高频考点09 几何与函数中折叠问题14大题型专练（全国通用）2026年中考数学二轮复习高效培优系列

**基本信息** 聚焦几何与函数折叠压轴题，以“性质-模型-应用”为主线，系统整合折叠全等性与轴对称性核心方法，分层突破三角形、四边形、相似、函数四大考点，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形折叠|4命题点+多典例变式|全等性与轴对称性双性质，勾股定理方程法，分类讨论防漏解|从基础三角形性质到折叠后角度、线段计算，构建“性质-计算-分类”逻辑链| |四边形折叠|4命题点+多典例变式|矩形/正方形折叠直角转化，菱形折叠对角线性质应用，一线三等角模型|结合特殊四边形性质，强化折叠后等腰三角形与相似构造，提升空间观念| |相似折叠|3命题点+综合题|折叠等角导相似，一线三等角/八字模型应用，动点分类讨论|以相似判定为核心，链接折叠性质与比例计算，培养模型意识| |函数折叠|3命题点+压轴题|对称点坐标求法，中点公式与斜率关系，函数图像性质综合|融合代数计算与几何变换，构建“坐标-方程-图像”数形结合体系，发展应用意识|

高频考点09 几何与函数中折叠问题（压轴题） 内容概览 01命题探源·考向解密（分析近3年中考考向与命题特征） 02根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等） 03高频考点·妙法指津（4大命题点+12道中考预测题，中考必考·（8-12）分） 考点一 三角形中折叠问题 考点二 四边形中折叠问题 命题1 全等三角形中折叠问题 命题2 直角三角形中折叠问题 命题3 勾股定理中折叠问题 命题4 等腰三角形中折叠问题 命题1 平行四边形中折叠问题 命题2 矩形中折叠问题 命题3 菱形中折叠问题 命题4 正方形中折叠问题 考点三 相似三角形中折叠问题 考点四 函数中折叠问题 命题1 相似三角形与折叠中新定义类 命题2 相似三角形与折叠中双空问题 命题3 相似三角形中双折叠问题 命题1 一次函数中折叠求点坐标 命题2 反比例函数中折叠求k值 命题3 二次函数折叠解答题综合（解答压轴） 04好题速递·分层闯关（精选7道最新名校模拟试题+6道中考闯关题） 考点 考向 命题特征 特殊四边形折叠（矩形/正方形 /菱形/平行四边形） 1. 矩形顶点折叠到对边、对角线或邻边延长线上； 2. 正方形单顶点折叠、双折叠，结合 45°半角模型； 3. 菱形/平行四边形折叠，结合对角线性质与角度计算； 4. 折叠后求边长、周长、阴影面积、角度。 1. 以填空/选择压轴题和解答题小问为主，分值 3~8 分，属于基础压轴高频题型； 2. 核心考查折叠的轴对称性+特殊四边形的边、角、对角线性质； 3. 常通过设未知线段，用勾股定理列方程求解，是中考送分+基础拉分点； 4. 正方形折叠常结合一线三等角、半角模型，综合性更强。 三角形折叠（直角/等腰/等边三角形） 1. 直角三角形沿直角边、斜边折叠，求边长与角度； 2. 等腰三角形折叠后求顶角、底角，或构造等腰三角形； 3. 等边三角形折叠与特殊角（30°/60°）结合； 4. 折叠后点落在三角形内部/外部的分类讨论问题。 1. 以选择、填空和解答题为主，分值3~10分，侧重基础几何推理； 2. 重点考查三角形内角和、外角性质、等角对等边，折叠前后全等的性质； 3. 直角三角形折叠常结合勾股定理，等腰三角形折叠常考查分类讨论思想； 4. 易错题集中在“点在外部”的漏解问题，区分度较高。 折叠与相似三角形综合 1. 折叠后构造一线三等角、八字相似模型； 2. 折叠产生等角，证明三角形相似并求线段比例； 3. 折叠+三角函数，利用相似比结合特殊角求边长； 4. 折叠后动点产生的相似三角形存在性问题。 1. 以解答题压轴小问为主，分值4~8分，属于中档偏上拉分题型； 2. 核心考查 “折叠产生等角” 的性质，通过等角推导相似关系； 3. 常与勾股定理、方程思想结合，需要先建模再计算；4. 侧重几何建模能力，是中考几何压轴的重要过渡题型。 4. 折叠与函数综合（一次/反比例/二次函数） 1. 折叠与一次函数：折痕为一次函数，求解析式、交点坐标； 2. 折叠与反比例函数：折叠后点落在反比例图像上，求k值； 3. 折叠与二次函数：抛物线上的点折叠，结合对称轴、顶点、存在性问题；4. 折叠+函数+动点，求最值、取值范围。 1. 以中考解答题压轴题为主，分值6~12分，属于全卷最难的拉分题； 2. 核心考查折叠的轴对称性与函数的图像性质，数形结合思想体现极强； 3. 常需先利用折叠性质求出点的坐标，再代入函数解析式求解； 4. 动点+折叠+函数的综合题，常涉及分类讨论，对计算和逻辑推理要求极高。 考点一 三角形中折叠问题 《解题指南》 一、核心本质：折叠的两大“万能性质” 所有三角形折叠题，都离不开这两个性质，是解题的根本依据： 1.全等性：折叠前后的两个三角形全等，对应边相等、对应角相等、周长/面积不变。 例：△ABC沿DE折叠，点A落在A'处，则△ADE≌△A'DE,AD=A'D,AE=A'E,∠A=∠A'。 2.轴对称性：折痕是对应点连线的垂直平分线，折痕两侧的图形关于折痕对称。 例：折痕DE垂直平分AA',即DE⊥AA',且DE平分AA'。 二、按考查目标分类解题技巧 题型1：求角度类折叠（基础送分题） 核心解题步骤 1.标记折叠前后的等角：用∠1、∠2标注相等的角，避免混乱。 2.结合三角形内角和（180°）、外角性质、平行线性质（若有）列方程。 3.若折叠后出现“重叠角”，利用“平角180°”建立等式： 题型2：求线段长度类折叠（中考主流题） 万能解题模板（90%的题都能用） 1.设未知数：设要求的线段长为x（通常设折叠后未知的边为x）。 2.用折叠性质表示所有相关线段：利用对应边相等，把其他边用含x的式子表示出来。 3.找直角三角形，勾股定理列方程：找到包含未知线段的直角三角形，用勾股定理a²+b²=c2列方程求解。 题型3：等腰三角形折叠(易漏解题型) 核心考点 等腰三角形折叠，常结合“等角对等边”，需注意分类讨论： 1.折叠后形成的新等腰三角形，顶角/底角不确定时，需分情况讨论。 2.折叠后点落在三角形内部/外部，导致等腰三角形的腰/底发生变化。 命题点01 全等三角形中折叠问题 【典例01】（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，是边上一点，连接，过点作交于，已将沿翻折得，连接．下列说法错误的是（    ） A． B．当时， C．当时，折痕的长 D．当是等腰三角形时，的长 【答案】D 【分析】由翻折的性质，结合等角的余角相等，可判断A；与的交点记作点，延长，交于点，由平行线的性质，结合翻折的性质，可证明，可得，可判断B；证明，可得，证明，，设，证明，可得，证明，，可得，，由勾股定理可得，可判断C；当是等腰三角形时，，或，或，分类讨论，用勾股定理，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，可得，可判断D． 【详解】解：由翻折可得， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴A正确，不符合题意； 当时， 与的交点记作点，延长，交于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由翻折可得，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴B正确，不符合题意； 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴，， ∴， ∴C正确，不符合题意 当是等腰三角形时， 若， 由翻折可得， ∴， ∴， ∴， 若， 作于点，则，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 若， 作，则，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴方程在实数范围内无解， ∴， ∴当是等腰三角形时，的长或， ∴D不正确，符合题意. 【变式01】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在菱形中，，，是上一点，将菱形沿折叠，使、的对应点分别是、，当时，则点到的距离是（    ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】过作于，过作于，由菱形性质和正切定义求出，，再由折叠证明，得到，从而得到，则，则问题可解． 【详解】解：过作于，过作于，    由已知，，， ∴，， ∴设，则， ∴在中，， ， 解得， ∴，， 由折叠可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离是． 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、菱形的性质、图形的折叠以及正切定义的应用，解答关键是根据折叠的条件推出． 命题点02直角三角形中折叠问题 【典例02】（2026·河南周口·一模）如图，在直角三角形纸片中，，，，是斜边的中点．把纸片沿直线折叠，点落在点处，连接，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由勾股定理和直角三角形的性质可得，由折叠可知，，所以，即是等腰三角形，过点作于点，过点作于点，通过等面积求出，在中，，再得出，则，再代入即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是的中点， ∴， 由折叠可知：，， ∴，即是等腰三角形， 过点作于点，过点作于点，如图， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵点在直线的同侧， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式01】（2026·黑龙江佳木斯·一模）如图，在中，，，，将沿直线折叠，使点B与点A重合，折痕交于点D，交于点E，则的长为（     ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据折叠的性质得到，设，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由折叠知：， 设，则， 在中，， ， 解得， 即的长为． 【变式02】（2026·河南周口·一模）如图，在中，，，点D在上，点E在上，将沿直线翻折，点A的对称点落在上，若，则的长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠性质得，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解： ，， ， 由折叠得， ， ． 【变式03】（2026·河南新乡·一模）如图，在中，，，点在边上且，将折叠到，若点在线段的延长线上，则的长为（   ） A．3 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据含30度角的直角三角形的性质，结合折叠的性质以及线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴． 命题点03 勾股定理中折叠问题 【典例03】（2025·陕西榆林·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在、轴上，点的坐标为，点在边上．将沿直线折叠，折叠后顶点恰好落在边上的点处，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，矩形的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理．根据矩形的性质得出， ，根据勾股定理求出，求出，再根据勾股定理得出，求出结果即可． 【详解】解：四边形是矩形，， ， ， 由折叠得， 在中，， ， 在Rt中，， ， 解得， ∴点的坐标为． 【变式01】（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，将矩形纸片折叠，折痕为，折叠后，点M与点D对应，点N与点C对应，经过的中点P，的延长过点B．若，则的长为_________． 【答案】12 【分析】本题主要考查矩形的折叠，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，设，得 设则证明，得出在中由勾股定理求出得 在中由勾股定理得得过点Ｆ作于点G，得求出求得，可得，在中由勾股定理求出从而可求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 设则 ∵为的中点， ∴ 由折叠得， 设则， ∵ ∴ ∴即， ∴ 在中， ∴， 解得，， ∴ 在中， ∴， ∴ 过F作于点G，如图， 则四边形是矩形， ∴ 在中， ∴， ∴ 在中， ∴ 解得，（负值舍去） ∴， ∴， 故答案为：12． 【变式02】（2025·河南洛阳·一模）在中，，点D在边上（不与B，C重合），连接，将沿折叠，折叠后点C的对应点为点E．当是直角三角形时，的长为_______． 【答案】或1 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，直角三角形的性质，根据勾股定理得到，根据已知条件得到当是直角三角形时，或，①当时，则，根据折叠的性质得到，于是得到，②当时，根据折叠的性质得到 ，，，推出点E在上，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵点D是边上的一点， ∴， ∴当是直角三角形时，或， ①当时，则， ∵将沿折叠，使点C落在点E处， ∴， ∴， ②当时， ∵将沿折叠，使点C落在点E处， ∴，，， ∴， ∴点E在上，如图， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的长为或1， 故答案为：或1． 命题点04 等腰三角形中折叠问题 【典例04】（2026·浙江嘉兴·一模）如图，在三角形纸片中，，点在边上（点，不重合，），将沿折叠后得到，交于点．若，则与的数量关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，利用折叠对应角相等、等腰三角形底角相等，结合三角形外角与内角和定理建立方程，化简推导两角数量关系即可． 【详解】解：设，， ∵将沿折叠得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠得， ∵， ∴， 在中，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【变式01】（2025·云南昭通·模拟预测）如图，在中，，，将沿折叠，使点落在边上的点处，若，则的长为（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】C 【分析】根据折叠的性质和三角形外角的性质以及等腰三角形的判定即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿折叠，使点落在边上的点处， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式02】（2026·江苏连云港·一模）如图，长方形纸片，将纸片沿折叠，使点落在边上点处，再将右侧余下部分折叠，使与能在直线重合，折痕为．若，则的值为___________． 【答案】 【分析】连接，依据折叠性质可得：，，，，，，再利用矩形性质，可证明四边形是菱形，由，运用三角函数定义可求得，进而可证是等边三角形，且，由，求得，再由，可求得答案． 【详解】解：连接，如图： 由折叠，得：，，，，，， 是矩形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 由折叠知：， 是等边三角形，且， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题以矩形两次折叠为背景，融合折叠性质、菱形与等边三角形判定、解直角三角形，通过线段比例推导边长关系，考查几何逻辑推理与转化化归的核心数学思想． 中考预测题 1．如图所示，由经过两次折叠得到的，首先将沿折叠，使点A落在斜边上的点处，再沿折叠，使点B落在的延长线上的点处．若图中，，，则的长为_____________ ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可得出，再利用勾股定理求出，最后根据等面积法求解． 【详解】解：∵将沿折叠，使点A落在斜边上的点处，， ∴，， ∴， ∵再沿折叠，使点B落在的延长线上的点处， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 2．如图，在中，，，．若将沿折叠，点A与边的点D恰好重合，点H，G分别在，上．将沿折叠，点B与点D恰好重合．将沿折叠，点C与点D恰好重合，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线及折叠的性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线及折叠的性质是解题的关键；连接，由折叠的性质可知：，，，，然后可得，则有，进而可得，则有，最后问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由折叠的性质可知：，，，， ∴点E、F分别为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 3．如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；E、F分别为、上一点（不含端点），，沿折叠纸片，使三角形折叠后能盖住D点，则长的取值范围是______． 【答案】 【分析】此题考查了折叠的性质，含30度角直角三角形的性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，当折叠后，点C和点D重合时，连接，由折叠得到，，，，然后得到，得到，然后结合求解即可． 【详解】解：如图所示，当折叠后，点C和点D重合时，连接， ∵三角形纸片中，，， ∴ 由折叠得，，，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵E为上一点（不含端点） ∴使三角形折叠后能盖住D点，则长的取值范围是． 故答案为：． 考点二 四边形中折叠问题 《解题指南》 一、核心原理 1.折叠本质轴对称、全等：对应边相等、对应角相等、重叠部分相等 2.折痕：垂直平分对应点连线，折痕为对称轴 3.依托四边形固有性质： 矩形(四角90°、对边相等)、正方形(四边相等+90°)、菱形(四边相等、对角线垂直)、平行四边形(对边平行且相等) 二、分题型解题方法 1.矩形折叠(考查最多) 常见考法：①顶点折叠到对边上；②顶点折叠到对角线上；③沿对角线折叠；④折叠后落点在延长线上 解题步骤 1.利用矩形直角+平行，倒角得等角、等腰三角形 2.设未知线段为x，折叠转化等长线段 3.锁定直角三角形，勾股定理列方程求解 关键结论：矩形沿对角线折叠→出现等腰三角形，内错角相等 2.正方形折叠（难度偏高） 常见考法：①单点折叠、双折叠；②折叠结合45°角、半角模型；③折叠+一线三等角相似；④求阴影面积、周长、线段比值 解题步骤 1.正方形四边相等、直角多，折叠后大量等角等边 2.遇直角互补，构造一线三等角证相似 3.勾股+相似比例双重结合计算 关键结论：正方形折叠常伴随：全等三角形、45°特殊角、垂直关系 3.菱形折叠 常见考法：①利用四边相等、对角相等折叠求角度；②折叠结合对角线垂直平分性质；③动点折叠、范围计算 解题步骤 1.紧抓菱形：四边相等、对边平行、对角线互相垂直 2.折叠等角+平行线倒角，快速求角度 3.边长类问题依旧设元，勾股求解 命题点01 平行四边形中折叠问题 【典例05】（2026·河南洛阳·一模）如图，中，，将沿对角线折叠，点D恰好落在延长线上的点处，交于点E，若，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，先根据轴对称的性质得出，，然后结合平行四边形的性质，求得，进而求出，再证明四边形是平行四边形，即可求得答案． 【详解】解：连接， 沿对角线折叠，点D恰好落在延长线上的点处， ，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， 四边形是平行四边形， ． 【变式01】（2026·河南周口·一模）如图，在中，将沿对角线折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用折叠和平行四边形的性质可得，，，即可得，四边形是矩形，再根据矩形的性质解答即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ，， ∵点在的延长线上，即、、三点共线， ， ， ∵四边形是平行四边形， ，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴． 【变式02】（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知平行四边形中，，，，点E在边上，沿折叠得，下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当落在边上时， C．当落在边上时，的面积为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】先根据平行四边形的性质求出，，的度数，利用折叠的性质得到，； 对于A：计算，的长，确定的位置求解； 对于B：直接利用折叠性质判断角度； 对于C：确定的运动轨迹，推导出的形状求面积； 对于D：确定的轨迹是以B为圆心的圆，转化为求点D到圆上一点的最小距离问题，即． 【详解】解：A项：如图，当时，为B到的距离， 在平行四边形中，，，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴，即平行四边形中，以为底边的高为1， ∵沿折叠得， ∴， ∴，， 即点落在边上， ∴，A项错误； B项：由A项可知，当落在边上时，， ∴，B项错误； C项：∵沿折叠得，点E在上运动， ∴点的运动轨迹是以点B为圆心，为半径的圆上运动， 如图，作以点B为圆心，为半径的圆，与交点，连接，过点E作， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， 由A项可知，平行四边形中，以为底边的高为1， ∴， ∴，C项错误； D项：∵点的运动轨迹是以点B为圆心，为半径的圆上运动， 如图，当D，，B三点共线时，有最小值， 过点D作， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，即的最小值为，D项正确． 【变式03】（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在中，，，将线段沿方向向右平移，得到（点D的对应点为E，点C的对应点为F），连接，再将沿折叠，使点B落在平面内的点G处．当时，线段的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】D 【分析】先说明四边形为平行四边形，再由翻折可得，进而得到，再解直角三角形即可． 【详解】在中，，， ， 四边形为平行四边形， ， ， 又沿折叠，点B落在平面内的点G处， ， 四边形为矩形， ， 又， ， ， ． 【变式04】（2026·河北沧州·模拟预测）如图，平行四边形纸片，，，面积为，将其沿对角线折叠，使点落在点处，与边交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作，，垂足分别为，，则，证明四边形是矩形，则，由题意得，求得，在中，通过勾股定理得，由折叠性质知，所以，则，设，则，，再通过得，即，求出的值即可． 【详解】解：作，，垂足分别为，，则， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意得， ∴， 在中，， ∵， ∴， 由折叠性质知， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得， ∴的长为． 【变式05】（2026·甘肃武威·一模）如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处，若，则的长度为_____． 【答案】 【分析】先由平行四边形性质得，再由折叠得；结合共线得，为直角三角形；在中，由得，故，最后由平行四边形对边相等得． 【详解】解：∵在平行四边形中，对边相等， ∴ ∵沿折叠得到， ∴； ∵点在的延长线上，共线，， ∴，即是直角三角形， 在中，， ∴， 根据角所对直角边是斜边的一半， ∴斜边 ∵， ∴． 命题点02 矩形中折叠问题 【典例06】（2026·安徽阜阳·一模）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边的中点处．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题以矩形折叠为背景，先利用矩形性质与中点条件得出边长，再根据折叠性质得到点关于折痕对称，进而推出 且，通过同角的余角相等，证得，因此，最后在中计算从而得到． 【详解】解：连接， ∵矩形， ∴， ∵是中点， ∴， ∵， 又∵ 折叠后点落在处， ∴关于折痕对称， 可得： ∴， ∵， ∴， ∵矩形纸片沿边折叠， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【变式01】（2026·山东青岛·一模）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点A落在边的中点M处．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，则，根据矩形的判定和性质、折叠的性质、中点的定义得到 ，设，在中，进一步利用勾股定理进行解答即可． 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∵将矩形纸片沿边折叠，使点A落在边的中点M处． ∴， 设，则， ∴， 在中，，即， 解得 即的长为． 【变式02】（2026·安徽池州·一模）如图，在矩形中，，点E是上一点，将沿折叠，点B的对应点恰好落在对角线上，且为中点，连接交于点P，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得，，，由折叠的性质得，，即可得是的垂直平分线，，进而得到，，设，则，利用勾股定理可得，，再证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠得，，， ∴， ∵为中点， ∴是的垂直平分线，， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 命题点03 菱形中折叠问题 【典例07】（2025·浙江丽水·模拟预测）如图，在菱形中，，，P为线段上一动点，以为折痕将四边形折叠得到四边形，与交于点Q，当为直角三角形时，折痕的长为______． 【答案】 【分析】由折叠可知，，，由菱形的性质可推出，；当时，过点作于点，可得，则，再由，求出，即可求；当时，连接，过点作交于点，可得，则，再由，求出，即可求． 【详解】解：由折叠可知，，， ∵四边形是菱形，且， ∴，，， ，； 如图1，当时，过点作于点， ， ， ∴， ， ∴是等腰直角三角形， ， 在中，，则， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ； 如图2，当时，连接，过点作交于点， ，， 是等边三角形， ，， ， ，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ， 在中，，则， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴， ； 综上所述：的长为， 【变式01】（2026·辽宁本溪·一模）如图，在菱形中，，，点E在边上，连接，将沿折叠，若点A落在延长线上的点F处，交于点G，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据菱形的性质得出一些线段、、、的长，再根据折叠的性质求出的长度，根据，进而得到与相似，再根据相似三角形的对应边成比例从而得到所求的比值． 【详解】∵菱形， ∴，． 由折叠性质得：，，． 在中，，， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∴， 代入，， ∴． 【变式02】（2026·江苏连云港·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，为边上一点，连接．将菱形沿折叠，点落在点处，于点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点的坐标得，求出点，运用待定系数法求出直线的解析式为，求得，设，则，由两点间距离公式得，解得，进而可得点D的坐标． 【详解】解：∵四边形为菱形，边在轴正半轴上， ∴轴， ∵于点，且点的坐标为， ∴轴， ∴，， ∴， 过点作轴于点，则， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， ∴， ∴直线的解析式为， 由折叠可得，， ∴， 设，则 ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 【变式03】（2026·山西朔州·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，顶点在第一象限，点为上一点，将沿直线折叠得到，点的对应点落在的延长线上．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点的坐标为，得出，，求出，根据菱形的性质得出，，，根据折叠得出，，，，证明轴，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， 根据折叠可得：，，，， ∵点的对应点落在的延长线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴轴， ∵， ∴， ∴， ∴点E的坐标为． 【变式04】（2026·山西晋城·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴正半轴上，D为边上一点，连接．将菱形沿折叠，点O落在点E处，于点F．若点F的坐标为，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点F的坐标得，求出点，运用待定系数法求出直线的解析式为，求得，设，则，由两点间距离公式得，解得,进而可得点D的坐标． 【详解】解：∵四边形是菱形，边在x轴正半轴上， ∴轴， ∵于点，且点F的坐标为， ∴轴， ∴，， ∴， 过点作轴于点，则， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， ∴, ∴直线的解析式为， 由折叠得，， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得：, ∴, ∴． 命题点04 正方形中折叠问题 【典例08】（2026·河南周口·二模）如图，正方形中，是边上一点且，是的中点，将沿翻折得到，延长交边于点，作的平分线，交的延长线于点，若、、三点共线，则该正方形的边长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方形的边长为，过点作交的延长线于点，得矩形，矩形，证明，得，然后利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：四边形是正方形，设正方形的边长为 ，， 如图，过点作交的延长线于点，连接， 则四边形，是矩形， ，， 由折叠可知：，， ， 平分， ， ， ， 是边的中点， ， 由折叠可知：，， ， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， 或（舍去）． ∴该正方形的边长为． 【变式01】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在正方形中，是的中点．将沿对折至，延长交于点，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证；在直角中，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，连接， ，， ， ， 设，则． 为中点，， ， 在中，根据勾股定理，得：， 解得． 则． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的翻折问题，解题的关键是掌握翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理． 【变式02】（2026·山东济南·一模）如图，正方形纸片的边长为4，点是边的中点，连接，先将纸片沿直线折叠，使点落在四边形内的点处，延长交于点，再将纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，则______． 【答案】 【分析】首先求出，推出，设，则，，表示出，如图，连接，证明出，得到，表示出，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：∵正方形纸片的边长为4， ∴， ∵点是边的中点 ∴ ∴ ∵ ∴ 由折叠得，， ∴ ∴ ∴设，则，， 由折叠得，，，， ∴ 如图，连接 由折叠得， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 由折叠得， ∴在中， ∴ 解得或 当时，，不符合题意，舍去； ∴ ∴． 【变式03】（2026·河南周口·模拟预测）如图，已知点在正方形的边上，，将沿折叠后，点的对应点为点．若与的交点恰好是的三等分点，则的长为________． 【答案】或 【分析】根据正方形的性质以及勾股定理可得的长，由折叠的性质得，，设，设与交于点G，然后分两种情况：当时，当时，结合相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：∵在正方形中，， ∴，， ∴， 由折叠的性质得：，， 设， 设与交于点G， 当时，延长与的延长线交于点F，过点G作于点H，则为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 此时； 当时，延长与交于点P，过点G作于点Q，则为等腰直角三角形，， 同理； 综上所述，的长为或． 中考预测题 1．如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点M，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为__________． 【答案】/20度 【分析】本题考查了折叠的性质，折叠是一种对称变换，属于轴对称，解决本题的关键是折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 设，则，所以，再根据折叠的性质得到，则，接着利用折叠的性质得到，然后根据平角的定义得到，由此解方程可得到的度数． 【详解】解：∵， 设， ∴， ∴， ∵四边形沿折叠形成四边形， ∴， ∴， ∵四边形沿折叠得到四边形， ∴， ∵， ∴，解得， 即的度数为． 故答案为：． 2．如图，四边形是一段矩形纸条，，点E为的中点．第一步，在边上找一点F，将纸条沿折叠，得到的图形如图②；第二步，在图②中的边上找一点G，将纸条沿折叠，得到的图形如图③，设．若折叠后，． （1）________（用含有α的式子表示）； （2）当时，矩形纸条的面积为________． 【答案】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角相等可得，再根据由折叠的性质得到，，然后根据平行线的性质分别得出，，从而可得 （2）先由折叠的性质得出，，，再利用平行线的性质得到，结合由（1）得，得到关于的方程求解，再利用含有角的直角三角形的性质得出，再根据矩形的性质得出，，，然后利用勾股定理求得，再利用四边形是菱形，接着利用菱形的性质、勾股定理求出，进而求得、，然后利用线段的和求得，进而求得，最后利用矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，延长、交于点I ，， 四边形是平行四边形， ， 由折叠可知：，， 又， ， ， ， ， ， 即 （2）将图形沿展开，连结交于点J， 则，，， ， ， ， 由（1）得， ， ， ， 解得：， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 解得：（负值舍去）， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是平行四边形， 由（1）知， ， 四边形是菱形， ，， ，， 解得：（负值舍去）， ， ， ， ， 又点E为的中点， ． 矩形纸条的面积为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的性质，含有角的直角三角形的性质，等边对等角，勾股定理，折叠的性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 3．将一张矩形纸片进行如图所示的操作：沿对角线折叠，得到折痕；折叠纸片使边落在折痕上，点落在点处，得到折痕；过点折叠纸片，使点分别落在边、上，展开得到折痕．如果矩形是一个黄金矩形，其中，那么这张矩形纸片的两条邻边______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，翻折变换，黄金分割，相似三角形的判定和性质，设与交于点，由矩形的性质可得，，，，则，由折叠性质可知：，，故，设，，，根据勾股定理求出，则，再证明，最后由相似三角形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵矩形是一个黄金矩形， ∴，，，， ∴， 由折叠性质可知：， ∴， ∴， ∵， ∴设，，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 考点三 相似三角形中折叠问题 《解题指南》 一、核心原理 1.折叠本质：轴对称+全等，对应角相等、对应边相等； 2.解题关键：折叠产生等角，等角直接作为相似判定条件； 3.常用判定：AA(两角对应相等)为主，极少用SAS、SSS; 4.核心工具：等角转化、互余倒角、相似比、方程思想。 二、常考模型与题型 1.折叠+一线三等角(高频必考) ①图形特征：矩形、正方形、直角三角形中折叠，直角边上出现三个相等角； 推理逻辑：①折叠得一组等角；②直角互余，推出另一组等角；③两角对应相等→三角形相似。 用途：求线段长、线段比值、参数。 2.折叠+八字/蝴蝶型相似 图形特征：折叠后交叉重叠，形成对顶角； 推理逻辑：①折叠等角+对顶角相等；②直接满足AA相似； 常考：重叠部分面积、线段比例。 3.折叠后公共角相似 图形特征：折叠前后共一个公共角； 推理：折叠等角+公共角→直接相似，计算简单。 4.折叠+动点相似(压轴难点) 点在边上运动折叠，角度动态变化； 需分类讨论：不同位置对应不同相似三角形； 易错：对应顶点找错，相似比列式错误。 命题点01 相似三角形与折叠中新定义类 【典例09】（2026·新疆乌鲁木齐·一模）定义：将三角形沿过顶点的直线折叠，折叠后的另一个顶点恰好落在这个三角形的边上（不含顶点）时，此时折痕被称为“落边折痕”．特例感知：已知，为边上一点，将沿折叠，使得点恰好落在边上（不含点），此时折痕称为“落边折痕”．若是直角三角形，其中，，，若点为边上一点，将沿着折叠后，点恰好落在边上的点处，则“落边折痕”的长__________；若是等腰三角形，其中，，则其“落边折痕”的长度__________． 【答案】 或 【分析】根据折叠的性质可知，，则，即可求解； 分情况讨论：当沿折叠，点落在边上的点处时，当沿折叠，点落在边上的点处时，当沿折叠，点落在边上的点处时，当沿折叠，点落在边上的点处时，利用勾股定理和相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图， 根据折叠的性质可知，， ，， ； 根据题意可知，当三角形存在“落边折痕”时，折叠后的对应点在三角形的边上（不含顶点）． 在等腰中， ，，， 只能是点向下折叠，若是其他折叠方式，则对应点落在三角形边的延长线上或顶点处，不满足定义， 分情况讨论： ①如图②，当沿折叠，点落在边上的点处时，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 由折叠得， ∴ ∴， ， ， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，， ∵， ∴， ，即， ，， ， ， ∴在中，； ②如解图③，当沿折叠，点落在边上的点处时， 同①可得，； ③如解图④，当沿折叠，点落在边上的点处时， ∴， ∴为的垂直平分线，即， 由①可知， ， ； ④如解图⑤，当沿折叠，点落在边上的点处时，为的垂直平分线， 同③可得，． 综上所述，“落边折痕”的长度为或． 【变式01】（2026·上海徐汇·一模）我们将宽和长之比为（约为）的矩形称为“黄金矩形”，它可以通过折纸获得．如图1所示，将长方形纸片第一次沿折叠，使点和点重合，展开后再将纸片沿对折叠，使点和点重合；如图2所示，展开后连接，再将纸片第三次沿折叠，使得落在长方形纸片的边上且点落在点处，再次展开，过点作的垂线，垂足为点．请在阅读理解的基础上写出图中的“黄金矩形”：_________． 【答案】矩形，矩形 【分析】由折叠可得四边形为正方形，，设，则，由勾股定理可得，第三次折叠可得，从而，进而可得，故可得答案． 【详解】解：由第一次沿折叠可知四边形为正方形， 则， 再将纸片沿对折，则可知， 设，则， 连接，则， 再将纸片第三次沿折叠，落在长方形纸片的边上且点落在点处， ， ， ，， 即图中的“黄金矩形”为矩形，矩形． 故答案为：矩形，矩形． 【点睛】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，黄金分割，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题关键． 【变式02】（2026·安徽合肥·一模）定义：一个矩形较短边与较长边之比是，则这个矩形叫作黄金矩形．如图1，矩形为黄金矩形（），E为边上一点，将矩形沿折叠后，点B恰好落在上点F处． （1）_________； （2）如图2，G为边上一动点，过G点作，垂足为H，将矩形沿折叠，点B的对应点为，交于点Q，若矩形为黄金矩形，则_________． 【答案】 【分析】（1）由折叠的性质可得，设，由黄金矩形的定义可得，进而得到，最后求比例即可； （2）先说明四边形是正方形得，设，则,由黄金矩形定义、；由折叠的性质可得，设，则，运用勾股定理列方程可求得,进而求的,后求比例即可． 【详解】解：（1）∵将矩形沿折叠后，点B恰好落在上点F处． ∴， 设，则． ∴， ∴； （2）∵将矩形沿折叠后，点B恰好落在上点F处． ∴四边形是正方形， ∴， 设，则, 由黄金矩形定义． ∵矩形为黄金矩形， ∴，即，解得：， ∴， ∵将矩形沿折叠，点B的对应点为， ∴， 设，则， ∴, ∴， ∴, 在中，， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴． 命题点02 相似三角形与折叠中双空问题 【典例10】（2026·安徽蚌埠·一模）如图，有一矩形纸片，对其进行第一次折叠操作，使与重合，展开后，得到折痕；再对纸片进行第二次折叠操作，使点A的对应点恰好落在上，且折痕经过点B，展开后得到折痕． （1）如图（1），延长交于点G，则________°； （2）如图（2），对矩形纸片进行第三次折叠操作，使得点D的对应点落在上，且折痕经过点C，展开后得到折痕，已知点在点左侧．若，则矩形纸片的面积是________． 【答案】 60 【分析】（1）解直角三角形求得，据此求解即可得到； （2）证明四边形是平行四边形，求得，同理，设，则，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：（1）由题意可得，点E是的中点，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）如图，设与交于点P，与交于点Q， 同（1）得，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∵，，， ∴，， 设，则， ∵，， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴矩形的面积． 【变式01】（2025·安徽·一模）将一张矩形纸片沿对角线折叠． （1）如图1，点落在点处，若，则______；（用含的式子表示） （2）如图2，沿剪下得到纸片，折叠，使得点落在延长线上的点处，得到折痕，再沿折叠，使得点落在边上的点处，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】（1）由折叠的性质可得，由平行线的性质可得，再由计算即可得解； （2）过点作于点，由勾股定理可得，由折叠得，，从而得出，证明，得出，设，则，再证明，由相似三角形的性质求出，即可得解． 【详解】解：（1）由折叠得， ∵四边形为矩形， ∴， ∴ ， 在中，， ∴ 故答案为：； （2）过点作于点， ∵，， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【变式02】（2025·安徽滁州·二模）如图，现有矩形纸片，，，将边沿折痕折叠，使点B落在边上点F处，再沿折痕折叠，使点C落在矩形所在平面内的点处，边与交于点G，然后还原． （1）的长为________； （2）在边上取点H，满足，沿折叠使点C落在矩形所在平面内的点处，作的平分线分别交于点P，M，则的长为________． 【答案】 / 【分析】（1）由折叠的性质可得，结合，易证四边形都是矩形，得到，求出，推出，易证四边形是正方形，进而求出，设，则，证明，推出，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）延长交于点Q，由折叠的性质可得，结合平分，得到，求出，进而证明，利用正切的定义结合结合，求出，证明，求出，进而求出，证明，推出，再利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：（1）由折叠的性质可得， ∵是矩形，，， ∴， ∴四边形都是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 设，则， 由折叠的性质得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，则， 故答案为：； （2）延长交于点Q， 由折叠的性质可得， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查的是矩形的判定性质、折叠的性质、正方形的判定与性质，相似三角形判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理和锐角三角函数，掌握矩形的性质、折叠的性质、用勾股定理和锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键． 【变式03】（2024·安徽合肥·一模）如图1，在矩形纸片中，，，点是中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点与点重合，如图，折痕为，连接、；第二次折叠纸片使点与点重合，如图，点落到处，折痕为，连接．完成下面的探究： （1）线段的长是______； （2）______． 【答案】 / 【分析】如图中，作于．设，则，利用勾股定理求出，再利用，得，求出，，求出，再证明即可解决问题． 【详解】解：如图中，作于． 设，则 ， ， ， ， 在中， ， ， 解得， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图中， ，， ， ， ，， ， ． 故答案为:；． 【点睛】本题考查翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的应用等知识，解题的关键是学会把问题转化，证明是关键． 命题点03 相似三角形中双折叠问题 【典例11】（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，点是菱形的边的中点，点是上的一点，点是上的一点，先以为对称轴将折叠，使点落在上的点处，再以为对称轴折叠，使得点的对应点与点重合，以为对称轴折叠，使得点的对应点落在上．若，，则的值为 __________． 【答案】/ 【分析】过点作延长线于点，设菱形的边长为，设，根据勾股定理可得，然后根据，进而可以解决问题． 【详解】解：如图，过点作延长线于点， 四边形是菱形， ， ， ， 设菱形的边长为， ， ， 设， 则， ， ， 在中，根据勾股定理得： ， ， 解得， ，， 由折叠可知：， ， ， ， ， ， ． ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，含度直角三角形的性质，勾股定理，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【变式01】（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，点E是菱形的边的中点，点F是上的一点，点G是上的一点，先以为对称轴将折叠，使点D落在上的点处，再以为对称轴折叠，使得点A的对应点与点重合，以为对称轴折叠，使得点B的对应点落在上．若，，则的值为________． 【答案】 【分析】过点C作延长线于点H，设菱形的边长为，设，根据勾股定理可得，然后根据，进而可以解决问题． 【详解】解：如图，过点C作延长线于点H， ∵四边形是菱形， ， ， ∴， 设菱形的边长为， ， ， 设， 则， ， ， 在中，根据勾股定理得： ， ， 解得， ，， 由折叠可知：， ∵， ∴， ， ， ∴， ∴． ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 【变式02】（2026·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，，，为边上的一个动点．连接、，将沿着折叠，得到，再将沿着折叠，得到（与为对应点）．当边与的边所在直线重合时，______． 【答案】1或3或 【分析】根据矩形的性质，折叠的性质，分点落在上和点落在上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当点落在上时，如图， ∵矩形，折叠， ∴，，， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得或； ②当点落在上时，如图，此时两点重合， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， 在中， ∴； 综上：或或． 【变式03】（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）如图，在矩形中，点在上，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处；点在上，将沿折叠，使点恰好落在线段上的点处．若 ，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识点，由矩形性质和折叠得，，则，再证明，得到，设，，则，，，在中，由勾股定理得，解得，即，最后根据求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，，则，，， 在中，由勾股定理得， ∴， 整理得， ， ∵，， ∴，即， ∴， 故答案为：． 中考预测题 1．如图，将边沿过点A的直线折叠，使落在边上，折痕为，展开纸片，再次折叠使点A与点D重合，折痕为，展开后连接、，测得，，当是直角三角形时，的长为______ 【答案】或 【分析】先根据折叠证明四边形是菱形，然后分类讨论，根据平行证明，再通过相似三角形的性质设未知数，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形， ∴， 当时，如图： ∵ ∴ ∴ ∴， 设，则 ∴， 解得， ∵ ∴； 当时，如图： 同理可设，则 ∴， 解得， ∵ ∴， 综上：当是直角三角形时，的长为或． 2．如图，现有正方形纸片，点F在边上，沿折叠，点A落在处，然后还原，的延长线交于E，沿折叠，点D落在处，然后还原． （1）若，则________； （2）若，则的值为________． 【答案】 【分析】（1）利用折叠的性质结合正方形的性质即可求解； （2）分别延长相交于M，作于G，由折叠的性质结合正方形的性质易证，得到，设，，，，证明，求出， ，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴； （2）分别延长相交于M，作于G， 由折叠的性质得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 设，，，， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， 在中，，即， 解得， ∴，， ∴． 3．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金比，则称该矩形为黄金矩形．如图，已知矩形是黄金矩形，且，，点E是上一点，点G是上一点，将沿直线折叠，使点A落在边上的点F处，再将沿直线折叠，使点D落在上的点H处，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，折叠的性质，正方形的判定，矩形的性质等知识，掌握这些知识是关键；由黄金分割得的长，由矩形及折叠的性质可得四边形是正方形，则；由折叠知，由即可求解． 【详解】解：∵矩形是黄金矩形，且，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵沿直线折叠得到，点A落在边上的点F处， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵沿直线折叠，点D落在上的点H处， ∴， ∴， 故答案为：． 考点四 函数中折叠问题 《解题指南》 一、核心原理 1.折叠本质：轴对称变换，折叠前后图形全等、对应点关于折痕对称。 2.核心关键：求对称点坐标，是函数折叠题的突破口。 3.结合范围：一次函数、反比例函数、二次函数图像与坐标轴、动点结合。 4.常用工具：中点公式、垂直斜率关系、解析式联立、勾股、方程思想。 二、分类题型与解题方法 1.一次函数折叠 考向：直线折叠、点沿直线折叠、折痕为定直线 解题思路： ①利用轴对称，求折叠后对应点坐标；②两点代入，求折叠后直线解析式；③结合交点、线段、角度计算。 常用结论：折痕是对称轴，对应点连线被折痕垂直平分。 2.反比例函数折叠 考向：点折叠后落在双曲线上、图形折叠求k值 解题思路： ①设原点点坐标，根据折叠性质写出对称点坐标；②称点在反比例图像上代入③列方程求参数、线段、面积。 3.二次函数折叠(中考压轴) 考向：抛物线上点折叠、沿对称轴折叠、动点折叠、存在性问题 解题思路： ①利用抛物线对称轴、顶点、对称性辅助倒角、找点；②折叠转化等线段、等角度，结合直角、相似； ③设动点坐标，用距离公式、勾股列方程；④分类讨论：点在抛物线上、内部、外部。 命题点01 一次函数中折叠求点坐标 【典例12】（2025·江苏扬州·三模）已知直线 与轴、轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相关知识点是关键． 由解析式求出点和点的坐标，再根据勾股定理即可得出的长，由折叠的性质，可求得，，设，在中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出的坐标． 【详解】解：直线与轴、轴分别交于点和点， 时，，时，， ，， ． 由折叠的性质得：，， ． 设， 则． 在中，， 即， 解得：， ． 故选：B． 【变式01】（2024·新疆昌吉·一模）已知直线与y轴、x轴分别交于点A和点B，M是线段上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在y轴上的点处，则点M的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，翻折性质，勾股定理，由直线与y轴、x轴分别交于点A和点B，可得，，由折叠的性质可得结合由勾股定理可求的长，设点M坐标为， ，，由勾股定理建立等式求解，即可解题． 【详解】解：令，则， ， 令，则，解得：， 点， ， ，， x轴y轴， ， ， 由折叠可知：，， ， 设点M坐标为， ， ，， ， ， ， ， ， 点M的坐标为， 故选：A． 【变式02】（2025·青海·二模）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，直线的解析式为．将矩形沿直线折叠，点落在点处，与轴交于点．点是轴负半轴上一个动点，点在坐标平面内，若以点，，，为顶点的四边形是菱形，且为该菱形的一条边，则点的坐标为___________． 【答案】或． 【分析】本题主要考查矩形与折叠，菱形的判定与性质；先根据题意得，设，根据勾股定理得到，即，再分不同情况进行解答即可． 【详解】解：对于直线， 当时，，解得，即， 当时，，即， ∴， ∵， ∴， 根据题意：， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵为直角三角形，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 当运动到，作边，为对角线时， ∵C，D，F，P为顶点的四边形是菱形， ∵，， ∴， 当运动到，作边时， ， ∴， 当运动到时 ∵点F是y轴负半轴上一个动点 ∴不符合题意； 故答案为：或． 命题点02 反比例函数中折叠求k值 【典例13】（2026·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴，反比例函数的图象经过点、，把矩形沿折叠，点的对应点为，当点落在轴上，且点的坐标为时，则值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】先根据点的坐标求出直线的解析式，再结合矩形的性质和反比例函数的性质，用含的代数式表示出点的坐标；然后利用折叠的性质得到线段相等和角相等，通过作辅助线构造相似三角形，根据相似三角形的性质得到线段的比例关系，最后结合列方程求解的值． 【详解】解：点在直线上， ， 直线的解析式为， 四边形是矩形，轴， 点的横坐标与点相同，为；点的纵坐标与点相同，为， 反比例函数的图象经过点， 当时，，即； 当时，，即， 轴，在直线上，且的纵坐标与相同为， 当时，，即， ，， 把矩形沿折叠，点的对应点为， ，，， ， 如图，过点作轴于，过点作轴于， 轴， 三点共线，， ， ， 又， ， （两角分别相等的两个三角形相似）， ， （点横坐标为，轴），（点横坐标为，轴）， ，， ， 由图可知，（矩形的对边相等，与均为矩形的竖直边长）， ，解得． 【变式01】（2026·山西阳泉·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形，点，点在边上，连接，把沿折叠，使点恰好落在边上点处，反比例函数的图象经过点．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据翻折变换的性质，可得，，设点的坐标为，在中，根据勾股定理求出的长度，进而即可求解． 【详解】解：∵沿折叠，点恰好落在边上点处，点， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， 设点的坐标为， 则，， ∵， ∴ 解得， ∴点的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． 【变式02】（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形，点，点D在边上，连接，把沿折叠，使点B恰好落在边上点E处，反比例函数的图象经过点D，则k的值为（  ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【分析】本题考查的是矩形的性质，轴对称的性质，反比例函数图象上点的坐标特点，掌握利用待定系数法求解反比例函数的解析式是解题的关键．首先根据翻折变换的性质，可得 ；然后设点D的坐标是，在中，根据勾股定理，求出的长度，进而求出k的值． 【详解】解：∵沿折叠，使点B恰好落在边上点E处，点 ， ∴，，， ∴， ， 设点D的坐标是， 则，， ∵， ∴， 解得： ， ∴点D的坐标是， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴ 故选∶C． 【变式03】（2025·山东日照·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与原点O重合，边在x轴上， 在y轴上，点B在反比例函数的图象上，D是边上的一点，连接．将折叠，得到，折痕为，点O的对应点为，与交于点E；将折叠，得到，折痕为，点A的对应点恰好落在上．若点，则k的值为 ________． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数和几何综合，轴对称的性质，勾股定理等知识，数形结合是关键．根据轴对称的性质得到，，证明是直角三角形，得到，设，求出，得到，则，得到，则，即可求出k的值． 【详解】解：由轴对称的性质可知，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴k． 答案为：． 命题点03 二次函数折叠解答题综合（压轴） 【典例14】（2026·天津滨海新区·模拟预测）在平面直角坐标系中，梯形的位置如图所示．，，点在轴正半轴上，，，． (1)填空：如图①，的长为______，点的坐标为______． (2)若为轴正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线将梯形折叠，折叠后点的对应点落在轴上，点的对应点为．设． ①如图②，若直线与边交于点，当折叠后四边形与梯形的重叠部分为五边形时，与交于点．试用含的式子表示出线段的长，并直接写出的取值范围． ②设折叠后重叠部分的面积是，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)1； (2)①，；②当时，的取值范围为． 【分析】（1）解直角三角形即可求解； （2）①利用折叠的性质求得，在中，解直角三角形求得，据此求解即可； ②分两种情况讨论，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：作轴于点， ∵，， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴，， ∴，点的坐标为； （2）解：①如图， ，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 由题意得， 解得； ②当时， 在中，，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值； 当时，如图， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，有最小值； 综上，当时，的取值范围为． 【变式01】（2025·天津·一模）将平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． (1)填空：如图1，点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图2，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①，；② 【分析】（1）过点C作，根据平行四边形的性质，得出结合勾股定理，即可作答． （2）①过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在y轴的正半轴上，根据题意及等腰三角形的判定和性质得出是等腰三角形，然后确定相应图形，找出临界点即可；②根据①的结论，根据解直角三角形的性质得出，再分别以时，时，时，分别作图，运用数形结合思路列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图：过点C作， ∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：①∵过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在y轴的正半轴上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， 过点D作， ∴， ∴， 当与点重合时， 此时与的交点与A重合，， 如图：当与点B重合时， 此时与的交点与B重合，， ∴的取值范围为； ②当时， 如图，重叠部分的面积为， 由（1）得出， ∴， ∴， ， ∵，开口向上，对称轴直线， ∴在时，随着的增大而增大， ∴； 当时，如图，重叠部分的面积为， ， ， ∵，随着的增大而增大 ∴在时； ∴当时，； 当时，如图，重叠部分的面积为， 由①得出是等腰三角形，，，， ∴， ∵ ∴开口向下，在时，有最大值， ∴在时； ∴在时，； 当时，如图，重叠部分的面积为， ， ∵，随着的增大而减小， ∴在时，把代入得，把代入得， ∴在时，， 综上：的取值范围为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形的性质，折叠性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式02】（2026·天津河西·一模）在平面直角坐标系中，为原点，是一个平行四边形纸片，顶点，，点在第二象限． (1)如图，填空：的长是________，点的坐标是________，的长是________； (2)若为边上一动点，过点作直线平行于轴，交边于点，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为点．设． 如图，当点落在平行四边形纸片上时．试用含有的式子表示折叠后重叠部分的面积，并直接写出的取值范围； 当直线与轴重合时，求折叠后重叠部分的面积（直接写出结果即可）． 【答案】(1)，， (2) ； ． 【分析】（1）作于点，作于点，则，根据勾股定理可得的长，由平行四边形的性质，可得，，证明，，可得，，，可得点的坐标，根据勾股定理，可得的长； （2）由折叠可得，，证明，可得，可得折叠后重叠部分的面积，当点在线段上时，连接，交于点，由线段垂直平分线的判定，可得，，由同角的正切值相等，可得，可得，可得，由同角的余弦值相等，可得的最大值，即可得的取值范围；当直线与轴重合时，点与点重合，点与点重合，与的交点记为点，作于点，由折叠的性质，结合平行四边形的性质，可得，，证明，可得，由等腰三角形的性质，可得，由同角的正切值相等，可得，即可得折叠后重叠部分的面积． 【详解】（1）解：作于点，作于点，则， ∵， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，． （2）解：由折叠可得，， ∵，， ∴， ∵轴，在轴上， ∴， ∴， ∴， ∴折叠后重叠部分的面积， 当点在线段上时，连接，交于点， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴点在线段上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点落在平行四边形纸片上， ∴， ∴； 当直线与轴重合时，点与点重合，点与点重合， 与的交点记为点，作于点， 由折叠可得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴折叠后重叠部分的面积． 【变式03】（2025·天津·二模）将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点，点C在第一象限，与y轴交于点G，P为线段上一点，过点P作直线l交于点Q，，沿直线折叠该纸片，折叠后点A，D的对应点分别为，． (1)填空：如图①，当点P与点O重合时，点Q与点D重合，则点C的坐标为______，点的坐标为______； (2)设折叠后与矩形重叠部分的面积为S．设． ①如图②，当折叠后四边形与矩形重叠部分为五边形时，与交于点F，与交于点E，试用含t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①．其中t的取值范围是；② 【分析】（1）作于M， 由四边形为矩形，由勾股定理可求出点C的坐标，运用折叠和含角的直角形性质，勾股定理，可求出点的坐标； （2）①由已知条件和折叠，勾股定理，含角的直角形性质可先得出，得出．当过点G时，（G于F重合）为四边形，．由重叠部分为五边形，得出； ②阴影部分可能为五边形、三角形、四边形三种情况分别求出S的取值范围，综合在一起即可． 【详解】（1）解：作于M， ． 点，点，点，四边形为矩形， ，轴，，，． 点C的纵坐标为． 四边形是矩形， ，． ． 点C的坐标为． ， ． ． ． 沿直线折叠该纸片， ，． ． ． ． 点的坐标为． 故答案为：，． （2）解：①由（1）可知：，，． 由折叠可知：，，，，． ． ， ，． ． ， ． ． 四边形是矩形， ． ，． ． ． ． ． ． ， ． 当过点G时，（G于F重合）为四边形， ， ． ， ． 重叠部分为五边形， ． ②时，为五边形，过作于N，交于， ． ， ． 四边形为矩形． ，． ． ， ． ． ． ． ． ， ． ，且此时， 当时，． 当时，． 重叠部分为五边形，S的取值范围：． 当重叠部分为三角形时，如图 点C的坐标为，四边形是矩形， ，，， ． 可知此时． 当重叠部分为四边形时，则此时． 交于Y，作于R，如图 ，四边形为矩形，四边形为矩形． ，，． ， ． ， ，解得． ． ， ．． ． 由折叠可知：． ． ． ． 当时，． 当时，． 综上所述：． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，平面直角坐标系中矩形的性质、勾股定理、折叠问题及几何图形的坐标计算． 中考预测题 1．将矩形，其中、、、沿直线折叠，得到矩形，设矩形内的点折叠后的对应点为．定义：若落在原矩形内部（不包含边界），且到y轴的距离比到x轴的距离大1，则称P为“重叠关联点”． （1）原矩形内点折叠后的对应点坐标为______； （2）“重叠关联点”P的横坐标m的取值范围是____． 【答案】 / 【分析】本题考查翻折问题一次函数图象上点的坐标特征，属于中档题． （1）沿直线折叠的点，其对应点坐标为原坐标的横纵坐标互换，因此点折叠后的对应点为； （2）设，折叠后坐标为，列出P和在原矩形内部的条件：，，，，根据距离条件得，即，将代入不等式，合并得． 【详解】解：（1）点沿直线折叠后的对应点坐标为， 故答案为：①； （2）设点，沿直线折叠后的对应点坐标为， ∵在原矩形内部（不含边界）， ∴，； ∵在原矩形内部（不含边界）， ∴，； ∵到y轴的距离比到x轴的距离大1， ∴，即， 将代入上述不等式： 由得， 即； 由和得， 综合得， 故答案为：②． 2．长方形在平面直角坐标系中的位置如图：、满足，将长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后点D恰好落在边上的点F处，则点F的坐标为____． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质． 根据非负数的性质得到，即，，根据折叠的性质得到，根据勾股定理求出，即可求出点F的坐标． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ，， 由翻折的性质可知：， 在中，由勾股定理得：． ∴点F的坐标为． 故答案为：． 3．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠． （Ⅰ）在x轴上是否存在C点，使折叠后点A对应的点恰好落在y轴上？______（请填写“是”或“否”）． （Ⅱ）如果存在满足（Ⅰ）中条件的点C，请直接写出它的坐标．______． 【答案】 是 ， 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，翻折变换，勾股定理； （Ⅰ）折叠以后可以发现存在两个C点使折叠后点A对应的点恰好落在y轴上； （Ⅱ）根据勾股定理得到，分两种情况：当点A落在y轴的正半轴上时，当点A落在y轴的负半轴上时，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（Ⅰ）折叠以后可以发现存在两个C点使折叠后点A对应的点恰好落在y轴上； 故答案为：是； （Ⅱ）∵一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴， ∴， ∴， 如图，当点A落在y轴的正半轴上时，过作于， 设点C的坐标为， ∵折叠后点A对应的点恰好落在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 同理，当点A落在y轴的负半轴上时，过作于， ∴ ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 故答案为：，． 好题速递 1．（2025·河北沧州·模拟预测）淇淇用一张矩形纸张（记为）做折纸游戏，如图所示，他先沿折痕折叠，使得与重合，根据后续操作所得结论不一定正确的是（   ） A．折叠使得与重合，折痕与，交于E，F两点，则四边形为菱形 B．沿过点的直线折叠使得点落在上的点处，则为等边三角形 C．沿过点的直线折叠使得点落在边上的点处，折痕与交于点，则四边形为正方形 D．沿过点的直线折叠使得点落在边上的点处，则为等腰直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，菱形的判定、等边三角形的判定，正方形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据每个选项的情况作图，再结合折叠的性质，得出对应边相等、运用数形结合思想进行分析，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴ 故， ∴， ∴四边形为菱形， 故A选项不符合题意； 连接，如图所示： ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵沿过点的直线折叠使得点落在上的点处， ∴， 即， ∴为等边三角形， 故B选项不符合题意； 连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴， 即， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， 故C选项不符合题意； 连接，如图所示： ∵折叠， ∴， ∵ ∴是直角三角形， 由于不能得出与之间的关系，故得不出为等腰直角三角形， 故D选项符合题意； 故选：D． 2．（2025·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，，沿折叠正方形，折叠后，点落在平面内的点处，则点的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查了图形的翻折变换和正方形的性质，要会根据点的坐标求出所需要的线段的长度，灵活运用勾股定理． 过点作，因为，，所以，，根据勾股定理得，故，即点的坐标即可求解． 【详解】解：过点作，如图所示： 四边形是正方形，点的坐标是， ，， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， 在中，根据勾股定理得， ， 即点的坐标为， 故答案为：． 3．（2026·山东济南·一模）将矩形纸片对折，使与重合，折痕为，展开后，沿、折叠，使点、点的对应点都落在折痕上，再次展开后，沿折叠，点点的对应点为点．点为线段上一点，将纸片沿折叠，点的对应点落在上，若，则的长为________． 【答案】 【分析】先利用矩形对折性质得到为中点，，再由两次折叠的性质得到，设，在中用勾股定理列方程求出，得到；接着根据沿I折叠的性质得到，设，用表示，在中由勾股定理列方程求解，最终得到． 【详解】解：∵矩形中，对折与重合，得是中点， ∴， 沿折叠到上，得； 沿折叠对应点为，得， 设， 对用勾股定理：，代入，，， 得：， 展开解得，即， ∴， 沿折叠到上的，得，， ∴， 设，则，故， 由折叠性质得，在中： 展开化简得， 解得， 即． 4．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，将矩形纸片置于平面直角坐标系中，顶点A，C的坐标分别为，．将矩形纸片进行两次折叠：先沿对角线折叠，点C落在处，再次折叠，使点D与点A重合，折痕交于点E，交于点F．则点F的坐标为____． 【答案】 【分析】延长交y轴于G，设与相交于H，证明得到，设，则，在中，利用勾股定理求得，再证明求得，进而利用坐标与图形可得结论． 【详解】解：延长交y轴于G，设与相交于H， ∵顶点A，C的坐标分别为，， ∴由矩形性质得，，，， 由折叠性质得，，，， 在和中， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，由得， 解得，即， ∵， ∴，即轴， ∴， ∴， ∴， ∴点F的坐标为，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质、坐标与图形、全等三角形的判定与性质、折叠问题、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 5．（2025·河北邯郸·三模）如图，在中，，点分别在边上，连接，将沿折叠，使点落在边上的点处，且使折叠后的四边形面积为面积的2倍，则的长为__________． 【答案】 【分析】该题考查了折叠的性质，相似三角形的性质和判定，根据折叠可得，．根据，得出．证明，得出，即可求解． 【详解】解：∵将沿折叠使点落在边上的点处， ∴（折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分），（折叠前后两部分图形全等）． ∵， ． 在 和中，∵，， ∴， ， 即， 解得：（负值已舍去）． 故答案为：． 6．（2026·四川绵阳·一模）如图1，在正方形纸片中，点是的中点．将沿折叠，使点落在点处，连接，延长交于点；如图2，再将沿折叠，此时点的对应点恰好落在上．设和重叠部分的面积为，正方形的面积为，则______． 【答案】 【分析】先证，可得，故，进而得到四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，故，从而可知四边形是平行四边形，又根据折叠可知，得到四边形是矩形，得到，则，再根据相似三角形的性质，计算出、，进而计算出最后求比即可． 【详解】解：设与交于点M，与交于点N，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴G是中点， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， 由折叠可知， ∴四边形是矩形， 设，则正方形边长为， ∴， 连接， 由折叠可知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（2025·河南·模拟预测）如图，在中，，点D是边上的动点，过点D作，垂足为E，将沿直线折叠得到，点G，H分别是和上的点，连接，将沿直线折叠使得点B和F重合，连接，当和相似时，的长为______． 【答案】或 【分析】先证明，则当和相似时，需要进行分类讨论：①当时，则，证明出四边形为平行四边形，则，由，得到，则，在中，由勾股定理得，再解直角三角形得到；②当时，则，在中，，，设，则，，则，由，得到，解得，即可求解 【详解】解：由折叠的性质得， ∵， ∴， ∴， ∴， 当和相似时，分以下两种情况： 如解图①，当时，， ∵， ∴， ∵由翻折得， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴； 如解图②，当时，， ∵，， ∴，， 设，则，， ∴， ∵， ∴, 解得， ∴， 综上所述，当和相似时，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，平行四边形的判定与性质等知识点，难度较大，解题的关键在于分类讨论． 中考闯关 1．如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点在边上），折叠后顶点恰好落在边上的点处，已知点的坐标为，求点的坐标（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，坐标与图形，灵活运用所学知识是解题的关键． 先根据点的坐标得到，再由折叠的性质得到，利用勾股定理求出，则，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是长方形，点的坐标为， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴． 2．如图，将一张三角形纸片折叠，使点A落在边上，折痕得到；再继续将纸片沿的对称轴折叠，依照上述做法，再将折叠，最终得到长方形，折叠后的和的面积分别为1和2，则的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】C 【分析】本题考查的是翻折变换的性质，翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．根据翻折变换的性质得到，，， 设的边上的高为，能够求得，根据题意问题可求解． 【详解】解：由题意得：，， ， 又， ， ， ， 又， 四边形是矩形， 设的边上的高为， ， 由翻折知：， 又， ， 故选：C． 3．如图所示，在一次折纸活动中，张老师把一张纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点与点恰好重合，此时与的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，关键是线段的转换； 设，利用折叠及勾股定理可得，，由是等腰直角三角形及折叠可得，则可求. 【详解】解：设， 由折叠可知，是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴， 由折叠可知：， ∵矩形中， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴， 故选：B． 4．如图，将正方形折叠，使得点B落在边的点G上，点A折叠后的对应点为H，折痕为，连接，若，，则的长为________． 【答案】 【分析】连接交于，过作于，过作于点，根据正方形的性质得到，，由折叠性质可知，进而证明，得到；根据正切的定义得到，设，则，进而表示出，，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，再证明，求出和的长度，最后利用勾股定理求解的长度即可． 【详解】解：连接交于，过作于，过作于点． ∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴， ∴四边形是矩形，． 由折叠性质可知，， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴设，则， ∴． 由折叠可知，， ∴，． 在中，， ∴， 解得（舍去负根）． ∴，，，，． ∵， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∴． ∴，即， ∴，， ∴， 在中，． 5．如图，一张三角形纸片，其中，，．某同学将纸片做两次折叠：第一次使点A落在C处，折痕记为m；然后将纸片展平做第二次折叠，使点A落在B处，折痕记为n．则________． 【答案】15 【分析】由三角形中位线定理求出；由勾股定理求出，证明，得出对应边成比例求出即可． 【详解】解：如图所示： 由折叠的性质得：是线段的垂直平分线， ∴是的中位线， ， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， ， 解得：，即， ∴， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形中位线定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 6．在矩形中，的长度为a，的长度为b，将矩形进行如图所示顺序的折叠．第三步折叠后，点C与点D的对应点分别为，． （1）若点落在点下方，则___________；（用含a，b的代数式表示） （2）若点，，重合，则___________； （3）b的值保持不变，改变a的值，且点C′始终落在点下方．若四边形的面积的最大值为3，则_______． 【答案】 / 6 【分析】（1）根据折叠的性质推出，，再用可得； （2）令，变形可得； （3）列出，根据二次函数的最值得到当时，最大，结合最大值为3即可求出b值． 【详解】解：（1）由折叠可得：， ， 若点落在点下方， 则； （2）若点，，重合， 则， ∴， ∴； （3）∵点始终落在点下方， ∴， ∵b的值保持不变，改变a的值， ∴当时，最大， ∴，整理得：， 解得：（负值舍去）， 故答案为：，，6． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠问题，二次函数的最值，解题的关键是结合折叠的性质表示线段的长度，并且能灵活运用二次函数的最值计算． 1 / 92 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 高频考点09 几何与函数中折叠问题（压轴题） 内容概览 01命题探源·考向解密（分析近3年中考考向与命题特征） 02根基夯实知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等） 03高频考点·妙法指津(4大命题点+12道中考预测题，中考必考·(812)分) 考点一三角形中折叠问题 考点二四边形中折叠问题 命题1全等三角形中折叠问题 命题1平行四边形中折叠问题 命题2直角三角形中折叠问题 命题2矩形中折叠问题 命题3勾股定理中折叠问题 命题3菱形中折叠问题 命题4等腰三角形中折叠问题 命题4正方形中折叠问题 考点三相似三角形中折叠问题 考点四函数中折叠问题 命题1相似三角形与折叠中新定义类 命题1一次函数中折叠求，点坐标 命题2相似三角形与折叠中双空问题 命题2反比例函数中折叠求k值 命题3相似三角形中双折叠问题 命题3二次函数折叠解答题综合（解答压轴） 04好题速递分层闯关（精选7道最新名校模拟试题+6道中考阁关题） 命题探源 向解密 考点 考向 命题特征 特殊四边 1.矩形项点折叠到对边、对角线或邻 1.以填空/选择压轴题和解答题小问为主，分值3~8 形折叠（矩 边延长线上； 分，属于基础压轴高频题型； 形/正方形 2.正方形单项点折叠、双折叠，结合 2.核心考查折叠的轴对称性+特殊四边形的边、角、 /菱形/平行 45°半角模型； 对角线性质； 四边形) 3.菱形/平行四边形折叠，结合对角 3.常通过设未知线段，用勾股定理列方程求解，是中 线性质与角度计算； 考送分+基础拉分，点； 4.折叠后求边长、周长、阴影面积、 4.正方形折叠常结合一线三等角、半角模型，综合性 角度。 更强。 1.直角三角形沿直角边、斜边折叠， 1.以选择、填空和解答题为主，分值3~10分，侧重基 三角形折 求边长与角度； 础几何推理； 叠（直角/ 2.等腰三角形折叠后求项角、底角， 2.重点考查三角形内角和、外角性质、等角对等边， 等腰/等边 或构造等腰三角形； 折叠前后全等的性质； 三角形) 3.等边三角形折叠与特殊角(30° 3.直角三角形折叠常结合勾股定理，等腰三角形折叠 /60°)结合； 常考查分类讨论思想； 4.折叠后点落在三角形内部/外部的 4.易错题集中在“点在外部”的漏解问题，区分度较 分类讨论问题。 高。 1/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 折叠与相 1.折叠后构造一线三等角、八字相似 1.以解答题压轴小问为主，分值4~8分，属于中档偏 似三角形 模型； 上拉分题型； 综合 2.折叠产生等角，证明三角形相似并 2.核心若查 “折叠产生等角”的性质，通过等角推 求线段比例； 导相似关系； 3.折叠+三角函数，利用相似比结合 3.常与勾股定理、方程思想结合，需要先建模再计算； 特殊角求边长； 4.侧重几何建模能力，是中考几何压轴的重要过渡题 4.折叠后动点产生的相似三角形存 型。 在性问题。 4.折叠与 1.折叠与一次函数折痕为一次函数， 1.以中考解答题压轴题为主，分值6~12分，属于全卷 函数综合 求解析式、交点坐标； 最难的拉分题； (一次/反 2.折叠与反比例函数：折叠后点落在 2.核心考查折叠的轴对称性与函数的图像性质，数形 比例/二次 反比例图像上，求k值， 结合思想体现极强； 函数) 3.折叠与二次函数：抛物线上的点折 3.常需先利用折叠性质求出点的坐标，再代入函数解 叠，结合对称轴、顶点、存在性问题 析式求解； 4.折叠+函数+动点，求最值、取值 4.动点+折叠+函数的综合题，常涉及分类讨论，对计 范围。 算和逻辑推理要求极高。 根基东实 知识整合 2/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 利用轴对称：对应边/角相等，折痕垂直平分对应点连线 核心方法 结合特殊四边形性质（边、角、对角线） 设未知线段，Rt△中勾股定理列方程 对应边/角关系找错 ①特殊四边形折叠 易错点 勾股定理中线段表示错误 点落在图形外部漏解 考法 多为填空/选择压轴或解答题第1~2小问，侧重性质应用与计算准确性 中考常考题型 利用折叠全等，转化线段与角度 直角△：常结合勾股定理 核心方法 等腰△：常结合等角对等边、内角和 分点在△内部/外部两种情况讨论 ②三角形折叠 忽略折叠后形成的新等腰三角形 易错点 角度计算漏用外角性质 点在外部未分类讨论导致漏解 何与函数中折叠问 考法 多为填空/选择中档题或解答题基础小问，侧重三角形性质与分类讨论 中考常考题型 ①利用折叠等角，构造一线三等角、八字相似模型 核心步骤 ②先证相似，再用相似比表示线段关系 ③结合勾股定理、三角函数建立方程求解 找不准等角，无法证相似 题 日折叠与相似三角形综合 易错点 相似三角形对应边对应错误 忽略动点产生的多种相似情况 考法 多为解答题第2八3小问，分值4小8分，属中档偏上拉分题 中考常考糖型 利用轴对称求点的对称点坐标 将对称点坐标代入函数解析式求参数 核心方法 结合函数图像性质分析折叠后图形位置关系 动点折叠，分情况讨论点的位置 ①对称点坐标计算错误 ④折叠与函数综合 ②忽略函数自变量取值范围 易错点 ③动点折叠未分情况讨论导致漏解 ④点不在函数图像上的验证环节遗漏 考法 多为解答题压轴题，分值6~12分，属全卷难点拉分题，侧重数形结合 与综合运算 中考常考题型 高频考 妙法指津 考点一三角形中折叠问题 《解题指南》 核心本质：折叠的两大“万能性质” 3/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所有三角形折叠题，都离不开这两个性质，是解题的根本依据： 1.全等性：折叠前后的两个三角形全等，对应边相等、对应角相等、周长面积不变。 例：△ABC沿DE折叠，点A落在A'处，则△ADE≌△ADE,AD=AD,AE=AE,∠A=∠A'. 2轴对称性：折痕是对应点连线的垂直平分线，折痕两侧的图形关于折痕对称。 例：折痕DE垂直平分AA,即DE⊥AA,且DE平分AA'。 二、按考查目标分类解题技巧 题型1：求角度类折叠（基础送分题） 核心解题步骤 1.标记折叠前后的等角：用∠1、∠2标注相等的角，避免混乱。 2.结合三角形内角和(180°)、外角性质、平行线性质（若有）列方程。 3.若折叠后出现“重叠角”，利用“平角180°”建立等式： 题型2：求线段长度类折叠（中考主流题） 万能解题模板(90%的题都能用) 1设未知数：设要求的线段长为x(通常设折叠后未知的边为x)。 2.用折叠性质表示所有相关线段：利用对应边相等，把其他边用含×的式子表示出来。 3.找直角三角形，勾股定理列方程：找到包含未知线段的直角三角形，用勾股定理a2+b2=c2列方程求解。 题型3：等腰三角形折叠（易漏解题型 核心考点 等腰三角形折叠，常结合“等角对等边”，需注意分类讨论： 1折叠后形成的新等腰三角形，顶角/底角不确定时，需分情况讨论。 2折叠后点落在三角形内部/外部，导致等腰三角形的腰/底发生变化。 区命题点01全等三角形中折叠问题 【典例01】（2026江苏苏州模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=6,AB=8,D是边AB上一点， 连接CD,过点D作DE⊥DC交BC于E,已将△BDE沿DE翻折得△DB1E,连接B1C.下列说法错误的是 () D 4/31 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.∠ADC=∠B1DC B.当B1EIAC时，DB1⊥BC C.当B1EAC时，折痕DE的长5 D.当△B1CD是等腰三角形时，AD的长 【变式01】(2025·广东深圳模拟预测)如图，在菱形ABCD中，AD=5,tanB=2,E是AB上一点，将菱 形ABCD沿DE折叠，使B、C的对应点分别是B、C',当LBEB=90°时，则点C到BC的距离是() B A.5+V5 B.2V5+2 C.6 D.3W5 区命题点02直角三角形中折叠问题 【典例02】(2026河南周口·一模)如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC=2V5,AB=10, D是斜边AB的中点，把纸片沿直线CD折叠，点B落在点E处，连接AE,则AE的长为() D B A.6 B.8 C.3V5 D.⑤ 3 【变式01】(2026黑龙江佳木斯一模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,将△ABC沿 直线DE折叠，使点B与点A重合，折痕DE交AB于点D,交BC于点E,则CE的长为() D =B A. B.4 C.3 D.4 5/31 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式02】(2026河南周口一模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,点D在AC上，点E 在AB上，将△ADE沿直线DE翻折，点A的对称点A'落在BC上，若CD=1,则AB的长是()· E B A.2 B.V2+2 C.V2-2 D.4-2V2 【变式03】(2026河南新乡.一模)如图，在△ABC中，AB=AC=3,∠C=30°，点D在BC边上且 AD1AB,将AB折叠到AB',若点B在线段AD的延长线上，则DB的长为（) A.3-V3 B.1 C.2-V3 D.3 区命题点03勾股定理中折叠问题 【典例03】(2025·陕西榆林·三模)如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCD的边OC,OA分别在x、y轴上， 点D的坐标为(5,4)，点E在边CD上，将△ADE沿直线AE折叠，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处，则点 E的坐标为 A 【变式01】(2025湖北襄阳·模拟预测)如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为EF,折叠后，点M与点D 对应，点N与点C对应，MN经过AD的中点P,MN的延长过点B.若AB=BC,EF=4W10,则AB的长为 6/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F D N B 【变式02】(2025·河南洛阳一模)在Rt△ABC中，LC=90°，LBAC=60°，AC=1,点D在边BC上（不与 B,C重合)，连接AD,将△ACD沿AD折叠，折叠后点C的对应点为点E.当△BDE是直角三角形时，CD 的长为 区命题点04等腰三角形中折叠问题 【典例04】(2026浙江嘉兴.一模)如图，在三角形纸片ABC中，AB=AC,点D在边BC上（点B,D不重合， CD>BD),将△ACD沿AD折叠后得到△AED,DE交AB于点F,若AD=AF,则∠EAD与LBAC的数量关系 正确的是() A.∠EAD=BAC B.∠EAD=iBAC C.∠EAD=BAC D.∠EAD=∠BAC 【变式01】(2025·云南昭通模拟预测)如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=80°，将△ACD沿AD折叠， 使点C落在AB边上的点E处，若CD=4,则BE的长为() E B A.4V3 B.23 C.4 D.3 【变式O2】(2026江苏连云港.一模)如图，长方形纸片ABCD,将纸片沿EF折叠，使点B落在边AD上点H 处，再将右侧余下部分折叠，使HD与Hr能在直线重合，折痕为G.若AEHF:GC=1:23,则%的值为 7/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 中考预测题 1.如图所示，由Rt△ABC经过两次折叠得到的，首先将Rt△ABC沿CD折叠，使点A落在斜边上的点A'处， 再沿DE折叠，使点B落在DA'的延长线上的点B处.若图中LA=90°，DE=3cm,CD=4cm,则DA'的长 为 D B. B 2.如图，在△ABC中，BC=5,AC=4,∠C=30°.若将△AEF沿EF折叠，点A与边BC的点D恰好重合， 点H,G分别在BD,CD上，将△EBH沿EH折叠，点B与点D恰好重合，将△CFG沿FG折叠，点C与点D 恰好重合，则HD的长为· RH D 3.如图，三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AC=12.沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落 在边BC上的点D处；E、F分别为AC、CD上一点（不含端点），EF⊥BC,沿EF折叠纸片，使三角形CEF 折叠后能盖住D点，则CE长的取值范围是 6 D 8/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点二四边形中折叠问题 《解题指南》 一、核心原理 1.折叠本质轴对称、全等：对应边相等、对应角相等、重叠部分相等 2.折痕：垂直平分对应点连线，折痕为对称轴 3.依托四边形固有性质： 矩形队四角90°、对边相等)、正方形队四边相等+90°)小、菱形队四边相等、对角线垂直、平行四边队对边平 行且相等刳 二、分题型解题方法 1.矩形折叠（考查最多） 常见考法：①顶点折叠到对边上；②顶点折叠到对角线上；③沿对角线折叠；④折叠后落点在延长线上 解题步骤 1利用矩形直角+平行，倒角得等角、等腰三角形 2.设未知线段为x,折叠转化等长线段 3锁定直角三角形，勾股定理列方程求解 关键结论：矩形沿对角线折叠→出现等腰三角形，内错角相等 2.正方形折叠（难度偏高） 常见考法：①单点折叠、双折叠；②折叠结合45°角、半角模型；③折叠+一线三等角相似；④求阴影面 积、周长、线段比值 解题步骤 1正方形四边相等、直角多，折叠后大量等角等边 2遇直角互补，构造一线三等角证相似 3勾股+相似比例双重结合计算 关键结论：正方形折叠常伴随：全等三角形、45°特殊角、垂直关系 3菱形折叠 常见考法：①利用四边相等、对角相等折叠求角度；②折叠结合对角线垂直平分性质；③动点折叠、范围 计算 解题步骤 1紧抓菱形：四边相等、对边平行、对角线互相垂直 9/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2折叠等角+平行线倒角，快速求角度 3边长类问题依旧设元，勾股求解 区命题点01平行四边形中折叠问题 【典例05】(2026河南洛阳：一模)如图，口ABCD中，∠B=45°，将口ABCD沿对角线AC折叠，点D恰好 落在DC延长线上的点D'处，AD交BC于点E,若DD=2,则BE的长为() D A.1 B.2 C. D.2 2 【变式O1】(2026河南周口一模)如图，在口ABCD中，将△ADC沿对角线AC折叠后，点D恰好落在DC的 延长线上的点E处，若AB=2,BC=4,则BE的长是() D A.2V2 B.3 C.2V3 D.2V5 【变式02】(2026新疆鸟鲁木齐.一模)已知平行四边形ABCD中，∠A=45°，AB=3,AD=V2,点E在CD 边上，△BCE沿BE折叠得△BCE,下列结论正确的是() D C A.当BE⊥CD时，DC=2 B.当C落在CD边上时，tan-BC'E= C.当C落在AB边上时，△BCE的面积为2 D.CD的最小值为V5-V2 【变式03】(2026辽宁抚顺一模)如图，在☐ABCD中，AB=10,AD=6,∠ABC=60,将线段DC沿DC 方向向右平移，得到EF(点D的对应点为E,点C的对应点为F),连接AE,BE,BF,再将△BEF沿EF 10/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 折叠，使点B落在平面内的点G处.当GF⊥CD时，线段AE的长度为() G D E A.3 B,4 C.5 D.33 【变式04】(2026河北沧州模拟预测)如图，平行四边形纸片ABCD,BC=16cm,CD=10cm,面积为128 Cm2,将其沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，BF与边AD交于点E,则AE的长为() F B 37 A.5cm B. iicm C.4cm D. 39 ircm 【变式O5】(2026甘肃武威一模)如图，在口ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线 上的点E处，若∠D=60°，AB=3,则BC的长度为 D 区命题点02矩形中折叠问题 【典例O6】(2026安徽阜阳：一模)如图，将矩形纸片ABCD沿边EF折叠，使点D在边BC的中点M处.若 AB=4,BC=6,则tanMEF的值为() B M A. B. C. D. 【变式01】(2026山东青岛.一模)如图，将矩形纸片ABCD沿边GH折叠，使点A落在边BC的中点M 11/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 处.若AD=3,AB=2,则GM的长为() A G H B A.月 B.器 c D.器 【变式O2】(2026·安徽池州一模)如图，在矩形ABCD中，AB=V3,点E是BC上一点，将△ABE沿AE 折叠，点B的对应点B'恰好落在对角线AC上，且B为AC中点，连接DE交AC于点P,则AP的长为() B' P B----- E A.29 B.83 C.2 5 D.83 区命题点03菱形中折叠问题 【典例07】(2025浙江丽水模拟预测)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，BC=4+4V3,P为线段AB 上一动点，以PC为折痕将四边形APCD折叠得到四边形A'PCD',A'D'与BC交于点Q,当△CQD'为直角三角 形时，折痕PC的长为 D P/ D 【变式01】(2026辽宁本溪一模)如图，在菱形ABCD中，∠A=30°，AB=6,点E在边AD上，连接BE, 将△ABE沿BE折叠，若点A落在AD延长线上的点F处，BF交CD于点G,则2的值为(） B A ED 12/31 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A. B.3-1 C.6-3V3 D.6W3-6 【变式02】（2026江苏连云港.一模)如图，在平面直角坐标系中，菱形0ABC的边0C在x轴正半轴上，D 为OA边上一点，连接CD.将菱形0ABC沿CD折叠，点O落在点E处，CE⊥AB于点F.若点F的坐标为(5,4)， 则点D的坐标为() D A.(,》 B.(,) c.(9,) D.(,》 【变式03】(2026山西朔州一模)如图，在平面直角坐标系中，菱形0ABC的顶点A在x轴上，顶点B,C 在第一象限，点D为AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠得到△ECD,点B的对应点E落在BA的延长线上，若 点C的坐标为(3,3)，则点E的坐标为(） A.(3,3-32B.(32,-3) C.(（3,32-3) D.(3,-32 【变式04】(2026山西晋城一模)如图，在平面直角坐标系中，菱形0ABC的边0C在x轴正半轴上，D为 OA边上一点，连接CD.将菱形OABC沿CD折叠，点O落在点E处，CE⊥AB于点F.若点F的坐标为 (10,8),则点D的坐标为() B D A.(,9) B.(5) c.() D. (》 13/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 区命题点04正方形中折叠问题 【典例08】（2026河南周口·二模)如图，正方形ABCD中，P是AD边上一点且AP=1,E是AB的中点，将 △APE沿PE翻折得到△OPE,延长PO交BC边于点F,作LPFC的平分线FG,交AD的延长线于点G,若E、 O、G三点共线，则该正方形的边长为() Ar E B A.2 B.32 C.22 D.22 【变式O1】(2025·山东青岛模拟预测)如图，在正方形ABCD中，AB=9,G是BC的中点.将△ABG沿AG 对折至△AFG,延长GF交DC于点E,则DE的长是() G A.2 B.3 C.4 D.5 【变式02】(2026山东济南一模)如图，正方形纸片ABCD的边长为4，点E是边BC的中点，连接DE,先 将纸片沿直线DE折叠，使点C落在四边形ABED内的点F处，延长DF交AB于点G,再将纸片沿过点G的直线 折叠，使点A落在DG上的点K处，折痕GH交AD于点H,则HK=· B E 【变式O3】(2026河南周口·模拟预测)如图，己知点E在正方形ABCD的BC边上，BC=3,将△ABE沿AE 折叠后，点B的对应点为点B'.若AB与BD的交点恰好是BD的三等分点，则BE的长为· 14/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 中考预测题 1.如图，将长方形纸片ABCD按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形EFCB沿EF折叠得到四边形 EFGH,EH交DC于点M,第二次将四边形MHGF沿FM折叠形成四边形MFG',若LEFM=名EFG,则LEFM 的度数为 B H 2.如图，四边形ABCD是一段矩形纸条，AB=V3,点E为BC的中点，第一步，在AD边上找一点F,将纸 条沿EF折叠，得到的图形如图②；第二步，在图②中的CE边上找一点G,将纸条沿DG折叠，得到的图形 如图③，设LGEF=a.若折叠后DGAF,EF=DF. (1)∠GDF= (用含有a的式子表示)； (2)当CDUEF时，矩形纸条的面积为 D B E B E 图① 图② 图③ 3.将一张矩形纸片进行如图所示的操作①沿对角线AC折叠，得到折痕AC;②折叠纸片使边CD落在折痕 AC上，点D落在点P处，得到折痕CM;③过点M折叠纸片，使点D、C分别落在边AD、BC上，展开得到折 痕MN,如果矩形MDCN是一个黄金矩形，其中号-5是，那么这张矩形纸片的两条邻拉ABBC= 2 15/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M A B 考点三相似三角形中折叠问题 《解题指南》 一、核心原理 1.折叠本质：轴对称+全等，对应角相等、对应边相等： 2.解题关键：折叠产生等角，等角直接作为相似判定条件： 3.常用判定：AA(两角对应相等)为主，极少用SAS、SSS; 4核心工具：等角转化、互余倒角、相似比、方程思想。 二、常考模型与题型 1.折叠+一线三等角（高频必考） ①图形特征：矩形、正方形、直角三角形中折叠，直角边上出现三个相等角； 推理逻辑：①折叠得一组等角；②直角互余，推出另一组等角；③两角对应相等→三角形相似。 用途：求线段长、线段比值、参数。 2.折叠+八字/蝴蝶型相似 图形特征：折叠后交叉重叠，形成对顶角； 推理逻辑：①折叠等角+对顶角相等；②直接满足AA相似； 常考：重叠部分面积、线段比例。 3.折叠后公共角相似 图形特征：折叠前后共一个公共角； 推理：折叠等角+公共角一直接相似，计算简单。 4.折叠+动点相似（压轴难点） 点在边上运动折叠，角度动态变化： 需分类讨论：不同位置对应不同相似三角形； 16/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 易错：对应顶点找错，相似比列式错误。 区命题点01相似三角形与折叠中新定义类 【典例09】(2026新疆乌鲁木齐一模)定义：将三角形沿过顶点的直线折叠，折叠后的另一个顶点恰好 落在这个三角形的边上（不含顶点）时，此时折痕被称为落边折痕”.特例感知：己知△ABC,D为AC边 上一点，将△ABC沿BD折叠，使得点A恰好落在BC边上（不含点C),此时折痕BD称为落边折痕”.若△ABC 是直角三角形，其中LA=90°，∠ABC=60°，AB=1,若点D为AC边上一点，将△ABC沿着BD折叠后，点 A恰好落在BC边上的点E处，则落边折痕”BD的长；若△ABC是等腰三角形，其中AB=AC=5, BC=6,则其“落边折痕”的长度 【变式01】(2026上海徐汇一模)我们将宽和长之比为51（约为0.618）的矩形称为黄金矩形，它可 以通过折纸获得.如图1所示，将长方形纸片第一次沿MC折叠，使点N和点B重合，展开后再将纸片沿AG 对折叠，使点M和点B重合；如图2所示，展开后连接AB,再将纸片第三次沿AF折叠，使得AB落在长方形 纸片的边上且点B落在点D处，再次展开，过点D作MB的垂线，垂足为点E.请在阅读理解的基础上写出图 中的“黄金矩形”： MG.B M G B E A D 图1 图2 【变式02】(2026安徽合肥一模)定义：一个矩形较短边与较长边之比是51，则这个矩形叫作黄金矩 2 形.如图1，矩形ABCD为黄金矩形(AB<AD),E为BC边上一点，将矩形ABCD沿AE折叠后，点B恰好 落在AD上点F处. E 图1 图2 (1) AF (2)如图2，G为AB边上一动点，过G点作GH⊥EF,垂足为H,将矩形ABCD沿EG折叠，点B的对应点 为B,EB交AD于点Q,若矩形BGHE为黄金矩形，则侣= 17/31 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 区命题点02相似三角形与折叠中双空向题 【典例10】(2026·安徽蚌埠.一模)如图，有一矩形纸片ABCD,对其进行第一次折叠操作，使AD与BC重 合，展开后，得到折痕EF;再对纸片进行第二次折叠操作，使点A的对应点A'恰好落在EF上，且折痕经过 点B,展开后得到折痕MB. M G 图(1) 图(2) (1)如图(1)，延长MA'交BC于点G,则∠MGB= (2)如图(2)，对矩形纸片ABCD进行第三次折叠操作，使得点D的对应点D落在EF上，且折痕经过点 C,展开后得到折痕CV,己知点D'在点A'左侧.若A'D'=2MN=2,则矩形纸片ABCD的面积是 【变式01】(2025·安微.一模)将一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠 (1)如图1，点D落在点D处，若LACD=a,则LBAD=;(用含C的式子表示) (2)如图2，沿AC剪下△ACD得到纸片△ABC,折叠△ABC,使得点A落在CB延长线上的点A'处，得到折 痕EF,再沿A'F折叠△AFE,使得点E落在CB边上的点E处，若AB=4,BC=3,则CF的长为· B D 图1 图2 【变式02】(2025·安微滁州·二模)如图，现有矩形纸片ABCD,AB=4,BC=7,将边AB沿折痕AE折叠， 使点B落在边AD上点F处，再沿折痕DE折叠，使点C落在矩形所在平面内的点C处，边DC与EF交于点 G,然后还原. (1)FG的长为 18/31 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)在边CD上取点H,满足CH:DH=1:3,沿EH折叠使点C落在矩形所在平面内的点C”处，作LC"HD的平 分线分别交DE,AD于点P,M,则DP的长为 【变式03】(2024安微合肥一模)如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=83,AD=10,点E是CD中点， 将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为MN,连接ME、NE;第二次 折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落到B处，折痕为HG,连接HE,完成下面的探究： D C D E(A) C (NEB' D M M H B NB NB 图1 图2 图3 (1)线段DM的长是 (2)tanLEHG= 区命题点03相似三角形中双折叠问题 【典例11】(24-25九年级上山东济南期中)如图，点E是菱形ABCD的边AD的中点，点F是AB上的一点， 点G是BC上的一点，先以CE为对称轴将△CDE折叠，使点D落在CF上的点D'处，再以EF为对称轴折叠△AEF, 使得点A的对应点A'与点D重合，以FG为对称轴折叠△BFG,使得点B的对应点B落在CF上，若∠A=60°， FG=2,则CE的值为 D E D月 A、 B 【变式01】(24-25九年级上·山东济南·期中)如图，点E是菱形ABCD的边AD的中点，点F是AB上的一 点，点G是BC上的一点，先以CE为对称轴将△CDE折叠，使点D落在CF上的点D处，再以EF为对称轴折 叠△AEF,使得点A的对应点A'与点D'重合，以FG为对称轴折叠△BFG,使得点B的对应点B落在CF 上.若∠A=60°，FG=2,则CE的值为 19/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D------------ E B (D) G F 【变式02】(2026江苏无锡一模)如图，在矩形ABCD中，AB=V3,AD=4,E为边BC上的一个动点.连 接AE、DE,将△ABE沿着AE折叠，得到△AFE,再将△AFE沿着DE折叠，得到△HGE(F与G为对应 点)·当边EG与△ECD的边所在直线重合时，BE=cm D 【变式03】(25-26九年级上·辽宁铁岭·月考)如图，在矩形ABCD中，点E在CD上，将△ADE沿AE折叠， 使点D恰好落在边BC上的点F处；点G在BF上，将△ABG沿AG折叠，使点B恰好落在线段AF上的点H处，若 BC=2GR,则是的值为 H E B G F 弘中考预测题 1.如图，将△ABC边AB沿过点A的直线折叠，使AB落在AC边上，折痕为AD,展开纸片，再次折叠使点A 与点D重合，折痕为EF,展开后连接DE、DF,测得AB=4,AC=7,当△BDE是直角三角形时，BD的长 为 20/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.如图，现有正方形纸片ABCD,点F在AD边上，沿BF折叠△ABF,点A落在A'处，然后还原，FA'的延 长线交CD于E,沿FE折叠△DEF,点D落在D处，然后还原， B (1)若LABF=24°，则∠CED'= (2)若是=子则=的值为 3,如果一个矩形的宽与长的比等于黄金比，则称该矩形为黄金矩形，如图，己知矩形ABCD是黄金矩形， 且AD>AB,AD=2,点E是AD上一点，点G是CD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，使点A落在BC边上 的点F处，再将△DEG沿直线EG折叠，使点D落在EF上的点H处，则FH的长为 E H G B F 考点四函数中折叠问题 《解题指南》 一、核心原理 1.折叠本质：轴对称变换，折叠前后图形全等、对应点关于折痕对称。 2核心关键：求对称点坐标，是函数折叠题的突破口。 3结合范围：一次函数、反比例函数、二次函数图像与坐标轴、动点结合。 4常用工具：中点公式、垂直斜率关系、解析式联立、勾股、方程思想。 21/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、分类题型与解题方法 1.一次函数折叠 考向：直线折叠、点沿直线折叠、折痕为定直线 解题思路： ①利用轴对称，求折叠后对应点坐标；②两点代入，求折叠后直线解析式；③结合交点、线段、角度计算。 常用结论：折痕是对称轴，对应点连线被折痕垂直平分。 2.反比例函数折叠 考向：点折叠后落在双曲线上、图形折叠求k值 解题思路： ①设原点点坐标，根据折叠性质写出对称点坐标；②称点在反比例图像上代入y=③列方程求参数、线段、 面积。 3.二次函数折叠（中考压轴） 考向：抛物线上点折叠、沿对称轴折叠、动点折叠、存在性问题 解题思路： ①利用抛物线对称轴、顶点、对称性辅助倒角、找点；②折叠转化等线段、等角度，结合直角、相似： ③设动点坐标，用距离公式、勾股列方程；④分类讨论：点在抛物线上、内部、外部。 区命题点01一次函数中折叠求点坐标 【典例12】(2025江苏扬州三模)已知直线y=-手+8与x轴、y轴分别交于点A和点B,M是0B上的一 点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B处，则点M坐标为() B A.(0,2) B.(0,3) c.(o, D.(0,4) 【变式01】(2024新疆昌吉一模)已知直线y=-x+6与y轴、x轴分别交于点A和点B,M是线段0B 上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在y轴上的点B'处，则点M的坐标是() 22/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B B A.(3,0) B.(4,0) C.(5,0) D.(6,0) 【变式02】(2025青海·二模)如图，矩形0ABC的顶点A,C分别在x轴，y轴上，直线AC的解析式为y=- 子x+3.将矩形沿直线AC折叠，点B落在点B'处，CB'与x轴交于点D,点F是y轴负半轴上一个动点，点P在 坐标平面内，若以点C,D,F,P为顶点的四边形是菱形，且CD为该菱形的一条边，则点P的坐标为 B 区命题点02反比例函数中折叠求k值 【典例13】(2026山东淄博.一模)如图，在平面直角坐标系中，点B,D是直线y=Qx(a>0)上第一象限 内的两个动点(OD>OB),以线段BD为对角线作矩形ABCD,ADIx轴，反比例函数y=的图象经过点A、 C,把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E,当点E落在y轴上，且点B的坐标为(1,2)时，则k值为() A. 8.号 C.5 .号 【变式01】(2026山西阳泉一模)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABC0,点B(10,8),点D在BC边上， 23/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 连接AD,把△ABD沿AD折叠，使点B恰好落在OC边上点E处，反比例函数y=(k≠O)的图象经过点D,则 k的值为() E A.20 B.30 C.40 D.48 【变式02】（2024江苏徐州·模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABC0,点B(10,8,点D在BC 边上，连接AD,把△ABD沿AD折叠，使点B恰好落在OC边上点E处，反比例函数y=《的图象经过点D, 则k的值为() B E A.10 B.20 C.30 D.40 【变式03】(2025山东日照模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，矩形0ABC的顶点与原点O重合，边 0A在x轴上，OC在y轴上，点B在反比例函数y=(x>0)的图象上，D是边0A上的一点，连接 DC,BD.将△OCD折叠，得到△O'CD,折痕为CD,点O的对应点为O',O'D与BC交于点E;将△BAD折 叠，得到△BA'D,折痕为BD,点A的对应点A'恰好落在O'D上，若点D(4,0),AB=3,则k的值为 E D 24/31 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 区命题点03二次函数折叠解答题综合（压轴） 【典例14】(2026·天津滨海新区·模拟预测)在平面直角坐标系中，梯形0ABC的位置如图所示.BCIOA, AB⊥BC,点A在x轴正半轴上，OC=2,BC=V3,LA0C=30°， A衣 图① 图② (1)填空：如图①，AB的长为 ,点C的坐标为 (2)若P为x轴正半轴上一动点，过点P作直线l⊥x轴，沿直线将梯形0ABC折叠，折叠后点O的对应点0落在x 轴上，点C的对应点为C'.设OP=t. ①如图②，若直线l与BC边交于点Q,当折叠后四边形PO'CQ与梯形0ABC的重叠部分为五边形时，O'C与AB 交于点D.试用含t的式子表示出线段CD的长，并直接写出t的取值范围. ②设折叠后重叠部分的面积是S,当号≤t≤时，求S的取值范围（直接写出结果即可）· 6 【变式01】(2025·天津一模)将平行四边形纸片0ABC放置在平面直角坐标系中，点O(0,0),点A(0,9), 点B,C在第一象限，且0C=2W3,∠A0C=30°. B 图1 图2 (1)填空：如图1，点C的坐标为，点B的坐标为 (2)若P为y轴的正半轴上一动点，过点P作直线l⊥y轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点O的对应点O落在y轴 的正半轴上，点C的对应点为C'.设OP=t. ①如图2，若直线l与边CB相交于点Q,当折叠后四边形POCQ与口OABC重叠部分为五边形时，O'C与AB相 交于点D.试用含有t的式子表示线段OD的长，并直接写出t的取值范围： 25/31 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②设折叠后重叠部分的面积为S,当号<t<时，求S的取值范围（直接写出结果即可）， 【变式02】(2026天津河西一模)在平面直角坐标系中，0为原点，OABC是一个平行四边形纸片，顶点A ()B(0,5),点C在第二象限. P D Q 图① 图② 1)如图①，填空：OA的长是 ,点C的坐标是 ,AB的长是 (②)若P为BC边上一动点，过点P作直线PQ平行于y轴，交CO边于点Q,沿直线PQ折叠该纸片，折叠后点C的 对应点为点D,设CP=t. ①如图②，当点D落在平行四边形OABC纸片上时.试用含有t的式子表示折叠后重叠部分的面积S,并直接 写出t的取值范围： ②当直线PQ与y轴重合时，求折叠后重叠部分的面积（直接写出结果即可）， 【变式03】(2025·天津·二模)将一个矩形纸片ABCD放置在平面直角坐标系中，点O(0,0),点A(-2,0),点 B(4,0),点D(-2,23),点C在第一象限，CD与y轴交于点G,P为线段OB上一点，过点P作直线1交CD 于点Q,∠APQ=60°，沿直线PQ折叠该纸片，折叠后点A,D的对应点分别为A',D', VA D G (O P) A OP\ B 图① 图② (I)填空：如图①，当点P与点O重合时，点Q与点D重合，则点C的坐标为 ，点A'的坐标为 (2)设折叠后与矩形0BCG重叠部分的面积为S.设OP=t. ①如图②，当折叠后四边形ADQP与矩形0BCG重叠部分为五边形时，A'D'与CG交于点F,PQ与OG交于点 E,试用含t的式子表示线段A'F的长，并直接写出t的取值范围； 26/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②当，≤t≤时，求S的取值范围（直接写出结果即可）· 中考预测题 1.将矩形0ABC,其中O(0,0)、A(4,0)、B(4,2)、C(0,2)沿直线y=x折叠，得到矩形0ABC',设矩形0ABC 内的点P(m,n)折叠后的对应点为P'.定义：若P落在原矩形0ABC内部（不包含边界），且P到y轴的距离 比P到x轴的距离大1，则称P为“重叠关联点” (1)原矩形内点P(3,1)折叠后的对应点P坐标为； (2)“重叠关联点”P的横坐标m的取值范围是· 2.长方形A0CD在平面直角坐标系中的位置如图：A(0,a、C(b,0)满足Va-3+Ib-5=0,将长方形AOCD 沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后点D恰好落在边OC上的点F处，则点F的坐标为· 3.如图，一次函数y=-5的图象与x轴交于点4，与)轴交于点B,C是x轴上一动点，连接BC,将△ABC 沿BC所在的直线折叠. B (I)在x轴上是否存在C点，使△ABC折叠后点A对应的点恰好落在y轴上？ (请填写“是”或 “否”). (Ⅱ)如果存在满足(I)中条件的点C,请直接写出它的坐标. 好题速递 分层周关 @好题速递 1,(2025河北沧州模拟预测)淇淇用一张矩形纸张（记为ABCD)做折纸游戏，如图所示，他先沿折痕MN 折叠，使得AD与BC重合，根据后续操作所得结论不一定正确的是() 27/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A M B D N C A,折叠使得AB与DC重合，折痕与AD,BC交于E,F两点，则四边形MENF为菱形 B.沿过点A的直线折叠使得点B落在MN上的点G处，则△ABG为等边三角形 C.沿过点A的直线折叠使得点B落在AD边上的点H处，折痕与BC交于点I,则四边形AHIB为正方形 D,沿过点A的直线折叠使得点D落在BC边上的点K处，则△ABK为等腰直角三角形 2.(2025河南·模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，四边形0ABC是正方形，点A的坐标是(4,0)，P为 边AB上一点，∠CPB=60°，沿CP折叠正方形OABC,折叠后，点B落在平面内的点B处，则点B的坐标为 B 60° P A衣 3.(2026山东济南一模)将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，折痕为GM,展开后，沿GE、GF折叠， 使点A、点B的对应点都落在折痕GM上，再次展开后，沿CH折叠，点B点的对应点为点E.点I为线段ED上 一点，将纸片沿CI折叠，点D的对应点D1落在CE上，若AB=4,则EI的长为 B-- 4.(2025·河南信阳·模拟预测)如图，将矩形纸片A0CD置于平面直角坐标系中，顶点A,C的坐标分别为 (0,6),(8,O).将矩形纸片AOCD进行两次折叠先沿对角线OD折叠，点C落在C处，再次折叠，使点D 与点A重合，折痕交OD于点E,交CD于点F,则点F的坐标为· 28/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D C 5.(2025河北邯郸三模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6,点E,F分别在AC,AB边上，连接EF, 将△ABC沿EF折叠，使点A落在AB边上的点D处，且使折叠后的四边形ECBF面积为△DEF面积的2倍，则 AE的长为 A D 6,(2026四川绵阳.一模)如图1，在正方形纸片ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠，使点A 落在点F处，连接DF,延长DF交BC于点G:如图2，再将△CDG沿DG折叠，此时点C的对应点H恰好落在BE 上，设△BEF和△DGH重叠部分的面积为S,正方形ABCD的面积为S2,则= B B G G 图1 图2 7.(2025·河南模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,点D是AC边上的动点，过点D 作DE⊥AB,垂足为E,将△ADE沿直线DE折叠得到△FDE,点G,H分别是BC和BF上的点，连接GH, 将△BGH沿直线GH折叠使得点B和F重合，连接DG,当△DFG和△ABC相似时，AE的长为· D G E F H B 29/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 鑫中考闯关 1.如图，在平面直角坐标系中，将长方形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在 边0C上的点F处，已知点D的坐标为(10,8，求点E的坐标() A.(10,3) B.(3,10) C.(6,10) D.(8,6) 2.如图，将一张三角形纸片ABC折叠，使点A落在BC边上，折痕EFMBC得到△EFG;再继续将纸片沿△BEG 的对称轴EM折叠，依照上述做法，再将△CFG折叠，最终得到长方形EMNF,折叠后的△EMG和△FNG 的面积分别为1和2，则△ABC的面积为() E BMG N C A.6 B.9 C.12 D.18 3.如图所示，在一次折纸活动中，张老师把一张A4纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为 AE,点B落在线段AD上的点B处，第二次折叠折痕为AF,点E与点D恰好重合，此时CF与AB的比是() B'D(E) >C% A.2 B.V2-1 C.② 2 D. 4,如图，将正方形ABCD折叠，使得点B落在CD边的点G上，点A折叠后的对应点为H,折痕为EF,连 接DH,若tanzGFC=子EF=1O,则DH的长为 30/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B、 5.如图，一张三角形纸片ABC,其中∠C=90°，AC=6,BC=8.某同学将纸片做两次折叠第一次使点A 落在C处，折痕记为m;然后将纸片展平做第二次折叠，使点A落在B处，折痕记为n.则mn= B 6.在矩形ABCD中，AB的长度为a,BC的长度为b(a<b),将矩形ABCD进行如图所示顺序的折叠，第三步 折叠后，点C与点D的对应点分别为C',D'. 第一步 第二步 第三步 A Ar- D (1)若点C落在点D'下方，则CD'= (用含a,b的代数式表示) (2)若点C,D,重合，则%= (3)b的值保持不变，改变a的值，且点C始终落在点D'下方.若四边形CD'EF的面积的最大值为3，则b= 31/31