高频考点10 几何与函数中最值问题17大题型专练（全国通用）2026年中考数学二轮复习高效培优系列

**基本信息** 聚焦中考压轴题，构建“原理-模型-应用”三层方法体系，整合几何、函数、圆三大模块最值问题，通过典例变式培养转化思想与模型意识，实现解题思维迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何最值|6命题点+3预测题|将军饮马（轴对称转化）、胡不归（构造特殊角）、面积最值（铅垂法/二次函数）|以“两点之间线段最短”“垂线段最短”为原理，通过化折为直、轨迹分析构建几何模型| |函数中最值|8命题点+3预测题|一次函数增减性、二次函数顶点/区间最值、实际问题建模|从函数性质到区间分类讨论，结合数形结合解决动线段/面积最值| |圆中最值|3命题点+3预测题|直径性质、隐圆轨迹（定弦定角/定点定长）、点圆距离|以圆的定义及性质为基础，通过构造隐圆转化动点轨迹求最值|

命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 高频考点10 几何与函数中最值问题（压轴题） 内容概览 01命题探源·考向解密（分析近3年中考考向与命题特征） 02根基夯实知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等） 03高频考点·妙法指津(3大命题，点+9道中考预测题，中考必考·(3-12)分) 考点一几何最值问题 考点二函数中最值问题 命题1最值问题之将军饮马求线段和最小 命题1函数图象动点问题的最值 命题2最值问题之胡不归模型求线段和最小 命题2利用一次函数的性质求线段最值 命题3最值问题之周长最短问题 命题3一次函数中线段和最短问题 命题4最值问题之面积最大问题 命题4一次函数与反比例函数解答题最值 命题5利用三角形三边关系求最值 命题5二次函数的图象与性质求最值 命题6利用，点到直线的距离最短求解 命题6二次函数与几何综合求最值 命题7二次函数解答压轴之周长最小 命题8二次函数解答压轴之面积最大 考点三圆中最值问题 命题1圆最值问题中四，点共圆问题 命题2直径所对圆周角等于90°求最值 命题3定，点定长中最值问题 每个考点中考预测题★3道 04好题速递分层闯关（精选6道最新名校模拟试题+4道中考闯关题） 命题探源 考向解密 考点 考向 命题特征 1.将军饮马模型：两定一动、两动一 1.以填空/选择压轴题和解答题压轴小问为主，分 几何最值 定、两定两动型线段和/差最值； 值3~8分，属于中考高频拉分题型； (将军饮 2.胡不归模型：含系数的线段和最值； 2.核心考查轴对称、旋转、圆的性质，通过转化将 马/胡不归 3.阿氏圆模型：圆背景下的线段和 折线段转为直线段； 阿氏圆) 差最值； 3.侧重“化折为直”的转化思想，是中考几何最 4.折叠/旋转背景下的几何最值。 值的基础； 4.常与特殊图形（矩形、菱形、圆)结合，综合性 强。 2.函数最 1.一次函数：给定区间内的最值、方 1.以解答题为主，分值6~10分，属于中考核心必考 值（一次/ 案最优问题； 题型； 二次函 2.二次函数：顶点最值、区间最值（定 2.核心考查函数的增减性、项点坐标、区间限制； 数) 轴动区间/动轴定区间)； 3.实际应用类侧重建模能力，需先列函数解析式再 3.函数与实际问题结合：利润、面积、 求最值； 1/29 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 用料最值。 4.二次函数区间最值是难，点，常结合分类讨论。 三角形/ 1.三角形：周长/面积最值、定边定角 1.以填空/选择中档题和解答题基础小问为主，分 四边形最 的最值、高/中线最值； 值36分； 值 2.特殊四边形：菱形/矩形/正方形的 2.核心考查三角形三边关系、重线段最短、二次函 边长、对角线、面积最值； 数面积最值； 3.动点背景下的图形最值。 3.常结合动点、相似，需先确定动，点轨迹再求最值； 4.面积最值常通过铅垂法或二次函数求解。 圆背景下 1.圆外一点到圆的最大/最小距离； 1.以填空/选择压轴题和解答题压轴小问为主，分值 的最值 2.定弦定角模型下的最值； 48分，属于中考难题； 3.圆上动点到直线/定，点的距离最 2.核心考查圆的定义、垂径定理、，点与圆的位置关 值，4.隐圆背景下的最值问题。 系；3.隐圆模型需先确定圆心和半径，对几何建模 能力要求高；4.常结合三角函数、相似，综合性极 强。 根基夯实们知整合 2/29 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 将军饮马：利用轴对称转化，化折为直，两点之间线段最短 胡不归：构造特殊角，将含系数线段转化为垂线段 核心方法 阿氏圆：利用相似三角形转化，将线段和嗟转为直线距离 垂线段最短、两点之间线段最短的应用 0几何最值 0找错对称点或转化方向 易错点 ②忽略动点轨迹的限制条件 ③胡不归中特殊角构造错误 考法 多为填空/选择压轴或解答题压轴小问，侧重转化思想与几何建模 中考必考拉分题 一次函数：利用增减性，结合区间端点求最值 核心方法 二次函数：顶点式求顶点最值，定轴动区间/动轴定区间分类讨论 实际应用：列函数解析式，结合自变量取值范围求最值 0忽略二次函数区间限制，直接用顶点求最值 ②函数最值 几 易错点 ②一次函数增减性判断错误 ③实际问题中自变量取值范围遗漏 中 考点 多为解答题第2-3题，分值6-10分，属核心必考题型 中考常考题 最 三角形：三边关系、垂线段最短、定边定角模型、二次函数面积最值 值 核心方法 四边形：特殊图形性质、对角线最值、动点轨迹法 面积最值：铅垂法、底高转化法 题 ①忽略动点轨迹，盲目用公式求最值 目三角形或四边形最值 易错点 ②面积最值中底和高的转化错误 ③定边定角模型中圆的轨迹找错 考法 多为填空/选择中档题或解答题基础小问，侧重性质应用与计算 中考常考题 点到圆的距离：最大距离=点到圆心距离+半径，最小距离=点到圆心 距离半径到 核心方法 定弦定角：构造外接圆，利用圆周角性质求最值 隐圆模型：根据条件确定圆心和半径，再用圆的性质求最值 0隐圆的圆心、半径判断错误 ④圆背景下最值 易错点 日忽略圆上点的位置限制，导致最值漏解 ③定弦定角模型中圆周角的范围判断错误 考法 多为填空/选择压轴或解答题压轴小问，分值4~8分，属全卷难点 中考压轴题 高频考点 沙法指津 考点一几何最值问题 《解题指南》 一、核心原理 3/29 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.两大基础依据 ①两点之间，线段最短；②垂线段最短 2.常用转化思想化折为直、化曲为直、动点轨迹化隐为显、利用轴对称/旋转/圆性质求最值 3常用工具轴对称、勾股定理、相似三角形、圆的性质、三角函数、二次函数 二、分题型分类解题方法 1.将军饮马最值（线段和最小） 题型特征：两定点、一动点在定直线上，求PA+PB最小值 解题步骤：1.作其中一个定点关于定直线的对称点；2连接对称点与另定点，线段长即为最小值 拓展：两动一定、两定两动、周长最小值都用轴对称转化 2.线段差最值PAPB 题型特征：动点在直线上，求线段差的最大值 方法：①两点在直线同侧，延长连线交直线于动点；②最大值=两定点之间线段长 依据：三角形两边之差小于第三边 3.垂线段最值 题型特征：定点到定直线、动点到直线距离最小 口诀：点到直线，垂线段最短 常考：三角形高、面积最值、最短路径 4.胡不归最值（带系数线段和） 特征：PAk·PB型，动点在直线上 解法：构造特殊角(30°、45°、60°)，把k·PB转化为垂线段，再用垂线段最短 5.四边形、三角形周长与面积最值 1周长最值：轴对称平移拼接，化折为直 2.面积最值：定底求高最大/最小；铅垂法；转化为二次函数求顶点最值 区命题点01最值问题之将军饮马求线段和最小 【典例01】(2026广东广州一模)如图，在□ABCD中，∠ABC=60°，AB=6,BC=8,点E,F分 别是边AB,BC上的动点，且满足BF=2AE.当AE=时，△EBF为等边三角形；已知点P为 EF的中点，连接AP,DP,则AP+PD的最小值为 4/29 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 【变式01】(25-26九年级下·北京期中)在正方形ABCD中，AB=3,点E,F分别为AD、AB上一点， 且AE=AF,连接BE、CF,则BE+CF的最小值是 D E 【变式02】(25-26九年级下·江苏无锡期中)如图，在正方形ABCD中，AB=4,点E是AB的中点，点 G在边BC上运动，点F在对角线AC上运动，且BG=V2AF.若当EF⊥AB时，则AF=;在运动 过程中，EF+FG的最小值为。 的 D 【变式03】(25-26九年级下·安徽马鞍山期中)如图，已知∠M0N=60°，点P、Q为∠M0N内的两个 动点，且∠P0Q=30°，0P=V3,0Q=V5,点A、B分别是0M,0N上的动点，则PA+AB+BQ 的最小值为 命题点2最值问题之胡不归模型求线段和最小 5/29 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例02】(25-26九年级下·陕西西安期中)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°， BC=9,CD平分∠ACB交AB于点D,点E为AC上一点，连接DB,则DE+吉CE的最小值为 【变式O1】(25-26九年级下·福建厦门期中)如图，沿EF翻折矩形ABCD,A对应M,D落在CB上的N 处，作DH⊥EF于H,AD=3,DC=4,则2DH十DM的最小值为 M E 【变式02】(2026山东聊城一模)如图，在平面直角坐标系中，已知点A0,4)、B(6,0),⊙0的圆心为 原点O(0,0),半径r=2,点P是圆O上的一个动点，求PB+PA的最小值为， 3456 【变式O3】(2024海南·三模)如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上， 且线段EF=4,点G为线段EF的中点，连接BG、CG、DG,则DG=;BG+吉CG的最小值为 E G D 【变式04】(25-26九年级上·辽宁阜新期中)在矩形ABCD中，AD=5,AB=8,点M从点D运动到 6/29 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点C,运动速度为5个单位长度每秒，同时点N从B出发向点A运动，运动速度为3个单位长度每秒，当 一个点到达终点时，另一个点也停止运动，则DN+AM的最小值为 D B 命题点03最值问题之周长最短问题 【典例03】(2026河南周口·二模)如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将△ABD沿着 射线BD的方向平移，得到△EFG,连接CE,ED,FC,则△CEF周长的最小值为 【变式01】(2025·安徽毫州三模)如图，Rt△ABC中，AB=AC=8,B0=AB,点M为BC边上 动点，将线段OM绕点O按逆时针方向旋转90°至ON,连接AN、CN,(1)当N点在AB上时AN= ;(2)△CAN周长的最小值为， BM 【变式02】(2025山东潍坊·二模)如图，在平面直角坐标系中，矩形0ACB的顶点O是坐标原点，顶点 A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3,OB=4,D为边OB的中点.若E为边OA上的一个动点， 当△CDE的周长最小时，则点E的坐标 7/29 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 区命题点04最值问题之面积最大问题 【典例04】(2026湖南邵阳二模)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=4y2,点D为 边BC的中点，点E,F分别为边AB,AC上的动点，且DE⊥DF,则△AEF的面积的最大值为 E B D 【变式01】(2026海南省直辖县级单位一模)如图，在平行四边形ABCD中，AB=6,AD=8, ∠B=60°.动点M、N分别在边AB、AD上，且AM=AN,以MN为边作等边△MNP,使点P始终在 ☐ABCD的内部或边上. D M B (1)∠AMP= (2)当△MNP的面积最大时，DN的长为 【变式02】(2026江苏宿迁一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，其中∠A=45°，AC=8, 若点M是AC边上的动点，连接BM,以BM为斜边作等腰直角△BMN,连接CN.则△CMN面积的最 大值是 8/29 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式03】(2024河南信阳一模)如图，菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0，且AC=8, BD=6,点E是AB边上一动点（不与A,B重合），过点E作EFBD,交AD于点F.△OEF的最大面 积是 B D 【变式04】(2025四川乐山二模)如图，点O是等腰Rt△ABC的斜边AB的中点，AC=BC=5V2, OE=2,连接BE,以BE为直角边，作等腰Rt△BEF,其中∠BEF=90°，连接AF,求四边形ACBF 面积的最大值为 F B 区命题点05利用三角形三边关系求最值 【典例05】(2025江苏南京.一模)如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,点M,N分别在边 CD,BC上，且BN=2DM.连接AM,过点N作NP⊥AM,垂足为P,连接DP,则DP的长的最小值 为 M D N 【变式01】(2026江苏连云港.一模)如图，在△ABC中，AB=8,BC=5,以AC为斜边作 9/29 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 Rt△ACP,且有cos∠CAP=青，连接BP,并延长BP至点Q,使得PQ=BP,连接AQ,则AQ的最大 值为 B 【变式O2】(2026辽宁抚顺一模)如图，直线1同侧有两点A,B,在直线1上找一点P,使得PA+PB的 值最小.若点A到直线1的距离是4，点B到直线1的距离是2，A,B在直线1上的正投影间距为5，则 PA十PB的最小值为： P 区命题点06利用点到直线的距离最短求解 【典例06】(2026江苏南京模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=4,点 D是BC的中点，点P、Q分别是AC、BD上的动点，且AP=DQ,则PQ的最小值为 a O D 【变式O1】(2026江苏徐州一模)如图，在正方形ABCD中，AB=2√5，点O是边BC的中点，若点E 是直线AO上一动点，连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90·得到线段DF,连接OF,则线段OF长 的最小值为 10/29 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A B 【变式02】(2025·贵州遵义·模拟预测)如图，点D是Rt△ABC的斜边AC上一点，且∠ABC=90°， ∠A=30°，BC=42,以BD为斜边作等腰Rt△BDB,使E,C在BD同侧，连接CB,则CE的最小值 为 A D E B 中考预测题 1.如图，在△ABC中，∠ABC=22.5,∠BAC=45,BC=4V2,P为∠ABC角平分线上一动点， Q为AB边上一动点，PQ十AP的最小值为 B 2.如图，△ABC中，∠DBC=45°，BD=2y2,BC=3,直线ADIBC,点A为AD上一点，则 △BDC的面积为； 是的最小值是— 11/29 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.如图，点P和点Q分别是等边三角形ABC的边AB和AC上的动点，且AP=CQ,若BC=2,则PQ的 最小值为· D B 考点二函数中最值问题 《解题指南》 一、核心原理 1.函数最值本质：在自变量取值范围内，找函数最大、最小函数值 2.三大依据： 一次函数：增减性定最值 二次函数：顶点最值+区间端点最值 实际问题：解析式+自变量实际取值范围 3核心思想：数形结合、分类讨论、方程思想、区间限定思想 二、分题型解题方法 1.一次函数最值 题型特征：直线型实际应用、方案选择、调配问题 解题方法： 1.先列一次函数解析式y=kx+b 2.判断k正负： ·k>0:y随x增大而增大→左端点最小，右端点最大 ·k<O:y随x增大而减小一左端点最大，右端点最小 3.代入自变量整数范围、实际限制范围求最值 适用：采购、利润、运输、用料、方案最优问题 2.二次函数无区间限制最值（全体实数） 题型特征：纯函数，无取值范围限制 解题方法： 12/29 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.化成顶点式y=a(x-h)2k 2.a>0:开口向上，顶点处有最小值k,无最大值 3.a<0:开口向下，顶点处有最大值k,无最小值 3.二次函数区间最值（中考重难点） 题型特征：给定m≤x≤n,求最值 三种情况： 1对称轴在区间左侧：整个区间单调，最值在两个端点 2对称轴在区间内部：顶点取一个最值，另一个最值在端点 3对称轴在区间右侧：整个区间单调，最值在两个端点 区命题点01函数图象动点问题的最值 【典例07】(2026浙江杭州一模)如图，在Rt△ABC中，AC=BC∠ACB=90°.点P从A出发，沿 AC-CB向终点B运动，过P作PQ⊥AB于点Q,连接CQ.设点P的运动路径长为 x(0≤x≤8)，△APQ的面积为y1,△PQC的面积为y,Y1V,关于x的函数图象如图2所示，则下列 结论错误的是() 图1 图2 A.AC=4 B.点(7,2)在y1函数图象上 C.y的最大值为4 D.当x=2时，y1=y2=1 【变式01】(2026安徽合肥一模)如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，动点D从点A开始沿 AB边以每秒1个单位长度的速度运动到点B,同时，动点E从点B开始沿BC边以相同速度运动到点C, 连接DE,点F为DE中点.设时间为t(s),DE2为y,y关于t的函数图象如图2所示，下列结论不正确 的是() 13/29 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 102 t/s 图1 图2 A.AB=4 B.连接BF,BF有最小值为V2 C.若点M是边AC的中点，则MF的最小值为1 D.连接AF,CPF,则AF+CF的最小值为2V10 【变式02】(2026山东济南一模)如图1，在△ABC中，AD为边BC上的中线，将△ABD沿射线BC的 方向平移得△EFG,设平移的距离为x,△EFG与△ACD重叠的面积为y,y与x的函数图象如图2所示， 有以下结论：①BC=6:②△ABC的面积为10：③点(5，吾)在y与x的函数图象上：④y的最大值为号 ,其中正确的有() 3 6 图1 图2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式03】(2025福建莆田·模拟预测)我们定义一种新函数：形如 y=|ax2+bx+c(a≠0，b2-4ac>0)的函数叫做“鹊桥函数.某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数G: y=|x2-x一6|的图象（如图所示），下列结论错误的是() A O B A.图象与坐标轴的交点为A(-2,0),B(3,0),C(0,6) B.若(xoy)在函数图象上，则(1-xoy)也在函数图象上 14/29 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.当x=时，函数取得最大值 D.当直线y=一x+m与函数G的图象有4个交点时，则m的取值范围是3<m<7 命题点2利用一次函数的性质求线段最值 【典例08】(2023江苏苏州模拟预测)如图，平面直角坐标系中，直线y=号x+1与y轴交于点A,点 B为y轴正半轴上一点，AB=5.点M,N都是直线y=号x+1上的点，∠MBN=45°，则线段 MN的最小值为() B A.2y5 B.2W2-2 c.25-2 D.2V2 【变式01】(2026四川南充一模)若A是直线y=x-4上一动点，B(m,m2+m-2)(m是实数)是 坐标平面内一动点，则线段AB长度的最小值是() A.支 B. c.反 D.6 【变式02】(2026安徽合肥一模)在平面直角坐标系中，点Q在直线y=-x+1上运动，将点Q绕原点 顺时针旋转90°，得到点Q,连接QQ,则QQ的最小值为() A. B.9 c.2 D.1 【变式03】(2026贵州遵义一模)如图，在平面直角坐标系中，已知点P(-2,0),点M是直线 AB:y=x+2上的一个动点，连接PM,将PM绕点P逆时针旋转90°到PN,连接ON,则线段ON的 最小值是· B M D 15/29 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 区命趣点3一次函数中线段和最短问题 【典例09】(2024陕西西安模拟预测)如图，矩形ABCD顶点坐标分别为 A(0,0)、B(-10,0)、C(-10,5),在线段AC和AB上各有一个动点E、F,当BE+EF的值最小时，点 E的坐标为 B O(4) 【变式01】(2024陕西西安：三模)在锐角△ABC中，AB+BC=8,∠ABC=60°，在△ABC内有 一点P,当AP+BP+CP的和最小时，△ABC的面积为一· 【变式02】(2025山东泰安模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，直线AB:y=x+3与x轴交于点 A,点B(2,m)在第一象限，线段AB上有一点C(n,2),点P为x轴上一动点，连接PB,PC,当 PB+PC的值最小时，此时PB+PC的最小值为 B 区命题点04一次函数与反比例函数解答题最值 【典例10】(2026江苏宿迁二模)如图，反比例函数y=的图象与直线y=-x十4交于A,B两点， 点P是线段AB上一个动点（与A、B两点不重合），过P点分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、D, PC、PD与反比例函数图象分别交于点E、F. 16/29 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0 (1)求A点的坐标： (2)求CE+DF的最小值. 【变式01】(2026广东梅州一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，□0ABC的边0C在x轴上，点B 的坐标为(9,3)，点C的坐标为(5,0)，反比例函数y=袁(k≠0，x>0)的图象经过点A,与0B交于点 E. (1)求该反比例函数的表达式； (2)点G是y轴上的动点，连接GA,GE,求GA+GE最小值时点G坐标； (3)连接AE,在反比例函数图象上是否存在点P(点P与点E不重合)，使得S△OAP=S△OAB?若存在， 求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 【变式02】(25-26九年级上·安徽芜湖·月考)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+b与反比例 函数y=会的图像的一个交点为M(m,3),与x轴的交点为N(-4,0)· (1)求m,k的值. (2)若点P是y轴上的一个动点，当△MNP的周长最小时，求点P的坐标. (3)Q为x轴上一点，直线MQ交反比例函数的图像于点R(异于M),连接RN,若△NRQ的面积为号， 17/29 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 求点R的坐标. 区命题点05二次函数的图象与性质求最值 【典例11】(2026陕西西安二模)己知二次函数y=-x2+2x+a(a为常数)，当m≤x≤3时，y有 最大值a+1,最小值a-3,则m的取值范围是() A.m≤-1 B.1≤m≤2 C.-1≤m≤1 D.-1≤m≤2 【变式01】(2026四川宜宾·二模)若1≤x≤3时，二次函数y=2x2-3ax+4的最小值为-23，则a的 值是() A.号 B.-2V6 c.2W6 D.5 【变式02】(2026辽宁沈阳一模)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2a2x+1(a>0)上有两点 M(m11)和N(m2n2),当m1=6a,1≤m2≤2时，都有n1>n2成立，则a的取值范围是 【变式03】(2026江苏宿迁·二模)在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+x+m2-m(m为常数) 的图象经过点(0,6)，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数的最小值为 【变式04】（2026山东聊城一模)己知二次函数y=-x2+2x+1,当1≤x≤3时，函数的最大值 为4，则m的值为 【变式05】(2026江苏南通.一模)若1≤x≤3时，二次函数y=2x2-3ax+4的最小值为-23，则 a= 区命题点06二次函数与几何综合求最值 【典例12】(2026四川南充一模)如图1，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P为AB边上一点（不 与A,B重合)，PQ⊥PE交AD于点Q,AB=6,BC=8. D B E B E 图1 图2 (1)若BP=吉AB,求证：PQ=PE (2)当点P在AB边上运动时，求AQ的最大值： 18/29 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图2，连接CQ,当tan∠CQE=时，求BP的值. 【变式01】(2026湖南益阳·二模)如图1，点E是正方形ABCD边BC上的动点（不与点B,C重合）·将 线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF,过点F作FG⊥BC,交BC的延长线于点G.边DC分别与 AF,EF相交于点M,N. D M 图1 图2 (1)证明：△ABE≌△EGF. (2)已知正方形ABCD的边长为1，设BE=a. ①求器的值；（结果用含a的式子表示） ②如图2，连接EM,当线段CN的长度取得最大值时，求tan∠MEF的值， 【变式02】(2026辽宁丹东·一模)随着健康中国理念深入人心，全民健身需求日益增长，某小区物业决 定在一块空地上修建运动场地.如图所示，△ABC为这块空地，已知空地的面积为12600m2,BC的长 为210m,现计划在这块空地上修建一个矩形的运动场地DEFG,使EF在边BC上，点D、点G分别在边 AB、边AC上. D B E (1)求△ABC的边BC上的高； (2)为了充分利用空地，要使矩形运动场地的面积最大，求出其最大面积. 区命题点07二次函数解答压轴之周长最小 【典例13】(2026山东济南一模)已知，抛物线y=-x2+2mx-m2+4(m>0)与x轴交于A、B两 点，交y轴于点C, 19/29 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 图1 图2 备用图 (1)当点C坐标为(0,3)时，求抛物线的表达式及点B的坐标； (2)如图1，在(1)的条件下，点M是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点M作MFIy轴交BC于点F, ME⊥BC交BC于点E,求△MEF周长的最大值； (3)如图2，抛物线顶点为点D,直线1经过点A,与抛物线交于点P,直线1与直线AD所夹的锐角为，若 tan&=青，请直接写出PD的长。 【变式01】(2026重庆一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-x+c(a≠0)与x轴分别 交于A(-4,0)、B(2,0),与y轴交于点C. 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过P作PD‖y轴交AC于点D,过D作DEBC交x轴于点 B,线段NN在直线AC上移动且MN=2V反，当PD-誓DE取得最大值时，求此时点P的坐标及 △PMN的周长的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线AC方向平移3V2个单位得到新抛物线y,点C的对应点为点H,平移后的新抛 物线y的对称轴上有一点F(m,-2),点G为新抛物线y上一动点，若∠CHG=∠CAF,请直接写出点G 的坐标，并写出求G的坐标的其中一种情况的过程 区命题点08二次函数解答压轴之面积最大 20/29 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例14】(2026安徽池州二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y,=ax2+bx十C与坐标轴交于 点A(-3,0),B,C(1,0)点，过A,B的直线解析式为y2=kx+3,M为第二象限内抛物线上一动点. (1)求抛物线的解析式： (2)求四边形AMBC面积的取值范围： (3)若△MAB的面积为S1,△MBC的面积为S2,求S1+S2的最大值. 【变式01】(2026四川宜宾一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+2与x轴交于点 A(-4,0),B(1,0)两点，与y轴交于点C. 备用图 (1)求抛物线的解析式 (2)过点B作BD‖AC交抛物线于点D,点P是射线AC上方抛物线上的一动点，连接DP与射线AC交于点 E,连接BE、BP,当△PBE面积最大时，求点P的坐标； (3)在(2)中△PBE面积取得最大值时，将抛物线y=ax2+bx+2沿射线AC方向平移V5个单位长度得 到新抛物线y,点P'为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当∠QBA=∠OPP一∠BAC时， 直接写出所有符合条件的点Q的坐标。 【变式02】(2026湖南模拟预测)如图，己知抛物线y=ax2+bx+2,过点A(-1,0)B(4,0),与y 轴交于点C 21/29 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线的解析式。 (2)点D是直线BC上方抛物线上一动点， a.当∠BCD=45°，求点D的坐标. .连接线段ACCD,AD,设直线AD交线段BC于点E,△CDE的面积为S1△ACE的面积为S2,求子：最 大值 中考预测题 1.已知二次函数y=ax2+4ax(a是常数，a<0)的图象上有A(m,y1)和B(2my2)两点.若点A, B都在直线y=-3a的上方，且y1>y2,则m的取值范围是 2.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（一1,4），点B的坐标为(3,1)，P为x轴上的一动点，则PA与 PB的差的最大值为 3.如图，点A的坐标为(4,3)，点M为直线y=-1上的一个动点，点B的坐标为(0，a),-1<a<3 ,AB⊥MB于点B,连接AM.若直线AM与x轴的正半轴所夹的锐角为c,则当sin的值最大时， △ABM的面积为 1》 考点三圆中最值问题 《解题指南》 一、核心原理 1.基本依据 22/29 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①两点之间线段最短；②垂线段最短；③同圆/等圆中：半径定长、直径最长 2.核心思想轨迹思想、化折为直、数形结合、定点定长构隐圆 3常用工具圆的半径、垂径定理、点与圆位置关系、圆周角定理、勾股、相似 二。常见题型 1.定弦最值问题 (1)定弦对应的高、面积最值 ①弦固定，圆上点到弦距离最大时，面积最大 ②最高点：垂直弦过圆心的圆弧顶点 (2)定弦定角隐圆最值 特征：线段固定，动点对线段张角固定 ①动点轨迹：一段圆弧 ②求边长、周长、距离最值，按隐圆+点圆距离求解 2.直径最值模型 1直角所对弦为直径 2动点始终保持直角→轨迹以斜边为直径的圆 3.求线段最值、动点范围用圆半径、直径性质 3.隐圆（构造圆）最值 两类构造： 1.定点定长：动点到定点距离不变→圆轨迹 2定弦定角：定线段+固定张角→外接圆弧轨迹解题：先找圆心、定半径，再套点圆距离最值 区命题点01圆最值问题中四点共圆问题 【典例15】(2026安徽芜湖二模)如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是BC边上一动点，过点B作 BE⊥AD交AD的延长线于E.若AC=2,BC=4. (1)若CD=1,则DE= (2)是的最小值为 【变式01】(25-26九年级下·山西朔州期中)如图，正方形ABCD的边长为1，E,F分别在AD,CD上， 23/29 品学科风网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 且AE=CF,EG⊥BF于点G.则CG的长的最小值为 D F G E B 区命题点2直径所对圆周角等于90°求最值 【典例16】(25-26九年级上江苏盐城月考)如图，点E是☐ABCD内一动点，且 ∠AEB=90°，AB=4,BC=6.连接CE,分别取CD、CE的中点M、N,连接MN.若∠BAD=120° ，则线段MN长度的最小值为 D M 【变式01】(2025陕西榆林模拟预测)如图，正方形ABCD内接于⊙O,点P为弧BCD上的动点（不与 端点重合)，连接AP,过点D作DQ1AP于点Q,连接BQ,若⊙0的半径为V2,则BQ长的最小值为 D .0 【变式02】(2026陕西西安模拟预测)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P为边AB上一动点，E为 PD中点，F为PC上一点，且满足EF=AE,则BF的最小值为 【变式O3】(2026山东日照.一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=4,线段CD绕 点C在平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E.若CD=1,则AE的最大值为 24/29 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式04】(2026陕西西安：三模)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点E是平面内一点，且 AE=1,过点D作BE的垂线DF,交直线BE于点F.线段BF长度最小值为 F D 【变式05】(2026河南三门峡一模)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=4W3,直线1将矩形ABCD 分成周长相等的两部分，过点B作直线的垂线，垂足为H,连接CH.当∠BCH最大时，CH的长为 区命题点03定点定长中最值问题 【典例17】(2025天津一模)如图，M是等边三角形ABC的边BC的中点，P为平面内一点，连接AP, 将线段AP以点A为中心逆时针旋转60°，得到线段AQ,连接MQ.若AB=6,点M、P之间的距离为1， 则MQ的最小值为 最大值为 B 【变式01】(2026福建漳州一模)在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,M是AB的中点，点P在AD上运 动.将△APM沿PM翻折得到△EPM,连接CE,则CE的最小值为 25/29 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式02】(2026江苏无锡一模)如图，己知∠ABC=120°，∠BCD=60°，AB=AE=20, BC=CD=40,点P为DE的中点，则点C与点P之间的最小距离为· 【变式03】(2026安徽合肥一模)如图，矩形ABCD中，AB=1,AD=V2,E、F分别为AD、BC上动 点，BF=2DE,沿直线EF进行翻折，CD对应边CD在原平面内，连接AC D --D (1)连接BD,交EF于点G,则熙= (2)E、F在运动过程中，AC的最小值=」 中考预测题 1.如图，菱形ABCD,AB=4,∠DAB=60°，将菱形ABCD关于AB对称，得到菱形ABCD,在对角 线AC,AC上有两个动点E,F,AE=CP,连接CP,EC交于点P,连接AP,则AP的最小值为 D D C 2.如图，在正方形ABCD中，AB=4,E、F是边BC,CD上两点，且BE=CF,AE与BF相交于点G, 点O是△ABG的内心，则C0的最小值为· 26/29 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D G B E 3.如图，在△ADE和△ABC中，∠ADE=∠AED=∠ABC=∠ACB=45°，P为射线BD,CE的交 点.若BC=2DE=2V2,把△ADE绕点A旋转，则BP的最小值为，最大值为 好题速递 ®好题速递 1.(2026四川广元一模)如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD、BC上的动点，且DE=CF,连 接AE、DF相交于点G,在线段AG下方以AG为斜边作等腰直角△AHG,∠AHG=90°，连接BH,若 正方形ABCD边长为4，则BH的最小值是 D E H B F 2.(2026江苏南京模拟预测)已知一次函数y=-x+m2+1与二次函数y=-(x-m)2+m2+1 (m为常数)的图象在同一平面直角坐标系.若两个函数图象没有交点，则m的取值范围是 ；若 m=一1时，点P和点Q分别是两个函数图象上的任意一点，则PQ的最小值是 3.(2026陕西西安模拟预测)如图，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=3,BC=4V3, 连接BD并延长至点E,连接CE,∠BEC=∠BCD,当线段CE的长度最小时，BE的长为 27/29 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.(2026陕西西安模拟预测)如图，四边形ABCD是菱形，连接AC,BD交于点O,G为AD边上的动点 (不与点A,D重合)，GE⊥AC于点E,GF⊥DB于点F,若OA=3,OB=6,则EF的最小值为 B E ○ G 5.(2026陕西西安·三模)如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=9,点E、F分别为边BC、BD上的 两动点，且BE=DF,当AE十AF取最小值时，COS∠EAF的值是 B 6.(2026安徽阜阳·一模)在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,0)，P是第一象限内任意一点，连接 PO,PA.若∠POA=m°，∠PA0=n°，则把P(m°，n°)叫做点P的“角坐标”. (1)若点P的坐标为(1，V3),则点P的角坐标”为 (2)若点P到x轴的距离为，则m+n的最小值为 意中考闯关 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=7,点M为平面内一动点，连接AM、BM、CM ,若∠AMC=45°，则BM的最小值为 28/29 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 2.在△ABC中，∠A=60°，BC=2V3.若⊙0是△ABC的内切圆，则⊙0的半径的最大值是 3.如图，等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE,AC=BC,CD=DE,AC=2CD=4,DH⊥AE,垂足 为H,直线HD交BE于点O.将△CDE绕点C顺时针旋转： ○ (1)EC= ； (2)OA的最大值是 4.如图，在☐ABCD中，BC>AB,AB=5,AC=4,sin∠ABC=,E,F分别为线段AC,BC上 的点，且满足AE=CF,则AF十BE的最小值为· D E B 29/29 高频考点10 几何与函数中最值问题（压轴题） 内容概览 01命题探源·考向解密（分析近3年中考考向与命题特征） 02根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等） 03高频考点·妙法指津（3大命题点+9道中考预测题，中考必考·（3-12）分） 考点一 几何最值问题 考点二 函数中最值问题 命题1 最值问题之将军饮马求线段和最小 命题2 最值问题之胡不归模型求线段和最小 命题3 最值问题之周长最短问题 命题4 最值问题之面积最大问题 命题5 利用三角形三边关系求最值 命题6 利用点到直线的距离最短求解 命题1 函数图象动点问题的最值 命题2 利用一次函数的性质求线段最值 命题3 一次函数中线段和最短问题 命题4 一次函数与反比例函数解答题最值 命题5 二次函数的图象与性质求最值 命题6 二次函数与几何综合求最值 命题7 二次函数解答压轴之周长最小 命题8 二次函数解答压轴之面积最大 考点三 圆中最值问题 命题1 圆最值问题中四点共圆问题 命题2 直径所对圆周角等于90°求最值 命题3 定点定长中最值问题 每个考点中考预测题3道 04好题速递·分层闯关（精选6道最新名校模拟试题+4道中考闯关题） 考点 考向 命题特征 几何最值（将军饮马/胡不归 /阿氏圆） 1. 将军饮马模型：两定一动、两动一定、两定两动型线段和/差最值； 2. 胡不归模型：含系数的线段和最值；3. 阿氏圆模型：圆背景下的线段和/ 差最值； 4. 折叠/旋转背景下的几何最值。 1. 以填空 / 选择压轴题和解答题压轴小问为主，分值3~8分，属于中考高频拉分题型； 2. 核心考查轴对称、旋转、圆的性质，通过转化将折线段转为直线段； 3. 侧重 “化折为直” 的转化思想，是中考几何最值的基础； 4. 常与特殊图形（矩形、菱形、圆）结合，综合性强。 2. 函数最值（一次/ 二次函数） 1. 一次函数：给定区间内的最值、方案最优问题； 2. 二次函数：顶点最值、区间最值（定轴动区间/动轴定区间）； 3. 函数与实际问题结合：利润、面积、用料最值。 1. 以解答题为主，分值6~10分，属于中考核心必考题型； 2. 核心考查函数的增减性、顶点坐标、区间限制；3. 实际应用类侧重建模能力，需先列函数解析式再求最值； 4. 二次函数区间最值是难点，常结合分类讨论。 三角形/ 四边形最值 1. 三角形：周长/面积最值、定边定角的最值、高/中线最值； 2. 特殊四边形：菱形/矩形/正方形的边长、对角线、面积最值； 3. 动点背景下的图形最值。 1. 以填空 / 选择中档题和解答题基础小问为主，分值3~6分； 2. 核心考查三角形三边关系、垂线段最短、二次函数面积最值； 3. 常结合动点、相似，需先确定动点轨迹再求最值；4. 面积最值常通过铅垂法或二次函数求解。 圆背景下的最值 1. 圆外一点到圆的最大/最小距离； 2. 定弦定角模型下的最值； 3. 圆上动点到直线/ 定点的距离最值；4. 隐圆背景下的最值问题。 1. 以填空/选择压轴题和解答题压轴小问为主，分值 4~8 分，属于中考难题； 2. 核心考查圆的定义、垂径定理、点与圆的位置关系；3. 隐圆模型需先确定圆心和半径，对几何建模能力要求高；4. 常结合三角函数、相似，综合性极强。 考点一 几何最值问题 《解题指南》 一、核心原理 1.两大基础依据 ①两点之间，线段最短；②垂线段最短 2.常用转化思想化折为直、化曲为直、动点轨迹化隐为显、利用轴对称/旋转/圆性质求最值 3.常用工具轴对称、勾股定理、相似三角形、圆的性质、三角函数、二次函数 二、分题型分类解题方法 1.将军饮马最值(线段和最小) 题型特征：两定点、一动点在定直线上，求PA+PB最小值 解题步骤：1.作其中一个定点关于定直线的对称点；2.连接对称点与另定点，线段长即为最小值 拓展：两动一定、两定两动、周长最小值都用轴对称转化 2.线段差最值PA-PB 题型特征：动点在直线上，求线段差的最大值 方法：①两点在直线同侧，延长连线交直线于动点；②最大值=两定点之间线段长 依据：三角形两边之差小于第三边 3.垂线段最值 题型特征：定点到定直线、动点到直线距离最小 口诀：点到直线，垂线段最短 常考：三角形高、面积最值、最短路径 4.胡不归最值（带系数线段和） 特征：PA+k·PB型，动点在直线上 解法：构造特殊角（30°、45°、60°），把k·PB转化为垂线段，再用垂线段最短 5.四边形、三角形周长与面积最值 1.周长最值：轴对称平移拼接，化折为直 2.面积最值：定底求高最大/最小；铅垂法；转化为二次函数求顶点最值 命题点01 最值问题之将军饮马求线段和最小 【典例01】（2026·广东广州·一模）如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，且满足．当________时，为等边三角形；已知点为的中点，连接，，则的最小值为________． 【答案】 2 【分析】由题意可知，若为等边三角形，则需满足，利用列方程求解即可； 观察图形可知，点A，D为定点，点P为动点，因此我们先探究点P的运动轨迹，通过取特殊点可以发现，点P在的垂直平分线上，那么求的最小值就可以转化为“将军饮马”问题，进而问题得解． 【详解】解：设，由题意可知，． 当为等边三角形时，则有，即． ； 如图1，分别过点F，点P作，，垂足分别为G，H，连接． ， ， ， ． 点为的中点， ， ． 在中，，, ． ，即． 连接，则． ． 当在同一条直线上时，最小，即为的长． 如图2，过点D作，交的延长线于M， 由题意可知，在中，，， ，． 在中，，， ． 的最小值为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、轴对称、等边三角形、相似、解斜三角形等知识．掌握研究动态问题的一般方法、熟悉常见最值问题的解题思路是解决问题的关键． 【变式01】（25-26九年级下·北京·期中）在正方形中，，点，分别为、上一点，且，连接、，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】过点作关于直线的对称点，连接，通过证明得到，结合轴对称性质得到，将转化为，利用两点之间线段最短可知当、、三点共线时和最小，利用勾股定理求解即可； 【详解】过点作关于直线的对称点，连接，，， ，， 四边形是正方形， ，， ，，， ， ， ， ， 当、、三点共线时，有最小值，最小值为， ， ， 在中，由勾股定理得：， 的最小值为． 【变式02】（25-26九年级下·江苏无锡·期中）如图，在正方形中，，点是的中点，点在边上运动，点在对角线上运动，且．若当时，则_____；在运动过程中，的最小值为_____． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可得，由可知为等腰直角三角形，结合为中点即可求出的长．设点到的距离为，利用勾股定理分别表示出和的长度，发现的值等价于对角线上一点到点和点的距离之和，利用轴对称性质（将军饮马模型）将折线转化为直线，最后利用勾股定理求解最小值． 【详解】解：四边形是正方形， ， ∴， 是的中点，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ； 过点作于点，作于点，连接，，设， 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ，， ， ， ， ， ∴， 由对称性知，， ∴， ∴， ∴当三点共线时取等号，此时为最小值． ∵是中点， ∴， ∵，， 由勾股定理得：， 即的最小值为． 【变式03】（25-26九年级下·安徽马鞍山·期中）如图，已知，点、为内的两个动点，且，，，点、分别是，上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、、、、，由轴对称的性质可得，，，，，，，则，当、、、四点共线时，取得最小值．容易计算得，使用勾股定理计算出即可． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、、、、， 由轴对称的性质可得，，，，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴当、、、四点共线时，取得最小值． 命题点02 最值问题之胡不归模型求线段和最小 【典例02】（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，平分交于点，点为上一点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】以C为顶点，为边，在的右侧作，过E作于F，连接，根据含的直角三角形的性质得出，，则，故当D、E、F三点共线时，最小，最小值为，证明，得出，即可求解． 【详解】解：以C为顶点，为边，在的右侧作，过E作于F，连接， 则， ∴， ∴当D、E、F三点共线时，最小，最小值为， ∵，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， 即的最小值为． 【变式01】（25-26九年级下·福建厦门·期中）如图，沿翻折矩形，A对应M，D落在上的N处，作于H，，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】利用翻折的对称性得出垂直平分，进而将转化为，将转化为，把求的最小值转化为求的最小值，再通过轴对称求最短路径． 【详解】连接， 沿翻折矩形，对应，落在上的处， 为线段的垂直平分线， ， 又， ， 与都过点， 点，，在同一直线上， 为的中点， ， 点与点关于对称，点与点关于对称， ， ， 作点 A 关于直线的对称点，连接 在上， ， ， 四边形为矩形， ，，， 点为点A关于直线的对称点， ，， ， ， 当D，N，三点共线时取等号， 此时 N为直线与 的交点，在上， 的最小值为 ． 【变式02】（2026·山东聊城·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，的圆心为原点，半径，点P是圆O上的一个动点，求的最小值为______． 【答案】 【分析】在上取一点，证明，得出，则，当三点共线时，取得最小值，即线段的长度，根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：已知半径，， ， 在上取一点， 此时， ， ， ，即， ， 当三点共线时，取得最小值，即线段的长度， ， ， 故的最小值为． 【变式03】（2024·海南·三模）如图，正方形的边长为，点为边上一个动点，点在边上，且线段，点为线段的中点，连接、、，则_______；的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线定理、相似三角形的判定与性质、动点轨迹与线段和的最值，确定动点G的运动轨迹是解题关键． （1）借助正方形性质得为直角三角形，利用直角三角形斜边中线定理求出； （2）先确定点的轨迹为圆，再构造相似三角形将转化为，结合“两点之间线段最短”与勾股定理求得的最小值为． 【详解】（1）解：四边形为正方形，， ， 点为线段的中点， ， 故答案为：． （2）解：如图，根据题意可知，点的运动轨迹为以为圆心，长为半径的圆，在上取点，使，连接交于． ，，， ， ， ， ，即， ， 可知当运动到的位置，即、、位于同一条直线上时，取得最小值，最小值为， ，， ， 的最小值为． 故答案为：． 【变式04】（25-26九年级上·辽宁阜新·期中）在矩形中，，，点M从点D运动到点C，运动速度为5个单位长度每秒，同时点N从B出发向点A运动，运动速度为3个单位长度每秒，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形判定与性质，勾股定理，矩形性质，两点之间线段最短．延长到E，使，连接，以为一边构造相似比为的相似三角形，得到，再利用两点之间线段最短，勾股定理解决问题． 【详解】解：延长到E，使，连接， ∵， ∴， 设点M，点N运动时间为t秒， 由题意，得， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 而， ∴， 故答案为：． 命题点03 最值问题之周长最短问题 【典例03】（2026·河南周口·二模）如图，在边长为2的菱形中，，将沿着射线的方向平移，得到，连接，，，则周长的最小值为________． 【答案】/ 【分析】根据菱形的性质得到，根据平移的性质得到，推出四边形是平行四边形，得到，于是得到的最小值的最小值，根据平移的性质得到点在过点且平行于的定直线上，作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，通过证明得到，即可得出结论． 【详解】解：连接交于点， ∵在边长为 2 的菱形中，， ，， ∵将沿射线的方向平移得到， ∴，点在过点且平行于的定直线上， ∵四边形是菱形， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 的最小值的最小值， ∵点在过点且平行于的定直线上， ∴作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，则的长度即为的最小值， 根据轴对称的性质可得：， ， ，， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， 则周长的最小值为． 【变式01】（2025·安徽亳州·三模）如图，中，，点M为边上一动点，将线段绕点O按逆时针方向旋转至，连接，（1）当N点在上时_____；（2）周长的最小值为______． 【答案】 4 / 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理， 对于（1），当N点在上时，，此时，进而求出，然后根据得出答案； 对于（2），作，，再根据“角角边”证明，可得，然后说明的周长最小，再作，最后根据勾股定理求出答案. 【详解】解：（1）当N点在上时，， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵将线段绕点O按逆时针方向旋转至， ∴， ∴； 故答案为：4； （2）如图，作于H，于J． ∵， ∴， ∵于H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点N的运动轨迹是直线（该直线与直线平行，在的右侧，与的距离是）， 作点C关于该直线的对称点，连接交该直线于，连接，此时的周长最小，作于G． 在中，， ∴的周长的最小值为． 故答案为：． 【变式02】（2025·山东潍坊·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O是坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，，D为边的中点．若E为边上的一个动点，当的周长最小时，则点E的坐标________． 【答案】 【分析】由于C、D是定点，则是定值，如果的周长最小，即有最小值．为此，作点D关于x轴的对称点，当点E在线段上时的周长最小． 考查轴对称-最短路线问题， 坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质等，找出点E的位置是解题的关键. 【详解】解：如图，作点D关于x轴的对称点连接，与x轴交于点E，连接. 若在边上任取点与点E不重合，连接 由， 可知的周长最小， ∵在矩形中，，D为边的中点， ∴， ∵， ∴ 则 故 ∴， ∴点E的坐标为. 故答案为： 命题点04 最值问题之面积最大问题 【典例04】（2026·湖南邵阳·二模）如图，在等腰直角三角形中，，，点为边的中点，点，分别为边上的动点，且，则的面积的最大值为__________． 【答案】2 【分析】连接，证明，当时，求得的最小值，据此即可求得的面积的最大值． 【详解】解：如图，连接， ∵为等腰直角三角形，，点为边的中点， ∴，， ∵， ∴，，即：， 在与中，， ∴， ∴． 即：． ∵， ∴当时，的最小值， 故：的最大值． 【变式01】（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，在平行四边形中，，，．动点、分别在边、上，且，以为边作等边，使点始终在的内部或边上． （1）________； （2）当的面积最大时，的长为________． 【答案】 90 5 【分析】（1）在中，得出，根据是等边三角形，得出，，连接，证明，得出，，则 （2）作的平分线交于点，证明是等边三角形，得出，根据，得出直线和直线重合，确定点在上运动，根据，得出最大时，的面积最大，当点与点重合时，的面积最大，此时，根据等边三角形的性质得，则，得出． 【详解】解：∵在中，，，． ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∴； （2）作的平分线交于点E， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴直线和直线重合， 即点P在上运动， ∵， 则最大时，的面积最大， 根据题意可得当点P与点E重合时，最大，即的面积最大， 此时，如图， 则， ∴， ∴． 【变式02】（2026·江苏宿迁·一模）如图，在中，，其中，，若点M是边上的动点，连接，以为斜边作等腰直角，连接．则面积的最大值是__________． 【答案】4 【分析】通过证明，可得，可求的长，由三角形的面积公式和二次函数的相知可求解最大值． 【详解】解：过点作直线于， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴面积， ∴当时，面积的最大值为， 【变式03】（2024·河南信阳·一模）如图，菱形中，对角线，相交于点，且，．点是边上一动点（不与，重合），过点作，交于点．的最大面积是________． 【答案】 【分析】设与的交点为，，根据菱形的性质可得，，且．由可得，且，利用相似的性质计算得，，则．由三角形面积公式可得，该二次函数图象开口向下，因此有最大值． 【详解】解：如图，设与的交点为，， ∵四边形是菱形，且，， ∴，，且， 由勾股定理可得， ∵， ∴，， ∴，即， 解得：，， ∴， ， ， ， ． ∵， ∴当时，取得最大值，即的最大面积是． 【变式04】（2025·四川乐山·二模）如图，点O是等腰的斜边的中点，，，连接，以为直角边，作等腰，其中，连接，求四边形面积的最大值为________． 【答案】50+10 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，等腰直角三角形的性质，证明相似三角形是解题的关键． 通过证明，可得，当的面积有最大值时，的面积有最大值，即四边形面积有最大值，当点，点，点三点共线时，的面积有最大值，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于， ，，， ，，，， ，， ， ， ， 当的面积有最大值时，的面积有最大值，即四边形面积有最大值， 点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点H是的中点， 是的中位线， ， ， 当点，点，点三点共线时，的面积有最大值， 的面积最大值， 的面积最大值为， 四边形面积的最大值， 故答案为：． 命题点05 利用三角形三边关系求最值 【典例05】（2025·江苏南京·一模）如图，在矩形中，，点M，N分别在边上，且．连接，过点N作，垂足为P，连接，则的长的最小值为 _____ ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了最值问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，矩形的性质等，正确作出辅助线构造相似三角形，从而确定点P的轨迹是解题的关键．延长到H，使得，连接，可证明，得到，再导角证明，得到P、N、H三点共线；取的中点O，连接，则可得到当点P在线段上时，有最小值，最小值为的值，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，延长到H，使得，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴P、N、H三点共线； 如图所示，取的中点O，连接， ∵， ∴， ∵， ∴当点P在线段上时，有最小值，最小值为的值， 在中，， ∴， 故答案为：2． 【变式01】（2026·江苏连云港·一模）如图，在中，，，以为斜边作，且有，连接，并延长至点，使得，连接，则的最大值为_________． 【答案】16 【分析】以为斜边作，且使得，延长到F，使得，连接，可证明，得到，则；由三角形中位线定理可得；证明垂直平分，得到；根据，得到当A、F、Q三点共线时，有最大值，最大值为． 【详解】解：如图所示，以为斜边作，且使得，延长到F，使得，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴为的中位线， ∴； ∵，，即， ∴垂直平分， ∴； ∵， ∴当A、F、Q三点共线时，有最大值，最大值为． 【变式02】（2026·辽宁抚顺·一模）如图，直线l同侧有两点A，B，在直线l上找一点P，使得的值最小．若点A到直线l的距离是4，点B到直线l的距离是2，A，B在直线l上的正投影间距为5，则的最小值为______． 【答案】 【分析】作A关于l的对称点，连接，，，过作于E，根据轴对称的性质可得出过点C，，，证明四边形是矩形，得出，，在中，根据勾股定理求出，根据，则当、P、B三点共线时，取最小值，最小值为，即可求解． 【详解】解：由题意，得，，，，， 作A关于l的对称点，连接，，，过作于E， 则过点C，，四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当、P、B三点共线时，取最小值，最小值为， 即的最小值为． 命题点06 利用点到直线的距离最短求解 【典例06】（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，，，点D是的中点，点P、Q分别是、上的动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】作于点，设，根据含30度角的直角三角形的性质，求出，，进而求出点与点重合时，的长，当点在点左侧，得到，勾股定理得到，利用二次函数求最值，当点在点右侧得到的长比重合时要大，且，得到，即可得出结果． 【详解】解：作于点，设， ∵，，， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵，， ∴，， 当点与点重合时，则：， 解得， ∴， 当点在点的左侧时，如图， 则：， ∴ ， ∴抛物线的开口向上，当时， 有最小值为， ∴的最小值为； 当点在点的右侧时，如图， 此时的长比重合时要大，且， ∴， ∵， ∴的最小值为． 【变式01】（2026·江苏徐州·一模）如图，在正方形中，，点O是边的中点，若点E是直线上一动点，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值为_______． 【答案】1 【分析】根据旋转的性质和正方形的性质证明 ，从而得出 ，确定点的运动轨迹，利用垂线段最短，结合三角函数求解的最小值． 【详解】解：连接， 由旋转的性质可知， 四边形是正方形 ，， 在和 中 ， 当时，的长度最小，如图： 四边形是正方形 ∴ ∵，， ∴ 在中，，是的中点， 由勾股定理得， ∴在中， ∴线段长的最小值为1． 【变式02】（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，点是的斜边上一点，且，，以为斜边作等腰，使在同侧，连接，则的最小值为_______． 【答案】2 【分析】如图，过点作，使，连接，利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质得到与的关系，则当取最小值时，最小；所以当，由于垂线段最短，此时最小，接着利用含角的直角三角形的性质和勾股定理求得即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作，使，连接， 则为等腰直角三角形， ， ∵为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ∴当取最小值时，最小． ∴当时，此时最小． ∵， ∴， ， ， ， ∴的最小值为 2 ． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，恰当的添加辅助线构造直角三角形的是解题的关键． 中考预测题 1．如图，在中，，，，为角平分线上一动点，为边上一动点，的最小值为_______． 【答案】 【分析】过点作的对称点，连接、，则，过点作，交延长线于点，可得，可得的最小值为，过点作，交于，过点作于点，证明是等腰直角三角形，得出，证明，得出，利用外角性质得到，由等腰三角形的性质得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点作的对称点，连接、，过点作，交延长线于点， ∴， ∵为角平分线上一动点， ∴点在射线上， ∴， ∴的最小值为，此时、重合，、、三点在同一条直线上， 过点作，交于，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，，， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值为． 2．如图，中，，，，直线，点A为上一点，则的面积为______；的最小值是______． 【答案】 / 【分析】如图，过点A作于点E，于点H，作于点B，于点C，与交于点F，取的中点G，连接，，可知，得到，根据等角对等边及勾股定理得到，证明四边形是平行四边形，得到，可知的面积；证明，得到，设，则，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，根据勾股定理得到，根据三角形三边关系及“分子相同，分母越大分数越小”作答即可． 【详解】解：如图，过点A作于点E，于点H，作于点B，于点C，与交于点F，取的中点G，连接，， 可知， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的面积为； ∵， ∴， ∵ 设，则， ∵，点G为的中点， ， ， ∵， ． 3．如图，点P和点Q分别是等边三角形的边和上的动点，且，若，则的最小值为_____． 【答案】1 【分析】在上取一点D，使得，连接，，证明，，从而得出，再过点P作交于点H，设，，利用勾股定理和解30度直角三角形求得的表达式，结合二次函数的最值问题即可得出的最小值． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴，， 如图，在上取一点D，使得，连接，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，在上， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证得：， ∴， ∴，即是等边三角形， 过点P作交于点H， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中， ， ∴， ∵， ∴当时，有最小值为1， ∴的最小值也为1． 考点二 函数中最值问题 《解题指南》 一、核心原理 1.函数最值本质：在自变量取值范围内，找函数最大、最小函数值 2.三大依据： 一次函数：增减性定最值 二次函数：顶点最值+区间端点最值 实际问题：解析式+自变量实际取值范围 3.核心思想：数形结合、分类讨论、方程思想、区间限定思想 二、分题型解题方法 1.一次函数最值 题型特征：直线型实际应用、方案选择、调配问题 解题方法： 1.先列一次函数解析式y=kx+b 2.判断k正负： ·k>0：y随x增大而增大→左端点最小，右端点最大 ·k<0：y随x增大而减小→左端点最大，右端点最小 3.代入自变量整数范围、实际限制范围求最值 适用：采购、利润、运输、用料、方案最优问题 2.二次函数无区间限制最值(全体实数) 题型特征：纯函数，无取值范围限制 解题方法： 1.化成顶点式y=a(x-h)²+k 2.a>0：开口向上，顶点处有最小值k,无最大值 3.a<0：开口向下，顶点处有最大值k,无最小值 3.二次函数区间最值(中考重难点) 题型特征：给定m≤x≤n,求最值 三种情况： 1.对称轴在区间左侧：整个区间单调，最值在两个端点 2.对称轴在区间内部：顶点取一个最值，另一个最值在端点 3.对称轴在区间右侧：整个区间单调，最值在两个端点 命题点01 函数图象动点问题的最值 【典例07】（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，．点从出发，沿向终点运动，过作于点，连接．设点的运动路径长为的面积为，的面积为关于的函数图象如图2所示，则下列结论错误的是（   ） A． B．点在函数图象上 C．的最大值为4 D．当时， 【答案】B 【分析】根据图2可得的长度为，可得；画出时的图形，计算的面积即可；根据题意可得当时，的面积最大；画出时的图形，计算和的面积即可． 【详解】解：根据函数图象可得的长度为， ， ，故A正确； 当时，如图，则， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 即时，， ∴点不在函数图象上，故B错误； 可得当时，的面积最大， 此时， ，故C正确； 当时，如图，则，， ， ， 即当时，，故D正确． 【变式01】（2026·安徽合肥·一模）如图1，在等腰中，，动点D从点A开始沿边以每秒1个单位长度的速度运动到点B，同时，动点E从点B开始沿边以相同速度运动到点C，连接，点F为中点．设时间为，为y，y关于t的函数图象如图2所示，下列结论不正确的是（   ） A． B．连接，有最小值为 C．若点M是边的中点，则的最小值为1 D．连接，则的最小值为 【答案】C 【详解】解：由题意得， ∴当时，，， 在中，， ∴，即， 解得（负值已舍）， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵中，是斜边上的中点， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴当时，取最小值，此时最小值为8，即的最小值为， ∴有最小值为，故选项B正确，不符合题意； 以点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系： 那么，，，， ∵和分别为和的中点， ∴，， ， ， 时，取最小值，此时最小值为，故选项C错误，符合题意； ∵已知，，，设， ∴，， 消去得， ∴点在直线上运动， 作点关于直线的对称点， ∴的最小值为的长， ∴的最小值，故选项D正确，不符合题意． 【变式02】（2026·山东济南·一模）如图，在中，为边上的中线，将沿射线的方向平移得，设平移的距离为，与重叠的面积为与的函数图象如图2所示，有以下结论：①；②的面积为；③点在与的函数图象上；④的最大值为．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据平移及函数图象结合，列出与的函数关系式，逐一判断结论是否正确即可. 【详解】解：由图象可知，当时，， 即：与重叠的面积为， 此时，与重合，，∴①正确； 当时，，与重合，与重合，令与的交点为， ∵，为的中点， ∴为中点， ∵， ∴， ∴，∴②正确； 当时，连接， ∵， ∴， ∴，即：， 同理：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴即：， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， 即当时，，∴④正确； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 当时，，∴③错误． 故选：C． 【变式03】（2025·福建莆田·模拟预测）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数：的图象（如图所示），下列结论错误的是（   ） A．图象与坐标轴的交点为，， B．若在函数图象上，则也在函数图象上 C．当时，函数取得最大值 D．当直线与函数的图象有个交点时，则的取值范围是 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，从图象中有效的获取信息是解题的关键．求出函数与坐标轴的交点坐标判断A，根据图象可知，函数没有最大值，判断C；图象法，判断B和D． 【详解】解：， ∴当时，，当时，， 解得：，， ∴图象与坐标轴的交点为，，，故A正确； 根据图象得：图象的对称轴为直线， 若在函数图象上，则也在函数图象上，故B正确； 由图象可知：当或时，函数值随值的增大而增大，且无最大值，故C错误； 当直线过点时，直线与函数图象恰好有个交点， 即， 解得：， 当与之间的图象相切时，恰好有三个交点， 当时，，， 整理得：， ∴， 解得：， ∴当直线与函数的图象有个交点时，则的取值范围是，故D正确； 综上，错误的是C． 故选：C． 命题点02 利用一次函数的性质求线段最值 【典例08】（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，点B为y轴正半轴上一点，．点M，N都是直线上的点，，则线段的最小值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数得出，再由正切函数确定，得出，过点B作，确定，作的外接圆D，连接，利用圆周角定理得出，确定，即当外接圆半径最小时，线段取得最小值，结合图形过点D作，当圆心D在上，点F与点E重合时，半径取得最小值，然后建立方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点B作，如图所示：    ∵， ∴， 作的外接圆D，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 即当外接圆半径最小时，线段取得最小值， 过点D作，当圆心D在上，点F与点E重合时，半径取得最小值，如图所示：    此时，， 为等腰直角三角形， 设圆D的半径为r，则， ∴， 解得：， ∴线段的最小值为 ． 【变式01】（2026·四川南充·一模）若是直线上一动点，（是实数）是坐标平面内一动点，则线段长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】是直线上的动点，的运动轨迹是，作直线的平行线，当与抛物线只有唯一交点时，两平行线间的距离即为线段长度的最小值，即可求解． 【详解】解：的运动轨迹是，直线与轴交点为，与轴交点为， ∴， ∴， 作直线的平行线， ∴当与抛物线只有唯一交点时，两平行线间的距离即为线段长度的最小值， 设与轴交点为，过作于，则， ∴， ∴，， 联立整理得， ∵与抛物线只有唯一交点， ∴，解得， ∴， 即线段长度的最小值为． 【变式02】（2026·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，点在直线上运动，将点绕原点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用旋转的性质和勾股定理可得，即知要求的最小值，即求的最小值，又由垂线段最短可知的最小值是原点到该直线的垂线段长度，最后利用三角形的面积解答即可求解． 【详解】解：如图， ∵点绕原点顺时针旋转得到点， ∴，， ∴， 要求的最小值，即求的最小值， ∵点在直线上，的最小值是原点到该直线的垂线段长度， ∵时，时， ∴直线与轴交于，与轴交于， ∴直线与坐标轴围成的直角三角形斜边长为， 设斜边上的高（即垂线段长度）为，由三角形面积公式得， 解得， 即的最小值为， ∴的最小值为． 【变式03】（2026·贵州遵义·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是直线上的一个动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，则线段的最小值是_____． 【答案】/ 【分析】过点作轴，过点分别作的垂线于点，设直线交轴于点，交于点，证明，设，结合全等三角形的性质得出，进而可得点在直线上运动，当时，的值最小，证明是直角三角形，，得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转到， ∴， ∵点是直线上的一个动点， 设 如图，过点作轴，过点分别作的垂线于点，设直线交轴于点，交于点， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴，即 令， ∴ ∴点在直线上运动，当时，的值最小， 联立，解得： ∴ ∴，， ∴，， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴，即线段的最小值是． 命题点03 一次函数中线段和最短问题 【典例09】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，矩形顶点坐标分别为，在线段和上各有一个动点，当的值最小时，点的坐标为_________．    【答案】 【分析】根据轴对称最短路径，作点关于的对称点，结合点到直线垂线最短可得即为最短，交点即为所求，根据矩形的性质，垂直平分线的性质可得，为等腰三角形，运用锐角三角函数可得，可求出的值，根据即可求解的值，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，过点作的垂线，交于点，根据点到直线垂线最短可得此时的值最小，    ∵四边形是矩形，， ∴， 连接交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点关于对称， ∴， ∴，则，即是等腰三角形， 根据对称可得，，是的垂直平分线， ∴， 设，则， ∴在直角中，， ∴， 解得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了轴对称最短路径，矩形的性质，坐标与图形，垂直平分线的性质，锐角三角函数的计算等知识的综合，掌握轴对称最短路径，矩形的性质，三角函数的计算方法是解题的关键． 【变式01】（2024·陕西西安·三模）在锐角中，，，在内有一点P，当的和最小时，的面积为 __． 【答案】 【分析】将绕点B逆时针旋转得到，证出，要的和最小时，即点、、P、C在一条直线上，即最小值为，过点作，交的延长线于点F，求出，，连接，即可求解． 【详解】解：将绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴，，，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 要使的和最小时，即点、、P、C在一条直线上，即最小值为， 过点作，交的延长线于点F， 在中，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，即， 当，即时，最小， 此时，，， 连接，∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质、勾股定理、等边三角形的性质和判定、平行线的判定及二次函数最值，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【变式02】（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，点在第一象限，线段上有一点，点P为x轴上一动点，连接，，当的值最小时，此时的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用、轴对称的性质、勾股定理，先求出，，作点关于轴的对称点，连接交轴于，则点即为所求，由轴对称的性质可得，，则，当、、在同一直线上时，最小，为，由勾股定理求出的长即可得解． 【详解】解：将代入直线得，即，故， 将代入直线得，解得，即； 如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，则点即为所求， 由轴对称的性质可得：，， ∴， 当、、在同一直线上时，最小，为， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：． 命题点04 一次函数与反比例函数解答题最值 【典例10】（2026·江苏宿迁·二模）如图，反比例函数的图象与直线交于，两点，点是线段上一个动点（与、两点不重合），过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点、，、与反比例函数图象分别交于点、． (1)求点的坐标； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把反比例函数与一次函数的解析式联立起来，解方程即可求出点的坐标； （2）点是线段上一个动点，设点的坐标为，则有点的纵坐标为，点的横坐标为，根据点、在反比例函数上，分别求出点的横坐标和点的纵坐标，即为、的长度，所以可得，再利用二次函数的性质求出的最小值． 【详解】（1）解：解方程， 整理可得：， 解得：，， 点在点左侧， 点的横坐标为， ， 点的坐标为； （2）解：点是线段上一个动点， 设点的坐标为，其中， 点的纵坐标为，点的横坐标为， 点在反比例函数上， ， ， ， 点的横坐标为，点在反比例函数上， 点的纵坐标为， ， ， ， 当取最大值时有最小值， 的最大值为， 的最小值为． 【变式01】（2026·广东梅州·一模）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点B的坐标为，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点A，与交于点E． (1)求该反比例函数的表达式； (2)点G是y轴上的动点，连接，求最小值时点G坐标； (3)连接，在反比例函数图象上是否存在点P（点P与点E不重合），使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P坐标为 【分析】（1）利用菱形的性质结合勾股定理求得点，再利用待定系数法求解即可； （2）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为，求出直线解析式为，与反比例函数解析式联立求出．作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为，再利用勾股定理求解即可； （3）过点E作轴于点F，过点A作轴于点D，过点P作轴于点G，设，求得，由求得，据此列式计算求解即可． 【详解】（1）解：∵的边在x轴上，点B坐标为， 如图1，过点B作轴于点H，过点A作轴于点D， ∴，， ∵点C坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴点． ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：如图2，作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为， 设直线解析式为， ∵点B坐标为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵反比例函数的图象与交于点E， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∵， ∴， 连接，交y轴于点G，此时最小． 设直线的解析式为． 将，代入： 解得， ∴直线的解析式为． 令，得． ∴点G坐标为； （3）解：反比例函数图象上存在点P（点P与点E不重合），使得，理由如下： 如图3，过点E作轴于点F，过点A作轴于点D，过点P作轴于点G， ∴，，，， ∴， 设， ∴ ， ∵ ， ∴， 整理得：， ∴或（舍去）， ∴点P的坐标为． 【变式02】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图像的一个交点为，与x轴的交点为． (1)求，的值． (2)若点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． (3)为轴上一点，直线交反比例函数的图像于点（异于），连接，若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为 (3)点的坐标为 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）把代入求出值，把代入可求出的值，代入即可求出的值； （2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于，根据轴对称的性质得出的周长最小为，利用待定系数法可求出直线的解析式为，令，求出值，即可得答案； （3）设，直线的解析式为，利用待定系数法得出直线的解析式为，求出，根据的面积为得出，解方程即可得答案． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图像的一个交点为，与x轴的交点为， ∴，， 解得：，， ∴， ∴， 解得：． （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于， ∴， ∴， ∴、、三点共线时有最小值，为， ∴的周长最小，为， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为． （3）解：由（1）得， ∴反比例函数解析式为， ∵直线交反比例函数的图像于点（异于）， ∴设，直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 当时，，整理得（舍去）， 当时，，整理得（舍去）， 当时，， 解得：， ∴， ∴点的坐标为． 命题点05 二次函数的图象与性质求最值 【典例11】（2026·陕西西安·二模）已知二次函数（a为常数），当时，y有最大值，最小值，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将二次函数解析式化为顶点式，确定其开口方向、对称轴和顶点坐标；再结合给定的最大值和最小值，分析函数在时的增减性与最值取得的位置，进而确定的取值范围． 【详解】解：二次函数解析式为，将其化为顶点式： ． ∵二次项系数， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，当时，函数取得最大值． ∵的最大值为， ∴必须在取值范围内，即． 抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，到对称轴的距离为． 函数的最小值为， 将代入解析式得， ∴函数在处取得最小值， 要保证在时的最小值，则需满足，即到对称轴的距离不大于到对称轴的距离， ∴， 解得， 综上，的取值范围为． 【变式01】（2026·四川宜宾·二模）若时，二次函数的最小值为，则的值是（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】先判断二次函数开口方向，求出对称轴，根据对称轴与给定区间的位置关系分三种情况讨论，舍去不符合条件的解，即可得到正确结果． 【详解】∵二次函数的二次项系数为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 此时分三种情况讨论： ①当，即时， 在范围内，y随x的增大而增大，当时，y取得最小值， ∴， 解得， ∵，不符合条件，舍去； ②当，即时， 二次函数最小值在对称轴处取得，将代入得： ， 解得，均不在范围内，舍去； ③ 当，即时， 在范围内，y随x的增大而减小，当时，y取得最小值， ， 解得，符合的条件， ∴． 【变式02】（2026·辽宁沈阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线上有两点和，当，时，都有成立，则a的取值范围是_________． 【答案】 【分析】推导出抛物线开口向上，在时，函数最大值在端点或处取得，需满足且，得到不等式组，求出，即可解答． 【详解】解：∵抛物线中， ∴抛物线开口向上，在时，函数最大值在端点或处取得， 当时，记函数值为，当时，记函数值为，当时，记函数值为， ∵点的纵坐标恒大于区间上任意点的纵坐标， ∴需满足且， ∵， ， ， ∴， 由①，得， ． ∵， ∴， ， 或， 解得或（不符合题意，舍去）； 由②，得， ． ∵， ∴， ， 或， 解得或（不符合题意，舍去）． ∴的解集为． ∵当时，，不在区间内，符合题意． 综上所述，a的取值范围是． 【变式03】（2026·江苏宿迁·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数的最小值为__________． 【答案】 【分析】先将已知点坐标代入二次函数解析式求出的可能取值，再根据对称轴位置确定符合条件的的值，最后计算二次函数的最小值即可． 【详解】解：二次函数中，，因此二次函数开口向上，有最小值． 二次函数图象经过点， 将代入解析式得：， 整理得， 解得或． 对称轴在轴左侧，二次函数对称轴公式为， ， 解得， 因此舍去，得． 将代入二次函数解析式得：， 配方得， 因此该二次函数的最小值为． 【变式04】（2026·山东聊城·一模）已知二次函数，当时，函数的最大值为4，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，分3种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小， ∵当时，函数的最大值为4， ∴当时，则当时，函数有最大值为，解得（舍去）； 当时，则当时，函数有最大值为，解得（舍去）； 当时，则当时，函数有最大值为，解得或 （舍去）； 综上：. 【变式05】（2026·江苏南通·一模）若时，二次函数的最小值为，则________________． 【答案】5 【分析】先判断二次函数开口方向，求出对称轴，根据对称轴与区间的位置关系分三种情况讨论，舍去不符合条件的解，即可得到正确结果. 【详解】解：∵ 二次函数的二次项系数为， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， 分三种情况讨论： ①当，即时， 在范围内，y随x的增大而增大，当时，y取得最小值， ， 解得， ∵ ，不符合条件，舍去； ②当，即时， 二次函数最小值在对称轴处取得，将代入得： ， 解得，均不在范围内，舍去； ③ 当，即时， 在范围内，y随x的增大而减小，当时，y取得最小值， ， 解得，符合的条件. 命题点06 二次函数与几何综合求最值 【典例12】（2026·四川南充·一模）如图1，在矩形中，点为的中点，点为边上一点（不与，重合），交于点，，．    (1)若，求证：； (2)当点在边上运动时，求的最大值； (3)如图2，连接，当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的长为2或4 【分析】（1）利用一线三垂直模型，证明，从而得出； （2）根据勾股定理和一元二次函数模型求的最大值； （3）利用三角函数定义以及相似三角形的性质构建分式方程求解线段的值． 【详解】（1）证明：点是的中点，，． ∴． ， ， ． 四边形是矩形， ， ． ， ， ． 在和中， ， ． （2）解：设，则， 由（1）知：， ， ， ， ， 当时，． （3）解：如图，设的中点为点，过点作交于点，在上截取，连接，以点为圆心为半径作，交于点，连接，．   是的中点，, 是的垂直平分线， ， 在上． ． ，， ， ． 在中，， ． 即当时，点为交的交点． ， 四边形是矩形， ，． ， ， 又， ， ， ． 设，则． 由（2）知：． ， ． 整理得：， 解得或． 经检验：或都是原方程的根． 或． 或，即的长为或． 【变式01】（2026·湖南益阳·二模）如图1，点是正方形边上的动点（不与点重合）．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，交的延长线于点．边分别与相交于点． (1)证明：． (2)已知正方形的边长为1，设． ①求的值；（结果用含的式子表示） ②如图2，连接，当线段的长度取得最大值时，求的值． 【答案】(1)见详解 (2)① ② 【分析】(1) 利用正方形性质和旋转性质，通过角的关系证明对应角相等，再用AAS证明三角形全等． (2) ①先利用全等和相似求出，再通过作垂线构造相似三角形求出，进而求出比值．     ②利用二次函数求出最大时a的值，再用勾股定理求出的三边长，利用面积法求出点M到的距离，最后在直角三角形中用正切定义求解． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， ， 、、三点共线， ， ， 在中，， ， 在和中： ， ， ， ． （2）①解：正方形的边长为，， ，， 由（1）知， ，， 、、、四点共线， ， ， ，， ， ， ， ， 过点作直线于点， ，， 、、三点共线， 四边形中，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ②解：， 当时，取得最大值， 此时， 由①知， ， 在中，，， ， 在中，，， ， 过点作于点， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， 在中，， 点在外部， ， 过点作于点， ， ， ， 在中，， ． 【变式02】（2026·辽宁丹东·一模）随着健康中国理念深入人心，全民健身需求日益增长，某小区物业决定在一块空地上修建运动场地．如图所示，为这块空地，已知空地的面积为，的长为，现计划在这块空地上修建一个矩形的运动场地，使在边上，点、点分别在边、边上． (1)求的边上的高； (2)为了充分利用空地，要使矩形运动场地的面积最大，求出其最大面积． 【答案】(1)的边上的高为 (2)矩形的面积最大为 【分析】（1）过点作，垂足为点，利用三角形的面积求解即可． （2）设交于点，的长为，由矩形的性质证明，由相似三角形的性质得出，再根据线段的和差得出，再根据矩形的面积公式列出关于x的二次函数，最后利用二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：过点作，垂足为点， ∵空地的面积为，长为210m ∴ ∴ ∴ 答：的边上的高为120m． （2）解：设交于点，的长为， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ∵， ∴拋物线开口向下， ∴当时，四边形面积最大，即 答：矩形的面积最大为． 命题点07 二次函数解答压轴之周长最小 【典例13】（2026·山东济南·一模）已知，抛物线与轴交于、两点，交轴于点． (1)当点坐标为时，求抛物线的表达式及点的坐标； (2)如图1，在（1）的条件下，点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，交于点，求周长的最大值； (3)如图2，抛物线顶点为点，直线经过点，与抛物线交于点，直线与直线所夹的锐角为，若，请直接写出的长． 【答案】(1)， (2)周长的最大值为 (3)或 【分析】（1）由待定系数法即可求解函数解析式，再令求解点B坐标； （2）先求解直线，然后证明为等腰直角三角形，则，那么，故当取得最大值时，取得最大值，设，则，则，再由二次函数的性质求解的最大值，即可求解的最大值； （3）根据抛物线的解析式可得，；当点在x轴上方时，过点作轴于点，设与交点为点，在射线上取点，使得，连接，可得，则，证明，求出，则直线的解析式为，再与抛物线的解析式联立求解点的坐标，即可求解；当点在x轴下方时，过点作交直线于点，过点作轴于点，过点作，交直线于点，证明，求出，则直线的解析式为，再与抛物线的解析式联立求解点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，将点代入， 则 解得 ∵ ∴， ∴解析式为： 令，则 解得， ∴； （2）解：设直线， 则代入点得，，解得 ∴直线 ∵ ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴ ∵轴， ∴ ∵ ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴当取得最大值时，取得最大值， 设，则 ∴ ∵ ∴当时，的最大值为 ∴周长的最大值为； （3）解：在中，当，则， 解得， ∴； ∵， ∴； 如图所示，当点在x轴上方时，过点作轴于点，设与交点为点，在射线上取点，使得，连接， ∴，， ∴，； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得 ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， ∴； 当点在x轴下方时，过点作交直线于点，过点作轴于点，过点作，交直线于点， 则， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得 ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， ∴； 综上：的长为或． 【变式01】（2026·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上的一动点，过作轴交于点，过作交轴于点，线段在直线上移动且，当取得最大值时，求此时点的坐标及的周长的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，点的对应点为点，平移后的新抛物线的对称轴上有一点，点为新抛物线上一动点，若，请直接写出点的坐标，并写出求的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)或． 【分析】（1）将代入得到关于a、c的二元一次方程组求解即可解答； （2）利用坐标与图形以及勾股定理可得，易得，如图：过D作于F，则，进而得到，即；再求出直线的函数解析式为， 设点，则，，，，易得 ；再根据二次函数的性质可确定点p的值，进而确定点P的坐标；如图：过P作，在上截取，此时四边形是平行四边形可得，则求出最小值即可；点是P向右平移两个单位长度，向上平移两个单位长度得到的，即；如图：作点P关于直线的对称点，连接，，易得当共线时，有最小值，即的最小值为；再求出的坐标，最后运用两点间距离公式求出的长，进而求出的周长的最小值； （3）先说明将抛物线向右平移3个单位长度、向上平移3个单位长度得到新抛物线，即新抛物线；易得、；再说明，如图：过F作轴于L，则，易得；再分当点G在右侧和左侧两种情况作答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴分别交于， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：∵抛物线与轴交于点， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图：过D作于F，则， ∴，即， ∴， 设直线的函数解析式为， 则，解得：， ∴直线的函数解析式为， 设点，则，， ∴，， ∴ ， ∴当时，最小，此时，； 要求的周长的最小值，即求的最小值，即求出的最小值， 如图：过P作，在上截取，此时四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值， ∵， ∴，即， 如图：过P作轴，过作轴， ∵， ∴， ∴， ∴点是P向右平移两个单位长度，向上平移两个单位长度得到的，即； 如图：作点P关于直线的对称点，连接，， ∴， ∵， ∴当共线时，有最小值，即的最小值为， ∵点P与点关于直线对称， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为， ∴的周长的最小值为． （3）解：∵， ∴，即， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线， ∴将抛物线向右平移3个单位长度、向上平移3个单位长度得到新抛物线， ∴新抛物线， ∴平移后的对称轴为，即 ∵点的对应点为点， ∴， 如图：过H作轴于I，则，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图：当点G在右侧时， ∵， ∴， ∴， 设 ，如图：过G作于K，则， ∴，， ∴， ∴，解得：， ∴； 如图：当点G在左侧时，如图：过H作对称轴的垂线交对称轴于J，则，在对称轴上取一点，使得，连接交新抛物线于， ∴，， ∴，即，解得：， ∴， 设直线的函数解析式为， 则，解得：， ∴直线的函数解析式为， 联立，解得：或（不合题意舍弃）， ∴． 综上，点G的坐标为或． 命题点08 二次函数解答压轴之面积最大 【典例14】（2026·安徽池州·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于点，，点，过，的直线解析式为，为第二象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求四边形面积的取值范围； (3)若的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3)的最大值为． 【分析】（1）先由直线与轴交于点求出点坐标，再将，，代入抛物线解析式，求出、、的值即可； （2）先求出直线解析式，过点作轴交于点，设点（），则点，由得，结合二次函数的图象与性质即可得到四边形面积的取值范围； （3）由得出，结合二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 则点， 将，，代入抛物线解析式， 得， 解得， 则抛物线的表达式为； （2）解：将代入直线， 得， ， 则直线的表达式为， 如图，过点作轴交于点， 设点（），则点， ， ， ， ， ， ，对称轴为， 又， ， 四边形面积的取值范围是； （3）解：， ， ， ， ， ， ， 的最大值为． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、一次函数图象与坐标轴的交点问题、面积问题(二次函数综合)，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 【变式01】（2026·四川宜宾·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)过点B作交抛物线于点D，点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点E，连接、，当面积最大时，求点P的坐标； (3)在（2）中面积取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）过P作轴，交于F，求出，从而可得直线解析式为，进而得出直线的解析式为，联立，可得， 设，则，，表示出，结合二次函数的性质可得当时，最大，由是定值，且，可得最大，即可得出结果； （3）设与交于点L，由勾股定理可得，结合二次函数图象平移的性质可得，先证明，从而可得，求出解析式为，解析式为，当时，联立，计算即可得出；设关于x轴对称点为，求出 直线解析式为，联立，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线为； （2）解：如图，过P作轴，交于F， 在中，令，则． ∴． 设直线解析式为， 把代入，得， 解得， ∴直线解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴把代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∵是定值，， ∴最大， ∴当面积最大时，； （3）解：设与交于点L， ， ∵，， ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴抛物线，向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到新抛物线，为， 即， ∵点为点P的对应点， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 设解析式为， 把代入，得， ∴， ∴解析式为， 设解析式为， 把代入，得， ∴， ∴解析式为， 当时，联立， 解得或（舍去）， ∴； 设关于x轴对称点为，直线解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线解析式为， ∴联立， 解得（舍去）或， ∴． 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数综合—面积问题、二次函数综合—角度问题，求一次函数的解析式，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【变式02】（2026·湖南·模拟预测）如图，已知抛物线，过点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)点是直线上方抛物线上一动点． a．当，求点的坐标． b．连接线段，设直线交线段于点的面积为的面积为，求最大值． 【答案】(1) (2)a．；b． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式、几何图形的旋转变换、相似三角形的判定与性质，以及利用二次函数求最值，解题关键是熟练掌握待定系数法、坐标旋转规律、相似三角形的比例关系，并结合二次函数的性质求解． （1）利用待定系数法，将已知点，代入抛物线解析式，解方程组求出系数，即可得到抛物线解析式； （2）a．利用“构造旋转全等”的方法，将线段绕点顺时针旋转得到，通过求直线的解析式，与抛物线联立求解，得到点的坐标； b．通过作平行线构造相似三角形，将面积比转化为线段比，再结合点的坐标表示出比例式，转化为二次函数，利用二次函数的性质求出最大值． 【详解】（1）解：把点，代入中， ， 解得 抛物线的解析式为． （2）a．把绕点顺时针旋转90度得， 连接，交抛物线于点，作，交轴于点， ， ， 又 ， ， 在和中： ， ， 令代入，得，即， ，， ， 由待定系数法求出的表达式为． 由， 解得（舍去）， ∴． b．作轴，轴，分别交直线于点． ， ，， ． ． 设． ，, ∴． ∴ ． 当时，有最大值为． 中考预测题 1．已知二次函数（是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征写出和的表达式，结合题目条件列出不等式组，分别解不等式后取交集即可得到的取值范围． 【详解】解：点和在二次函数的图象上， ， ． 由题意得，， ， 解不等式 ： ， 两边同除以，不等号方向改变，得， 因式分解得 ， 解得； 解不等式 ： ， 两边同除以，不等号方向改变，得 ， 因式分解得 ， 解得； 解不等式： ， 两边同除以，不等号方向改变，得 ， 整理得 ，因式分解得 ， 解得或． 取三个不等式解集的交集，得． 2．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，P为x轴上的一动点，则与的差的最大值为______． 【答案】5 【分析】根据坐标，求出，当点是直线与x轴的交点时，即三点共线，易得；当点不是直线与x轴的交点时，即三点不共线，根据三角形的三边关系，可得，即可求解． 【详解】解：点A的坐标为，点B的坐标为， ， 点为x轴上的动点， 当点是直线与x轴的交点时，即三点共线，则；当点不是直线与x轴的交点时，即三点不共线，则在中，； 与的差的最大值为． 3．如图，点A的坐标为，点M为直线上的一个动点，点B的坐标为，，于点B，连接．若直线与x轴的正半轴所夹的锐角为，则当的值最大时，的面积为__________． 【答案】 【详解】解：如图，设直线与y轴交于G，过A作直线于H，轴于F， ∵轴， ∴， ∵点A的坐标为，点M为直线上的一个动点， ∴， 在中，,， 即， ∵随的减小而增大， ∴当最小时有最大值， 即最小时，有最大值，即最大时，有最大值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A的坐标为，点M为直线上的一个动点，点B的坐标为， 即， ∴， ∵ ∴当时，有最大值， 此时，，， ∴，， ∴的面积为． 考点三 圆中最值问题 《解题指南》 一、核心原理 1.基本依据 ①两点之间线段最短；②垂线段最短；③同圆/等圆中：半径定长、直径最长 2.核心思想轨迹思想、化折为直、数形结合、定点定长构隐圆 3.常用工具圆的半径、垂径定理、点与圆位置关系、圆周角定理、勾股、相似 二。常见题型 1.定弦最值问题 (1)定弦对应的高、面积最值 ①弦固定，圆上点到弦距离最大时，面积最大 ②最高点：垂直弦过圆心的圆弧顶点 (2)定弦定角隐圆最值 特征：线段固定，动点对线段张角固定 ①动点轨迹：一段圆弧 ②求边长、周长、距离最值，按隐圆+点圆距离求解 2.直径最值模型 1.直角所对弦为直径 2.动点始终保持直角→轨迹以斜边为直径的圆 3.求线段最值、动点范围用圆半径、直径性质 3.隐圆(构造圆)最值 两类构造： 1.定点定长：动点到定点距离不变→圆轨迹 2.定弦定角：定线段+固定张角→外接圆弧轨迹解题：先找圆心、定半径，再套点圆距离最值 命题点01 圆最值问题中四点共圆问题 【典例15】（2026·安徽芜湖·二模）如图，在中，，点D是边上一动点，过点B作交的延长线于E．若，． （1）若，则___________； （2）的最小值为___________． 【答案】 【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质求解即可； （2）过点作于，设的中点为O，连接，先证明，得到，所以当取最大值时有最小值，然后证明A，B，E，C四点共圆，得到当时，即点E是中点时，有最大值，再求出，即可得到答案． 求两条动线段比的最值问题，通常通过相似三角形的判定与性质，将两条动线段转化为一条动线段来解，对于求单一动线段的最值问题，往往可以根据其运动过程中图形的位置变化去找最值． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 解得； （2）如图1，过点作于，设的中点为O，连接， ， ， ， ， 是定值， 当取最大值时有最小值， 又， ，B，E，C四点共圆， 是定值， 当时，即点E是中点时，有最大值， 此时，E，O，F三点共线（如图2）， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式01】（25-26九年级下·山西朔州·期中）如图，正方形的边长为1，E，F分别在，上，且，于点G．则的长的最小值为________． 【答案】/ 【分析】根据对角互补四点共圆可得四点共圆，连接，，求证，而后推导出，可得，连接，由三角形的三边关系以及、为定值，则当三点共线时，取得最小值为，最后利用勾股定理求得即可解答． 【详解】解： ，， 根据对角互补四点共圆可得四点共圆， 连接，， ，，， ， ， 四点共圆， ， ，， ， ， 连接，则， ∴当三点共线时，取得最小值为， 在中，， ∴， 取最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查利用辅助圆解决最值问题，涉及全等三角形的判定与性质、同弧所对的圆周角相等、勾股定理等，根据条件作出合适的辅助线，得出是解题的关键． 命题点02 直径所对圆周角等于90°求最值 【典例16】（25-26九年级上·江苏盐城·月考）如图，点是内一动点，且．连接，分别取的中点，连接．若，则线段长度的最小值为___________． 【答案】/ 【分析】连接，利用三角形的中位线定理得到，则取得最小值时，长度最小，设的中点为O，连接，当、、三点共线时，此时最小；过点O作，交的延长线于点F，然后利用平行四边形的性质和勾股定理求得，进而得到，即可求得，进而得到． 【详解】解：连接，如图， ∵、的中点为M、N， ∴， ∴取得最小值时，长度最小． ∵点E是内一动点，且， ∴点E的运动轨迹为以为直径的半圆， 设的中点为O，连接， ∴当、、三点共线时，此时最小，如图， ∵， ∴， 过点O作，交的延长线于点F，如图， ∵四边形为平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了直径所对圆周角等于90度，勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线判定与性质，含30度角的直角三角形等知识点，解题关键是灵活运用上述知识点并得到点的轨迹． 【变式01】（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，正方形内接于，点P为弧上的动点（不与端点重合），连接，过点D作于点Q，连接，若的半径为，则长的最小值为 _________________ ． 【答案】1/ 【分析】本题考查了圆与正多边形，勾股定理，正方形的性质等知识点，解题的关键是正确确定点的轨迹． 如图，取的中点K，以为直径作，则点Q在正方形内部的圆弧上运动（不与端点重合）．由正方形外接圆的半径可得的长，进而根据勾股定理求出的长，根据即可解决问题． 【详解】如图，取的中点K，以为直径作，连接 ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴则点Q在正方形内部的圆弧上运动（不与端点重合）． ∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴当B,Q,K在一条直线上时，有最小值， 此时， 故答案为：． 【变式02】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在边长为4的正方形中，点为边上一动点，为中点，为上一点，且满足，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质得和，结合直角三角形的性质和等腰三角形的性质判定，则点F在以为直径的圆上，的中点O为圆心的圆上，连接，交圆O于点，此时取得最小值，结合勾股定理和圆的性质即可求得最小值． 【详解】解；∵四边形是边长为4的正方形， ∴，， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴， 连接，如图， 则，， ∵ ， ∴ ， ∴点F在以为直径，的中点O为圆心的圆上， 连接，交圆O于点，此时取得最小值， ∵点O是的中点，， ∴，圆O的半径， 在中，， 则的最小值为， 【点睛】本题主要考查正方形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理和圆的性质，解题的关键是找到点的轨迹． 【变式03】（2026·山东日照·一模）如图，在中，，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，则的最大值为________． 【答案】 【分析】根据可知点在以为直径的圆上运动，根据，绕点旋转，可知点是在以点为圆心，为半径的圆上运动，所以可知当与相切于点且点在内时，最大，根据圆周角定理可知是等腰直角三角形，从而可知，利用勾股定理可以求出，从而可知的最大值是． 【详解】解：如下图所示， ， ， 点在以为直径的圆上运动， ，绕点旋转， 点是在以点为圆心，为半径的圆上运动， 如下图所示，当与相切于点且点在内时，最大， 则有， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 又， ， ． 【变式04】（2026·陕西西安·三模）如图，在矩形中，，，点E是平面内一点，且，过点D作的垂线，交直线于点F．线段长度最小值为________． 【答案】 【分析】由确定点在以为直径的圆上运动，由确定点在以为圆心，1为半径的圆上运动．当在左边且与相切，切点为点时，最小，由勾股定理求出，再证明，得到，最后根据计算即可． 【详解】解：连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， ∵， ∴点在以为圆心，1为半径的圆上运动， ∴当在左边且与相切，切点为点时，最小， ∴， ∴， ∵， ∴、、、四点共圆， ∴由圆内接四边形可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是确定点与点的运动轨迹． 【变式05】（2026·河南三门峡·一模）如图，在矩形中，，直线将矩形分成周长相等的两部分，过点作直线的垂线，垂足为，连接．当最大时，的长为__________． 【答案】 【分析】连接，记的中点为．可得，即点在以为直径的圆上运动．设圆心为点，当与相切，且在上方时，最大．连接，此时．过点作于点，根据勾股定理可解答． 【详解】解：连接，记的中点为．由题意，可知直线过点． ∵， ∴． 点在以为直径的圆上运动．设圆心为点，当与相切，且在上方时，最大． 连接，此时．过点作于点，如图． ， 由勾股定理，得， ∴， ∴． 又 ∴， ∴． ∴． ∴， ∴． 命题点03 定点定长中最值问题 【典例17】（2025·天津·一模）如图，是等边三角形的边的中点，为平面内一点，连接，将线段以点为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点之间的距离为1，则的最小值为_____________，最大值为_____________． 【答案】 / / 【分析】连接,将绕点逆时针旋转得到,连接,由等边三角形的性质和勾股定理求出,证明是等边三角形，得到,再证明,得到,得出点在以点 为圆心、1 为半径的圆上运动，由点圆位置关系即可得解． 【详解】解：如图所示，连接,将绕点逆时针旋转得到，连接， 点是等边三角形边的中点， ， ， 由旋转的性质可得, 是等边三角形， , , , , , 点在以点 为圆心、1 为半径的圆上运动， 如图， 当点在线段上时，的值最小，最小值为，当点在射线上时，有最大值，最大值为， 故答案为：，. 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，点圆位置关系等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 【变式01】（2026·福建漳州·一模）在矩形中，是的中点，点在上运动．将沿翻折得到，连接，则的最小值为___________． 【答案】/ 【分析】如图，连接，由折叠的性质易证，推出点在以点为圆心，为直径的圆上运动，当三点共线时，有最小值，利用勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：如图，连接， 由折叠的性质得， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心，为直径的圆上运动， 当三点共线时，有最小值， ∵，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【变式02】（2026·江苏无锡·一模）如图，已知，，，，点为的中点，则点与点之间的最小距离为______． 【答案】/ 【分析】延长至点，使得，连接，则是的中位线，得到，连接，设与的交点为，则的最小值为的长，过点作交的延长线于点，证明四边形是菱形，过点作的延长线于点，在中，求出，，从而得出，则，进而求得的最小值，即可得解． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接， 点为的中点， 是的中位线， ， 当最小时，最小， ， 点在以点为圆心，为半径的圆上， 连接，设与的交点为，则的最小值为的长，过点作交的延长线于点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， 过点作的延长线于点， ， 在中，，， ， ， ， 的最小值为， 即点与点之间的最小距离为． 【变式03】（2026·安徽合肥·一模）如图，矩形中，，，E、F分别为上动点，，沿直线进行翻折，对应边在原平面内，连接． （1）连接，交于点G，则______； （2）E、F在运动过程中，的最小值______． 【答案】 【分析】（1）证明，即可求解； （2）过点G作于点H，交于点K，连接，则，，，，由（1）得：，可得，再由，可得，从而得到，，，，由折叠的性质得：，进而得到点在以点G为圆心，长为半径的圆上运动，当点A、，G三点共线时，最小，最小值为，即可求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵矩形中，，， ∴，，，， 如图，过点G作于点H，交于点K，连接，则，，，， 由（1）得：， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴点在以点G为圆心，长为半径的圆上运动， 当点A、，G三点共线时，最小，最小值为， 连接， 在中，， ∴的最小值． 中考预测题 1．如图，菱形，，，将菱形关于对称，得到菱形，在对角线，上有两个动点，，，连接，交于点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，作的外接圆，圆心为，连接、、、，由菱形的性质和轴对称的性质可证明是等边三角形，则，，进而证明，则，结合等量代换可得．由圆周角定理可得，结合容易证明是等边三角形，则，．根据，因此当、、三点共线时，取得最小值． 【详解】解：如图，连接，作的外接圆，圆心为，连接、、、， ∵四边形是菱形， ∴，，， 由轴对称的性质可得，，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴优弧圆心角的度数为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴、、三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值． 2．如图，在正方形中，，E、F是边，上两点，且，与相交于点G，点O是的内心，则的最小值为______． 【答案】 【分析】首先证明，从而得出，进而证得；然后根据三角形内心的性质求出，确定点的轨迹是以为弦的一段圆弧；接着确定该圆弧所在圆的圆心位置和半径，最后利用点与圆的位置关系，求出的最小值． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是的内心， ∴分别平分， ∴， ∴ ， ∴点在以为弦，所含圆周角为的圆弧上运动， 设该圆弧所在圆的圆心为，半径为， 则， ∵， ∴在中，，即， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则， ∵， 且点在正方形内部（即右侧）， ∴圆心在的左侧，且到的距离等于的一半， ∴，连接，交圆于点，此时即为的最小值， ∴， ∴ ． 3．如图，在和中，，P为射线，的交点．若，把绕点A旋转，则的最小值为______，最大值为______． 【答案】 【分析】先证明得出，解直角三角形得出，，以点A为圆心，的长为半径画．当在下方与相切于点E时，，则四边形是正方形，从而得出，，此时最小；以点A为圆心，的长为半径画．当在上方与相切于点E时，，同理可得四边形是正方形，进而得出，，此时最大． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ①如图1，以点A为圆心，的长为半径画．当在下方与相切于点E时，， ， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，，此时最小． 由勾股定理，得， ∴． ②如图2，以点A为圆心，的长为半径画．当在上方与相切于点E时，， 同理可得：四边形是正方形， ∴，，此时最大． 由勾股定理，得， ∴． 综上所述，的最小值为，最大值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、切线的性质、正方形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 好题速递 1．（2026·四川广元·一模）如图，点、分别是正方形的边、上的动点，且，连接、相交于点，在线段下方以为斜边作等腰直角，，连接，若正方形边长为4，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了最短路径问题，解题的关键是准确构造辅助线，利用三角形相似以及点和圆的知识解决．取中点, 连接, 以为斜边作等腰直角三角形 ，首先证明，从而，再根据，可求​，可知点的运动轨迹为以点为圆心，为半径的圆，从而可求最小值． 【详解】解：如图，取中点, 连接, 以为斜边作等腰直角三角形 ， 则​， 在和中， ​, ， ∴， ∵， ∴， ， 是直角三角形， ∴, ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ​∴， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 如图，连接，交圆于，过点作于点， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形, ∵, ∴, ∴, 在中，​, ∴， ∴的最小值为． 2．（2026·江苏南京·模拟预测）已知一次函数与二次函数（为常数）的图象在同一平面直角坐标系．若两个函数图象没有交点，则的取值范围是_________；若时，点和点分别是两个函数图象上的任意一点，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】①联立一次与二次函数解析式消去得到一元二次方程，利用两函数无交点等价于判别式小于列不等式求解即可；②先代入得到两个函数解析式，根据垂线段最短确定最短的条件，设直线与轴交于点，与轴交于点，过点作直线轴，交直线于点，通过求直线与坐标轴交点证明是等腰直角三角形得到角，即可得，设抛物线上点的横坐标为，表示出铅垂距离，利用三角函数将转化为关于的二次函数，最后根据二次函数性质即可求得的最小值． 【详解】解：①联立两个函数解析式，得 ， 把①代入②，得 ， 整理，得 ， ， ∵两函数图象无交点， ∴一元二次方程无实数根，即， ∴， 解得； ②当时， 一次函数， 二次函数， 由垂线段最短可知，当垂直于直线时，的值最小， 如图，设直线与轴交于点，与轴交于点，过点作直线轴，交直线于点， 令，代入一次函数得， 令，代入一次函数得，解得， ∴、， ∴，， 又， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， 设抛物线上点的横坐标为，则， ∵轴， ∴， ∴ 在中，， ​∵二次项系数，抛物线开口向上， ∴当时，取得最小值． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，四边形中，，，，连接并延长至点E，连接，，当线段的长度最小时，的长为______． 【答案】 【分析】首先证明 ，得出 ，延长至点，使，交圆于点，连接，则，证明，结合公用，可得，证明，过点作于点，则，，由勾股定理求出的长． 【详解】解：∵， ∴点在以点为圆心，3为半径的圆上运动， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 延长至点，使，交圆于点，连接，则， ∵，， 则有：， 又公用， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，则，， 当最小时，即， ∴． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，四边形是菱形，连接交于点O，G为边上的动点（不与点A，D重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】连接，根据菱形的性质得出直角以及相关线段的长度，利用勾股定理求出的长度，证明四边形为矩形，得出当时，的值最小，即的值最小， 最后利用等面积法求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 当时，的值最小，即的值最小， 由等面积得， 即的最小值为． 5．（2026·陕西西安·三模）如图，在矩形中，，，点E、F分别为边BC、BD上的两动点，且，当取最小值时，的值是______． 【答案】 【分析】如图，在上截取，连接，证明，得到，将转化为，作点关于的对称点，当三点共线时，取得最小值，利用角度关系推导此时，进而求解． 【详解】解：如图，在上截取，连接， 四边形是矩形， ，，，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， 作点关于的对称点，连接交于点， 此时，即取得最小值， 点与点关于对称， ， （对顶角）， ， 是的外角， ， ， ， 在中，，， ， ． 6．（2026·安徽阜阳·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，是第一象限内任意一点，连接，．若，，则把叫做点的“角坐标”． （1）若点的坐标为，则点的“角坐标”为___________； （2）若点到轴的距离为，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】（1）由点坐标可得，利用三角函数可计算出，则，写出点的“角坐标”即可； （2）由题意可知，点在直线上，根据三角形内角和定理可得，当取得最大值时，取得最小值，即取得最小值．结合圆周角定理可知，当点在以为直径的圆上时，取得最大值，计算出此时的值即可． 【详解】解：（1）如图， ∵，， ∴，，， ∴， 在直角中，， ∴， ∴点的“角坐标”为； （2）∵点到轴的距离为， 又∵点在第一象限内， ∴点在直线上， ∵， ∴当取得最大值时，取得最小值，即取得最小值， 如图，以为直径作圆，圆心为点，过点作直线的垂线，垂足为，设与圆交于点，连接、、， ∴点的坐标为，， ∵， ∴点在圆上， ∵是圆的直径， ∴， ∵， ∴，即， ∴当点与点重合时，取得最大值，此时， ∴的最小值为． 中考闯关 1．如图，在中，，点为平面内一动点，连接，若，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】作的外接圆，连接交于点，根据圆周角定理可知，即是等腰直角三角形，则，作于点，则是等腰直角三角形，由勾股定理可得，同理可得，根据勾股定理求出，当点三点共线时，最小为． 【详解】解：作的外接圆，连接交于点， 则，则是等腰直角三角形， 则， 作于点，则是等腰直角三角形． ∵，， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 当点三点共线时，最小为． 2．在中，，．若是的内切圆，则的半径的最大值是________． 【答案】1 【分析】设的内切圆的半径为r，与、、分别相切于D、E、F，连接、、， 则平分，，可得，利用切线长定理可得，，进而得出，当r最大时，最大，延长至，使，连接，则点在以为弦，所对圆周角为的圆弧上运动，作的外接圆，当为的直径，即点A与点重合时，的值最大，此时为等边三角形，即可求得答案． 【详解】解： 设的内切圆的半径为r，与、、分别相切于D、E、F，连接、、， 则， ， ， ， ， ， ． ， ． ， ，， 平分． ． ， ． ． 当r最大时，最大． 延长至，使，连接则． ， ， ， 点在以为弦，所对圆周角为的圆弧上运动， 作的外接圆，当为的直径，即点A与点重合时，的值最大， 此时， ， ， 为等边三角形． ． ． ． 的内切圆的半径为r的最大值为1， 故答案为：1 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形内切圆，三角形外接圆，解直角三角形等，作出辅助圆，利用直径是圆中最大弦是解题关键． 3．如图，等腰与等腰，，，，，垂足为H，直线交于点O．将绕点C顺时针旋转： （1）______； （2）的最大值是______． 【答案】 / 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）延长到N，使得，连接，，延长交于M，取的中点F，连接，，根据可证，然后根据角度关系可证得，从而得到，然后得到点O为中点，可得到是中位线，从而求出，然后在，利用勾股定理计算出，当O，A，F三点共线时，有最大值，即可解决问题 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵在等腰中，， ∴由勾股定理得； （2）如图，延长到N，使得，连接，，延长交于点M，取的中点F，连接，，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，∵，， ∴， ∵， ∴， ∴当O，A，F三点共线时，有最大值，的最大值为． 4．如图，在中，，，，，，分别为线段，上的点，且满足，则的最小值为______． 【答案】 【分析】在上截取，过作，交延长线于点，则，由平行四边形的性质可得，所以，，则，则有，然后证明，则，所以，当三点共线时，有最小值，即有最小值，为的长，再通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，在上截取，过作，交延长线于点，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即有最小值，为的长，如图， ∴， ∴的最小值为． 1 / 135 学科网（北京）股份有限公司 $