第四章三角形单元测试卷-2025-2026学年北师大版数学七年级下学期.

**基本信息** 2025-2026学年七年级下学期数学三角形单元卷，通过基础题、探究题及生活情境题（如自行车车架稳定性），覆盖三角形性质、全等判定等核心知识，适配单元复习，培养几何直观、推理能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|三角形分类、稳定性、全等判定|结合生活情境（题2），基础概念辨析（题4）| |填空题|6/18|三角形计数、角度计算、等腰三角形周长|开放条件探究（题14），动态最值问题（题15）| |解答题|8/72|作图、全等证明、动点问题|综合应用（题24动点与等腰直角三角形），规律探究（题9），体现推理与创新意识|

2025-2026学年七年级下学期数学单元测试卷 （测试范围：三角形） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．若为的三边长，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 2．如图，自行车的车架由多个三角形组成，使用时不会容易变形的数学原理是（    ） A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 3．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（   ） A． B． C． D． 4．下列说法中正确的是（   ） A．钝角三角形有两条高在三角形内部 B．三角形三条高至多有两条不在三角形内部 C．三角形三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部 D．钝角三角形三个内角的平分线的交点一定不在三角形内部 5．如图，在中，，点是的重心，则的面积是（   ） A． B． C． D． 6．已知各边长均为整数，且，，是唯一的最长边，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．5或6 7．如图，的顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格格点上，则边上的高等于（    ） A． B． C．2 D． 8．如图，在中，是的中点，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在四边形中，，，点P为上的点不与点A，C重合，观察下列图形中全等三角形的对数．其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…．按此规律，图25中有（   ）对全等三角形． A．196 B．256 C．325 D．351 10．如图，在中，点是边上一点，点是线段上一点，且；其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①② C．①③④ D．③④ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．如图，图中有_______个三角形． 12．如图，，则___________． 13．一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为______． 14．如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有______． 15．如图，在中，分别为边上的动点，且，连接．当取最小值时，_____． 16．如图，在中，是锐角，以为斜边在内部作一个等腰直角三角形，过点D作于点E，交于点F，若F为的中点，，，则______． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．如图，在直角三角形中，，，，． (1)点到直线的距离是垂线段___________的长度，该长度是___________． (2)画出表示点到直线的距离的线段，并求这个距离． 18．如图，已知点A在BE上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)在任意中，化简：． 20．如图，在所给正方形网格图中完成下列各题： (1)画出所有与格点（顶点均在格点上）全等的格点三角形，使它与有且只有一条公共边，你画出了______ 个符合要求的格点三角形，分别记作______ ； (2)在上画出点，使得的周长最小； (3)若网格上的最小正方形的边长为，直接写出的面积为______ ． 21．如图．已知中，，点D是边上一点．连结，过点D作，交于点E，且有．求证： (1)； (2)． 22．已知． (1)求证：； (2)，求的度数． 23．如图，已知，，， (1)的面积是 ； (2)作出关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称的； (3)在平面直角坐标系中，是否存在点P，使得与全等，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 24．在中，，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度做往返运动（到达后立即沿返回），连接．当点到达点时，同时停止运动．设点的运动时间为秒（）． (1)在点从运动到的过程中，线段的长为______；（用含的代数式表示） (2)当点与点重合时，求线段的长； (3)当为等腰直角三角形时，求值； (4)分别过点作于点，于点．当时，直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期数学单元测试卷 （测试范围：三角形） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．若为的三边长，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【分析】根据乘积为0的性质得到边的关系，即可判断三角形类型. 【详解】解：∵， ∴或， 即或， ∴至少有两条边相等， ∴一定是等腰三角形. 2．如图，自行车的车架由多个三角形组成，使用时不会容易变形的数学原理是（    ） A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】A 【详解】解：由题意得，自行车的车架由多个三角形组成，使用时不会容易变形的数学原理是三角形具有稳定性． 3．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形可知两角及夹边分别相等即可判断． 【详解】解：小明画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即． 4．下列说法中正确的是（   ） A．钝角三角形有两条高在三角形内部 B．三角形三条高至多有两条不在三角形内部 C．三角形三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部 D．钝角三角形三个内角的平分线的交点一定不在三角形内部 【答案】B 【分析】根据不同类型三角形的特征逐一判断选项即可． 【详解】解：∵钝角三角形只有1条高在三角形内部，2条高在三角形外部， ∴ A选项错误； ∵钝角三角形有2条高不在三角形内部，直角三角形有2条高在三角形边上（不在内部），锐角三角形3条高都在三角形内部，不存在3条高都不在三角形内部的情况， ∴三角形三条高至多有两条不在三角形内部，B选项正确； ∵直角三角形三条高的交点在直角顶点，即交点在三角形边上，既不在三角形内部，也不在三角形外部， ∴C选项错误； ∵任意三角形内角平分线的交点都在三角形内部， ∴ D选项错误． 5．如图，在中，，点是的重心，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的重心性质及直角三角形面积公式，首先根据直角三角形面积公式求出 的面积，再利用三角形重心的性质：重心与三个顶点连线将三角形分成面积相等的三个三角形，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵ 点 是的重心， ∴， ∵， ∴． 6．已知各边长均为整数，且，，是唯一的最长边，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．5或6 【答案】D 【分析】利用三角形三边关系确定的取值范围，结合是唯一的最长边、边长为整数的条件求解． 【详解】根据三角形三边关系，得， ∵，， ∴， ∵是唯一的最长边，已知边中最大边长为， ∴， 因此， 又∵的长为整数， ∴或． 7．如图，的顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格格点上，则边上的高等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积计算．利用等积法求解是解题关键．由图可知，且其边上的高为，即可求出．由勾股定理可求出，设边上的高为x，结合三角形面积公式可列出关于x的方程，解出x的值即可． 【详解】解：由图可知，且其边上的高为2， ∴． 由图可知， 设边上的高为x， ∴， ∴， 解得：， ∴边上的高是． 故选：B． 8．如图，在中，是的中点，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的中线的含义，全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系，掌握：“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”是解题的关键. 如图，延长至 使再证明可得 再利用三角形的三边关系可得：从而可得答案. 【详解】解：如图，延长至 使 为的中线， 故选：B． 9．如图，在四边形中，，，点P为上的点不与点A，C重合，观察下列图形中全等三角形的对数．其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…．按此规律，图25中有（   ）对全等三角形． A．196 B．256 C．325 D．351 【答案】D 【分析】本题考查了图形规律与组合数计算，解题的关键是通过分析线段上的点数，归纳出全等三角形对数的公式． 观察图1到图3上的点数对应（为图序号），全等对数为（为上的点数）；结合图序号与点数的关系，代入公式计算图的对数． 【详解】解：图1中,上有3个点，全等对数为； 图2中,上有4个点，全等对数为； 图3中,上有5个点，全等对数为；得规律：第个图中,上有个点，全等对数为 当时， 故选：D． 10．如图，在中，点是边上一点，点是线段上一点，且；其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①② C．①③④ D．③④ 【答案】C 【分析】根据，得到两组三角形中的边角的关系，得到、为等腰直角三角形，逐个判断各结论的正确性即可． 【详解】解：， ，，，， ， ， ，， ，， ， ，即①正确； 根据现有条件，无法判断②，故②不正确； ，， ， 设延长线交于点H，延长线交交于点M，则， ，即③正确； ，， ， ，即④正确； 综上所述，结论中正确的是①③④． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．如图，图中有_______个三角形． 【答案】6 【分析】直接根据三角形的定义即可得出答案． 【详解】解：图中有6个三角形，分别是． 12．如图，，则___________． 【答案】3 【分析】根据全等三角形的性质得到，，根据线段的和差即可求解． 【详解】解∶∵， ∴，， ∴． 13．一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为______． 【答案】15或18 【分析】分两种情况讨论腰长的取值，再根据三角形三边关系验证能否组成三角形，最后计算周长． 【详解】解：分两种情况讨论∶ 情况一∶若腰长为，则底边长为，此时三角形三边长分别为、、． ∵，，满足三角形三边关系：任意两边之和大于第三边， ∴该情况成立，此时周长为． 情况二∶若腰长为，则底边长为，此时三角形三边长分别为、、． ∵，，满足三角形三边关系：任意两边之和大于第三边， ∴该情况成立，此时周长为． 14．如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有______． 【答案】①③ 【分析】根据全等三角形的判定定理，依次判断各添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ①当时， 在和中， ， ∴； ②当时，不能判断； ③当时， 在和中， ， ∴； ④当，而，所以与不是对应角，所以不能判断． 综上所述，能使的条件有①③． 【点睛】注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 15．如图，在中，分别为边上的动点，且，连接．当取最小值时，_____． 【答案】18 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短，添加辅助线构造全等三角形，利用两点之间线段最短得到取最小值时点的位置是解题的关键． 如图，在下方作，且使得，则，，可证得，则，，进而可知当点在上时，取得最小值，此时，，即可求解． 【详解】解：如图，在下方作，且使得，则，， 又∵， ∴，则， ∴，则， 即，当点在上时，取得最小值， 此时，， 故答案为：18． 16．如图，在中，是锐角，以为斜边在内部作一个等腰直角三角形，过点D作于点E，交于点F，若F为的中点，，，则______． 【答案】 【分析】延长，过C作，垂足为G，证明，得到，，再证明，，，设，根据边的关系代换得到，再根据列出方程，解之可得． 【详解】解：延长，过C作，垂足为G， ∵， ∴， ∵F为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，得到相等的边． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．如图，在直角三角形中，，，，． (1)点到直线的距离是垂线段___________的长度，该长度是___________． (2)画出表示点到直线的距离的线段，并求这个距离． 【答案】(1)，3 (2)图见解析， 【分析】（1）根据点到直线的距离即可解答； （2）作于点，则垂线段的长度就是点到直线的距离，再利用等积法即可求出的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴点到直线的距离是垂线段的长度，该长度是； （2）解：如图，作于点，则垂线段的长度就是点到直线的距离， ∵， ∴． 18．如图，已知点A在BE上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等得到得到，然后利用证明结论即可； （2）根据全等三角形的对应边相等得到，，然后利用线段的和差即可得到结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴． 19．已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)在任意中，化简：． 【答案】(1)等边三角形； (2)． 【分析】本题考查了绝对值非负数的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定，整式的加减等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （）根据绝对值和平方的非负性得到，，进而推出，即可判断的形状； （）根据三角形三边关系得到，，，再结合绝对值性质进行化简，即可解题． 【详解】（1）解：∵， ∴根据非负数的性质，，， 解得，， ∴， ∴为等边三角形； （2）解：∵的三边长分别为，，， ∴根据三角形的三边关系得，，，， ∴，，， 则 ． 20．如图，在所给正方形网格图中完成下列各题： (1)画出所有与格点（顶点均在格点上）全等的格点三角形，使它与有且只有一条公共边，你画出了______ 个符合要求的格点三角形，分别记作______ ； (2)在上画出点，使得的周长最小； (3)若网格上的最小正方形的边长为，直接写出的面积为______ ． 【答案】(1)；， (2)见详解 (3) 【分析】本题考查作全等三角形的综合问题，轴对称最短问题以及利用网格求三角形的面积问题。 根据全等三角形的判定方法以及题目要求作出图形即可； 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，点即为所求； 把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，，即为所求． 故答案为：，，； （2）如图，点即为所求； （3）的面积． 故答案为：． 21．如图．已知中，，点D是边上一点．连结，过点D作，交于点E，且有．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，直角三角形性质，等腰三角形的性质，这些知识点的掌握是正确解题的关键． （1）由垂直的定义得到，再根据，结合直角三角形的性质即可证明结论； （2）取的中点F，连结，则，由等腰三角形的性质得到，由（1）知；证明，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：取的中点F，连结，则， ， ， ， 由（1）知； ， ， ， ． 22．已知． (1)求证：； (2)，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用定理证明两三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． 23．如图，已知，，， (1)的面积是 ； (2)作出关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称的； (3)在平面直角坐标系中，是否存在点P，使得与全等，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3 (2)见详解 (3)存在点P，、和 【分析】本题主要考查网格和对称的性质，以及全等三角形的性质和判定，解题的关键是分情况讨论的应用． （1）根据网格求三角形面积即可． （2）根据轴对称的性质先找出各顶点关于直线m对称的对应点的位置，然后顺次连接即可； （3）根据全等三角形的判定可知有三个点，结合全等三角形的性质即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：； （2）解：如下图所示： （3）解：存在，如图所示， 当，此时点； 当，此时点； 当，此时点； 则存在点P，使得与全等，、和． 24．在中，，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度做往返运动（到达后立即沿返回），连接．当点到达点时，同时停止运动．设点的运动时间为秒（）． (1)在点从运动到的过程中，线段的长为______；（用含的代数式表示） (2)当点与点重合时，求线段的长； (3)当为等腰直角三角形时，求值； (4)分别过点作于点，于点．当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)2 (3)4或 (4)或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，全等三角形的性质，一元一次方程的应用等；能用分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）用的长减去点P运动的路程即可得到答案； （2）当点P与点C重合时求得，则可证明此时点Q从点C运动到点B的途中，由即可求解； （3）分三种情况：，和，根据等腰直角三角形的定义可得，据此建立方程求解即可； （4）分三种情况：，和，由全等三角形的性质可得，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴； （2）解：当点P与点C重合时，， ∴点Q的运动路程为， ∵， ∴当点P与点C重合时，点Q在从点C运动到点B的途中， ∴； （3）解：点P从点A运动到点C的时间为秒，点P从点A出发再回到点A的时间为秒，当点Q在从C运动到点B的时间为秒， ∵，是等腰直角三角形， ∴； 当时，则，解得， 当时，则，解得（舍去）； 当时，则，解得； 综上所述，t的值为4或； （4）解：当时，∵， ∴， ∴， 解得； 当时，∵， ∴， ∴， 解得（舍去）； 当时，∵， ∴， ∴， 解得； 综上所述，t的值为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $