精品解析：黑龙江哈尔滨市工业大学附属中学校2025-2026学年七年级下学期期中数学试卷

黑龙江哈尔滨市工业大学附属中学校2025-2026学年七年级下学期期中数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各数没有平方根的是（ ） A. 4 B. 0 C. D. 10 2. 下列图形中，和是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子正确的是（      ） A. B. C. D. 4. 在下列各组运动项目的图标中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中记载一题目，译文如下，今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为人，物价为钱，以下列出的方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，下列推理中正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，某队在14场比赛中至少要得20分．请问这个队胜场数至少为（ ） A. 4场 B. 6场 C. 7场 D. 9场 9. 四月是工大附小的读书节活动月，四年级某班班主任刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么剩余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分到了书但是不到3本．则共有（ ）名同学． A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 10. 下列说法中正确的有（ ） ①直线外一点到已知直线的垂线段就是这个点到已知直线的距离；②9的平方根是；③垂直于同一直线的两条直线互相平行；④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 命题“两个锐角的和是钝角”是_____命题（填“真”或“假”）． 12. 已知方程，用含的式子表示，则_______． 13. 若方程是关于x，y的二元一次方程，则m的值为________． 14. 若，满足方程组，则的值为______． 15. 如图，某施工队计划在小区A处修建一条通向公路的道路，要使路程最短，道路应与公路垂直，依据的数学原理是_____________． 16. 有一列数按如下规律排列：，，，，…，则第6个数是________． 17. 2026年春晚<<武>>机器人表演武术，动作精准，难度极高，视觉冲击力极强意义重大．如图，这是捕捉某款机器人表演的姿态，图为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中，，，若，则______度． 18. 若两边分别平行于的两边，则为_____． 19. 要把一张面值为20元的人民币换成零钱，现有足够的面值为1元、5元的人民币，那么共有______种换法. 20. 如图，在三角形纸板中，，将纸板沿射线方向平移得到，与交于点．下列四个结论：①；②；③若，四边形面积为30，则平移距离的长为5；④若，则．其中正确的有________（填序号）． 三、解答题（共60分） 21. 解下列方程组或不等式组 （1） （2） 22. 按下列要求画图并填空： 如图，点P为内部一点． （1）过点P画射线，交于E． （2）过点P画线段，交于F． （3）点E到直线的距离是线段______的长． 23. 一个进行数值转换的运行程序如图所示，从“输入有理数”到“结果是否大于0”称为“一次操作”，当为1、时，“一次操作”后结果分别为3和9； （1）求和的值； （2）若“一次操作”后结果输出，求满足条件的最大整数． 24. 如图，点、分别在、上，于点，，，求证：．请填空． 证明：（已知） （________） 又（已知） （________） （________） 又 ________ 又（已知） （________） （________） 25. 2026马年央视春晚中，机器人展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买2台A型机器人、3台B型机器人，共需340万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元． （1）求A、B两种型号智能机器人的单价． （2）该企业现计划采购A型和B型机器人共15台，且总费用不超过1100万元．最多能买A型机器人多少台？ 26. 阅读材料，回答问题： 我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式，组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“专属组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“非属组合”． （1）直接判断是“专属组合”还是“非属组合”________．（填“A”或“B”） A．“专属组合” B．“非属组合” （2）判断是“专属组合”还是“非属组合”，并说明理由． （3）若关于的组合是“专属组合”，求的取值范围． 27. 如图1，，点在、之间且在上方，连接、． （1）直接写出，，之间的数量关系：________； （2）如图2，点在线段上，连接，点在上，连接，，过点作，点在左侧，平分． ①若，，求的度数； ②点在上，连接，点在上，连接，若，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江哈尔滨市工业大学附属中学校2025-2026学年七年级下学期期中数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各数没有平方根的是（ ） A. 4 B. 0 C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据“负数没有平方根”，判断各选项数值的正负性即可求解． 【详解】解：∵只有非负数才有平方根，负数没有平方根，且，，都是非负数，是负数； ∴没有平方根 2. 下列图形中，和是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对顶角的定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角逐一分析各选项中和的位置关系，判断是否满足对顶角的定义即可． 【详解】A项：和虽然有公共顶点，但的一条边不是的一条边的反向延长线，所以和不是对顶角，故A错误； B项：由于和没有公共顶点，所以和不是对顶角，故B错误； C项：和虽然有公共顶点，但和的两边不互为反向延长线，所以和不是对顶角，故C错误； D项：和有公共顶点，且两边互为反向延长线，所以是对顶角，故D正确． 3. 下列式子正确的是（      ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简与算术平方根的性质，算术平方根的运算结果为非负数，根据运算法则化简每个选项即可判断正误. 【详解】解：选项A：， A错误． 选项B：， B正确． 选项C：表示4的算术平方根，结果为非负数，即， C错误． 选项D：， D错误． 4. 在下列各组运动项目的图标中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移，据此进行判断即可． 【详解】解：能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是选项C，选项A、B、D无法通过平移得到． 5. 若，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于a＞b，不等式的两边同加或者同减一个数（或式子），不等号的方向不改变；同乘一个正数，不等号的方向不变；同乘一个负数，不等号方向改变，由此规则分别判断A，B，C，D是否正确即可． 【详解】解：A、在不等式a＞b的两边同时加上4，不等式仍成立，即a+4＞b+4，故本选项不符合题意； B、在不等式a＞b的两边同时乘以2，不等式仍成立，即2a＞2b，故本选项不符合题意； C、在不等式a＞b的两边同时乘以−5，不等号方向改变，即−5a<−5b，故本选项符合题意； D、在不等式a＞b的两边同时乘以再加上-1，不等式仍成立，即a-1>b-1，故本选项不符合； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，熟记不等式的基本性质并灵活运用是解答的关键． 6. 《九章算术》中记载一题目，译文如下，今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为人，物价为钱，以下列出的方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，分别列出等式即可获得答案． 【详解】解：设合伙人数为人，物价为钱，根据题意， 可列方程组为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意正确列出等式是解题关键． 7. 如图，下列推理中正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的判定逐个解答即可． 【详解】解：∵，∴，则A不正确； ∵，∴，则B不正确； ∵，∴，则C正确； ∵，∴，则D不正确． 8. 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，某队在14场比赛中至少要得20分．请问这个队胜场数至少为（ ） A. 4场 B. 6场 C. 7场 D. 9场 【答案】B 【解析】 【分析】设这个队胜场，则负场，根据得分范围列出一元一次不等式即可求解． 【详解】解：设这个队胜场，则负场， 由题意得，， 解得， ∴这个队胜场数至少为6场． 9. 四月是工大附小的读书节活动月，四年级某班班主任刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么剩余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分到了书但是不到3本．则共有（ ）名同学． A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】设共有名同学，则书本总数为本，根据最后一人分到书但不到3本的条件列出不等式组，求解后取正整数即可得到结果． 【详解】解：设共有名同学，则书本总数为本， 根据题意，最后一人分得的书本数大于0且小于3，可得不等式组： 化简第一个不等式得， 化简第二个不等式得， 因此不等式组的解集为， ∵为正整数， ∴． 即共有6名同学． 10. 下列说法中正确的有（ ） ①直线外一点到已知直线的垂线段就是这个点到已知直线的距离；②9的平方根是；③垂直于同一直线的两条直线互相平行；④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【详解】解：①点到直线的距离是垂线段的长度，是数量，垂线段是图形，故①错误； ②，的平方根是，故②正确； ③同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，该说法未限定同一平面，故③错误； ④根据平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④正确； 综上，正确的说法共个． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 命题“两个锐角的和是钝角”是_____命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【解析】 【分析】根据真假命题的判定直接解答即可． 【详解】解：因为20°+20°＝40°＜90°， 所以命题“两个锐角的和是钝角”是假命题． 故答案为：假． 【点睛】本题主要考查真假命题，熟练掌握知识点是解题的关键． 12. 已知方程，用含的式子表示，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了方程的变形，即如何将方程 变形为用含x的式子表示 y，解题的关键在于通过移项和化简，将 y 单独表示出来． 【详解】解：， ． 故答案为：． 13. 若方程是关于x，y的二元一次方程，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义，可得的次数为，且的系数不为，据此求解即可得到的值． 【详解】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴，， 由得，解得， 由得， ∴． 14. 若，满足方程组，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将方程组中的两个方程相加，再进行化简即可得出答案． 【详解】解：， ①＋②，得：， ∴， 即的值为． 15. 如图，某施工队计划在小区A处修建一条通向公路的道路，要使路程最短，道路应与公路垂直，依据的数学原理是_____________． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】此题考查了垂线段的性质，根据题意和垂线段的性质进行解答即可． 【详解】解：某施工队计划在小区A处修建一条通向公路的道路，要使路程最短，道路应与公路垂直，依据的数学原理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短 16. 有一列数按如下规律排列：，，，，…，则第6个数是________． 【答案】 【解析】 【分析】对分子和分母分别寻找规律，即可求解． 【详解】解：第个数：， 第个数：， 第个数：， 第个数：， 第个数：， 当时，代入得． 17. 2026年春晚<<武>>机器人表演武术，动作精准，难度极高，视觉冲击力极强意义重大．如图，这是捕捉某款机器人表演的姿态，图为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中，，，若，则______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，先理解题意，过点作，结合平行线的性质得，代入数值得，再运算角的和差以及根据列式计算，即可作答． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴． 18. 若两边分别平行于的两边，则为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】根据两边分别平行的两个角的数量关系，可知两个角相等或互补，分情况计算即可得到结果． 【详解】解：如图1，， ∴， ∴． 如图2，， ∴， ∴， ． 综上，的度数为或． 19. 要把一张面值为20元的人民币换成零钱，现有足够的面值为1元、5元的人民币，那么共有______种换法. 【答案】5 【解析】 【分析】根据题意可以列出相应的二元一次方程，然后根据x、y是非负整数，即可解答本题． 【详解】解：设1元的x张，5元的y张， 则x＋5y＝20， 解得，，，，， 故有5种方法， 故填：5. 【点睛】本题考查二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确二元一次方程的解答方法，注意x、y是非负整数． 20. 如图，在三角形纸板中，，将纸板沿射线方向平移得到，与交于点．下列四个结论：①；②；③若，四边形面积为30，则平移距离的长为5；④若，则．其中正确的有________（填序号）． 【答案】 ①②③ 【解析】 【分析】 利用平移的性质即可判断①②③，证明，，即可判断④． 【详解】解：由平移的性质得，，，故①②正确； ∵， ∴， ∵四边形面积为30， ∴，即， ∴，即平移距离的长为5，故③正确； 连接， 由平移的性质得，， ∴，即， ∴，即， ∴，即， ∵，即点是的中点， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即，故④错误． 综上，正确的结论有①②③． 三、解答题（共60分） 21. 解下列方程组或不等式组 （1） （2） 【答案】（1） （2）不等式组无解 【解析】 【小问1详解】 解： 得 解得 把代入①得 解得 因此原方程组的解为 【小问2详解】 解： 解不等式①得 解不等式②得 原不等式组无解． 22. 按下列要求画图并填空： 如图，点P为内部一点． （1）过点P画射线，交于E． （2）过点P画线段，交于F． （3）点E到直线的距离是线段______的长． 【答案】（1） 射线，交于E，如图所示： （2）线段，交于F，如图所示； （3） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由可得点E到直线的距离是线段的长． 23. 一个进行数值转换的运行程序如图所示，从“输入有理数”到“结果是否大于0”称为“一次操作”，当为1、时，“一次操作”后结果分别为3和9； （1）求和的值； （2）若“一次操作”后结果输出，求满足条件的最大整数． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据题意结合程序图列二元一次方程组求解即可； （2）根据程序图列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：∵当为1、时，“一次操作”后结果分别为3和9， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵“一次操作”后结果输出，输出结果要求大于0， ∴， 解得：， 则满足条件的最大整数为1． 24. 如图，点、分别在、上，于点，，，求证：．请填空． 证明：（已知） （________） 又（已知） （________） （________） 又 ________ 又（已知） （________） （________） 【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行． 【解析】 【分析】根据垂直的定义，平行线的判定和性质，同角的余角相等补全证明过程即可． 【详解】证明：∵（已知） ∴（垂直的定义） 又∵（已知） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等） ∴ 又∵ ∴ 又∵（已知） ∴（同角的余角相等） ∴（内错角相等，两直线平行） 25. 2026马年央视春晚中，机器人展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买2台A型机器人、3台B型机器人，共需340万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元． （1）求A、B两种型号智能机器人的单价． （2）该企业现计划采购A型和B型机器人共15台，且总费用不超过1100万元．最多能买A型机器人多少台？ 【答案】（1）型智能机器人的单价为80万元，型智能机器人的单价为万元 （2）最多能买型机器人台 【解析】 【分析】（1）设、两种型号智能机器人的单价分别为万元，万元，根据题意列出方程组即可得到答案； （2）设能买型机器人台，则能买型机器人台，根据题意列出不等式，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设、两种型号智能机器人的单价分别为万元，万元， 由题意得，， 解得， 答：型智能机器人的单价为80万元，型智能机器人的单价为万元； 【小问2详解】 解：设能买型机器人台，则能买型机器人台， 由题意得，， 解得，， 答：最多能买型机器人台． 26. 阅读材料，回答问题： 我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式，组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“专属组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“非属组合”． （1）直接判断是“专属组合”还是“非属组合”________．（填“A”或“B”） A．“专属组合” B．“非属组合” （2）判断是“专属组合”还是“非属组合”，并说明理由． （3）若关于的组合是“专属组合”，求的取值范围． 【答案】（1）B； （2） 专属组合，理由如下： ， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：． 解不等式， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 化系数为1，得：． 在范围内， ∴是“专属组合”； （3） 【解析】 【分析】（1）先求方程的解，再解不等式，根据“专属组合”和“非属组合“的定义，判断即可； （2）同理（1）解答即可； （3）先解方程和不等式，然后根据“专属组合”的定义求a的取值范围； 【小问1详解】 解：， ， ， ， 不在范围内， 是“非属组合”； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：解方程得，， 解不等式，得：， ∵关于x的组合是“专属组合”， 在范围内， ， ． 27. 如图1，，点在、之间且在上方，连接、． （1）直接写出，，之间的数量关系：________； （2）如图2，点在线段上，连接，点在上，连接，，过点作，点在左侧，平分． ①若，，求的度数； ②点在上，连接，点在上，连接，若，，求的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）过点作，利用平行线的传递性和内错角相等，将拆分为两个角，分别与、建立等量关系； （2）①先根据求出，再结合， 平分的条件，推导的度数，最后利用（1）的结论求解； ②先设，根据已知条件表示出相关角的度数，再结合平行线的性质、角平分线的定义和（1）的结论，建立与的关系，进而求解差值． 【小问1详解】 解：过点作交于点，如图所示， ，，根据平行线的传递性，则， 又平行线的内错角相等， ，， ， 即． 【小问2详解】 解：①，， ， ， ， 又， ， 平分， ， ， 由（1）得． ②延长至点，如图所示， 设，则，， 由（1）可知，， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 设，则， 由（1）知， ， ， ． 【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、垂直的综合应用，解题关键是通过作辅助线（平行线），利用平行线的性质将分散的角集中起来，建立已知角与未知角之间的等量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $