V3 DE-45 3, 3 5.mBDDEF 2 x25x2-=x45 …2x3 .BF=1, EF=BE2-BF2=3 DE∥BC, .△BCPOAFEP, BC BP 2 BP EFPF,即V51-BP】 BP=4-2W3 解得： ∴AP=AB+BP=4, a4CE的面积=8w+S4PxBC+4PxBF-4x2+分45=4+25， 如图，当DE在C的上方时，设1交DE于F,CE, 的延长线交于点P, 11/12 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 同理BF=1, EF=3 AF=3, :DE∥BC, ·.△BCP∽aFEP, BC BP 2 BP ∴EFPF,即V3BP-1, BP=4+2V3 解得： .AP=BP-AB=4, 5AACR的面积=S-Sm4PxsC-4P-42-x45=4-25 2 2 综上所述， △4CE的面积为4+25或4-25 12/122026年中考考前最后一卷【上海卷】 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一===-====。==一一====。==。--== 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共24分）》 1[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D1 5.[A1[B][C1[D] 2[AJ[B][C][D] 4[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共48分） 8. 10 12 13. 16. 17. 18 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共7个小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 19.(10分) 20.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) 22.(10分) y电量 C D 100% 80% 60% 40% 20%B O12345678x/小时 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) B D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.（12分) VA 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(14分) 0 D C(E) E 图1 图2 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共6题，每题4分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．若，则（   ） A． B． C． D． 2．铁路钢轨温度每变化，每一米钢轨就伸缩米．将这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 4．在一个不透明的盒子里装有5个红球，8个黄球，这些球除了颜色外没有其他任何区别．现在向盒子里放入形状大小一样的个红球，摇匀后从中随机抽取一个，若抽到红球的概率为，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．如图，在中，，．按以下步骤作图：①以点A为圆心，长为半径画弧，与边相交于点D；②分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧（弧所在圆的半径相等），两弧在的内部相交于点E，作射线；③分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧（弧所在圆的半径相等），两弧相交于点M，N；④作直线，与边相交于点F，则的大小为（    ） A． B． C． D． 6．在中，，，，点是的中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点，如图为直角三角形，那么的长是（   ） A．1 B．3 C． D．2或 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共12题，每题4分，共48分) 7．已知与互为相反数，那么_____． 8．现规定一种新运算“”：，例如，则________． 9．方程组的解是______． 10．若，是一元二次方程的两根，则________． 11．已知二次函数的图象与坐标轴有且只有2个公共点，则的值为__________． 12．在某中学组织举办的“唐风宋韵”诗词大赛中，九年级参赛的名同学的成绩情况如统计图所示，这些成绩（分）的中位数是________． 13．小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色（每人只能选择一种颜色），并绘制了扇形统计图和条形统计图，已知条形统计图中代表丙的小长方形的高度比代表乙的小长方形的高度高，由于不小心，小明弄脏了条形统计图中的一部分，若甲、乙、丙、丁代表扇形统计图中的某一种颜色，则乙代表的颜色是______色． 14．如图，在矩形中，E是边上一点，P为对角线上一动点，于点F，于点G．若，，且，则_________． 15．如图，已知菱形ABCD的边长为3，B、C两点在扇形AEF的上，，则图中阴影部分图形的面积之和为______． 16．如图，已知点是的重心，如果，，那么______．（结果含、的式子表示） 17．如图，在中，，，D是边上的中点，交于点E，O是的中点，连接并延长交于点．若，则的长为_____． 18．已知抛物线和，它们的顶点分别为和，我们称和互为“反顶点抛物线”．如果抛物线和互为“反顶点抛物线”，且的顶点在上，那么的值是______． 三、解答题:(本大题共7题，共78分，19-22题每题10分，23-24每题12分，25题14分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．化简求值：，其中． 20．解不等式组． 21．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与直线交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，且为线段的中点． (1)求反比例函数的解析式． (2)如图，连接，求的值． 22． 背景 我国新能源汽车产销量连续10年全球第一，2025年出口261.5万辆，纯电动汽车占比超六成．凭借环保节能的优势，电动车越来越受到青睐，预计到2035年，纯电动汽车将占据市场绝对主导地位． 素材1 工程师对某品牌的款电动车进行充电测试，用快速充电桩和慢速充电桩分别对剩余电量为的两台款电动车同时充电，充电时，各自的电量与充电时间（小时）的函数图象分别为图中的线段和． 素材2 暑假里，小明一家驾驶某品牌的款电动车从家出发去外地旅游，途中发现电量不足，便驶入服务区充电．此时，车辆剩余电量为，但服务区内的快速充电桩已满，只能先使用慢速充电桩充电．小明一家在慢速充电40分钟后，恰好有快速充电桩空出，立即改为快速充电（切换时间忽略不计）．由于行程安排，他们在服务区最多能停留1.5小时． 问题解决 (1)任务一：根据素材1，试分别对快速充电和慢速充电两种情况，写出关于的函数解析式，并分别指出自变量的取值范围． (2)任务二：当他们离开服务区时，车辆的电量能否充至？请说明理由． 23．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，联结AD，以AD为一边作△ADE，满足AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，联结EC． （1）求证：CA平分∠DCE； （2）如果AB2＝BD•BC，求证：四边形ABDE是平行四边形．    24．如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)如图2，保持时的矩形位置不动，平移抛物线使之经过点，得到抛物线，过点的直线交抛物线和于点（点均不与点重合），设点的横坐标为，设点的横坐标为，请求出的值． 25．解答下列问题： (1)【问题发现】：如图1，在和中，，，，绕点逆时针旋转，为的中点，当点与点重合时，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)【问题证明】：在绕点逆时针旋转的过程中，当经过点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由； (3)【拓展应用】：在绕点逆时针旋转的过程中，当时，请直接写出的面积． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共6题，每题4分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．若，则（   ） A． B． C． D． 2．铁路钢轨温度每变化，每一米钢轨就伸缩米．将这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 4．在一个不透明的盒子里装有5个红球，8个黄球，这些球除了颜色外没有其他任何区别．现在向盒子里放入形状大小一样的个红球，摇匀后从中随机抽取一个，若抽到红球的概率为，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．如图，在中，，．按以下步骤作图：①以点A为圆心，长为半径画弧，与边相交于点D；②分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧（弧所在圆的半径相等），两弧在的内部相交于点E，作射线；③分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧（弧所在圆的半径相等），两弧相交于点M，N；④作直线，与边相交于点F，则的大小为（    ） A． B． C． D． 6．在中，，，，点是的中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点，如图为直角三角形，那么的长是（   ） A．1 B．3 C． D．2或 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共12题，每题4分，共48分) 7．已知与互为相反数，那么_____． 8．现规定一种新运算“”：，例如，则________． 9．方程组的解是______． 10．若，是一元二次方程的两根，则________． 11．已知二次函数的图象与坐标轴有且只有2个公共点，则的值为__________． 12．在某中学组织举办的“唐风宋韵”诗词大赛中，九年级参赛的名同学的成绩情况如统计图所示，这些成绩（分）的中位数是________． 13．小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色（每人只能选择一种颜色），并绘制了扇形统计图和条形统计图，已知条形统计图中代表丙的小长方形的高度比代表乙的小长方形的高度高，由于不小心，小明弄脏了条形统计图中的一部分，若甲、乙、丙、丁代表扇形统计图中的某一种颜色，则乙代表的颜色是______色． 14．如图，在矩形中，E是边上一点，P为对角线上一动点，于点F，于点G．若，，且，则_________． 15．如图，已知菱形ABCD的边长为3，B、C两点在扇形AEF的上，，则图中阴影部分图形的面积之和为______． 16．如图，已知点是的重心，如果，，那么______．（结果含、的式子表示） 17．如图，在中，，，D是边上的中点，交于点E，O是的中点，连接并延长交于点．若，则的长为_____． 18．已知抛物线和，它们的顶点分别为和，我们称和互为“反顶点抛物线”．如果抛物线和互为“反顶点抛物线”，且的顶点在上，那么的值是______． 三、解答题:(本大题共7题，共78分，19-22题每题10分，23-24每题12分，25题14分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．化简求值：，其中． 20．解不等式组． 21．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与直线交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，且为线段的中点． (1)求反比例函数的解析式． (2)如图，连接，求的值． 22． 背景 我国新能源汽车产销量连续10年全球第一，2025年出口261.5万辆，纯电动汽车占比超六成．凭借环保节能的优势，电动车越来越受到青睐，预计到2035年，纯电动汽车将占据市场绝对主导地位． 素材1 工程师对某品牌的款电动车进行充电测试，用快速充电桩和慢速充电桩分别对剩余电量为的两台款电动车同时充电，充电时，各自的电量与充电时间（小时）的函数图象分别为图中的线段和． 素材2 暑假里，小明一家驾驶某品牌的款电动车从家出发去外地旅游，途中发现电量不足，便驶入服务区充电．此时，车辆剩余电量为，但服务区内的快速充电桩已满，只能先使用慢速充电桩充电．小明一家在慢速充电40分钟后，恰好有快速充电桩空出，立即改为快速充电（切换时间忽略不计）．由于行程安排，他们在服务区最多能停留1.5小时． 问题解决 (1)任务一：根据素材1，试分别对快速充电和慢速充电两种情况，写出关于的函数解析式，并分别指出自变量的取值范围． (2)任务二：当他们离开服务区时，车辆的电量能否充至？请说明理由． 23．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，联结AD，以AD为一边作△ADE，满足AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，联结EC． （1）求证：CA平分∠DCE； （2）如果AB2＝BD•BC，求证：四边形ABDE是平行四边形．    24．如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)如图2，保持时的矩形位置不动，平移抛物线使之经过点，得到抛物线，过点的直线交抛物线和于点（点均不与点重合），设点的横坐标为，设点的横坐标为，请求出的值． 25．解答下列问题： (1)【问题发现】：如图1，在和中，，，，绕点逆时针旋转，为的中点，当点与点重合时，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)【问题证明】：在绕点逆时针旋转的过程中，当经过点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由； (3)【拓展应用】：在绕点逆时针旋转的过程中，当时，请直接写出的面积． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $