提分小卷限时练（解答ABC三组，综合训练）（苏州专用） 2026年中考数学二轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦中考解答题核心题型，整合代数、几何、统计与函数知识，通过分层限时训练提升综合解题能力，培养抽象能力、推理意识与数据观念。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数基础|3题|计算、不等式组、化简求值|数与式运算→方程与不等式→代数变形应用| |几何证明|3题|三角形全等、菱形判定、圆切线|图形性质→判定推理→几何计算综合| |统计概率|2题|频数分布、概率计算|数据收集与整理→统计量应用→随机事件分析| |函数综合|2题|反比例与一次函数、二次函数|函数图像与性质→数形结合→动态问题探究| |动态与创新|1题|正方形翻折、旋转综合|几何变换→动点问题→综合应用拓展|

提分小卷：解答题 限时训练（A组+B组+C组） （考试时间：90分钟 试卷满分：82分） 解答题（本大题共11小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．（5分）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 2．（5分）解不等式组，并写出不等式组的整数解． 【答案】 ； 【分析】首先，按照解一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，分别解出两个一元一次不等式的解集，再按照“大小小大中间找”的方法得出不等式组的解集，最后，取出不等式组的整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为． 3．（6分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内，再把除法化为乘法，化简得，最后代入计算，即可作答． 【详解】解： ， 当时，原式． 4．（6分）从甲地到乙地有、、三条路线，从乙地到丙地有、两条路线，其中是最短路线． (1)任选一条从甲地到乙地的路线，选择的概率是_______． (2)请用画树状图或列表的方法表示任选一条从甲地到丙地的所有等可能路线，并求恰好选到最短路线的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用概率公式直接计算即可； （2）先画出树状图，得到从甲地到丙地的所有等可能结果，以及选择的结果数，最后利用概率公式直接计算即可． 【详解】（1）解：∵从甲地到乙地有、、三条路线， ∴任选一条从甲地到乙地的路线，一共有3种等可能的情况，其中选择的情况有1种， ∴选择的概率是． （2）解：画树状图如下： 一共有6种等可能的情况，其中选择的情况有1种， ∴选择的概率是． 5．（6分）如图，点C在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质可得，，进而可得，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）证明：在和中   ， ； （2）解：， ，， ， ， ． 6．（8分）为培养学生的节约用水意识，某学校组织学生了解附近小区家庭用水情况，随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量(单位：吨)，绘制出如下未完成的统计图表： 50个家庭去年月均用水量频数分布表          组别 家庭月均用水量 (单位：吨) 频数 组内平均数 (单位：吨) A m 3 B 20 4 C n 6 D 6 7 E 2 8 合计 50 50个家庭去年月均用水量扇形图 (1) ， ; (2)按组内平均数来计算，求这50个家庭的总用水量? (3)若该小区有1000个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有多少个? 【答案】(1)， (2)这50个家庭的总用水量为249吨 (3)540个 【分析】本题主要考查频数分布表及扇形统计图，解题的关键是理解题中所给数据； （1）根据扇形统计图可得n的值，然后根据频数分布表可求解m； （2）根据频数分布表可直接进行求解； （3）由表可知小于4.8吨的家庭数，进而问题可求解 【详解】（1）解：由图可知：， ∴； 故答案为7；15； （2）解：(吨)； 答：这50个家庭的总用水量为249吨 （3）解：由题意得： （个）； 答：估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有540个． 7．（8分）已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点，点是线段上（不与点重合）的一点． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的垂线l，l与的图像交于点，当线段时，求点的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知交点坐标满足两个函数关系式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可． 【详解】（1）解：将代入得， ， 将代入得，解得， 反比例函数表达式为， （2）解：如图，设，则，    把代入可得， 解得（舍）， ; 8．（8分）如图，已知，点A，B分别在，上，用无刻度的直尺和圆规分别在，上作点D，C，使得四边形是菱形． (1)保留作图痕迹，并根据作图痕迹说明四边形是菱形的理由； (2)若菱形的周长为，，求该菱形的高． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形判定和性质，解三角形等． （1）在上取点C，使，在上取点D，使，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）作高，根据即可求解． 【详解】（1）解：如图；在上取点C，使，在上取点D，使，则四边形是菱形． 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形． （2）∵过点作，垂足为， ∵菱形的周长为， ∴， 又∵， ∴， 即菱形的高为． 9．（10分）如图，在的边上取一点O，以O为圆心，为半径画，与边相切于点D，，连接交于点E，连接，并延长交线段于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由切线的性质可知，再根据题意易证，即得出，即证明出是的切线； （2）设的半径为r，由，，可得，，可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：如图，连接， 与边相切于点D， ，即， ，，， ， ， 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为r， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴的半径为. 【点睛】本题考查切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形．作合适的辅助线是解答本题的关键． 10．（10分）“综合与实践”课上，同学们以“正方形的翻折”为主题开展数学活动．已知正方形，，点E是边上的一个动点． (1)连接，将沿折叠得到． ①如图1，若折叠后点恰好落在对角线上，则的长为______； ②如图2，请用无刻度的直尺和圆规作出点E，连接，使得；（不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (2)如图3，点F是边上的一个动点，过点E、F分别作于点为M、于点为N，若，判断的值是否为定值，若是定值求出这个值，若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)①；②见解析 (2)定值4，理由见解析 【分析】本题考查了正方形与折叠，尺规作图，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）①设，则，，在中，根据勾股定理求解即可； ②以A、B为圆心，为半径画弧，相交于点，过A作交于E即可； （2）证明，得出，证明，得出，则，进而求出，即可求解． 【详解】（1）解：①∵正方形，， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴，， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， 即， 故答案为：； ②如图，点E即为所求， 理由：由作图知， ∵ ∴， 又， ∴， ∴，， ∴垂直平分， ∴B、关于对称， 又， ∴点E符合题意； （2）解：的值为定值4， 理由如下； ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的值为定值4． 11．（10分）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式： (2)如图1，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交线段于点M，点D是直线上方抛物线上一点．当时，求点N的坐标． (3)如图2，点Q是抛物线上在第一象限的一个动点，连接，交线段于点E，交y轴于点F，令，求S的最大值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数综合—面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）直线，设点，则点，点，表示出，，再由相似三角形的性求解即可； （3）设点，求出，从而得出，再由计算即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：在中，当时，，即， 设直线的解析式可得， 将代入解析式可得， 解得：， ∴直线 设点，则点，点， ，， ∵， ∴， ， ， ，即， 解得：，（舍去），，（舍去）， ， （3）解：设点， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴， 当时，， ， ， ∴当时，． （考试时间：90分钟 试卷满分：82分） 解答题（本大题共11小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．（5分）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 2．（5分）解不等式组 ；并求出它的所有整数解的和． 【答案】，6 【分析】本题考查了求不等式组的解集，正确地解每一个不等式是解题的关键． 先解每个不等式，求得不等式组的解集，然后找出所有整数解求和即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有整数解为：，，，， ∴所有整数解的和为：． 3．（5分）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】，1 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 4．（6分）如图是某商业中心地下停车场的平面图，共有三个入口， 四个出口，假设顾客选择各个出入口的机会均等． (1)某顾客从入口进入地下车库的概率为___________； (2)请用列表或画树状图的方法，求某顾客进出地下车库出入口数字序号相同的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法求概率，正确地画出表格，熟练掌握概率公式，是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）列出表格，再利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：共3个入口，从每个入口进入的可能性相同，故某顾客从入口进入地下车库的概率为； （2）由题意，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共12种等可能的结果，其中某顾客进出地下车库出入口数字序号相同的结果有3种， ∴． 5．（6分）如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行四边形和角平分线的定义可得、，则，易证四边形是平行四边形，再结合即可证明结论； （2）根据菱形的性质可证明为等边三角形可得，即；如图：过点P作于M，则、，进而得到，最后根据勾股定理求解即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． 同理：． ∴． ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，为等边三角形， ∵， ∴， ∴， 如图：过点P作于M， ， ∴，， ∵， ∴， ∴． 6．（6分）甲、乙两名队员练习射击，每次射击的环数为整数，两人各射击次，其成绩分别绘制成如图、图所示的统计图，两幅图均有部分被污染，两名队员次的射击成绩整理后，得到的统计表如表所示． 平均数 中位数 众数 方差 甲 乙 (1)______队员的发挥更稳定； (2)分别求统计表中，，的值； (3)乙队员补射次后，成绩为环，据统计乙队员这次射击成绩的中位数比大，则的最小值为______． 【答案】(1)甲； (2)，，； (3)． 【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，平均数，中位数，众数，方差，能从统计图中获取有用信息，熟悉相关概念的意义是解题的关键． （）根据方差的意义解答即可； （）先确定甲队员成绩为出现的次数，再利用加权平均数公式计算出的值，确定甲的众数的值；求出被污染的个数的和，结合被污染所在区间判断出这两个数，再按中位数的意义确定中位数即可； （）先确定这次射击成绩的中位数，再根据前次成绩与这个中位数比较即可确定的最小值． 【详解】（1）解：∵甲的方差乙的方差， ∴甲队员发挥更稳定； 故答案为：甲； （2）解：甲队员成绩为的次数为：（次）， ∴甲成绩的平均数， ∵甲成绩为出现次，是出现次数最多的成绩， ∴， ∵乙的平均数为， ∴被污染的个数的和为：， 由污染的区域可知：污染的数只能是：，，， ∴这两个数为，， 将乙队员的成绩由小到大排列：，，，，，，，，，， 处于中间的两个数的平均数为：， 故，，； （3）解：∵乙队员这次射击成绩的中位数比大， ∴乙队员这次射击成绩的中位数为：， ∵乙原来次成绩小到大排列：，，，，，，，，，，加入成绩后按小到大排列中位数应该是处于第位，而比小的数有个， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 7．（8分）在平面直角坐标系中，如图，点A为函数图象上一动点，过点A作y轴的平行线交直线于点B，点P坐标为．当时，点P恰好落在的函数图象上． (1)求函数的关系式； (2)若是以为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标； (3)在点A运动过程中始终存在一点P，使恒成立，求a的值． 【答案】(1) (2)点或 (3) 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及等腰直角三角形的性质等，处理数据和利用绝对值是解题的关键． （1）把点代入，得到，于是得到结论； （2）设点，则点，根据，得到，解方程即可得到结论； （3）设点，点，根据，得到方程，化简整理得到，因为上式恒成立，得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：点在的函数图象上， ， 函数的关系式为； （2）解：设点，则点， ， 则， 解得：或或（舍去）， 即点或； （3）解：设点，点， ， 则， 即， 因为上式恒成立， 则， 解得：． 8．（8分）已知，点在边上，点是边上一动点，，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，再将线段绕点顺时针旋转，得到线段，作于点． (1)如图1，． ①依题意补全图形： ②连接，求的度数； (2)如图2，当点在射线上运动时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①根据题干描述作图即可； ②由旋转可得且，进而证明是等边三角形，推出，再结合可得答案； （2）如图，连接，，同（1）可证是等边三角形，再证，推出，，进而证明，最后根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：①补全图形如下； ②如图，连接， 线段绕点A逆时针旋转， 且， 是等边三角形， ， ， ， ， ； （2）解：， 证明：如图，连接，， 由（1）②知是等边三角形， ，， 线段绕点O顺时针旋转，得到线段， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 9．（10分）已知，如图，为的直径，内接于，，点是的内心，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)已知的半径是，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由圆周角定理得出，由内心得出，，，由三角形的外角性质得出，即可得出结论； （2）连接，过点作于，由圆周角定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，由，，推出，得到，根据勾股定理可求的长，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ， 点是的内心， ，， ， ，， ， ． （2）解：如图，连接，过点作于， 为的直径，的半径是，， ，是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、圆周角定理、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 10．（10分）如图，G是正方形边上一动点，于点F，于点E， ，． (1)若，则 ； (2)当时，求的度数； (3)已知： ①若，求的长度； ②当点G从点B运动到点C，请直接写出线段扫过的面积． 【答案】(1)4 (2) (3)①2位9 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）证即可得解； （2）证得到，再由三线合一可得，所以，进而得解； （3）①设，，则 ， ，所以根据可得，在中利用勾股定理求出a和b值，进而再利用求解即可； ②由圆周角定理可知，点E的运动路径为，点F的运动路径为，进而可知扫过的区域为、、边围成的区域，由割补法可知． 【详解】（1）解：在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4； （2）解：在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）①设，，则，， ∴ ， ， 若，则， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 解得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得； ②∵， ∴点E在以为直径的圆上运动，点F在以为直径的圆上运动， 设两圆交于点O， ∵点G在上， ∴点E的运动路径为，点F的运动路径为， ∴扫过的区域为、、边围成的区域， 如图所示，连接， 则， 即线段扫过的面积为9． 11．（10分）【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点C，抛物线对称轴交x轴于点D，抛物线与双曲线交于点，把点P绕点D顺时针旋转得到的对应点为Q． 【构建联系】 （1）分别求出抛物线和双曲线的解析式，并说明点Q是否在双曲线上． （2）如图2，双曲线与抛物线对称轴交于点E，连接，，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，连接、，将绕着点旋转得到，其中点、分别是、两点的对应点，在旋转的过程中，当与重叠部分恰好是一个点时，求出此时点的坐标． 【答案】（1）双曲线的解析式为；抛物线的解析式为；点在双曲线上；（2）见解析；（3）点的坐标为或 【分析】（1）待定系数法先求出k的值，即可得到反比例的函数解析式，再将，代入中，解方程组即可得到抛物线的解析式；进而得到点D的坐标，分别作轴，轴，分别交轴于、两点，证明，得到点Q的坐标，即可判断； （2）证明，即可得到结论； （3）分与重叠部分是点，与重叠部分是点，两种情况讨论即可． 【详解】解：（1）把代入中， ∴ ∴双曲线的解析式为 把，代入中，可得方程组 ， 解得 ∴抛物线的解析式为 ∴抛物线的对称轴为直线 ∴ 点在双曲线上，理由如下： 分别作轴，轴，分别交轴于、两点，如图 ∴ ∵把点绕点顺时针旋转得到的对应点 ∴， ∴，， ∴ ∵，， ∴ ∴，， ∴ ∴点在双曲线上． （2）∵双曲线与抛物线对称轴交于点， ∴， ∴ ∵，抛物线对称轴为直线，、关于对称轴对称， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ （3）①当与重叠部分是点时，如图 分别作轴，轴，分别交轴于、两点 ∵ ∴， ∴ ∵， ∴， 点的坐标为． ②当与重叠部分是点时，如图 ∴点在线段上 ∵抛物线解析式为， ∴ ∵， 设的解析式为， 把和代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， ∴设的坐标为 ∵， ∴ 解得，（舍去） ∴点的坐标为． 综上：点的坐标为或． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握并综合应用有关性质进行求解． 解答题（本大题共11小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．（5分）计算：． 【答案】1 【分析】本题主要考查实数的混合运算，先化简二次根式，绝对值，计算负整数指数幂，特殊角锐角三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可求解； 【详解】解： ． 2．（5分）解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解： 由①得：； 由②得：， ∴原不等式组的解集为：． 3．（6分）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【分析】此题主要考查了分式的化简求值，解一元二次方程，正确化简分式是解题关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再解一元二次方程，根据分式有意义的条件，代值计算即可求出值． 【详解】解： ∵ ∴ 解得： 又∵ ∴当时，原式． 4．（6分）先阅读下面某校八年级师生的对话内容，再解答问题．（温馨提示：一周只上五天课，另外考试时每半天考一科） 小明：“听说下周会进行连续两天的全国素质教育检测考试．” 刘老师：“是的，要考语文、英语、音乐、美术共四科，但具体星期几不清楚．” 小宇：“我估计是星期四、星期五．” (1)求小宇猜对的概率 ； (2)若考试已定在星期四、星期五进行，但各科考试顺序未定，请用恰当的方法求第一天考语文、英语的概率．（用树状图或列表法分析） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重不漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：连续两天考试共有以下种情况：周一周二、周二周三、周三周四、周四周五， 故在周四周五两天考试的情况只有种， 故小宇猜对的概率为； （2）解：列表可得： 周四上午周四下午 语文 英语 音乐 美术 语文 语文，英语 语文，音乐 语文，美术 英语 英语，语文 英语，音乐 英语，美术 音乐 音乐，语文 音乐，英语 音乐，美术 美术 美术，语文 美术，英语 美术，音乐 共有12种等可能出现的结果，其中第一天考语文、英语的情况有2种， ∴． 5．（6分）如图，对角线，相交于点O，过点D作且，连接． (1)求证：是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，矩形的判定定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据条件得出平行四边形是矩形，再根据矩形的性质得出，即可得出结论； （2）根据菱形的性质得出是等边三角形，然后利用勾股定理得出，再利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：∵且， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∴是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴， ∴， 即的长为． 6．（8分）洋思中学组织七、八年级学生去小南湖研学，并在小南湖开展了传统文化教育活动．活动结束后组织了一场传统文化知识竞赛，竞赛满分为100分．现随机抽取七、八年级各人的竞赛成绩，统计整理并绘制了如下不完整的统计图表： ①将抽查的两个年级成绩（用表示）进行整理，并将成绩分为4个等级： A．；    B．；C．；D．． ②八年级等级学生成绩为：82，86，86，84，86，84，86，89； 分析数据： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 80 79 45．7 八年级 85 86 32．9 根据以上信息解答下列问题： (1)题中_____，表格中_____； (2)若该校七年级有1000名学生，八年级有900名学生，请你估计该校七年级和八年级学生成绩达到等级及以上的学生人数共_____人； (3)请从平均数，中位数，众数，方差中任选两个统计量评价哪个年级传统文化知识掌握情况较好？ 【答案】(1)40；86 (2)710 (3)八年级的传统文化知识掌握情况较好，理由见解析 【分析】本题主要考查调查与统计的相关计算，掌握样本估算总体数量的计算方法，中位数，圆心角的计算，调查数据作决策的方法是关键． （1）根据八年级A组有16人，占比为，可得a的值，根据中位数的计算得到b的值，即可求解； （2）根据样本百分比估算总体数量的方法即可求解； （3）根据调查数据作决策即可． 【详解】（1）解：八年级A组有16人，占比为， ∴（人）， ∴七、八年级各抽取40人， ∴， ∵八年级A组有16人，B组有10人，C组有8人，D组有6人， ∴中位数在第20，21位同学成绩的平均数， ∵八年级B等级学生成绩从大到小排序为：89，86，86，86，86，84， 84，82， ∴； 故答案为：40；86； （2）解：（人）， ∴该校七年级和八年级学生成绩达到A等级及以上的学生人数共约710人， 故答案为：710； （3）解：八年级的传统文化知识掌握情况较好，理由如下， ∵七年级的中位数小于八年级的中位数，七年级的方差大于八年级的方差， ∴八年级中间部分比七年级中间部分多，八年级成绩比七年级成绩稳定， ∴八年级的传统文化知识掌握情况较好． 7．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数交于点． (1)求b，k的值； (2)点C是x轴正半轴上一点，连接交反比例函数于点D，连接，若，求的面积； (3)在（2）的条件下，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，求点E的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）把点B坐标代入一次函数式中，即可求得b的值，从而得点B的值；把点B的坐标代入反比例函数式中即可求得k的值； （2）过点B作轴于点G，过点D作轴于点H，设交y轴于点K，证明，则由相似三角形的性质求得，从而求得点D的坐标；再求出的函数解析式，则可求得点K的坐标，利用即可求解； （3）过点D作轴，作于H，于G，证明，利用全等三角形的性质即可求得点坐标． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数交于点， ∴把代入中，得， 解得：， ∴； 把代入得：； 即，； （2）解：如图，过点B作轴于点G，过点D作轴于点H，设交y轴于点K， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知反比例函数的表达式为； 当时，，解得， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点D作轴，作于H，于G， 则， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数交点，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造辅助线证明三角形相似与全等是解题的关键． 8．（8分）如图1，将绕点顺时针旋转得到（、的对应点分别为、），其中点恰好落在边上，与相交于点． (1)若，则________； (2)当时， ①求旋转角的度数；②若，，求的长； (3)如图2，边上的点恰好在的垂直平分线上，且，若（且为常数），，请直接写出的长（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）利用旋转的性质即可解答； （2）①根据旋转的性质和平行线的性质可得为等边三角形，即可解答； ②证明，根据相似三角形的性质求解即可； （3）连接，，设，则，证明，求出 ，证明，得出，结合，则，进而得出，，则可求出，，证明，求出，证明，根据相似三角形的性质可得出，结合可化简得，求出x的值，即可求解． 【详解】（1）解：旋转， ， ， ； 故答案为：； （2）解：①， ， ， ， 旋转， ， ， ； ②，， ， 旋转， ，，， ， ， ， ， ，即， 解得； （3）解：连接，， ，， ，即， 点恰好在的垂直平分线上， ， 又， ， 又， ， ， （且为常数）， 设，则， ， ， ， （负值舍去）， 旋转， ， 又， ， ，即， 又， ， ， ， ， 代入，求出， ，， ， ，，即， ， ，， ， 又， ， ，即， 整理得，即， ， ∴， 解得，（舍去） ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，三角形内角和定理等知识，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键． 9．（10分）如图，是的外接圆，且．连接并延长交于点D．过点A作，垂足为点E．点F在的延长线上，连接．使．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2)的半径为 【分析】（1）连接，证明，由角的等量代换即可证明，可得结论； （2）连接，延长交于点M，证明，在中，，代入计算即可． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：如图，连接，延长交于点M， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得，． 即的半径为． 【点睛】本题考查圆的有关性质，圆周角定理，切线的判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握圆的有关性质是解题的关键． 10．（10分）【问题初探】 （1）用数学的眼光观察：如图1，在菱形中，，点E是对角线上一动点，连接，将绕点E顺时针旋转得到EF，连接，，求的度数． 【类比分析】 （2）用数学的思维思考：如图2，在正方形中，点E是对角线上一动点，且，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，，判断C，D，F三点的位置关系，并说明理由； 【学以致用】 （3）用数学的语言表达：如图3在矩形中，，点E是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作，连接，，若是以为腰的等腰三角形，求的长度． 【答案】（1）；（2）C，D，F三点共线，理由见解析；（3）的长度为或． 【分析】（1）根据菱形的性质，得到为等边三角形，进而证明，即可得出结果； （2）过点作，交于点，利用正方形的性质和旋转的性质，证明，推出，即可得出结论； （3）过点作，交于点，先证明，进而得到点的运动轨迹，然后分，，两种情况，设，结合相似三角形的性质，解直角三角形，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：（1）∵菱形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 将绕点E顺时针旋转得到， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； （2）C，D，F三点共线，理由如下：过点E作EG⊥DE，交AD于点G， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， 将绕点E顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线； （3）如图，过点作，交于点， ∵矩形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在射线上移动， 当是以为腰的等腰三角形，分两种情况讨论： ①当时：过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：（负值已舍掉）； ∴， ∴； ②当时：过点作， ∵矩形， ∴， ∴， 设，则：， 由（1）知， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：（负值已舍掉）， ∴． 综上：或． 【点睛】本题考查旋转的性质，菱形，正方形，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，解题的关键是掌握相关性质，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形． 11．（10分）如图①，抛物线（其中为大于1的常数）与轴相交于点、（在的右边），与轴相交于点，点是抛物线的顶点，对称轴与轴相交于点． (1)点的坐标是__________； (2)点是对称轴上的一动点，当的最小值为时，求的周长； (3)如图②，射线与抛物线相交于另一点，若的面积与的面积相等，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及到抛物线与坐标轴交点，线段和最值，面积与二次函数综合，相似三角形的判定与性质； （1）由，即可求出，，； （2）连接，根据对称性得到，则，由的最小值为，得到，结合，，利用勾股定理计算即可； （3）先求出，，得到，，，分别过、作的垂线，垂足分别为、，过作轴，交直线于，则，，根据的面积与的面积相等，得到，再证明，得到，最后根据，得到，代入列方程计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，；当时，， ∵抛物线（其中为大于1的常数）与轴相交于点、（在的右边），与轴相交于点， ∴，，， 故答案为：； （2）解：连接， ∵点是对称轴上的一动点，抛物线（其中为大于1的常数）与轴相交于点、， ∴， ∴， ∴的最小值为的长 ∵的最小值为， ∴， ∵，， ∴, ∵， ∴， 解得， ∵为大于1的常数， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴的周长为； （3）解：∵抛物线， ∴，， ∴，，， 分别过、作的垂线，垂足分别为、，过作轴，交直线于，则，， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∵为大于1的常数， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 提分小卷：解答题 限时训练（A组+B组+C组） （考试时间：90分钟 试卷满分：82分） 解答题（本大题共11小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．（5分）计算：． 2．（5分）解不等式组，并写出不等式组的整数解． 3．（6分）先化简，再求值：，其中． 4．（6分）从甲地到乙地有、、三条路线，从乙地到丙地有、两条路线，其中是最短路线． (1)任选一条从甲地到乙地的路线，选择的概率是_______． (2)请用画树状图或列表的方法表示任选一条从甲地到丙地的所有等可能路线，并求恰好选到最短路线的概率． 5．（6分）如图，点C在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 6．（8分）为培养学生的节约用水意识，某学校组织学生了解附近小区家庭用水情况，随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量(单位：吨)，绘制出如下未完成的统计图表： 50个家庭去年月均用水量频数分布表          组别 家庭月均用水量 (单位：吨) 频数 组内平均数 (单位：吨) A m 3 B 20 4 C n 6 D 6 7 E 2 8 合计 50 50个家庭去年月均用水量扇形图 (1) ， ; (2)按组内平均数来计算，求这50个家庭的总用水量? (3)若该小区有1000个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有多少个? 7．（8分）已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点，点是线段上（不与点重合）的一点． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的垂线l，l与的图像交于点，当线段时，求点的坐标； 8．（8分）如图，已知，点A，B分别在，上，用无刻度的直尺和圆规分别在，上作点D，C，使得四边形是菱形． (1)保留作图痕迹，并根据作图痕迹说明四边形是菱形的理由； (2)若菱形的周长为，，求该菱形的高． 9．（10分）如图，在的边上取一点O，以O为圆心，为半径画，与边相切于点D，，连接交于点E，连接，并延长交线段于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 10．（10分）“综合与实践”课上，同学们以“正方形的翻折”为主题开展数学活动．已知正方形，，点E是边上的一个动点． (1)连接，将沿折叠得到． ①如图1，若折叠后点恰好落在对角线上，则的长为______； ②如图2，请用无刻度的直尺和圆规作出点E，连接，使得；（不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (2)如图3，点F是边上的一个动点，过点E、F分别作于点为M、于点为N，若，判断的值是否为定值，若是定值求出这个值，若不是定值，请说明理由． 11．（10分）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式： (2)如图1，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交线段于点M，点D是直线上方抛物线上一点．当时，求点N的坐标． (3)如图2，点Q是抛物线上在第一象限的一个动点，连接，交线段于点E，交y轴于点F，令，求S的最大值． （考试时间：90分钟 试卷满分：82分） 解答题（本大题共11小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．（5分）计算：． 2．（5分）解不等式组 ；并求出它的所有整数解的和． 3．（5分）先化简，再求值：，其中满足． 4．（6分）如图是某商业中心地下停车场的平面图，共有三个入口， 四个出口，假设顾客选择各个出入口的机会均等． (1)某顾客从入口进入地下车库的概率为___________； (2)请用列表或画树状图的方法，求某顾客进出地下车库出入口数字序号相同的概率． 5．（6分）如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 6．（6分）甲、乙两名队员练习射击，每次射击的环数为整数，两人各射击次，其成绩分别绘制成如图、图所示的统计图，两幅图均有部分被污染，两名队员次的射击成绩整理后，得到的统计表如表所示． 平均数 中位数 众数 方差 甲 乙 (1)______队员的发挥更稳定； (2)分别求统计表中，，的值； (3)乙队员补射次后，成绩为环，据统计乙队员这次射击成绩的中位数比大，则的最小值为______． 7．（8分）在平面直角坐标系中，如图，点A为函数图象上一动点，过点A作y轴的平行线交直线于点B，点P坐标为．当时，点P恰好落在的函数图象上． (1)求函数的关系式； (2)若是以为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标； (3)在点A运动过程中始终存在一点P，使恒成立，求a的值． 8．（8分）已知，点在边上，点是边上一动点，，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，再将线段绕点顺时针旋转，得到线段，作于点． (1)如图1，． ①依题意补全图形： ②连接，求的度数； (2)如图2，当点在射线上运动时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 9．（10分）已知，如图，为的直径，内接于，，点是的内心，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)已知的半径是，，求的长． 10．（10分）如图，G是正方形边上一动点，于点F，于点E， ，． (1)若，则 ； (2)当时，求的度数； (3)已知： ①若，求的长度； ②当点G从点B运动到点C，请直接写出线段扫过的面积． 11．（10分）【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点C，抛物线对称轴交x轴于点D，抛物线与双曲线交于点，把点P绕点D顺时针旋转得到的对应点为Q． 【构建联系】 （1）分别求出抛物线和双曲线的解析式，并说明点Q是否在双曲线上． （2）如图2，双曲线与抛物线对称轴交于点E，连接，，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，连接、，将绕着点旋转得到，其中点、分别是、两点的对应点，在旋转的过程中，当与重叠部分恰好是一个点时，求出此时点的坐标． 解答题（本大题共11小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．（5分）计算：． 2．（5分）解不等式组： 3．（6分）先化简，再求值：，其中满足． 4．（6分）先阅读下面某校八年级师生的对话内容，再解答问题．（温馨提示：一周只上五天课，另外考试时每半天考一科） 小明：“听说下周会进行连续两天的全国素质教育检测考试．” 刘老师：“是的，要考语文、英语、音乐、美术共四科，但具体星期几不清楚．” 小宇：“我估计是星期四、星期五．” (1)求小宇猜对的概率 ； (2)若考试已定在星期四、星期五进行，但各科考试顺序未定，请用恰当的方法求第一天考语文、英语的概率．（用树状图或列表法分析） 5．（6分）如图，对角线，相交于点O，过点D作且，连接． (1)求证：是菱形； (2)若，求的长． 6．（8分）洋思中学组织七、八年级学生去小南湖研学，并在小南湖开展了传统文化教育活动．活动结束后组织了一场传统文化知识竞赛，竞赛满分为100分．现随机抽取七、八年级各人的竞赛成绩，统计整理并绘制了如下不完整的统计图表： ①将抽查的两个年级成绩（用表示）进行整理，并将成绩分为4个等级： A．；    B．；C．；D．． ②八年级等级学生成绩为：82，86，86，84，86，84，86，89； 分析数据： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 80 79 45．7 八年级 85 86 32．9 根据以上信息解答下列问题： (1)题中_____，表格中_____； (2)若该校七年级有1000名学生，八年级有900名学生，请你估计该校七年级和八年级学生成绩达到等级及以上的学生人数共_____人； (3)请从平均数，中位数，众数，方差中任选两个统计量评价哪个年级传统文化知识掌握情况较好？ 7．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数交于点． (1)求b，k的值； (2)点C是x轴正半轴上一点，连接交反比例函数于点D，连接，若，求的面积； (3)在（2）的条件下，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，求点E的坐标． 8．（8分）如图1，将绕点顺时针旋转得到（、的对应点分别为、），其中点恰好落在边上，与相交于点． (1)若，则________； (2)当时， ①求旋转角的度数；②若，，求的长； (3)如图2，边上的点恰好在的垂直平分线上，且，若（且为常数），，请直接写出的长（用含的代数式表示）． 9．（10分）如图，是的外接圆，且．连接并延长交于点D．过点A作，垂足为点E．点F在的延长线上，连接．使．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 10．（10分）【问题初探】 （1）用数学的眼光观察：如图1，在菱形中，，点E是对角线上一动点，连接，将绕点E顺时针旋转得到EF，连接，，求的度数． 【类比分析】 （2）用数学的思维思考：如图2，在正方形中，点E是对角线上一动点，且，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，，判断C，D，F三点的位置关系，并说明理由； 【学以致用】 （3）用数学的语言表达：如图3在矩形中，，点E是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作，连接，，若是以为腰的等腰三角形，求的长度． 11．（10分）如图①，抛物线（其中为大于1的常数）与轴相交于点、（在的右边），与轴相交于点，点是抛物线的顶点，对称轴与轴相交于点． (1)点的坐标是__________； (2)点是对称轴上的一动点，当的最小值为时，求的周长； (3)如图②，射线与抛物线相交于另一点，若的面积与的面积相等，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $